Содержание к диссертации
Введение
1 Математическое моделирование и оптимальное управление фильтрацией вязких жидкостей (состояние и анализ проблемы) 7
1.1 Задачи фильтрации вязких жидкостей. 7
1.2 Проблема оптимального управления системами с распределенными параметрами . 13
1.3 Краткие выводы и задачи исследования 17
2 Граничное управление фильтрацией жидкости в случае плоско параллельного течения 19
2.1. Математическая модель фильтрации двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей. 20
2.2 Постановка задачи оптимального управления и теорема существования . 27
2.3 Сведение задачи к оптимизационной системе. 30
2.4 Численное решение задачи оптимального управления. 37
2.5 Краткие выводы. 46
3 Граничное управление фильтрацией жидкости в случае неодносвязной области 47
3.1 Исследование математической модели фильтрации жидкости в неодносвязной области . 47
3.2 Постановка экстремальной задачи и существование оптимального управления. 66
3.3 Система оптимальности. 69
3.4 Численное решение задачи 77
3.5 Краткие выводы. 84
4 Оптимальное управление фильтрацией жидкости в случае присутствия в области источников 85
4.1 Построение и исследование математической модели двухфазной фильтрации. 85
4.2 Постановка задачи оптимального управления, теорема существования 103
4.3 Необходимые условия минимума целевого функционала . 106
4.4 Краткие выводы 110
Заключение
Список литературы
- Проблема оптимального управления системами с распределенными параметрами
- Постановка задачи оптимального управления и теорема существования
- Исследование математической модели фильтрации жидкости в неодносвязной области
- Необходимые условия минимума целевого функционала
Введение к работе
Работа посвящена моделированию и исследованию процесса фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости, а также оптимальному управлению рассматриваемым процессом.
Актуальность работы. Теория оптимального управления гидродинамическими системами, в том числе и системами, описывающими процесс фильтрации двухфазной жидкости, представляет научный интерес, связанный со спецификой краевых задач, описывающих гидродинамические явления. Оптимальное управление в задачах фильтрации двухфазной жидкости представляет не только теоретический, но и практический интерес, поскольку преобладающее большинство подобных задач связано с добычей нефти. Рассмотренные задачи позволяют в некотором смысле оптимизировать процесс добычи нефти, что не может не привлекать внимание в настоящее время, хотя нам они более интересны в теоретическом смысле.
Поскольку одно из уравнений системы дифференциальных уравнений, описывающей процесс вытеснения нефти водой в пористых средах, является вырождающимся, процесс фильтрации двухфазной жидкости привлекает многих математиков. Исследования в этой области ведутся в течение многих лет разными авторами, много внимания уделяется вопросам разрешимости задач, описывающих данный процесс, единственности и свойствам их решения. В общем случае задача не решена, поэтому интересен каждый частный случай, тем более в случае неодносвязной области. Еще больший интерес, как теоретический, так и практический, представляет оптимальное управление рассматриваемым процессом. Современная теория оптимального управления получает все большую популярность, исследования в данной области приобретают большую общность, однако, ранее теоретического обоснования возможности оптимального управления процессом фильтрации двухфазной жидкости нам в литературе не встречалось.
Общая постановка задачи, которой посвящена диссертация, следующая. В области находится нефтяной пласт. В некоторых фиксированных местах расположены эксплуатационные и нагнетательные скважины. Через нагнетательные скважины в область под давлением поступает вода, через эксплуатационные - отбирается нефть. При этом в области происходит процесс вытеснения нефти водой. Требуется, управляя расходом жидкости на нагнетательных скважинах, удерживать в течение некоторого времени распределение насыщенности водой и нефтью на эксплуатационных скважинах около заданного состояния при минимальной стоимости управления. Предполагается, что течение жидкостей подчиняется законам Дарси с соответствующими фазовыми проницаемостями, жидкости являются несмешивающимися и несжимаемыми.
В первой главе выполнен анализ моделей фильтрации многофазной несжимаемой жидкости и рассмотрено состояние теории оптимального управления; рассмотрены основные уравнения многофазной фильтрации, которые используются в диссертации, приведены некоторые теоремы общей теории оптимального управления.
Во второй главе работы рассматривается задача оптимального управления фильтрацией двухфазной несжимаемой жидкости в односвязной области с граничным управлением и наблюдением. Постановка задачи предполагает течение между двумя галереями скважин. Требуется, управляя расходом воды на галерее нагнетательных скважин, удерживать в течение некоторого времени распределение насыщенности водой и нефтью на галерее эксплуатационных скважин около заданного состояния при минимальной стоимости управления. Доказано существование оптимального управления в классе неотрицательных функций времени, суммируемых с квадратом, построена оптимизационная система, которая используется для численного решения. Для линеаризованной задачи, описывающей состояние системы, построено аналитическое решение, которое сравнивается с сеточным.
Третья глава посвящена задаче оптимального управления в случае плановой фильтрации. В области расположены нагнетательные и эксплуатационные скважины, что делает область неодносвязной. Подобные задачи фильтрации, как нам известно, не исследовались ранее, поэтому в третьей главе доказана разрешимость краевой задачи, описывающий этот процесс, и получены некоторые оценки, которые используются в дальнейшем для исследования задачи оптимального управления. Доказано существование оптимального управления в классе вектор-функций, суммируемых с квадратом, размерность которых совпадает с количеством нагнетательных скважин, построена оптимизационная система, которая используется для численного решения
Сосредоточенное управление и наблюдение рассматриваются в четвертой главе. Как и в третьей главе рассматривается плановая фильтрация, однако, уже в односвязной области, что является возможным, поскольку в качестве нагнетательных и эксплуатационных скважин выступают точки, таким образом, в области течения находятся сосредоточенные источники. Для исследования задачи оптимального управления была доказана разрешимость задачи фильтрации жидкости, были получены оценки решения в некотором классе функций. Доказано существование оптимального управления в классе вектор-функций, суммируемых с квадратом, размерность которых на единицу меньше количества нагнетательных скважин, построена оптимизационная система.
Цель работы. Построение и исследование математических моделей фильтрации двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей и оптимальное управление рассматриваемыми процессами.
Основные задачи работы определяются целью и формулируются следующим образом: теоретическое обоснование возможности оптимального управления в
некоторых задачах двухфазной фильтрации, позволяющего удерживать
систему около заданного состояния;
исследование граничного и распределенного управления в задачах двухфазной фильтрации;
построение системы оптимальности, являющейся необходимым условием минимума целевого функционала;
разработка численного алгоритма на базе полученной системы оптимальности и численное решение некоторых задач отыскания оптимального управления.
Научная новизна результатов.
Поставлена задача оптимального управления в задаче плоскопараллельного течения двухфазной жидкости в пористой среде через галереи скважин. Доказано существование оптимального управления, получена система оптимальности.
Разработан численный алгоритм нахождения оптимального управления в плоскопараллельном случае, а также его программная реализация;
Получены условия разрешимости задач плановой фильтрации двухфазной жидкости: задачи относительно функции тока и функции водонасыщенности в случае неодносвязной области и задачи относительно функции приведенного давления и функции тока в случае присутствия источниковьтх членов в правой части уравнения. Получены некоторые свойства и доказана принадлежность определенным классам функций решений рассмотренных задач;
Показана возможность оптимального управления в задачах плановой фильтрации с учетом полученных свойств состояния системы. Доказано существование граничного и распределенного управления;
С помощью введения сопряженного состояния, построены оптимизационные системы, позволяющие получить оптимальные в некотором определенном смысле решения задачи плановой фильтрации двухфазной жидкости. Для определенной целевой функции получено оптимальное
управление, то есть оптимальный расход жидкости на нагнетательных скважинах.
Разработан численный алгоритм нахождения оптимального управления в случае неодносвязной области, а также его программная реализация;
Теоретическая и практическая ценность.
В определенных классах функций доказана разрешимость и получены некоторые свойства решений краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных, одно из которых вырождающееся, что делает возможным дальнейшее исследование решений и применение полученных свойств в других моделях, включающих аналогичные задачи.
Теоретически обоснована возможность оптимального управления расходом жидкости в некоторых задачах фильтрации двухфазной жидкости.
Для некоторых задач оптимального управления двухфазной фильтрацией получены системы оптимальности, которые могут быть использованы для дальнейшего исследования и численного решения рассмотренных задач.
Задачи управления фильтрацией жидкости позволяют оптимизировать процессы вытеснения нефти водой, что имеет большое значение в разработке залежей нефти.
Проблема оптимального управления системами с распределенными параметрами
Если на Г1 пренебречь нормальной составляющей градиента капиллярного давления по сравнению с градиентами фазовых давлений и не учитывать сил тяжести, то (Vp, -n) = (Vp2 -її), откуда согласно (1.2) следует. Помимо граничных условий необходимо задать начальное распределение насыщенности.
Исследование корректности нелинейных краевых задач фильтрации двухфазных жидкостей было начато в работах С.Н. Антонцева и В.Н. Монахова [6-9]. В первых работах рассматривался случай плоско-параллельного течения, где в качестве новых искомых функций взяты насыщенность и функция тока для скорости смеси. Тогда исходная модель преобразуется к нелинейной системе, состоящей из вырождающегося при некоторых значениях водонасыщенности параболического уравнения для водонасыщенности и равномерно эллиптического уравнения для функции тока. При некоторых условиях, обеспечивающих невырожденность уравнения для водонасыщенности, было доказано существование классического решения, в том числе для ряда задач со свободными границами [8,9,11]. Для вырождающихся задач установлена разрешимость в классе обобщенных решений сначала в наиболее простом случае одномерного движения Г.В. Алексеевым, и Н.В. Хуснутдиновой [12, 13], затем С.Н. Антонцевым [14, 15] в случае плоско-параллельного течения. Разрешимость задачи фильтрации в случае одномерного движения более двух жидкостей доказана А.А. Олейником [16, 17].
В более поздних работах показано [1, 18-22], что и в общем трехмерном случае уравнения Маскета-Леверетта (1.1)-(1.4) сводятся к системе, состоящей из вырождающегося на решении параболического уравнения для водонасыщенности и равномерно эллиптического уравнения для приведенного давления. Было доказано существование обобщенных решений пространственных краевых задач и были установлены важные качественные свойства этих решений: принцип максимума для водонасыщенности, гарантирующий выполнение неравенств , , 1 — 51 , оценки решений и их производных в некоторых пространствах, гладкость решений в зависимости от гладкости данных задачи, единственность решений, в случае невырожденной задачи. Дифференциальные свойства обобщенных решений и вопросы единственности для вырождающихся задач изучались С.Н. Антонцевым и А.А. Паниным [1, 23-25].
В настоящее время исследование задач, описывающих процесс фильтрации жидкости, не теряет актуальности. Много внимания уделяется анализу и свойствам решений задач вытеснения нефти водой. Так в [26] изучается асимптотическое поведение решения, в [27] доказана конечная скорость распространения возмущений в задачах фильтрации, периодические решения рассматриваются в [28]. Многие работы [например, 29-33] посвящены изучению свойств решений задач фильтрации жидкости со свободной границей. Вопросам осреднения процесса фильтрации двухфазного потока несмешивающихся жидкостей посвящена [34].
Поскольку задачи фильтрации являются нелинейными и вырождающимися, и, кроме этого, имеют большое прикладное значение, многие математики уделяют внимание вопросам численного исследования процессов, происходящих при фильтрации двух несмешивающихся жидкостей (вода-нефть) в нефтеносных пластах [10, 35-37].
Теория оптимального управления распределенными системами интенсивно изучается на протяжении нескольких десятков лет. Термин "управление" был введен Понтрягиным и его учениками [38] для задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Такие задачи долгое время составляли большую часть исследований в теории оптимального управления. Сейчас все больше исследуются задачи оптимального управления, использующие функциональные уравнения [39-57], в том числе дифференциальные уравнения с частными производными. Кроме того, теория оптимального управления системами, которые описываются функциональными уравнениями, сопровождается более систематическим использованием понятий и методов функционального анализа. В настоящее время при решении задач оптимального управления в основном пользуются общими методами абстрактного функционального анализа. Периоду строгих математических исследований в теории оптимального управления распределенными системами предшествовало изучение прикладных задач оптимального управления [5 8] Одной из первых книг по математической теории оптимального управления распределенными системами была книга Ж.-Л. Лионса [40]. Общая схема задач управления распределенными системами состоит в следующем [40]. Задано уравнение состояния здесь F: Y х U - V — оператор с частными производными или интегро-дифференциальный оператор, он может быть как линейным, так и нелинейным, стационарным или нестационарным. К уравнению (1.6) необходимо добавить граничные условия и, если F —- эволюционный оператор, начальные. Переменная и є U есть переменная управления, она может быть распределенной по области, в которой происходит процесс, может быть граничной, точечной и т.п. В классической теории управления распределенными системами принимается весьма общее предположение: для заданного в подходящем множестве U управления уравнение (1.6) имеет единственное решение из определенного класса функций. Через у = у(и) обозначается решение уравнения (1.6). Это есть состояние системы.
Постановка задачи оптимального управления и теорема существования
В первой главе выполнен анализ моделей фильтрации многофазной несжимаемой жидкости и рассмотрено состояние теории оптимального управления; рассмотрены основные уравнения многофазной фильтрации, которые используются в диссертации, приведены некоторые теоремы общей теории оптимального управления.
Во второй главе работы рассматривается задача оптимального управления фильтрацией двухфазной несжимаемой жидкости в односвязной области с граничным управлением и наблюдением. Постановка задачи предполагает течение между двумя галереями скважин. Требуется, управляя расходом воды на галерее нагнетательных скважин, удерживать в течение некоторого времени распределение насыщенности водой и нефтью на галерее эксплуатационных скважин около заданного состояния при минимальной стоимости управления. Доказано существование оптимального управления в классе неотрицательных функций времени, суммируемых с квадратом, построена оптимизационная система, которая используется для численного решения. Для линеаризованной задачи, описывающей состояние системы, построено аналитическое решение, которое сравнивается с сеточным. Третья глава посвящена задаче оптимального управления в случае плановой фильтрации. В области расположены нагнетательные и эксплуатационные скважины, что делает область неодносвязной. Подобные задачи фильтрации, как нам известно, не исследовались ранее, поэтому в третьей главе доказана разрешимость краевой задачи, описывающий этот процесс, и получены некоторые оценки, которые используются в дальнейшем для исследования задачи оптимального управления. Доказано существование оптимального управления в классе вектор-функций, суммируемых с квадратом, размерность которых совпадает с количеством нагнетательных скважин, построена оптимизационная система, которая используется для численного решения
Сосредоточенное управление и наблюдение рассматриваются в четвертой главе. Как и в третьей главе рассматривается плановая фильтрация, однако, уже в односвязной области, что является возможным, поскольку в качестве нагнетательных и эксплуатационных скважин выступают точки, таким образом, в области течения находятся сосредоточенные источники. Для исследования задачи оптимального управления была доказана разрешимость задачи фильтрации жидкости, были получены оценки решения в некотором классе функций. Доказано существование оптимального управления в классе вектор-функций, суммируемых с квадратом, размерность которых на единицу меньше количества нагнетательных скважин, построена оптимизационная система.
Цель работы. Построение и исследование математических моделей фильтрации двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей и оптимальное управление рассматриваемыми процессами. Основные задачи работы определяются целью и формулируются следующим образом: теоретическое обоснование возможности оптимального управления в некоторых задачах двухфазной фильтрации, позволяющего удерживать систему около заданного состояния; исследование граничного и распределенного управления в задачах двухфазной фильтрации; построение системы оптимальности, являющейся необходимым условием минимума целевого функционала; разработка численного алгоритма на базе полученной системы оптимальности и численное решение некоторых задач отыскания оптимального управления. Научная новизна результатов. Поставлена задача оптимального управления в задаче плоскопараллельного течения двухфазной жидкости в пористой среде через галереи скважин. Доказано существование оптимального управления, получена система оптимальности. Разработан численный алгоритм нахождения оптимального управления в плоскопараллельном случае, а также его программная реализация; Получены условия разрешимости задач плановой фильтрации двухфазной жидкости: задачи относительно функции тока и функции водонасыщенности в случае неодносвязной области и задачи относительно функции приведенного давления и функции тока в случае присутствия источниковьтх членов в правой части уравнения. Получены некоторые свойства и доказана принадлежность определенным классам функций решений рассмотренных задач; Показана возможность оптимального управления в задачах плановой фильтрации с учетом полученных свойств состояния системы. Доказано существование граничного и распределенного управления; С помощью введения сопряженного состояния, построены оптимизационные системы, позволяющие получить оптимальные в некотором определенном смысле решения задачи плановой фильтрации двухфазной жидкости. Для определенной целевой функции получено оптимальное управление, то есть оптимальный расход жидкости на нагнетательных скважинах. Разработан численный алгоритм нахождения оптимального управления в случае неодносвязной области, а также его программная реализация; Теоретическая и практическая ценность. В определенных классах функций доказана разрешимость и получены некоторые свойства решений краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных, одно из которых вырождающееся, что делает возможным дальнейшее исследование решений и применение полученных свойств в других моделях, включающих аналогичные задачи. Теоретически обоснована возможность оптимального управления расходом жидкости в некоторых задачах фильтрации двухфазной жидкости. Для некоторых задач оптимального управления двухфазной фильтрацией получены системы оптимальности, которые могут быть использованы для дальнейшего исследования и численного решения рассмотренных задач. Задачи управления фильтрацией жидкости позволяют оптимизировать процессы вытеснения нефти водой, что имеет большое значение в разработке залежей нефти.
Исследование математической модели фильтрации жидкости в неодносвязной области
Общая теория оптимального управления распределенными системами, т.е. системами, которые описываются с помощью краевых задач для уравнений с частными производными, изучается на протяжении многих лет, однако эта теория имеет достаточно абстрактный характер и ее применение к конкретным задачам далеко не всегда тривиально. Кроме этого» оно требует достаточной степени изученности управляемой системы, что сильно усложняет поставленную задачу оптимального управления. Эта тематика не теряет своей актуальности из-за разнообразия распределенных систем, описывающих процессы самых различных областей физики, механики, экономики. Теория оптимального управления гидродинамическими системами, в том числе и системами, описывающими процесс фильтрации двухфазной жидкости, представляет интерес, связанный со спецификой краевых задач, описывающих гидродинамические явления. Оптимальное управление в задачах фильтрации двухфазной жидкости представляет не только теоретический, но и практический интерес, поскольку преобладающее большинство подобных задач связано с добычей нефти.
Теория фильтрации занимается изучением движения жидкостей и газов в пористых телах, содержащих связную систему пустот, по которым происходит движение. Данная область гидродинамики сформировалась достаточно давно, в середине девятнадцатого века, но спустя столетие пережила свое второе рождение. Это было связано, в первую очередь, с применением метода вытеснения нефти из пласта с помощью закачивания воды или специальных растворов. Возникла необходимость построения математических моделей для описания процесса вытеснения одной жидкости другой. В настоящее время предлагается много различных моделей для описания течения многофазных жидкостей в пористых средах, все они являются весьма сложными как с теоретической точки зрения, так и для использования их при решения конкретных задач.
При описании движения жидкости или газа в пористой среде [1] имеется ряд особенностей по сравнению с классическими моделями. Вводится понятие пористости среды, в которой происходит течение. Пористость т = т(х) есть доля объема среды, приходящаяся на пустоты. Учет пористости среды приводит к тому, что уравнение неразрывности для сплошного потока однородной жидкости (- divf pV j — О принимает вид [2,3] —4- div( pV 1 = 0, где р— плотность, V — вектор скорости фильтрации, связанный со скоростью и движения частиц жидкости соотношением V - тії. Другое отличие связано с тем, что вместо уравнений сохранения импульса в теории используется экспериментально полученный закон сопротивления пористой среды движущейся в ней жидкости — закон Дарси [3]: где р — динамическая вязкость, g —- вектор ускорения силы тяжести, р — давление, К0 — коэффициент проницаемости, характеризующий фильтрационные свойства среды. В случае неоднородной среды К0 зависит от пространственных переменных, для сжимаемой среды — от давления. Аналогично строятся и математические модели процесса фильтрации двух несмеишвающихся жидкостей через пористую среду. Эксперименты показывают, что в этом случае каждая из жидкостей выбирает собственные весьма устойчивые пути. При уменьшении насыщенности St (доли норового пространства, занятого 1-й компонентой) одной из жидкостей каналы разрушаются, становятся прерывистыми и конечном итоге остаются лишь изолированные области, занятые этой жидкостью. Данное явление называется остаточной насыщенностью г -й фазой (или остаточной нефте- или водонасыщенностью), соответствующие значения насыщенностей обозначаются S?. Все функции насыщенностей определены лишь для таких ,-, для которых выполняются неравенства. Для каждой фазы помимо насыщенности введем свою плотность р , скорость фильтрации V, и давление pt. Тогда уравнения неразрывности каждой компоненты жидкости могут быть записаны в виде [2, 3]: Учитывая качественную картину многофазной фильтрации, Маскет [4] предложил некоторое формальное обобщение закона Дарси для каждой из жидкостей: - A(VA + p,i), 1 = 1,2, (1.2)— относительные фазовые проницаемости, р. — коэффициенты динамической вязкости соответствующей фазы. При этом надо отметить [4], что kQ. являются функциями лишь S( (зависимости от давлений, расходов и других параметров практически нет) и обращаются в нуль при 5, = S?, что обуславливает прекращение движения /-й фазы. При анализе фильтрации несмешивающихся жидкостей необходимо также учитывать эффект сил, действующих на поверхностях раздела. При соприкосновении двух несмешивающихся жидкостей между собой и твердой поверхностью пор граница Г12 раздела между жидкостями образует контактный угол в с твердой поверхностью. Если угол острый, то жидкость называют смачивающей (она стремится растекаться по твердому телу в большей степени), если — тупой, то несмачивающей. На границе Г12 может существовать капиллярный скачок [1] фазовых давлений.
Необходимые условия минимума целевого функционала
В [57] для вывода систем оптимальности используются различные варианты принципа Лагранжа. Впервые этот принцип сформулировал Лагранж [64]. Весьма существенный шаг в обосновании этого принципа сделал Люстерник [65]. Обоснованию и развитию принципа Лагранжа посвящены также работы А.Я. Дубовицкого и А.А. Милютина [67], В.М. Алексеева, В.М. Тихомирова, СВ. Фомина [68].
Современный вариант этого принципа, удобный для применения к широкому классу задач оптимального управления, был доказан А.Д. Иоффе, В.М. Тихомировым [66] и состоит в следующем.Функция Лагранжа задачи (1.10), (1.11) определяется равенством C(y,u,l,p) = XJ(y,u) + (F(y,u),p), Я є R+ ,р є V\
Пусть (_р,м)єХх/ - решение задачи (1.10), (1.11); при любом ueUd отображения у -» J( \M), у— F(y,u) непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности О(у) точки у, lmFy(y,u) замкнут и имеет конечную коразмерность в V. Кроме того, пусть при любом уєО{у) функция и- j(y,w) выпукла, J дифференцируема по Гато по и в точке (у,й), а отображение и — F{ y,u) непрерывно и аффинно, т.е. F{y,aul+(\ a)u2) = aF{y,u()+(\-a)F(y,u2) Умпм2єС/, aeR. Тогда существует пара (А,р) є (R+. xVj\ {о} такая, что
В настоящее время предложено много различных моделей для описания течения многофазных жидкостей в пористых средах, все они являются весьма сложными в связи с нелинейностью и вырождаемостью уравнений. Для постановки краевых задач, описывающих процесс вытеснения нефти водой, в работе используется модель Баклея-Леверетта. Рассматриваются вопросы разрешимости тех краевых задач, исследование которых нам в литературе не встречалось.
Для задач оптимального управления процессом фильтрации двух не смешивающихся несжимаемых жидкостей применяются вышерассмотренные методы теории оптимального управления распределенными системами. Подобные задачи оптимального управления, как нам известно, не рассматривались ранее. Их сложность состоит в том, что система уравнений, описывающая процесс фильтрации, является системой нелинейных дифференциальных уравнений, одно из которых является вырождающимся. 2 Граничное управление фильтрацией жидкости в случае плоско-параллельного течения
Рассматривается фильтрация двухфазной несжимаемой жидкости. В области находится нефтяной пласт. В некоторых фиксированных местах расположены эксплуатационные и нагнетательные скважины. Через нагнетательные скважины в область под давлением поступает вода, через эксплуатационные — отбирается нефть. При этом в области происходит процесс вытеснения нефти водой. Требуется, управляя расходом воды на нагнетательных скважинах, удерживать в течение некоторого времени распределение насыщенности водой и нефтью на эксплуатационных скважинах около заданного состояния при минимальной стоимости управления. Предполагается, что течение жидкостей подчиняется законам Дарси с соответствующими фазовыми проницаемостями, жидкости являются несмешивающимися и несжимаемыми.
В этой главе рассмотрим случай течений между двумя галереями скважин. Ставится задача управления процессом фильтрации жидкости в односвязной области. В качестве скважин выступают участки границы области: нагнетательной — Г{, эксплуатационной — Г3. Управлением является расход первой фазы (воды) на нагнетательной скважин. Наблюдением — насыщенность второй фазой (нефти) на эксплуатационной скважине. Целевая функция J имеет вид где Т — время, в течение которого требуется удерживать систему, S насыщенность первой фазы, q — расход жидкости, a = const 0, Sd, qd заданные функции.
Физический смысл задачи минимизации функционала следующий: требуется удерживать систему около состояния, при котором насыщенность жидкости первой фазой на части границы близка к оптимальной при условии, что расход жидкости q на другой части границы находится в рамках заданного.
