Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Особенности моделирования роста живых тканей 15
1.1. Описание предмета моделирования 15
1.2. Анализ экспериментальных исследований биологического роста тканей 18
1.3. Классификация математических моделей роста 22
1.3.1. Одномерные модели роста 22
1.3.2. Модель растущей многофазной среды 25
1.3.3. Модели роста, учитывающие остаточные напряжения 27
1.3.4. Модели, учитывающие зависимость скорости роста от механических напряжений 29
1.4. Модели управления биологическим ростом 35
1.4.1. Модель управления растягивающими усилиями при дистракционном удлинении костей 35
1.4.2. Модель управления ростом нёбных фрагментов при ортопедическом лечении врожденной расщелины нёба 38
1.4.3. Модель активного ортопедического устройства 41
1.5. Выводы по главе 43
ГЛАВА 2. Постановка и решение задачи ростового деформирования биологического тела 44
2.1. Определяющее соотношение ростовой деформации 44
2.2. Свойства материалов модели 48
2.3. Постановка задачи ростового деформирования изотропного линейно-упругого тела 51
2.4. Инструменты моделирования ростового деформирования в ANSYS. 53
2.5. Решение тестовой задачи 56
2.6. Вычислительный эксперимент по исследованию распределения скоростей ростовых деформаций в расчетной области 57
2.7. Выводы по главе 60
ГЛАВА 3. Исследование проблемы ортопедического лечения врожденной расщелины нёба с помощью вычислительного эксперимента 62
3.1. Предмет исследования 62
3.2. Расчетная область 69
3.3. Описание расчетной схемы 71
3.4. Конечно-элементное разбиение расчетной области 73
3.5. Результаты вычислительного эксперимента 75
3.6. Верификация результатов эксперимента 77
3.7. Выводы по главе 78
ГЛАВА 4. Оптимальное управление биологическим ростом ткани 80
4.1. Независимое управление ростовыми деформациями 80
4.2. Теоретические основы алгоритма управления ростовыми деформациями 81
4.3. Постановка задачи независимого управления деформированным состоянием системы с помощью ростовой деформации 83
4.4. Решение задачи независимого управления деформированным состоянием системы с помощью ростовой деформации 84
4.4.1. Деформации, соответствующие заданным перемещениям 85
4.4.2. Алгоритм вычисления управляющего воздействия 85
4.4.3. Блок-схемы алгоритма 91
4.5. Вычислительный эксперимент по реализации оптимального режима воздействия ортопедического устройства на костную ткань 93
4.6. Выводы по главе 99
ГЛАВА 5. Проблемно-ориентированный программный комплекс 101
5.1. Биомеханическое сопровождение дохирургического лечения врожденной расщелины нёба 101
5.2. Структура работы проблемно-ориентированного программного комплекса 102
5.2.1. Разработка математической модели 102
5.2.2. Вычисление оптимальных усилий 103
5.2.3. Рекомендации к проектированию ортопедического аппарата 105
5.2.4. Визуализация результатов 106
5.3. Выводы по главе 107
Заключение 109
Список литературы 111
- Классификация математических моделей роста
- Постановка задачи ростового деформирования изотропного линейно-упругого тела
- Конечно-элементное разбиение расчетной области
- Решение задачи независимого управления деформированным состоянием системы с помощью ростовой деформации
Введение к работе
Актуальность темы: В настоящее время компьютерное моделирование нормальных и патологических процессов, происходящих в организме, находит все более широкое применение в медицинских исследованиях. Медицина представляет собой в значительной мере экспериментальную науку с богатейшим эмпирическим опытом воздействия на ход болезней различными средствами. Однако решение проблем, связанных, например, с прогнозированием протекания постлечебного периода или оценке эффективности ортопедических устройств путем экспериментального изучения зачастую неприемлемы. Для их исследования целесообразно использовать аппарат математического моделирования.
В детской ортопедии, связанной с исправлением врожденных патологий развития тканевых структур в растущем теле ребенка, первостепенными являются вопросы моделирования и управления ростом. Ортопедическое лечение основано на механическом воздействии ортопедических устройств на недоразвитые участки тела, подлежащие коррекции. Вследствие данного воздействия в ткани возникает адаптивный рост, чем достигается скорейшее исправление дефекта.
В России систематическое изучение и моделирование роста биологических тканей проводилось учеными еще с середины 80-х годов (Регирер, 1985 г., Белоусов, 1987 г., Штейн, 2000 г.). Однако большинство моделей «перегружены» уравнениями настолько, что сложности, возникающие при идентификации параметров уравнений, не позволяют эффективно применять построенные модели к конкретным, имеющим биологическое содержание, задачам. В настоящее время решение конкретных медицинских проблем, связанных с моделированием ростовых процессов, затруднительно, главным образом – ввиду сложности практического определения параметров, описывающих состояние и поведение растущего тела. Впервые биомеханическая модель роста костной ткани человека была предложена в исследовании Масич1, проводимом ею совместно с врачами-ортопедами. В рамках данного исследования модель фрагментированного твердого нёба представлена как изотропно-растущая изгибаемая балка, подверженная действию механической силы. Для описания скорости ростовой деформации применена модель, учитывающая ростовую деформацию в зависимости от напряжений. Параметры, входящие в определяющие соотношения модели, определены экспериментально. В цитируемой работе управление ростом реализовано в упрощенном варианте. Других, более поздних работ, посвященных исследованию механических аспектов роста тканей человека, не найдено.
К настоящему времени для исправления врожденного несращения нёба у детей предложены новые, более эффективные модификации ортопедических устройств. Их конструкция позволяет создавать в костной ткани дополнительные
1 Масич А.Г. Математическое моделирование ортопедического лечения врожденной расщелины твердого нёба у детей: автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук. – Пермь, 2000. – 16 с.
растягивающие усилия и таким образом ускорять рост разобщенных нёбных фрагментов в сторону сближения. Биомеханическое обоснование конструкции современного ортопедического аппарата изложено в единственной работе по медицине2, в которой представлена упрощенная математическая модель системы ортопедический аппарат – костное нёбо пациента раннего возраста. Усилия, создаваемые моделируемым устройством, подбираются так, чтобы максимально сблизить разобщенные нёбные кости без повреждений ткани. Однако в модели не учитываются ростовые свойства материала, и сближение разобщенных нёбных фрагментов осуществляется исключительно за счет их растяжения. Между тем, в рассматриваемой области ортопедии остается множество проблем, связанных с отсутствием научно-обоснованных стандартов лечения, которые определяли бы для каждого пациента индивидуально величину и способ дозирования нагрузки, создаваемой ортопедическим аппаратом.
С позиции механики данная медицинская проблема может быть представлена и решена как задача управления напряженно-деформированным состоянием системы путем создания в ней заданных полных деформаций без изменения существующих полей напряжений, поскольку наведенные остаточные напряжения могут оказать негативное влияние на небные фрагменты после снятия ортодонтического аппарата и завершения лечения. Сохранение поля напряжений позволит исключить возникновение остаточных напряжений и, как показано далее, существенно упростить процедуру решения задачи о моделировании ростовой деформации. Подход к решению данного класса задач управления изложен в работе3. Таким образом, исследование, направленное на разработку новой математической модели, позволяющей вычислять параметры управления ростовым процессом с учетом индивидуальных особенностей растущего тела, является актуальным. В качестве индивидуальных особенностей выступают ростовые свойства материала и геометрия расчетной области.
Цель работы: разработка и реализация математической модели, которая позволяет прогнозировать рост и определять параметры, управляющие ростовыми деформациями в биологических системах. С использованием модели требуется определить параметры силовых воздействий (как функции времени), позволяющие получить требуемую форму тела за счет накопленных ростовых деформаций.
Цель исследования предполагает решение следующих задач:
1. Постановка и решение задачи математического моделирования ростовой деформации в изотропном линейно-упругом теле.
2 Егорова М.В. Ортодонтическое лечение детей раннего возраста с односторонней расщелиной верхней губы и нёба с
использованием в аппарате устройства из металла с памятью формы: автореф. дис. … канд. мед. наук. – М., 2011. – 22
с.
3 Туктамышев В.С., Лохов В.А., Няшин Ю.И. Исследование методики независимого управления полными
деформациями посредством собственных деформаций в дискретизированных системах // Вычислительная механика
сплошных сред. – 2011. – Т. 4, № 3.– С. 110–119.
-
Формулировка задачи управления ростовыми деформациями в изотропном линейно-упругом теле.
-
Разработка, обоснование и тестирование математического алгоритма для решения задачи независимого управления (без изменения напряжений в системе) деформированным состоянием исследуемой системы с помощью ростовой деформации.
-
Проведение вычислительных экспериментов для определения оптимального режима воздействия ортопедического устройства на костную ткань с целью создания в ней адаптивного роста при лечении врожденного несращения твердого нёба у детей.
Методы исследований основаны на совместном применении методов математического моделирования и вычислительной механики деформируемого твердого тела. Для написания математических алгоритмов использованы программные среды С++ и MATLAB, редактирование расчетной области выполнено в графическом модуле программного комплекса SolidWorks, численные эксперименты реализованы в конечно-элементном комплексе ANSYS.
Научная новизна:
-
Предложена новая математическая модель растущего биологического тела, построенная на основе механической модели роста, с учетом возможности управления деформированным состоянием исследуемой системы в процессе ее роста.
-
Определены количественные и качественные характеристики параметров управления ростовыми деформациями, позволяющие придавать телу заранее заданную форму, не меняя напряжений.
-
Предложена методика биомеханического сопровождения дохирургического этапа лечения пациентов раннего возраста (до трех лет) с врожденным несращением нёба. Методика позволяет на базе математического моделирования процесса находить рациональные режимы воздействия ортопедического устройства на костную ткань фрагментированного костного нёба.
На защиту выносятся:
-
Постановка задачи математического моделирования ростовой деформации в изотропном линейно-упругом теле и алгоритм её решения.
-
Результаты численных экспериментов по расчету ростовой деформации.
-
Постановка и результаты решения задачи управления ростовыми деформациями в изотропном линейно-упругом теле.
-
Математический алгоритм и результаты вычисления с его помощью оптимального управляющего воздействия на ростовую деформацию.
-
Проблемно-ориентированный программный комплекс, позволяющий в рамках разработанной методики биомеханического сопровождения дохирургического этапа лечения пациентов с врожденным несращением нёба,
планировать продолжительность воздействия ортопедического аппарата на разобщенные нёбные фрагменты с целью их сближения, формулировать параметры индивидуальной настройки ортопедического устройства (размеры, конфигурация, механические свойства), визуализировать результаты лечения до его начала.
Практическая ценность работы заключается в возможности применения построенного алгоритма управления при решении биомеханических задач, в которых необходимо проводить управление деформированным состоянием исследуемой системы без изменения её поля напряжений. Методика биомеханического сопровождения дохирургического этапа лечения детей с врожденной расщелиной нёба может быть использована в клинической практике при планировании лечения таких пациентов. Это позволит визуализировать результаты лечения до его начала, сократить сроки лечения и улучшить качество оказания медицинских услуг.
Достоверность результатов подтверждается удовлетворительным соответствием результатов, полученных с использованием разработанной математической модели, известным клиническим данным о продолжительности ортопедического лечения и величине усилий, создаваемых ортопедическим аппаратом.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на ХХI и ХХII Всероссийских школах-конференциях молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2012, 2013 г.), на научно-практической конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы механики, математики, информатики» (Пермь, 2012 г.), на научно-практической конференции молодых ученых и студентов «Междисциплинарные исследования» (Пермь, 2013 г.), на XXV международной инновационно-ориентированной конференции молодых ученых и студентов (Москва, 2013 г.). Полностью работа доложена и обсуждена на научных семинарах кафедр «Теоретическая механика» ПНИПУ (рук. д.т.н., профессор Ю.И. Няшин), «Математическое моделирование систем и процессов» ПНИПУ (рук. д.ф.-м.н., профессор П.В. Трусов), «Механика композиционных материалов и конструкций» (рук. д.ф.-м.н., профессор Ю.В. Соколкин), Института механики сплошных сред УрОРАН (рук. академик РАН В.П. Матвеенко). Диссертационная работа выполнялась при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-01-31404 мол_а) и фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере по программе «У.М.Н.И.К.».
Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в 16 печатных работах, из них четыре в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК и одна в журнале, индексируемом в SCOPUS. Получены свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2013617410 «Оптимальное усилие» и № 2014611279 «Расчет ростовой деформации».
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 126 страниц, 55 рисунков. Библиографический список включает 167 источников.
Классификация математических моделей роста
Существуют различные подходы к математической интерпретации процесса роста живой ткани, однако, очевидно, что во всех случаях биологическое понятие роста включает в себя два основных макроскопических про 19 цесса – необратимую деформацию, в первую очередь, и приток массы. Первый шаг в применении законов физики и механики к проблеме изучения биологического роста представлен в монографии Д Арси Томпсона (D Arcy Thompson, 1917 г.) «Рост и форма» [164], в которой автор утверждает, что форма растений и животных может быть обоснована с точки зрения чистой математики. Для Томпсона форма тела – это не само разумеющееся, а продукт динамических сил, которые способствуют формированию роста. Далее эта идея была подхвачена биологом Джулианом Хаксли (J.S. Huxley, 1932 г.). Для ответа на вопрос, почему биологические тела в процессе своего роста приобретают характерную форму, Хаксли ввел понятие «градиент роста» и исследовал влияние механических сил на конфигурацию растущего тела. Ученого интересовал вопрос: «Если известно, что тело растет и никакие массовые силы на него не действуют, то что произойдет с телом если на него будут оказывать влияние силы». В ходе экспериментов, проводимых на костях растущих животных, было выяснено, что форма кости изменяется по направлению действия нагрузки. Далее Фанг Хсю (Feng-Hsiang Hsu, 1962 г.) своими экспериментами подтвердил, что при действии на растущее тело объемных или поверхностных сил наблюдается изменение формы тела ввиду образования новых клеток в области приложения силы [126]. Гроссман (Grossman, 1970 г.) отмечал, что разница между величиной напряжений в систолу и диастолу является причиной, по которой толщина стенки желудочков сердца больше, чем толщина стенки предсердий. Также необходимость нагрузок для роста ткани, развиваемых на клеточном уровне, понималась и физиологами растений.
С середины 70-х годов проводилось большое количество исследований, посвященных формулированию интерпретации законов роста живой ткани как функции напряжений и деформаций. Причем для математического описания ростовых процессов конкретного биологического материала ученые признавали необходимость выбора определяющих соотношений. Также ученые высказывали затруднительность вычисления напряжения и деформации при приложении внешней нагрузки к живой ткани [100, 101, 111, 112, 128, 131, 139, 140, 148]. Первая постановка задачи о росте живой ткани с позиции механики сплошной среды была описана в работе Фанга Хсю (Hsu, 1968 г.). Ученый предполагал, что скорость изменения формы тела зависит от двух параметров: «the mechanical properties of the material» и «the growth properties of the material». Эти параметры по предположению Хсю входят в «биолого-механические» определяющие соотношения материала тела и являются причиной, по которой тела в процессе своего роста принимают определенную форму. Что касается остаточных напряжений, костной ткани, то «поле деформации роста твердых тканей предполагает совместность в любое время, и поэтому свободно от напряжений». Для костной ткани ученые также устанавливали существование некоторого равновесного состояния напряжений, не связанного с ростом. Рост полагался линейной функцией между напряжением, возникающим при нагрузке, и уравновешенным напряженным состоянием (Cowin, 1983 г.). Темп роста костной ткани был выражен как показатель разности между энергией деформации в нагруженном состоянии и энергией деформации в равновесном состоянии (Harrigan, Hamilton, 1992 г.).
Большинство экспериментов по исследованию остаточных напряжений связано с мягкими тканями (кардиоваскулярная система в целом и артерии в частности) [52]. По одной из гипотез остаточные напряжения в мягких тканях, возникают как результат упругой деформации и являются обязательным условием роста ткани с сохранением сплошности ее материала, т.е. без образования дыр или наложений. В работах Ричарда Скэлака (R. Skalak, 1981 г.) [155, 156, 157, 158] показано, что ростовые деформации мягких тканей не являются совместными, поскольку все клетки тела не могут расти одинаково, и вследствие этого, для того, чтобы сохранить однородность тела, возникают напряжения. Эксперименты, проводимые Фангом (Fung, 1990 г.) демонстрировали наличие остаточных напряжений в стенках кровеносных сосудов: кромки отрезков артерий и вен не были круглыми, а принимали эллиптическую форму, т.е. деформировались [146]. По предположению исследователя остаточные деформации объясняют эффект неравномерного роста и перестройки ткани, т.е. изменения ее формы и свойств. В экспериментах Хэрри-гана (Harrigan) и Гамильтона (Hamilton) показано наличие существенных изменений в величине остаточных напряжений в стенке сердца в период морфогенеза. Вообще экспериментальные исследования морфогенеза сердечной мышцы проводились многими учеными. В развивающемся эмбрионе сердце формируется в виде не срастающегося цилиндра, который в конечном итоге закрывается, формируя сердечную трубку (Manasek, 1983 г.). Изначально сердце свободно от напряжения. По мере деления клеток, происходит их слияние и формирование мягких тканей; базовая ткань должна выдержать рост и деление клеток, что в свою очередь становится причиной остаточного напряжения (Taber, 1993 г.). В то время как растущая ткань развивается, ее развитие будет сопровождаться нагрузкой и сжатиями, которые нужно выдержать. Сталсберг (Stalsberg, 1970 г.) показал, что нормальное развитие сердечной трубки нарушается при изменении внешних механических факторов. Из предположения о зависимости роста от напряжений делались выводы относительно отличия физиологического и патологического роста. Так при гипертрофии сердца рост происходит уже в зрелой ткани, имеющей определенное распределение остаточных напряжений. Сопутствующая заболеванию перегрузка будет способствовать дальнейшему изменению, отличному от естественного, свойств материала.
Исследователи отмечали, что поведение материала твердых тканей живых организмов под нагрузкой существенно отличается от аналогичного у мягких тканей [108, 123]. Для мягких тканей наблюдалась анизотропия свойств, вязко-упругое поведение материала и большие деформации, напротив, практически упругое поведение и малые деформации – у твердых. Таким образом, для описания ростовых процессов в живых тканях человека, с точки зрения возникающих напряжений, сформировалось два подхода: о совместности ростовых деформаций для твердых тканей [126, 131, 138, 162] и оста 22 точных напряжений для мягких тканей, являющихся обязательным условием роста [113, 119, 124, 129, 165].
Влияние температуры на процесс роста отмечали в своих работах многие авторы и высказывали предположение, что температура является важнейшей составляющей скорости роста [126]. Также проводились наблюдения, в ходе которых ткани одного и того же тела под влиянием разных температур вырастали до различных размеров, но при этом сохраняли идентичную форму. Однако в большинстве публикаций приводятся исследования роста при постоянной температуре. Также ученые отмечали сопоставимость определяющих соотношений роста с термодинамическими [115, 116]. Исследования ДиКарло (Antonio DiCarlo) посвящены анализу допустимости описания законов роста на основе термодинамических соотношений.
Явления, понимаемые как рост живой ткани, разнообразны и могут отличаться в зависимости от принятой модели роста и уровня организации, на котором рассматривается предмет исследования. Из обзора существующих моделей можно выделить основополагающие направления, в рамках которых разработаны те или иные модели объемно-растущей ткани:
1. модели, основанные на гипотезе о влиянии на рост ткани внутриклеточного давления как стимулирующего фактора;
2. модели многофазных сред, так называемые «mixture theory»;
3. модели, основанные на гипотезе о влиянии остаточных напряжений на рост мягких тканей как стимулирующего фактора;
4. модели, связывающие, зависимость скорости роста от механических напряжений, известную из наблюдений и экспериментов.
Постановка задачи ростового деформирования изотропного линейно-упругого тела
Рассмотрим область V с границей S. Замыкание V =V S, S = Su Ss. Sp принадлежит трехмерному евклидову пространству E3 , т.е. V E3 . На границе Su в каждой точке заданы три компоненты вектора перемещений. На границе Ss в каждой точке заданы три компоненты вектора напряжений. На границе Sp в каждой точке заданы три компоненты вектора
Геометрические размеры области можно оценить по координатам точек, приведенным на рисунке 2.12. Ввиду малости размеры представлены в мм. Тогда постановка начально-краевой задачи определения ростовых деформаций в упругой области примет следующий вид:
1) Уравнение статического равновесия имеет место внутри области:
2) Деформации достаточно малы и аддлитивны:
3) Упругая деформация связана с напряжениями законом Гука:
4) Определяющее соотношение:
5) Соотношение деформация-перемещение записывается в рамках геометри чески линеаризованной теории:
6) Граничные условия:
В итоге система уравнений (2.12) - (2.18) есть система дифференциальных уравнений начально-краевой задачи определения ростовой деформации в упругой системе. На сегодняшний день математические модели биологических систем, реализованные в конечно-элементных программных комплексах, находят все более широкое применение [39, 41, 48, 75]. Разумеется, моделирование системы в рамках того или иного конечно-элементного пакета, не исключает корректной математической постановки задачи [75]. Несмотря на то, что математическая постановка медицинских задач не всегда очевидна, направление вычислительной медицины, которое только начинает развиваться в России, является очень перспективным [37, 52, 75]. Компьютерная реализация виртуальных операций и их возможных результатов, построение трехмерных моделей исследуемых систем и их численное исследование представляют большой интерес для клинической практики [31, 37].
Поскольку одной из задач данной диссертации является математическое моделирование растущих нёбных фрагментов, остановимся подробнее на реализации данного исследования в рамках конечно-элементного пакета ANSYS.
Понятие сопряженного анализа в ANSYS
Основной сложностью моделирования в рамках любого вычислительного программного комплекса является ограниченное количество моделей деформирования. Поскольку моделирование ростового деформирования в том виде, в котором оно представлено в данной работе, в ANSYS не предусмотрено, как собственно и в любом другом конечно-элементном пакете, то было принято адаптировать имеющиеся в ANSYS функции для решения данной задачи.
Важным является допущение о единоообразии математического описания собственных деформаций [88, 89, 90]. Стационарное тепловое поле не вызовет термических напряжений, аналогично тому, как естественный рост не вызывает биологических напряжений [126]. Тепловое моделирование поддерживается многими модулями ANSYS [11, 17, 48]. В основе теплового ана 54 лиза лежит уравнение теплового баланса, полученное в соответствии с принципом сохранения энергии [16]. Учет механического воздействия производится в рамках структурного анализа. Таким образом, можно говорить о сопряженном анализе, учитывающем взаимодействие между двумя инженерными дисциплинами (анализ тепло – механическое напряжение). Процедура сопряжения может быть реализована либо как два последовательных анализа, либо непосредственно в рамках одного общего анализа с использованием сопряженных элементов [48]. При последовательном способе результаты решения первого анализа используются в качестве нагрузок для второго: узловые температурные напряжения из термального анализа задаются в качестве нагрузок «сила на тело» в последующем анализе напряжений. Сопряженные элементы содержат все необходимые степени свободы. Предпочтительность выбора между последовательным и прямым типом анализов имеет место в случаях с высокой степенью нелинейности. Применительно к задачам, решаемым в данной диссертации, способ сопряжения значения не имел.
Понятие начального деформированного состояния в ANSYS
Для некоторых элементов в ANSYS есть функция «Inistate», с помощью которой можно задать в элементе начальное напряженное (или деформированное) состояние. Для того, чтобы упругая энергия системы не менялась при заданном начальном состоянии, необходимо имеющуюся конечно-элементную сетку деформировать в новое положение функцией «Upgeom».
Начальное деформированное состояние записывается в файле деформаций с расширением «.ist», который имеет определенную структуру, представленную на рисунке 2.13.
Конечно-элементное разбиение расчетной области
В вычислительном эксперименте приведены 2 расчетные схемы, моделирующие лечение пассивным (схема 1) и активным (схема 2) ортопедическими аппаратами. Пассивный аппарат защищает разобщенное нёбо от воздействия языка, создавая тем самым, благоприятные условия для роста и развития фрагментированного нёба. Активный аппарат создает дополнительные стягивающие усилия, что приводит к сближению нёбных отростков.
Рассмотрим область V с границей S. Замыкание V = VvS, УєЕ\ V=V1uV2uV3uV4uV5. Тела V и V2 моделируют нёбные фрагменты, Ц и
\ 4 моделируют клей, Vs - ортопедическая пластина. Тела V\ - Vs объединены в сборку в SolidWorks. На контактирующих поверхностях тел V\ и V3, V2 и V4, Vi и Vs, V4 и Vs перемещения объединены и заданы условия непроникновения. Граница S объединяет 5=S„u5ulu5(7u5p. На границе Su в каждой точке заданы три компоненты вектора перемещений: их = и = uz = 0, г є Sul, их = 0,гє Su. На границе Sa в каждой точке заданы три компоненты вектора напряжений. На границе S в каждой точке заданы три компоненты вектора Рисунок 3.23. Расчетная схема 1 сил. Расчетные схемы 1 и 2 приведены на рисунках 3.23, 3.24 соответственно.
Постановка задачи представлена в главе 2 уравнениями (2.12) – (2.18), свойства материалов – в таблицах 2.1 и 2.2. На схемах 1 и 2 на границе Sp приложено давление, моделирующее усилие, создаваемое языком. Величина давления принята 0,15 Па аналогично с работами [99]. На схеме 2 на границе Sp приложены силы Fx = 3 Н, величина которых соответствует усилию, развиваемому ортопедическим аппаратом в исследовании М.В. Егоровой [37]. Заданные нагрузки и их направления обозначены буквами А, В, С и представлены на рисунке 3.25.
Накопление деформации (2.15) вычислено при действии нагрузки в течение времени T=10 мес. для пассивного аппарата и T=1 мес. для активного. Время лечения соответствует литературным данным о продолжительности дохирургического лечения [31, 37, 70].
Дискретизация расчетной области конечными элементами и решение задачи теории упругости (2.12) - (2.18) было получено в ANSYS Workbench 14.5. Далее из расчетной схемы выделялось тело, моделирующее нёбо и для расчета накопления ростовых деформаций импортировалось в ANSYS Mechanical APDL 14.5, где формировались файлы для программы «Расчет ростовой деформации».
Для решения задачи расчетная область дискретизирована тетраэдриче-скими твердотельными элементами с линейной функцией формы [11, 41, 43]. Для оценки качества конечно-элементной модели последовательно решены несколько задач с возрастающими степенями дискретизации. В каждом случае решалась задача о вычислении ростовой деформации (2.15) и фиксировалась величина максимальных перемещений и максимальных напряжений. Оптимальным был принят уровень, при котором фиксируемые параметры переставали заметно меняться при использовании более густой сетки. В таблице 3.1 представлена зависимость максимальных перемещений и напряже ний.
Для расчетов принято разбиение, при котором максимальная длина ребра элемента составляет 0,110-3 м. Более мелкое разбиение нерационально.
На рисунках 3.26 – 3.29 представлены перемещения, возникающие в расчетной области при накоплении ростовой деформации в зависимости от степени ее дискретизации. Оценка методик происходила посредством сравнения максимальных перемещений в направлении оси x для соответствующих схем, т.е. оценивается «сближение» разобщенных нёбных фрагментов – уменьшение диастаза.
На рисунках 3.30 – 3.31 представлены перемещения в направлении осей x для обеих схем. На рисунках с результатами пластина не показана.
При действии пассивного ортопедического аппарата (схема 1) в течение T = 10 мес. уменьшение диастаза составляет 8,8 мм. При действии активного ортопедического аппарата (схема 2) T = 1 мес. уменьшение диастаза составляет 11,3 мм. По результатам эксперимента, очевидно, что наличие ортопедического аппарата приводит к сближению нёбных отростков, однако время лечения активным устройством существенно отличается.
Для пациента, слепок нёба которого использовался для моделирования разобщенного нёба в эксперименте, не удалось найти сведений о результатах его ортопедического лечения (гипсового слепка после лечения). Поэтому верификация модели осуществлялась посредством сравнения величины, на которую уменьшился диастаз в эксперименте с опубликованными в литературе данными для аналогичных пациентов. Для пациента №1 на рисунке 3.32 ширина расщелины до лечения составляла 14,5 мм, после лечения пассивной ортопедической пластиной в течение T=8,2 мес. диастаз составлял 5мм (рисунок 3.33). Для пациента №2, рисунок 3.34 ширина расщелины до лечения составляла 16,8 мм, после лечения активным ортопедическим устройством в течение T=2,0 мес. диастаз составлял 8,4 мм (рисунок 3.35).
Решение задачи независимого управления деформированным состоянием системы с помощью ростовой деформации
В эксперименте задача о лечении врожденной расщелины твердого нёба рассмотрена как задача независимого управления деформированным состоянием системы с помощью ростовой деформации. Цель управления - вычисление оптимального режима (величина усилий и время их приложения) воздействия ортопедического устройства на нёбные фрагменты с целью придания им заранее заданной формы.
Расчетная схема показана на рисунке 4.38. Представленная схема является плоским сечением трехмерной Cad-модели, полученной в результате сканирования гипсового слепка несращенного нёба пациента возрастом 6 месяцев. Свойства материала взяты из литературных данных: = 43,7 МПа; v = 0,35. Параметры скорости роста приняты А = 9,6410" с" ; М= 1,8510" с" .
Заданная форма является результатом приложения соответствующих граничных условий: на границе S3 расчетной области заданы кинематические граничные условия (4.17). Величина задаваемых перемещений определена по чертежу формы дуги, которую необходимо получить в результате лечения (рисунок 4.41). Далее в ANSYS решена задача теории упругости (4.10) – (4.17), вычислены деформации (0) , выполнена проверка условия (4.8) и записан файл .txt массива деформаций (0) . В случае невыполнения (4.8) величина задаваемых перемещений уменьшается и условие проверяется заново.
Далее для вычисления оптимального механического воздействия к каждому узлу границы S3 последовательно приложена единичная сила в направлении оси x, а затем y (рисунок 4.41), решена задача теории упругости, что дало поля деформаций (k ) , k = 1, 2, … , K, где K – удвоенное число узлов границы S3. Записано K файлов .txt массивов деформаций (k) . Далее в программе «Оптимальное усилие» вычисляются силы Fx , Fy которые необходи 95 мо приложить к границе S3 на время T, которое также вычисляется программой, для того, чтобы тело приняло заданную форму.
1. Сформулирована постановка задачи независимого управления деформированным состоянием исследуемой системы с помощью ростовой деформации.
2. Разработан математический алгоритм независимого управления деформированным состоянием исследуемой системы с помощью ростовой деформации. Алгоритм реализован в программной среде Matlab и имеет свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013617410 «Оптимальное усилие».
3. Разработанный алгоритм реализован в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента, с применением которого решена задача о моделировании ортопедического лечения врожденной расщелины костного неба.
4. Для оценки результатов рассматривались перемещения кромки разобщенных фрагментов при приложении к ним вычисленного в программе «Оптимальное усилие» распределения сил. Результаты расчетов показывают, что для того, чтобы сблизить разобщенные нёбные отростки на 11 мм необходимо приложение к ним сил (рисунки 4.44 – 4.47) в течение времени T=3,16 мес. Полученные результаты не противоречат известным клиническим данным.
5. Величина вычисленных усилий и время их приложения находятся в удовлетворительном соответствии с опубликованными в литературе данными, что позволяют верифицировать модель.
6. Анализ напряженно-деформированного состояние в исследуемом теле при действии вычисленных сил показал, что зоны сжимающих напряжений не вызывают повреждений и не оказывают неблагоприятного воздействия на общую картину роста. Данный факт исключает укорочение нёбных отростков, наблюдаемого в клинической практике в ходе ортопедического лечения [70].
7. Любой вид ортопедического лечения может быть рассмотрен с позиций теории управления деформациями системы. Генерирование в теле заданных деформаций посредством механической аппаратуры обеспечит положительный клинический эффект.
