Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Линейный анализ волн давления и скорости на графе эластичных сосудов 26
1.1. Математическая модель гемодинамики на графе 26
1.1.1. Общая структура графа сердечно-сосудистой системы
1.1.2. Математическая модель ребра графа
1.1.3. Математическая модель вершины графа
1.2. Линеаризованная математическая модель гемодинамики на графе. 31
1.2.1. Линеаризованная математическая модель ребра графа
1.2.2. Линеаризованная математическая модель вершины графа
1.3. Свойства системы уравнений гемодинамики 34
1.3.1. Уравнения гемодинамики в инвариантах Римана
1.3.2. Линеаризованные гемо динамические (ЛГД) уравнения в инвариантах Римана
1.4. Транспортные коэффициенты 40
1.4.1. Математическая постановка задачи о прохождении пульсовой волны через вершину графа
1.4.2. Решение задачи в случае внутренней вершины графа
1.4.3. Решение задачи в случае граничной вершины графа
1.5. Свойства транспортных коэффициентов 48
1.5.1. Общие формулы для транспортных коэффициентов
1.5.2. Транспортные коэффициенты для вершины, моделирующей мышечную ткань или отдельный орган
1.5.3. Транспортные коэффициенты для вершины, моделирующей участок сопряжения сосудов при условии непрерывности давления
1.5.4. Транспортные коэффициенты для вершины, моделирующей участок сопряжения сосудов при условии непрерывности интеграла Бернулли
1.6. Расчет числовых значений транспортных коэффициентов для магистральных сосудов в артериальной части большого круга кровообращения 57
1.6.1. Расчет стационарного течения в сосудах большого круга кровообращения 1.6.2. Транспортные коэффициенты для магистральных сосудов артериальной части кровеносной системы человека
1.7. Примеры маршрутов распространения пульсовых волн по графу сердечно-сосудистой системы 61
Глава 2. Решение ЛГД уравнений на произвольном графе сосудов ... 70
2.1. Аналитическое решение системы ЛГД уравнений на графе сосудов 70
2.1.1. Математическая постановка задачи
2.1.2. Построение аналитического решения задачи
2.2. Алгоритм численной реализации аналитического решения задачи для ЛГД уравнений на произвольном графе 74
2.2.1. Реализация, основанная на интерполяции сеточных функций на каждом шаге по времени
2.2.2. Реализация, основанная на рекурсивном вызове функций 2.3. Результаты сравнения аналитических и численных решений уравнений гемодинамики на графе сосудов 80
2.3.1. Постановка расчетной задачи
2.3.2. Результаты сравнения на графе, состоящем из двух ребер
2.3.3. Результаты сравнения на графе, состоящем из трех ребер Глава 3. Математическое моделирование неспецифического
аортоартериита 93
3.1. Медико-физиологическое описание неспецифического
аортоартериита
3.1.1. Пояснение медико-физиологических терминов
3.1.2. Краткое описание клинической картины заболевания
3.2. Общие принципы моделирования синдромов неспецифического аортоартериита
3.3. Моделирование синдрома стенозирования нисходящей грудной аорты (коарктационного синдрома)
3.3.1. Особенности моделирования коарктационного синдрома
3.3.2. Результаты моделирования стенозирующего варианта поражения аорты при сплошном характере поражения сосудов
3.3.3. Результаты моделирования деформирующего варианта поражения аорты при сплошном характере поражения сосудов
3.3.4. Сравнения результатов моделирования стенозирующего и деформирующего вариантов поражения аорты при сплошном характере поражения сосудов
3.3.5. Результаты моделирования стенозирующего и деформирующего вариантов поражения аорты с вовлечением в поражение проксимального сегмента брюшной аорты при сплошном характере поражения сосудов
3.3.6. Результаты моделирования стенозирующего и деформирующего вариантов поражения аорты при сегментарном характере поражения сосудов
3.4. Моделирование синдрома поражения бифуркации аорты
3.4.1. Особенности моделирования синдрома поражения бифуркации аорты
3.4.2. Результаты моделирования стенозирующего варианта поражения аорты
3.4.3. Результаты моделирования деформирующего варианта поражения аорты
3.5. Моделирование синдрома поражения ветвей дуги аорты 115
3.5.1. Особенности моделирования синдрома поражения ветвей дуги аорты
3.5.2. Результаты моделирования влияния стенозирующего и деформирующего вариантов поражения аорты на величину пульсации давления в левой бедренной артерии
3.5.3. Результаты моделирования влияния стенозирующего и деформирующего вариантов поражения аорты на величину пульсации давления в магистральных артериях левой руки
3.5.4. Результаты моделирования влияния стенозирующего и деформирующего вариантов поражения аорты на величину пульсации давления в левой общей сонной артерии
3.6. Общие результаты математического моделирования неспецифического аортоартериита 123
Заключение 125
Приложение. Численные данные по сердечно-сосудистой системе... 126
4.1. Данные по стационарному течению в сосудах большого круга кровообращения 126
4.2. Таблица значений транспортных коэффициентов для магистральных сосудов артериальной части кровеносной системы 132
Литература
- Линеаризованная математическая модель вершины графа
- Транспортные коэффициенты для вершины, моделирующей мышечную ткань или отдельный орган
- Моделирование синдрома стенозирования нисходящей грудной аорты (коарктационного синдрома)
- Результаты моделирования влияния стенозирующего и деформирующего вариантов поражения аорты на величину пульсации давления в левой бедренной артерии
Линеаризованная математическая модель вершины графа
Движение крови в изолированном сосуде описывается уравнениями гемодинамики (1.1.1)-( 1.1.3). Для того чтобы корректно замкнуть эту систему уравнений на графе сосудов, как будет показано в 1.3, необходимо значения функций давления, скорости и площади поперечного сечения в граничных точках ребер, соответствующих вершине графа, связать дополнительными равенствами. Количество таких равенств должно быть равно числу ребер, соединенных с данной вершиной. Если вершина графа является внутренней, дополнительные равенства будем называть условиями сопряжения, а в случае граничной вершины - граничным условием [2].
Рассмотрим произвольную вершину графа с номером к. В случае если к вершина является внутренней, первое из уравнений в условиях сопряжения представляет собой закон сохранения потока крови ZzA-(JC,- .»0 ( , .,0 = 0. (1.1.5) іеСї(к) Здесь С1(к) - множество всех номеров ребер, соединенных с рассматриваемой к вершиной графа; параметр zt соответствует арифметическому знаку "+" если і ребро направлено к к вершине и знаку "-" если і ребро направлено от к вершины; xit гр — координата граничной точки і ребра. Остальными уравнениями в условиях сопряжения, задаваемых во внутренней к вершине графа, являются равенства вида gЛPЛ\гp.ЛUi(xlгpJ)) = gj(PJ(xJ!гpJ)Mj(xJtгpJ))УiJ n(k), (1.1.6) где gj - заданные функции, вид которых зависит от участка кровеносной системы, моделируемого к вершиной графа.
Так, например, если к вершина моделирует участок сопряжения нескольких сосудов и на границе сосудов предполагается выполненным условие непрерывности давления, функции g( принимают вид: ВііРііЧгр.Л Vi{xittpJ)) = Pi{xtt t\ VieO( ). (1.1.7) Вместо условия непрерывности давления на границе сосудов можно потребовать выполнение условия непрерывности интеграла Бернулли. В этом случае функции gt будут иметь вид: ёШ гр.Л Ul(Xl p,,t)) = - + P ,УієП(к). (1.1.8) Если к вершина графа, моделирует участок фильтрации крови через мышечную ткань или отдельный орган, число ребер, связанных с к вершиной, должно быть равно двум, а вид функций gt и gj будет следующий: gi (P, (xit гр., о, ut (X[ гр,, о) = -ztst {Pt(x. гр.,о)ut ( , v., о + ад ( ; гр,о, ДРД У гр.Л Ujix J)) = kdPj(Xj ,t))9 (LL9) где kd - коэффициент фильтрации крови через данную ткань.
В случае если к вершина графа является граничной, то в зависимости от участка сердечно-сосудистой системы, моделируемого этой вершиной, задается соответствующее граничное условие. Так, например, если к граничная вершина моделирует нагнетательную функцию сердца и функционально соответствует левому желудочку сердца, то задается зависимость от времени потока крови Si(Xi,ep. t)Ui{xit4 si) = QM (1.1.10) согласованного с величиной сердечного выброса. В граничной вершине, соответствующей венозному синусу сердца (правому предсердию) задается зависимость от времени давления Р гР. ) = Р У (1.1.11) В случае рассмотрения какого-либо фрагмента кровеносной системы граничные вершины графа нуждаются в дополнительном описании.
Линеаризованная математическая модель гемодинамики на графе 1.2.1. Линеаризованная математическая модель ребра графа
Рассмотрим произвольное ребро графа с номером / . Предположим, что на этом ребре справедливы уравнения гемодинамики (1.1.1)-(1.1.3).
Получим уравнения, описывающие эволюцию малых отклонений давления и скорости от стационарных решений уравнений гемодинамики. Для этого вначале заметим, что любые не зависящие от времени постоянные вдоль ребра графа профили скорости и давления Ui (х(., /) = їїі = const, /Дх/5г) - p i = const, а, следовательно, в силу уравнения состояния (1.1.3) и площади поперечного сечения S{ = S i(p!)=? ,- = const, являются стационарным решением уравнений гемодинамики (1.1.1)-( 1.1.3). Далее представим давление, скорость и площадь поперечного сечения на / ребре графа в следующем виде: / ( ,-, 0 = Pi + Piix t), UfaJ) =щ +uxitt), S t) = ъ+ЪрАх О . (1.2.1) Здесь Pi = const, и І = const, 5. =Si{pi) — фиксированное стационарное решение уравнений гемодинамики на і ребре графа, причем pt выбирается таким образом, что Pt min РІ Pt max (см. (1.1.4)). Величина 0: = U _ характеризует изменение площади поперечного сече dPi ния і сосуда при изменении давления в нем и, таким образом, является характеристикой эластичности сосуда. Функции p x t), u x t) и их производные предполагаются малыми отклонениями от данного стационарного решения. Подставляя представление (1.2.1) в систему уравнений гемодинамики (1.1.1)-(1.1.3)и оставляя в ней только слагаемые линейные относительно р, и и І , получаем систему линейных по р{ и и,- дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами: Pit +uiPlXi+pcfulXi = 0, Р где c =vp0t Уравнения (1.2.2) представляют собой линеаризованные гемодинамиче-ские (ЛТД) уравнения.
Транспортные коэффициенты для вершины, моделирующей мышечную ткань или отдельный орган
Такие начальные данные не являются решением уравнений гемодинамики на рассматриваемом графе. Поэтому при расчете происходит перестройка течения, которое за 10-15 секунд выходит на стационарный режим. Так как расчеты проводились с кинематической вязкостью отличной от нуля, то значения параметров установившегося стационарного режима течения на каждом ребре зависят от пространственной координаты. Графики этих зависимостей имеют близкий к линейному вид. Параметры стационарных режимов течения для графа, изображенного на рис. 1.1.1, в случае выполнения в вершинах, моделирующих участки сопряжения сосудов, условия непрерывности давления или условия непрерывности интеграла Бернулли приведены в таблице 4.1.1 (см. 4.1).
Из данных, приведенных в таблице 4.1.1, следует, что для артериальной части большого круга кровообращения разница между значениями параметров установившихся стационарных течений, рассчитанных для случаев выполнения в вершинах графа, моделирующих участки сопряжения сосудов, условия непрерывности давления и условия непрерывности интеграла Бернулли, составляет в основном величину в 15-20% от среднего значения параметра.
При решении задачи о прохождении пульсовой волны через вершину графа было показано, что волны давления и скорости, проходя вершину, моделирующую участок сопряжения сосудов, претерпевают изменения своей амплитуды. При этом коэффициенты, связывающие амплитуды волны давления до и после момента прохождении ею вершины графа, имеют вид (1.5.5), (1.5.6), (1.5.10), (1.5.11). Предполагая, что в большом круге кровообращения человека установился стационарный режим течения, приведенный в таблице 4.1.1, для магистральных сосудов артериальной части был вычислен полный набор значений транспортных коэффициентов, который приведен в таблице 4.2.1 (см. 4.2).
Из данных, приведенных в таблице 4.2.1, следует, что более 60% транспортных коэффициентов, вычисленных при условии непрерывности интеграла Бернулли на границе сосудов, отличаются менее чем на 5% от соответствующих значений транспортных коэффициентов, вычисленных при условии непрерывности давления на границе сосудов (диаграмма 1.6.1). И только, порядка 2% транспортных коэффициентов, вычисленных для случаев непрерывности на границе сосудов давления и интеграла Бернулли, заметно отличаются (от 15% до 25%) друг от друга. Отметим, что как следует из диаграммы 1.6.1, картина процентного распределения транспортных коэффициентов практически не изменится, если не рассматривать транспортные коэффициенты с малыми по модулю значениями.
Диапазон отклонения — отличие (в %) в значении транспортного коэффициента, вычисленного при условии непрерывности интеграла Бернулли на границе сосудов, от соответствующего значения транспортного коэффициента, вычисленного при условии непрерывности давления на границе сосудов. Эта разность отнесена в процентах к значению транспортного коэффициента, вычисленного при условии непрерывности давления. На диаграмме 1.6.1 распределение представленное светлыми столбцами получено при использовании значений всех транспортных коэффициентов, а темные столбцы получены при использовании только транспортных коэффициентов имеющих значения большие по модулю 0.1.
Таким образом, можно сделать вывод, что транспортные коэффициенты мало чувствительны к условиям сопряжения в вершинах графа, моделирующих участки сопряжения сосудов (условие непрерывности давления или условие непрерывности интеграла Бернулли).
Пульсовая волна, генерируемая сердцем, проходя путь от восходящей части аорты (рис. 1.1.1, ребро 1) до периферийного сосуда, претерпевает изменение амплитуды, связанное с прохождением пульсовой волной участков сопряжения сосудов. Для определения количественного изменения амплитуды пульсовой волны при прохождении ею пути от сердца к заданному периферийному сосуду, необходимо на графе кровеносной системы выделить путь движения пульсовой волны и вычислить произведение всех коэффициентов прохождения волной давления вершин графа на этом пути.
В медицинской практике пульсацию давления принято регистрировать, как правило, на трех участках: а) на артериях ног (ребра 63, 65); б) на артериях рук (ребра 56, 57); в) на сонных артериях (ребра 29, 37). Рассмотрим подробнее маршруты движения пульсовой волны от восходящей части аорты (ребро 1) до указанных участков измерения давления. Маршрут движения пульсовой волны от восходящей части аорты (ребро 1) к левой бедренной артерии (ребро 63) приведен на рис. 1.7.1 толстой линией. Пульсовая волна, распространясь по этому маршруту, проходит следующие ребра (рис. 1.7.1):
Моделирование синдрома стенозирования нисходящей грудной аорты (коарктационного синдрома)
Здесь маркером "1" помечено точное решение задачи (2.1.1)-(2.1.4). Маркером "2" — численная реализация решения, полученная по алгоритму (1.4.2), (2.2.2) (она практически совпадает с точным решение). Маркером "3" -решение, полученное по алгоритму (1.4.2), (2.2.1) при шаге разностной сетки по времени равном т = 10" с. Шаг разностной сетки по пространственной переменной h — 0.1 см. Графики приведены на момент времени t = 0.015 с. При получении численных решений, использовалась интерполяция с помощью полиномов Лагранжа первой степени.
Рассмотрим граф, состоящий из п \ ребер и п+l вершины. Будем считать, что все ребра данного графа сходятся в одной вершине (в дальнейшем эту вершину будем называть центральной, а остальные вершины - граничными). Введем на каждом ребре свою систему координат так, что один конец ребра имеет координату xi - 0, а другой конец ребра имеет координату х1 = /., г = 1,...,п.
Пусть на каждом ребре графа выполнены уравнения гемодинамики и заданные начальные условия для функций давления и скорости: Здесь, величина х/; гр равна либо 0, либо lt и совпадает с значением координаты граничной точки і ребра, соединенного с текущей вершиной графа; параметр zi соответствует арифметическому знаку "+" если і ребро направлено к центральной вершине и знаку "-" если і ребро направлено от центральной вершины графа. Будем рассматривать два случая. В первом случае центральная вершина графа моделирует участок сопряжения сосудов. Тогда, если на границе сосудов выполняется условие непрерывности давления, то функции g( , і = \,.-,п из условия (2.3.4) определяются формулой (1.1.7), если же на границе сосудов выполняется условие непрерывности интеграла Бернулли, то gt определяются согласно (1.1.8). Во втором случае центральная вершина графа моделирует участок фильтрации крови через мышечную ткань или отдельный орган. В этом случае gi , / = 1,2 определяются формулой (1.1.9). В качестве Si(Pi),i = \,...,n использовались кусочно-линейные функции, представленные на рисунке 1.1.2.
Функция (Рі{хх), определяемая (2.3.5), является непрерывной функцией. Ее график приведен на рисунке 2.3.1. У\ Уг Рис. 2.3.1 Начальное возмущение стационарного значения скорости задавалось по следующим формулам: ,i = \,...,n. (2.3.6) WiM = zr PCl
Задача (2.3.1)-(2.3.4) решалась численно, используя комплекс программ CVSS [4]. Рассчитанные функции P x t) и U x t) сравнивались с функциями Pi + Pi(xi,t) и й{: 4- и і (х(., t), где Pi(Xj,t) и м,(х.,ґ) являются аналитическим решением задачи (2.1.1)-(2.1.4). На рисунках 2.3.2-2.3.15 пунктирной линией отмечено численное решение задачи (2.3.1)-(2.3.4), а сплошной линией - аналитическое решение задачи (2.1.1)-(2.1.4). Расчеты проводились до момента времени t = 0.015 с. 2.3.2. Результаты сравнения на графе, состоящем из двух ребер Во всех расчетах, описанных в данном пункте, полагалось, что /j = 12 =10 см, ух - 5 см, у2 =7.5 см. Значения параметров стационарного решения рл, щ, варьировались, а параметры р2, й2 определялись из системы уравнений (2.3.3), (2.3.4) при условии, что f\(xh гр,і) = ри Ux (х, гр,ї) - щ . а) центральная вершина графа моделирует участок сопряжения сосудов
Значения параметров стационарного решения на первом ребре полагались равными: рх =100мм.рт.ст, щ =30см/с. Амплитуда Л начального возмущения стационарного значения давления на первом ребре (см. (2.3.5)) полагалась равной 1 мм.рт.ст. В этом случае в независимости от того выполняется на границе сосудов условие непрерывности давления ((2.3.4), (1.1.7)), либо условие непрерывности интеграла Бернулли ((2.3.4), (1.1.8)), комплекс программ CVSS обеспечивает достаточно точное воспроизведение аналитического решения численным (рис. 2.3.2, 2.3.3). Заметим, что в случае идентичности первого и второго ребер графа, волны возмущений стационарного значения давления и скорости проходят центральную вершину графа не изменяя своих форм и амплитуд, при этом отраженной волны не возникает (рис. 2.3.4), что согласуется с результатами, полученными в 1.5.
Результаты моделирования влияния стенозирующего и деформирующего вариантов поражения аорты на величину пульсации давления в левой бедренной артерии
В работе, при моделировании синдромов неспецифического аортоарте-риита предполагалось, что пораженный сегмент сосуда равномерно сужен на всем протяжении участка поражения. Величина эластичности пораженного сегмента сосуда (0 ) предполагалась постоянной вдоль участка поражения. Также считалось, что степень изменения эластичности пораженного сегмента сосуда, т.е. отношение щ , где 0 — текущая эластичность пораженного сегмента сосуда, а 0Н - эластичность того же сегмента в норме, одинаковая у всех пораженных аортоартериитом сосудов. Значение величины стенозирова-ния просвета пораженного аортоартериитом сегмента сосуда полагалось одинаковым для всех пораженных сегментов сосудов.
Математическое моделирование неспецифического аортоартериита включало в себя следующие этапы.
В соответствии с клинической картиной заболевания, задавались поражения конкретного вида, соответствующие различным синдромам неспецифического аортоартериита. Далее, с помощью программного комплекса CVSS [4], рассчитывался установившийся стационарный режим течения в пораженном аортоартериитом большом круге кровообращения. Затем по формулам (1.5.5)-(1.5.6) вычислялись транспортные коэффициенты, позволяющие спрогнозировать распространение пульсовой волны по пораженной неспецифическим аортоартериитом системе сосудов и сравнить полученные результаты с клиническими данными. Такой подход позволяет сопоставить количественные данные и симптоматику заболевания. Это делает возможным в дальнейшем по клиническим симптомам заболевания судить о характере и степени поражения сосудов.
Моделировались такие синдромы неспецифического аортоартериита как: 100 синдром стенозирования нисходящей грудной аорты (или коарктационный синдром), синдром поражения бифуркации аорты и синдром поражения ветвей дуги аорты. Из анатомических вариантов поражения аорты рассматривались два наиболее часто встречаемых на практике - стенозирующий и деформирующий.
Напомним, что при моделировании использовался граф большого круга кровообращения, представленный на рисунке 1.1.1. Параметры ребер данного графа взяты в соответствии с работой [10]. На границе сосудов предполагалось выполненным условие непрерывности давления.
При синдроме стенозирования нисходящей грудной аорты происходит поражение нисходящей грудной аорты (ребро 28) вплоть до уровня диафрагмы (ребро 2), а также устьев и проксимальных сегментов артерий, отходящих от пораженной аорты (ребра 2, 66) [34]. На графе большого круга кровообращения, представленного на рисунке 1.1.1, это соответствует поражению сосудов, соответствующих ребрам графа с номерами 2, 25, 27, 28, 66. Возможно также поражение проксимального сегмента брюшной аорты (ребра 9, 10) с ее ветвями (ребра 11,61).
Математическое моделирование коарктационного синдрома представлено результатами двух серий расчетов. В первой серии расчетов моделировалась ситуация, когда аортоартериит поражает аорту на всей ее протяженности дис-тальнее ответвления позвоночных артерий (ребра 49, 50) вплоть до уровня диафрагмы (ребро 2). Артерии, отходящие от пораженной аорты, также полагались пораженными аортоартериитом (ребра 2, 66). На рисунке 3.3.1 ребра, соответствующие пораженным сосудам, выделены толстой линией (ребра 2, 25, 27, 28, 66). В этой серии расчетов отдельно моделировалась ситуация, когда в поражение аортоартериитом вовлекается и проксимальный сегмент брюшной аорты (ребра 9, 10) с ее ветвями (ребра 11, 61).
104 1 Рис. 3.3.1 Во второй серии расчетов моделировалась ситуация, когда поражение
аортоартериитом носит сегментарный характер, причем границы поражения аорты четко выражены. Сегменты ребер, соответствующие пораженным сегментам сосудов, представлены на рисунке 3.3.2 толстой линией (ребра 2, 25, 27, 28, 66). , 98 jl ЕЮ 81 12 17 - 54 э5
В каждой серии расчетов рассматривались два анатомических варианта поражения аорты - стенозирующий и деформирующий. При стенозирующем варианте поражения в первой серии расчетов предполагались сужеными все пораженные аортоартериитом сосуды, а во второй серии расчетов - все пораженные аортоартериитом сегменты сосудов. При деформирующем варианте поражения предполагались сужеными только артерии, отходящие от пораженных отделов аорты. Расчеты проводились с целью выяснения влияния степени стенозирования и изменения эластичности пораженных сосудов на величину пульсации давления в левой бедренной артерии (ребро 63).
На рисунке 3.3.3 по оси аппликат, а на рисунках 3.3.4-3.3.15 по оси ординат откладывается отношение в процентах отклонения величины пульсации давления (амплитуды пульсовой волны) в левой бедренной артерии (ребро 63) при коарктационном синдроме ( бз) от величины пульсации давления в левой бедренной артерии в норме (Л63 н ) к величине пульсации давления в А — А А — 63 " 1 НПО/ левой бедренной артерии в норме ( А6І н ), т.е. А 1UU
