Введение к работе
Актуальность темы
Обратные задачи для уравнения акустики, связанные с определением коэффициентов уравнения (скорость звука, плотность, поглощение) по граничным измерениям, встречаются во многих приложениях: геофизика, медицинская диагностика, акустика океана, дефектоскопия и т.д. Основные методы исследования и решения этих задач: лучевой метод, метод редукции к уравнению типа Вольтерра, метод подбора (оптимизации), метод линеаризации и метод граничного управления. Последний метод - метод граничного управления (BC -метод, М.И. Белишев, 1986) мало апробирован численно по сравнению с другими методами, хотя, теоретически, он имеет значительные преимущества: сводит решение нелинейной обратной задачи к линейным процедурам, свободен от таких требований, как регулярность лучей, отсутствие волноводов, малость флуктуаций коэффициентов, аналитичность коэффициентов по части переменных и т.д. Это делает актуальным численное моделирование обратных динамических задач с использованием BC -метода.
Среди перечисленных выше приложений наиболее близкое к теме диссертации по постановке рассмотренных задач - медицинская диагностика. Одной из важнейших задач медицинской диагностики является раннее обнаружение различных опухолевых новообразований молочной железы. В настоящее время в мире стандартной диагностикой рака женской молочной железы является маммография (по сути, используется техника рентгеновского снимка). Однако она не всегда эффективна (например, рентген часто дает недостоверный результат при опухолях, расположенных в железистой ткани). Для получения трехмерных изображений используется компьютерная томография, основанная на рентгеновском облучении малой интенсивности, и магнитно-резонансная томография. Данные методы обладают высокой информативностью, но в то же время представляют собой сложные исследования, требующие дорогостоящего оборудования, а проникающее излучение, применяющееся при компьютерной томографии, может стимулировать появление и рост раковых клеток. С другой стороны ультразвуковые исследования, применяющиеся в различных областях медицины, не требуют значительных затрат и являются безопасными методами диагностики. Ультразвуковая томография обладает большим потенциалом для обнаружения и диагностики рака молочной железы. В настоящее время в России (В.А. Буров, О.Д. Румянцева и др.), США (Duric N., Li C., Littrup P. и др.) и Германии (Ruiter N., Dapp R., Zapf M., Jirik R., Peterlik I., Fousek J. и др.) работают группы ученых, целью которых является создание макетов ультразвуковых томографов с высокой разрешающей способностью и информативностью. Одной из основных проблем при этом остается разработка эффективных алгоритмов обработки измерений, т.е., по сути, численных методов решения обратных задач акустики, возникающих в ультразвуковой медицинской томографии.
Целью диссертационной работы является разработка, программная реализация алгоритмов численного решения обратных динамических задач акустики на основе метода граничного управления и проведение вычислительных экспериментов. Рассмотренные в диссертации задачи - это обратные задачи об определении коэффициентов волнового уравнения (скорость звука, поглощение, плотность) по данным волновой томографии (т.е. в ситуации, когда известны граничные волновые поля от некоторого множества граничных источников).
В рамках поставленной цели были рассмотрены следующие задачи:
Начально-краевая задача Неймана (прямая задача) для волнового уравнения.
Обратная задача об определении скорости звука.
Обратная задача об определении коэффициента поглощения.
Линеаризованная обратная задача об определении двух параметров акустической среды (модуль сжатия и коэффициент удельного объема).
Методы исследования
Все применяемые в диссертации алгоритмы решения обратных задач основаны на идеях метода граничного управления (М.И. Белишев, 1986) и используют подход, связанный с граничным управлением гармоническими функциями (Л.Н. Пестов, 1999). При численном решении прямой задачи используется гибридный метод (Л. Бейлина, 2002). При численном решении обратных задач используются методы решения плохо обусловленных систем линейных уравнений.
Научная новизна
Предложены и реализованы новые способы и алгоритмы численного решения коэффициентных обратных задач акустики, основанные на методе граничного управления:
реконструкция скорости звука в отсутствии коэффициента поглощения;
реконструкция коэффициента поглощения при неизвестной скорости звука;
одновременная реконструкция двух параметров - модуля сжатия и коэффициента удельного объема в линеаризованной версии метода граничного управления.
Достоверность
Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается использованием известных теоретических исследований рассматриваемых обратных задач; применением апробированных численных методов решения прямых задач; сравнением результатов численного решения обратных задач с задаваемыми моделями.
Основные положения, выносимые на зашиту
-
-
Математические модели и численные алгоритмы граничного управления в задачах реконструкции скорости звука и коэффициента поглощения.
-
Программный комплекс для решения задачи реконструкции скорости звука в отсутствии коэффициента поглощения.
-
Программный комплекс для решения обратной задачи реконструкции коэффициента поглощения при неизвестной скорости звука.
-
Алгоритм и программная реализация численного решения обратной задачи нахождения двух параметров - модуля сжатия и коэффициента удельного объема на основе линеаризованных представлений энергетических форм.
Научная апробация результатов
Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на 6 научных и научно-практических конференциях:
-
-
-
XLVI, XLVII и XLVIII Международные научные студенческие конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск 2008, 2009, 2010).
-
IV Научно-практическая конференция «Обратные задачи и информационные технологии рационального природопользования» (Ханты-Мансийск 2008).
-
31th International acoustical imaging symposium (Warsaw, Poland 2011).
4. Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 80 - летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск 2012).
На XLVI и XLVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» автором занято 1 и 2 место, соответственно, в секции «Математическое моделирование».
Реализация и внедрение результатов работы
Исследования, результаты которых включены в работу, проводились в 2009-2013 гг. в рамках научных и госбюджетных программ:
госконтракта ЮНИИ ИТ на НИР 2009-2011 гг. «Обратные динамические задачи сейсмики». Номер гос. контракта № 02.740.11.0441 от 30.09.2009.
гранта РФФИ на НИР 2012-2014 гг. «Обратные динамические задачи: теория и численное моделирование» № 12-01-00260.
Научно-практическая значимость работы
Разработанные численные алгоритмы и созданный на их основе комплекс программ могут применяться при моделировании решения обратных задач акустики. Дальнейшее развитие и применение результатов работы на практике позволит решать задачи медицинской ультразвуковой диагностики.
Вклад автора
Автор принимал участие в разработке алгоритмов численного решения обратных динамических задач для волнового уравнения на основе метода граничного управления. Программная реализация и численные эксперименты реконструкции акустических параметров среды проведены автором лично.
Публикации
По результатам диссертационной работы опубликовано 13 работ, из них 3 в журналах, рекомендованных ВАК; результаты исследований отражены в 4 отчетах о НИР.
Структура и объем диссертации
Похожие диссертации на Численное моделирование обратных динамических задач акустики методом граничного управления
-
-
-
