Введение к работе
Актуальность темы Задачи фильтрационной конвекции представляют большой интерес благодаря многочисленным приложениям в геофизике, космической технологии, энергетике и др. В зависимости от свойств жидкости и условий (внешних полей, источников тепла, концентраций примесей) возможны различные сценарии возникновения конвективных режимов. На характер формирующихся движений и последовательности переходов от одних режимов к другим существенно влияют пористость среды и многокомпонентность насыщающей ее жидкости.
В задачах фильтрационной конвекции обнаружена неединственность решений, приводящая к образованию однопараметрических семейств стационарных решений после потери устойчивости состоянием механического равновесия. Это явление было объяснено В.И. Юдовичем с помощью развитой им теории косимметрии. Исследование нелинейных задач с семействами режимов, чей спектр устойчивости меняется вдоль семейства, представляет большой интерес из-за нетривиальности возможных бифуркационных переходов. Системы с подобными свойствами возникают также при моделировании динамики популяций на основе нелинейных уравнений параболического типа.
Исследование режимов косимметричных систем фильтрационной конвекции требует развития вычислительных средств, разработки специальных численных методов и программного обеспечения для проведения компьютерных экспериментов. При решении задач математической физики важно использовать численные методы, которые приводят к аппроксимациям, сохраняющим основные свойства исходных уравнений. Для расчета конвективных движений на основе уравнений в естественных переменных эффективны дискретизации метода конечных разностей, использующие введение смещенных сеток и специальные аппроксимации конвективных членов.
Обнаруженное в задачах фильтрационной конвекции ответвление семейств стационарных режимов накладывает особые требование на алгоритмы расчета стационарных режимов. Необходимо сохранять свойство косимметрии исходных уравнений в частных производных в их конечномерных аппроксимациях. Из-за вырожденности векторных полей, получаемых в результате дискретизации рассматриваемых задач, необходима разработка специальных методов для расчета семейств и продолжения их по параметрам задачи.
Инструменты численного анализа могут быть применены к задачам популяционной динамики, где также обнаружены системы, обладающие свойством косимметрии.
Цель и задачи исследования Целью работы является разработка численных методов исследования фильтрационной конвекции многокомпонентной жидкости, изучение сценариев развития конвективных движений теплопроводной жидкости в пористой среде, численный анализ эффектов сильной неединственности решений для ряда двумерных и трехмерных задач фильтрационной конвекции и динамики популяций.
Основные усилия сосредоточены на исследовании конвективных движений многокомпонентной жидкости в пористой среде: анализу возникновения и развития непрерывных семейств стационарных конвективных движений для различных областей, изучению разрушения семейств стационарных решений и селекции режимов, рассмотрению ряда интересных двумерных и трехмерных задач.
Методология исследования Методы математического моделирования представляют в настоящее время важнейший инструмент изучения конвективных движений. Основное внимание уделяется развитию и совершенствованию численных методов решения задач массопереноса для многокомпонентных сплошных сред. В работе развиты специальные варианты метода конечных разностей для уравнений конвекции в естественных переменных (скорость, давление, температура), применяются аппроксимации на основе метода смещенных сеток для решения различных двумерных и трехмерных задач конвекции многокомпонентной жидкости в пористой среде. Для уравнений, записанных относительно функции тока, температуры и концентраций примесей, развиты метод конечных разностей и спектрально-разностный метод. Разработаны численные методы вычисления однопараметрических семейств стационарных режимов, продолжения их по параметру, анализа устойчивости и бифуркаций. Разработан комплекс программ для расчета нестационарных режимов и семейств стационарных решений в задачах фильтрационной конвекции одно- и многокомпонентной жидкости, исследования развития структур конвективных течений.
Научная новизна положений, выносимых на защиту В диссертации развито новое научное направление - моделирование конвективных движений и процессов переноса в многокомпонентных жидкостях. Построены аппроксимации математических моделей движения многокомпонентных сред, наследующие свойства исходных систем уравнений. Развиты и усовершенствованы методы решения нелинейных систем уравнений, обладающих свойством косимметрии и в которых имеются непрерывные семейства стационарных решений. Изучен ряд новых специфических косимметричных эффектов: столкновение семейств стационарных движений, свойство памяти системы при нарушении ко-
симметрии (сохранение информации о исчезнувшем семействе стационарных движений), селекция или выделение предпочтительных состояний в случае сильной неединственности решений. Результаты вычислительных экспериментов обоснованы использованием различных методов дискретизации и проведением расчетов на основе принципиально различных численных методик, а также подтверждены сопоставлением с данными, имеющимися в литературе.
Практическая значимость. Полученные результаты имеют широкую область применения для моделирования и прогнозирования важных природных конвективных течений, для анализа геофизических явлений и процессов, при разработке технических устройств теплоизоляции и энергетики. Разработанные методы исследования позволяют изучать процессы, протекающие в стратифицированных многокомпонентных сплошных средах с учетом конвекции насыщающих ее жидкостей и газов. Развитые подходы к решению задач могут использоваться для анализа систем нелинейных уравнений.
Апробация работы, публикации Основные результаты диссертации докладывалось на следующих конференциях: 2-ая международная конференция по численным методам в механике сплошной среды, Прага, Чехия, 1997, IV Международная конференция «Средства математического моделирования», Санкт-Петербург, 1997, 2003; семинар NATO Advanced Study Institute «Error Control and Adaptivity in Scientific Computing», Анталия, Турция, 1998, EquaDifr'99, Берлин, Германия, 1999, 8-ая Всероссийская школа-семинар,«Современные проблемы математического моделирования», Абрау-Дюрсо, 1999, конгресс «Complexity and Chaos», Турин, Италия, 1999; 6, 10-14 международные конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов-на-Дону, 1999, 2006-2010, семинар «Симметрия и косимметрия в динамических системах», Азов, 2000; IX Всероссийская конференция «Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности», п. Дюрсо, Но-воросийск, 2000; «Collatz'2000 colloquium», Гамбург, Германия, 2000; 4, 7, 10 и 11 конференциях «Компьютерная алгебра и научные вычисления» («Computer Algebra and Scientific Computing»), (Констанц, Германия, 2001, Санкт-Петербург, 2004, Бонн, Германия, 2007, Кобе, Япония, 2009); 7 Всероссийский конгресс по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); II международная конференция «Применение симметрии и косимметрии в теории бифуркаций и фазовых переходов», Сочи, 2001; IX Всероссийская конференция «Современные проблемы математического моделирования», п. Дюрсо, Новороссийск, 2001, 2005; международная конференция «Структуры и потоки в жидкостях», Санкт-
Петербург, 2003; V European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications, Прага, Чехия, 2003; XV и XVI международные Крымские осенние школы, Симферополь, Украина, 2004, 2005; семинаре «Комплесные движения жидкости», Хамлебаек, Дания, 2004; конференция «Differential Equations: From Theory to Computational Science and Engineering», Цюрих, 2005; III Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» п. Дюрсо, Новороссийск, 2006; международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике ICIAM-07, Цюрих, 2007; IV Всероссийской научной конференции "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB" 2009.
Результаты докладывались на семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики Ростовского государственного университета (ЮФУ), семинаре кафедры математического моделирования Южного федерального университета, заседании Ростовского математического общества, семинаре кафедры высшей математики Таганрогского технологического института ЮФУ, семинаре института математики Ростокского университета (Германия), семинарах департамента математики и института прикладной математики Средне-Восточного технического университета и семинаре департамента математики университета Атылым (Анкара, Турция).
Связанная с диссертацией тематика была поддержана программой «Интеграция», грантами Санкт-Петербургского конкурсного центра в 1992-1994 гг. и 1994-1995 гг., грантами РФФИ 93-01-17337-а, 96-01-01791-а, 99-01-01023-а, 02-01-00337-а, 01-01-22002-НЦНИ-а, 05-01-00567-а в 1993-2007 гг. («Математическая теория конвекции жидкости» ) и 04-01-96815-р2004юг в 2004-2005 гг. («Математическое моделирование фильтрационной конвекции: бифуркации, переходы, хаотические движения»), программой «Российские университеты - фундаментальные исследования», (проекты 4087, 04.01.063, 04.01.035, «Динамические системы с косимметрией» ), грантами Президента РФ на поддержку ведущих научных школ. «Математическая теория движения жидкости - разрешимость и единственность, аналитическая динамика, конвекция, устойчивость, асимптотические методы, бифуркации» (№ НШ-1768.2003.1 и № НШ-5747.2006.1 ), целевой программой Министерства образования и науки «Развитие научного потенциала высшей школы» (р.н. 2.1.1/6095).
Объем диссертации — 297 страниц, включая фигуры, таблицы и список литературы из 236 наименований. По результатам диссертации автором опубликовано 58 работ. Основные результаты диссертации содержатся в работах [1-19, 28, 55]
