Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Постановка задачи о закрученном течении тяжелой вязкой жидкости в принудительно индуцированной вихревой воронке 13
1.1. Уравнения в цилиндрической системе координат для осесимметричного течения жидкости в однородном поле тяжести 13
1.2. Краевые условия 15
1.3. Безразмерные уравнения и параметры подобия 18
1.4. Анализ структуры течения в окрестности точки пересечения свободной поверхности с осью вращения 20
1.5. Приближенное решение для течения в области мениска вынужденного вихря 23
1.6. Формулировка задачи в естественных координатах 27
Естественные координаты 27
Уравнения для осесимметричного течения жидкости в однородном поле тяжести в естественной системе координат 29
Краевые условия 31
ГЛАВА 2. Упрощенная модель течения вязкой жидкости в крупномасштабной вихревой воронке 34
2.1. Уравнения и краевые условия в цилиндрической системе координат 34
2.2. Структура течения в окрестности точки пересечения свободной поверхности с осью вращения 36
2.3. Формулировка упрощенной модели с использованием естественных координат 37
Основные уравнения 37
Краевые условия 39
2.4. Локальное автомодельное решение, описывающее течение в окрестности
точки торможения осесимметричного потока невязкой жидкости 40
ГЛАВА 3. Вычислительные методики 44
3.1. Постановки задачи расчета течения жидкости в принудительно индуцированной вихревой воронке с использованием естественных координат 44
Первая постановка (упрощенная модель течения) 44
Вторая постановка ("точная" модель - полные уравнения Навье-Стокса) 46
3.2. Расчетная сетка и разностные схемы 47
3.3. Итерационная процедура 52
ГЛАВА 4. Обоснование возможности применения упрощенной модели для расчета течения жидкости в принудительно индуцированной крупномасштабной вихревой воронке 54
4.1. Выводы из результатов качественного анализа 54
4.2. Расчет закрученного течения жидкости в осесимметричном канале с радиальной подачей газа в точной и упрощенной постановках 56
ГЛАВА 5. Расчет принудительно индуцированных вихревых воронок в экспериментальной установке 68
5.1. Физическая постановка задачи 68
5.2. Примеры расчетов принудительно индуцированных вихревых воронок 71
Заключение 84
Список литературы 87
- Анализ структуры течения в окрестности точки пересечения свободной поверхности с осью вращения
- Уравнения и краевые условия в цилиндрической системе координат
- Расчетная сетка и разностные схемы
- Расчет закрученного течения жидкости в осесимметричном канале с радиальной подачей газа в точной и упрощенной постановках
Введение к работе
Физические предпосылки
В диссертационной работе рассматриваются вихревые воронки, образующиеся, например, при вытекании слоя жидкости через донное отверстие. Теория таких движений в настоящее время развита слабо, хотя этим явлением интересовался еще Леонардо да Винчи, а затем Торричелли и Вентури. Опыт и теоретические соображения показывают, что возможны три разновидности таких стационарных воронок (три типа стационарных вращательных движений жидкости со свободной поверхностью в поле сил тяжести; см. рис.0.1)1. а , 6 в N ср ^ ср - ср /
Рис.0.1
Воронки первого типа (рис.0.1а) характеризуются наличием воздушного ядра бесконечной глубины. Такое вращательное движение в [2] названо "свободным вихрем". Во втором случае (согласно терминологии [2] это так называемый "вынужденный вихрь"; рис.0.16) свободная
При анализе литературных данных мы следуем, в основном, работе [1]. поверхность простирается вплоть до оси вращения, образуя "мениск". Такой случай можно наблюдать, например, при вращении сосуда с жидкостью. Наконец, в ряде случаев воздушное ядро на довольно значительной глубине все же замыкается, и течение представляет собой как бы совокупность свободного и вынужденного вихрей ("сложный вихрь " в терминологии [2]; рис.0.1в). Наблюдения показывают [3], что при некоторых условиях (как правило, при незначительной закрутке потока) центральная часть сложного вихря может обособляться от основного потока и практически не участвовать в общем движении жидкости.
Существующие теории вихревых воронок являются полуэмпирическими и отражают лишь отдельные стороны изучаемого движения. Наиболее просто может быть описан стационарный свободный вихрь. Основные черты этого явления в первом приближении могут быть рассмотрены в рамках уравнений движения невязкой несжимаемой жидкости (см., например, [4]), из которых следует сохранение вдоль линий тока течения циркуляции скорости Y=wr, где w - окружная компонента вектора скорости, а г - расстояние от оси вращения. Правда, сама величина Г при таком описании, также как и полный расход Q жидкости, вытекающей через отверстие, являются, вообще говоря, неизвестными константами. Практика показывает, что для каждой конкретной воронки подобного типа, образующейся при вытекании жидкости через донное отверстие, устанавливаются вполне определенные, неизвестные заранее значения параметров Г и Q. Поэтому подобные течения могут быть названы "самоиндуцированными вихревыми воронками".
Не содержащая эмпирических предположений теория самоиндуцированных воронок еще не создана. Однако значения констант Г и Q становятся известными в частном случае принудительной закрутки потока, когда на некотором расстоянии от отверстия устанавливаются специальные лопатки и дополнительно контролируется расход жидкости, проходящий через этот направляющий аппарат. Такие движения можно назвать "принудительно индуцированными вихревыми воронками".
Как уже отмечалось, при отсутствии принудительной закрутки значения циркуляции и расхода (или связь между этими величинами), при моделировании, должны задаваться из некоторых дополнительных соображений. Отметим в этой связи теоретическую схему [5] самоиндуцированных вихревых воронок, в которой в качестве главной гипотезы используется предположение о том, что частицы жидкости в вихревой воронке вовлекаются в винтовое движение, при котором rotv = kv, где v - вектор скорости, a k - некоторая эмпирическая постоянная. В [6] приводится пример расчета по этой схеме круглого циркуляционного отстойника непрерывного действия.
Отметим также, что в рамках модели невязкого газа нельзя описывать течения типа вынужденного вихря при отличной от нуля циркуляции на свободной поверхности, поскольку в этом случае закон сохранения циркуляции приводит к бесконечно большим окружным скоростям на оси симметрии. Существует ряд полуэмпирических схем описания воронкообразования в жидкости со свободной поверхностью (см., например, [3, 7]), которые тем или иным приближенным способом учитывают эффекты вязкой диссипации и тем самым снимают вопрос о бесконечно большой окружной скорости на оси вращения. Однако замкнутого (т.е. не использующего эмпирические соображения) теоретического описания воронки типа вынужденного вихря в настоящее время также не существует.
Сейчас имеется довольно много экспериментального материала по течениям в вихревых воронках (укажем обзор в [1], а также работу [8], в которой построена аппроксимационная зависимость для вращательной скорости в вихревой воронке). Согласно различным наблюдениям течение в вихревых воронках часто является неустойчивым (пульсирующим). Важно отметить, что устойчивость вихревой воронки в определенной степени связана с величиной закрутки потока. Опыты показывают, что неустойчивое течение жидкости наблюдается в основном при слабой закрутке потока. Чем сильнее вращение жидкости, тем оно устойчивее (за исключением явления "резонанса", которое может наблюдаться и при значительной закрутке потока [1]).
Подводя итог, можно согласиться с выводом, сделанным в [1], что "... существующие теоретические модели движения жидкости при наличии вихревой воронки обладают рядом недостатков и часто не соответствуют реальной картине течения или отдельным ее аспектам ".
Несмотря на отсутствие строгой теоретической модели явления, вихревые воронки широко используются в различных технических устройствах. Например, эффект вихревой воронки используется в некоторых типах форсунок для тонкого распыления различных жидкостей. Известны также использующие принцип вихревой воронки технические решения для создания устройства типа обратного клапана, преграждающего путь аварийному (обратному) току жидкости в трубопроводе. Устройства подобного типа содержат вихревую камеру, в которой при обратном токе жидкости возникает интенсивная вихревая воронка. Воздушное ядро воронки, занимая значительную часть проходного сечения вихревой камеры, значительно снижает пропускаемый ею объем жидкости. Аналогичный эффект - эффект возникновения вихревой воронки во впускных или выпускных трубопроводах гидродинамических устройств - может оказывать крайне негативное влияние на их функционирование. Например, засасывая воздух, воронка снижает к.п.д. гидротурбины и создает кавитацию, которая может в короткий срок разрушить эту турбину.
Интерес к расчету вихревых воронок типа вынужденного вихря в последнее время повысился в связи с проблемой создания жидкометаллических мишеней для управляемых протонным пучком источников нейтронов. Последние могут использоваться в ядерных реакторах нового поколения и в перспективных устройствах для трансмутации (преобразования) радиоактивных отходов ядерной энергетики (см., например, работу [9] и приводимые в ней ссылки). В этих устройствах протонный пучок, транспортируемый в ионопроводе, должен вводиться в движущееся вещество мишени через устойчивую свободную поверхность. Именно проблема синтеза гидродинамической конфигурации, обеспечивающей решение проблемы создания работоспособной жидкометаллической мишени, стимулировала результаты исследований, приводимых в данной работе.
Основное содержание работы
Настоящая работа посвящена созданию не использующей эмпирические предположения методики численного моделирования осесимметричного закрученного течения тяжелой несжимаемой вязкой жидкости в принудительно индуцированной стационарной вихревой воронке. Проблема, связанная с определением величин расхода и степени закрутки потока в самоиндуцированных воронках, не рассматривается. Разработанная методика применяется для расчета течения в экспериментальной модели проточной части жидкометаллической мишени для управляемого протонным пучком источника нейтронов.
Основным методологическим подходом, применяемым в работе, является использование специальных независимых переменных "функция тока - ортогональное дополнение" (\у, ф), называемых в некоторых публикациях "естественными координатами". Преимущество использования этих переменных для решения рассматриваемого круга двумерных задач заключается, во-первых, в том, что на плоскости (ф, ф) свободная поверхность отображается в отрезок прямой линии \\i=const, а вся расчетная область обычно представляет собой прямоугольник (в случае изучения течения в односвязной области). Во-вторых, при использовании естественных координат удобным оказывается решать обратные задачи (задачи конструирования), когда какое-либо свойство течения постулируется, а реализующее это свойство условия (например, параметры потока во входном сечении или форма стенок, ограничивающих течение) определяются в процессе решения задачи.
В настоящее время имеется довольно много работ, посвященных решению разнообразных задач газо-гидродинамики с использованием естественных координат. Отметим, например, работы [10,11], в которых рассматривались двумерные дозвуковые течения идеального газа в каналах, в том числе и с закруткой потока. В [12,13] решались задачи профилированиия дозвуковой части сопла Лаваля как для идеального газа, так и для высокотемпературной среды, когда существенным становится перенос энергии излучением. В работе [14] естественные координаты применялись для совместного конструирования дозвуковой и сверхзвуковой частей короткого плоского сопла, обеспечивающего равномерный поток в выходном сечении. Задача внешнего обтекания -конструирование плоской решетки профилей в проточных частях турбомашин - с использованием координат (\\j, ср) решалась, например, в [15]. В серии работ [16-19] рассматриваемый подход был обобщен для случая расчета сверхзвуковых внутренних течений вязкого газа в плоских каналах с сильно меняющейся геометрией и тепловыделением. В рамках параболизованных (см., например, [20]) вдоль линий тока уравнений Навье-Стокса исследовались как прямые ([16,17]), так и обратные ([18,19]) задачи, в которых задавалось давление газа вдоль стенки канала, а форма этой стенки определялась в процессе расчета. Наконец, отметим наиболее близкую к настоящей диссертационной работе публикацию [21], в которой с использованием естественных координат в несжимаемой жидкости рассматривались движения типа принудительно индуцированных вихревых воронок. Однако жидкость в этой работе предполагалась невязкой, и расчеты ограничивались либо случаем свободного вихря, либо путем решения обратной задачи конструировалось течение в канале с центральным телом, на котором отсутствуют точки торможения потока.
В настоящей работе рассматривается наиболее общий случай течения жидкости, при котором еще могут быть использованы естественные переменные - стационарное закрученное течение тяжелой вязкой жидкости со свободной поверхностью и возможной точкой торможения на оси вращения, описываемое в рамках полных уравнений Навье-Стокса. Для повышения эффективности вычислительной методики при больших числах Рейнольдса потока предлагается упрощенная математическая модель, в уравнениях которой в тензоре вязких напряжений пренебрегается всеми компонентами, кроме окружных . Возможность применения этой модели обосновывается двумя способами: с помощью аналитических исследований асимптотической структуры решений, описывающих течение жидкости в окрестности пересечения свободной поверхности вынужденного вихря с осью вращения потока (т.е. там, где эффекты вязкости играют существенную роль), и сравнением численных решений о закрученных течениях жидкости в осесимметричном канале в полной и упрощенной постановках.
Структура работы
В ГЛАВЕ 1 работы формулируются уравнения и краевые условия, описывающие осесимметричное стационарное закрученное течение тяжелой вязкой жидкости в принудительно индуцированной вихревой воронке. Для течений типа вынужденного вихря проводится асимптотический анализ структуры потока в окрестности точки пересечения свободной поверхности с осью вращения и находится
2 Идеологически правомочность упрощенной модели обосновывается так же, как возможность использования параболизованных уравнений Навье-Стокса для расчета течений вязкого газа при больших числах Рейнольдса (см., например, [20]). приближенное решение для течения в области мениска воронки, которое затем сравнивается с известным решением Стокса, справедливым для течения жидкости в окрестности точки торможения на затупленном теле. В заключение рассматриваемая задача о течении вязкой жидкости в принудительно индуцируемой воронке формулируется с использованием естественных координат (\\і, ф) "функция тока - ортогональное дополнение".
В ГЛАВЕ 2 формулируются уравнения и краевые условия для упрощенной модели изучаемого течения как в исходной цилиндрической системе координат, так и при использовании естественных координат (ці, ф). Затем изучается асимптотическая структура решения упрощенных уравнений в окрестности мениска вынужденного вихря. В конце главы находится автомодельное решение, справедливое при упрощенной постановке в окрестности точки торможения потока, находящейся на пересечении свободной поверхности и оси вращения (это решение в следующем разделе работы будет использовано для конструирования вычислительного алгоритма расчета течения в вынужденном вихре).
Анализ структуры течения в окрестности точки пересечения свободной поверхности с осью вращения
На жестких стенках в рамках модели вязкого потока должны быть поставлены условия прилипания, означающие обращение в ноль меридиональных компонент и и v скорости потока и циркуляции Г (или окружной компоненты скорости w).
На оси симметрии потока (при г=0) вне точек торможения, которые должны быть подвергнуты специальному рассмотрению, обращается в ноль радиальная компонента скорости и и радиальная производная dv/dr от аксиальной компоненты v скорости потока. Окружная компонента скорости w, а с ней и циркуляция Г также должны стремится к нулю при г— 0.
Условия во входных и выходных сечениях, через которые жидкость втекает в исследуемую область или вытекает из нее, обычно имеют модельный характер. Одна из возможных постановок краевых условий во входном сечении, отвечающая задаче расчета течения в принудительно индуцированной вихревой воронке, состоит в задании на этой поверхности распределений меридиональных компонент скорости и и v, а также циркуляции Г. Если в окрестности выходного сечения поток ограничен жесткими стенками, образующими достаточно протяженный расположенный вертикально цилиндрический выходной канал (см. рис. 1.2), то при проведении расчетов в этом сечении могут быть поставлены условия "одномерного потока" и=0, dv/dz = О, Г=0, др/dz = pg. Эти условия физически оправданы, если длина выходного канала настолько велика, что силы вязкого трения успевают "погасить" вращательное движение жидкости. При коротких выходных патрубках можно использовать "мягкие" модельные условия: w=0, dv/dz = 0, dY/dz = 0 и др/дг = рГ2/г3. Последнее соотношение представляет собой так называемое "условие радиального равновесия", означающее, что центробежные силы уравновешиваются градиентом давления.
Рассмотрим осесимметричное закрученное движение тяжелой вязкой жидкости в поле сил тяжести в области с характерным размером f при заданном давлении ра на свободной поверхности (см. рис. 1.2). Отнесем независимые переменные г и z к масштабу /. Нормируем радиальную и осевую компоненты скорости и и v на характерное значение Vі проекции вектора скорости на меридиональную плоскость (г, z). За характерное значение Г циркуляции примем значение Г =w г этой величины на границе рассматриваемой области (w - характерное значение окружной скорости). Отнесем зависимые и независимые переменные к перечисленным выше масштабам, а давление отнесем к некоторому неизвестному пока масштабу р . Тогда можно получить следующую систему уравнений в безразмерных переменных, которые далее обозначаются так же, как соответствующие размерные величины:
Следует заметить, что давление в рассматриваемой задаче определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Именно поэтому масштаб давления р не равен давлению ра над свободной поверхностью и априори неизвестен.
В дальнейшем нас будет интересовать случай, когда характерный линейный размер изучаемой области течения / достаточно велик и, соответственно, очень велико число Рейнольдса изучаемого течения, построенное с помощью этого "глобального" масштаба длины. В этом случае практически во всей области (за исключением узких пограничных слоев около твердых поверхностей, если таковые имеются) течение можно рассматривать как невязкое. Однако если область течения простирается вплоть до оси вращения закрученного потока, то в малой (по сравнению с "глобальным" масштабом длины) области около оси вращения вязкие члены полностью отброшены быть не могут. В противном случае из последнего уравнения системы (1.5) следует постоянство Г во всей области течения, т.е. обращение в бесконечность окружной скорости w потока на оси симметрии г=0.
Отметим в заключение, что в пределе Re=cc из уравнения (1.54)3 следует закон сохранения циркуляции Г вдоль проекций линий тока на меридиональную плоскость (r,z):
Рассмотрим течение типа вынужденного вихря, когда на пересечении оси вращения и свободной поверхности образуется изолированная точка торможения потока (точка 0 на рис. 1.2). Исследуем течение в малой окрестности этой точки торможения. Линейный размер изучаемой области по-прежнему будем обозначать через г .
Уравнения и краевые условия в цилиндрической системе координат
Рассмотрим далее течение в крупномасштабной вихревой воронке, для которой число Рейнольдса Re, построенное с использованием "глобального" линейного размера изучаемой области течения, достаточно велико. Для описания такого течения применим упрощенную модель, в которой в уравнениях движения жидкости пренебрежем всеми компонентами тензора вязких напряжений, кроме окружных. В этом случае безразмерные уравнения движения будут иметь форму (1.5), но с F;=0 и 2=0:
На стенках и свободных поверхностях для компонент и и v вектора скорости должно быть поставлено условие непротекания, т.е. в меридиональной плоскости скорость потока должна быть параллельна этим поверхностям. На свободной поверхности дополнительно задается давление. На оси симметрии радиальная скорость должна обращается в ноль: и=0. Во входном сечении рассматриваемой области в случае исследования течения в принудительно индуцированной вихревой воронке в меридиональной плоскости должны быть заданы компоненты скорости Если в окрестности выходного сечения поток ограничен жесткими стенками, образующими достаточно протяженный расположенный вертикально цилиндрический выходной канал (см. рис. 1.2), то в выходном сечении может быть задано условие радиального равновесия Еидр/дг = SwF2/г3, являющееся следствием предположения о равенстве радиального градиента давления и центробежных сил. Краевые условия для уравнения (2.14) могут ставиться следующим образом. Для циркуляции Г на свободной поверхности должно задаваться условие (1.42). На твердых стенках, вообще говоря, должно ставиться условие прилипания: Г=0. Однако, если "глобальное" число Рейнольдса достаточно велико, а стенка расположена вдалеке от оси вращения потока, то на ней может быть поставлено условие скольжения в форме сохранения циркуляции вдоль такой стенки. На оси симметрии циркуляция обращается в ноль Г=0. При исследовании принудительно индуцированных вихревых воронок распределение циркуляции Г во входном сечении должно быть задано. В рассматриваемом случае, когда "глобальное" і?е 1, практически во всей области течения в первом приближении решения полных уравнений Навье-Стокса и упрощенных уравнений должны совпадать. Отличия могут иметь место лишь в пограничных слоях, расположенных вдоль границ течения, и вблизи оси вращения. Предположим опять, что свободная поверхность пересекается с осью вращения, так что в точке пересечения скорость потока обращается в ноль (точка 0 на рис. 1.2). Изучим возможный вид решения упрощенных уравнений в малой окрестности этой точки при условиях, уже рассмотренных в п. 1.4 для полных уравнений Навье-Стокса (напомним, что масштаб окрестности определяет "локальное" Re«\). Именно, рассмотрим в случае сильной закрутки потока асимптотический предел Eu=\/Re, Fr=Re, e=\/Sw=Re«\ и разложения (1.7). (Заметим, что при этом асимптотические масштабы определяются формулами (1.6), т.е. являются такими же, как в случае "точного" описания течения). Тогда имеем (индекс "о"., как и ранее, у членов первого приближения опущен):
Расчетная сетка и разностные схемы
Приведем здесь примеры расчетов закрученного течения в осесимметричном канале с радиальной подачей тяжелой несжимаемой жидкости, форма которого показана на рис.4.1 (этот и следующие рисунки помещены в конце настоящего раздела). Линия г=0 представляет собой ось симметрии, границы as и s d - твердые стенки, которые являются дугами окружностей, bs - часть оси симметрии, ad и be - входное и выходное сечения канала. Расчеты выполнены с использованием второй постановки задачи (см. Главу 3 настоящей работы) как для случая упрощенной модели, так и при использовании полных уравнений Навье-Стокса. На входе в канал задаются скорость V0 и угол закрутки потока а0, не меняющиеся по входному сечению.
На рис. 4.2 - 4.6 приведены результаты серии расчетов, выполненных при одинаковых углах закрутки а0=20 и разных числах Рейнольдса Re=V0r0/v (за характерный линейный размер принят радиус г0 выходного сечения канала). Расчеты, выполненные на основе полных уравнений Навье-Стокса, охватывают диапазон чисел Рейнольдца Re = 30,100,103,104,105,106. Расчеты с помощью упрощенной модели проведены для Re = 103.
На рис. 4.2. показаны проекции линий тока течения на меридиональную плоскость и линии ортогонального дополнения к ним, которые являются отображением равномерной разностной сетки, введенной на плоскости (і/,ф). Расчеты произведены на сетке пхт=22х40. Точке s, в которой оканчивается твердая стенка, отвечает узел с индексом 4=12. Распределение коофициента Ламе А во входном сечении ad задавалось по формуле
Такое распределение коэффициента Ламе А во входном сечении выбрано с целью разрешить пограничные слои, которые формируются вблизи стенок. Серия расчетов производилась с =0.995, что обеспечило, с одной стороны, приемлемое разрешение областей у стенок и оси симметрии.
На рис. 4.2 показаны также сечения, вдоль которых далее представляются графики некоторых параметров течения. Например, сечение .w проходит через точку s, в которой заканчивается твердая стенка практически перпендикулярно потоку, а сечение mm примерно совпадает с центральной линией тока.
На рис. 4.3 приведены расчетные распределения циркуляции скорости вдоль сечения ss (Го - значение циркуляции скорости во входном сечении канала), полученные для различных значений числа Рейнольдса Re. Видно, как с увеличением числа Рейнольдса уменьшается толщина пограничных слоев. Жирная линия «Упр.М» - результаты расчетов по упрощенной модели, выполненные для случая Re — 10 . Как и следовало ожидать, она близка к кривой, полученной путем интегрирования полных уравнений Навье-Стокса при Re - 10 .
На рис. 4.4. показаны расчетные распределения скорости V, построенные вдоль сечения i i . Жирная линия «Упр.М» представляет собой результаты расчетов по упрощенной модели. Хорошо видно, что с увеличением числа Рейнольдса результаты расчетов полных уравнений в ядре потока стремятся к решению, полученному с использованием упрощенной модели.
Рис. 4.5 и рис 4.6. демонстрируют расчетные распределения давления вдоль внутренней стенки и оси симметрии (кривая аЬ на рис.4.1) и вдоль внешней стенки (кривая cd), соответственно. Результаты расчетов отнесены к значению давления в точке а входного сечения канала, которое обозначено как ро. И на этих графиках видно, как с увеличением числа Рейнольдса результаты расчетов, выполненных с использованием полных уравнений Навье-Стокса, стремятся к кривым, полученным с помощью упрощенной модели.
Наконец, на рис. 4.7 показаны расчетные распределения давления вдоль внутренней стенки и оси симметрии (кривая аЪ на рис.4.1), полученные при различных значениях параметра закрутки потока и числе Рейнольдса Re - 10 . Углы закрутки потока во входном сечении в этих расчетах принимались равными cto = 7, 20, 49, что соответствует значениям параметра закрутки 5W=10" -SWQ, SW0, 10 -SWQ, соответственно (параметр вращения Sw0 соответствует углу закрутки а0 =20).
Итак, результаты аналитических исследований и приводимых в настоящем разделе расчетов позволяют, на наш взгляд, сделать вывод о возможности применения упрощенной модели для расчета течения жидкости в принудительно индуцированной вихревой воронке при больших характерных числах Рейнольдса. В заключение приведем здесь некоторые данные о сходимости итерационных процедур вычислительных методик, описанных в Главе 3 настоящей работы.
Прежде всего следует отметить, что скорость сходимости итерационной процедуры, реализующей упрощенную модель, практически не зависит от числа Рейнольдса как при использовании первой постановки задачи расчета, так и при реализации второй постановки. В то же время, сходимость процедуры, реализующей решение уравнений Навье-Стокса, существенно зависит от числа Рейнольдса. Практика расчетов показывает, что в диапазоне чисел Рейнольдца можно считать что скорость сходимости последней процедуры приблизительно обратно пропорциональна величине Re.
Расчет закрученного течения жидкости в осесимметричном канале с радиальной подачей газа в точной и упрощенной постановках
Комментируя методику расчетов, результаты которой приводятся ниже, ограничимся двумя замечаниями.
Как уже отмечалось, при использовании естественных координат наиболее удобно решать обратные задачи, когда какое-нибудь свойство течения постулируется, а реализующие это свойство во входном сечении потока определяются в процессе решения задачи. Например, для течения типа вынужденного вихря, показанного на рис. 5.2-5.4, удобным оказывается задавать длину дуги s d образующей стенки, т. е. положение точки s торможения потока, а соответствующую скорость потока Vo во входном сечении ad определять в результате подгонки, включенной в итерационную процедуру. В случае свободного вихря (рис. 5.3) при решении обратной задачи можно задавать значение минимального расстояния rs от свободной поверхности до оси симметрии.
Если одна из линий \\i=const разностной сетки, как показано на рис. 5.2, проходит через точку торможения потока, то в соответствии с описанной в Главе 3 разностной процедурой в точке s необходимо задать подходящее краевое условие для угла 0. Таковым условием может являться равенство 0=0S, где 0S - предельное значение угла 9 в точке потока, стремящейся к точке торможения s вдоль кривой s s. Построение автомодельного решения, описывающего течение жидкости в окрестности точки торможения осесимметричного изоэнергетического потока (см. п.2.4 настоящей работы), дает для величины 9S значение -0.196 п. Именно это значение 9S использовалось в расчетах, результаты которых приводятся ниже.
Очевидно, что при достаточно малых расходах Q в "рюмке" должно реализоваться течение типа свободный вихрь. Пример результатов расчета такого течения приведен на рис. 5.3. Показаны проекции линий тока течения на меридиональную плоскость и графики распределений скорости и давления вдоль свободной поверхности (сплошные линии) и внешней стенки (штриховые линии). Величина pmin - минимальное давление в поле течения. Расчет соответствует значению ?=2.0610 м /с.
Течение типа вынужденный вихрь реализуется, если расход Q достаточно велик. Пример результатов расчета такого течения, выполненного для j2=4.13T0" м /с, приведен на рис. 5.4. На рис. 5.5 для этого случая показаны результаты методических расчетов: распределение циркуляции Г вдоль линии q =const, проходящей через точку торможения s (см. рис. 5.5). Сплошная кривая - расчеты с постоянным значением Г на внешней стенке (условие скольжения), штриховая кривая - расчеты с краевым условие прилипания Г=0. Видно, что отличия имеют место лишь в достаточно узком пограничном слое вблизи внешней стенки. На рис. 5.6 показана гидродинамическая структура, которую можно интерпретировать как сложный вихрь. Расчет выполнен для значения расхода0=2.31-10" м/с.
На рис. 5.7 приведены кривые, обобщающие результаты серии расчетов обратных задач. Показаны соответствующие режиму свободного вихря зависимости от расхода Q минимального расстояния rs от свободной поверхности до оси симметрии и соответствующие режиму вынужденного или сложного вихря зависимости от Q высоты точки торможения потока zs. Величина rs отнесена к радиусу г\ "ножки рюмки" (см. рис. 5.3), a zs - к размеру z\ "сужающейся части рюмки" (см. рис. 5.4). На кривых, отвечающих значению а0 =20, кружочками выделены три точки, соответствующие течениям, показанным на рис. 5.3, 5.4 и 5.6. Отметим, что граница между вынужденным и сложным вихрем довольно условна. В рассматриваемом случае считается, что вынужденный вихрь переходит в сложный вихрь при zs/z\ = \. Отметим также, что в диапазоне расходов, в котором при фиксированном Q имеет место неоднозначность решения, течение на практике может быть неустойчивым (пульсирующим).
Комментируя рис. 5.7, ограничимся следующими замечаниями. 1. Очевидно, что при а0=0, т. е. при отсутствии закрутки потока, стационарное течение с точкой торможения на оси потока невозможно . Поэтому на рис. 5.7 кривая zs/z\, отвечающая режиму вынужденного или сложного вихря, при а0=0 вырождается в единственную точку Т, которая соответствует течению без точки торможения, показанному на рис. 5.8. Построенное путем решения обратной задачи подобное течение отвечает в рассматриваемом
Из уравнения Бернулли (2.9), записанного при Г=0 вдоль свободной поверхности, немедленно следует, что zs 0, а такое стационарное течение, конечно, неустойчиво. случае единственному значению расхода g=2.65-10"2 м3/с и на практике, конечно, реализовано быть не может. 2. При сс0 20 отвечающая режиму свободного вихря кривая rjrx при достаточно больших значениях расхода становится двузначной, и соответствующее этому режиму течение может терять устойчивость. В качестве иллюстрации этого явления на рис. 5.9 приведены две расчетные конфигурации линий тока течения, которым соответствуют одинаковые угол закрутки cto =50 и расход 0=1.8О-1О"2м3/с(точкиЛинарис. 5.7).
