Содержание к диссертации
Введение 11
1 Основы теории случайных колебаний 26
Случайные процессы, их свойсіва и харакісристики . 26
Теория марковских процессов . . . ... ... 34
1 3 Теория управления диффузионными процессами 42
1 4 Аналитичес кие методы теории случайных колебаний . . 51
1 5 Численные меюды теории случайных колебаний . . . . 64
1 6 Ос обенности анализа виброударных систем . ... . . 68
2 Гибридный метод решения уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана
в задачах оптимального стохастического управления движением ос
циллятора 73
2 1 Посіановка задачи и ее особенное і и .... .73
2 2 Задача Больца для сисіем с гауссовым возмущением 76
2 3 Маїематичес кое обоснование іибридноїо метода решения . . . 81
2 4 Задача оптимальною управления для сисіем с гауссовс ким и пуассонеж
ским шумами ... ... . . . . 87
2 5 Численное решение уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана ... 90
3 Применение гибридного метода для решения задач стохастической оп
тимизации 101
3 1 Управление системой со многими степенями свободы 101
3 2 Управление системой с бесконечным числом степеней свободы . . . ПО
3 3 Задача оптимальної о слежения . 113
3 4 Управление системой пуіем изменения момента инерции .... 115
3 5 Управление системой иуіем изменения жесткости 118
3 6 Задача оптимальної о управления нелинейными сисіемами . . . . 121
4 Анализ стохастических систем с сухим трением 130
4 1 Ква зиош имальность закона сухого трения 130
4.2 Стохастический анализ сие і ем с сухим трением . ... . . 133
4 3 Сравнение систем с оіраниченньш и неограниченным
управлением .... ... .... 136
4 4 Надежность сие і ем с сухим трением . . 147
4 5 Идентификация сисіем с сухим і рением . 152
5 Анализ параметрически управляемых
стохастических систем 158
5 1 Метод баланса энергии ... . . . . . . 158
5 2 Стохастический анализ сисіем с управляемой жес і косі ью . 160
5 3 Стохасіический анализ систем с управляемым
моментм инерции ... ... . 164
5 4 Стохас іичсский анализ систем типа качели . . . . 173
5 5 Численный метод оценки плотности распределения переменных состоя
ния кусочно - консерва і ивных систем . . . . 178
5 6 Плотное іь распределения вероятное їй переменных состояния кусочно -
кешеервагивных систем .... . . . 181
6 Анализ стохастических виброударных систем 198
6.1 Существующие результаты теории стохас і ических
виброударных сисіем ... .... . 198
6 2 Спектральная плотность неременных сое юяния систем
с упруїим ударом ...... . . 202
6 3 Задача о достижении заданных границ . . 206
6 4 Метод баланса энергии для систем с неупругим ударом . . . . 210
6 5 Плотность вероятности и сиекіральная илоіность перечленных состяния
системы с неупругим ударом ... . .... . 222
6 6 Узкополоеное возбуждение виброударных систем .... . 233
6.7 Виброударные системы с двумя степенями свободы 244
Заключение 249
Список литературы
Список иллюстраций
1 Случайный импульсный процесс белою шума с А = 9 и 10
Случайный импулы ный процесс белою шума с А = 3 2 К)-2 .... 33
Виброударная сие іема с односторонним ограничиюлем .... 70
Виброударная система с двусторонним oiраничителем 70
Фазовый портреї неїладкого преобразования (1 93) . ... 71
Линии уровня іім(т\,Х2,т) = 1 для іадачи Майера при f.i = \fl . . 92
Линии переключения для задачи Майора при // = \J2 . . 93
Линии уровня им{х\,Х2,т) = 1 для задачи Майера при ц = 1 5\/2 94
Линии переключения для задачи Майера при ц = 1 5\/2 . . 94
Линии переключения для задачи Майера и Лагранжа при \і = \[І 95 И Линия переключения для задачи Лаіранжа из рабоїьі [171]. . 95
Чувопштельность функционала S (2 63) при г = 7г/2 и /х — 1. . .97
Линии переключения для задач Майера, Лаі ранжа и Больца при г = 7г/2
и \і = 1 ... .98
Линии переключения для R — АА/ < 0 и разных значений времени г . 98
Линии переключения для R — А7 > 0 и разных значений времени т . 99
Линии переключения для а «aeq . . . . . 100
Прямоуюльник управления в исходных координатах . . . . . 10G
Управление в исходных координатах для разных значение уїла а. . . . 107
Предложенная стратегия выбора управления . . .... 107
Коэффициеш иеоитимальнос і и закона сухого і рения 132
Поведение коэффициентов а2 и С (4 25) . . . . . . . 140
Сравнение линий переключения для линейною управления и закона сухого і рения . . . . 141
Сравнение линий переключения для ограниченного и линейно-оі раниченної о управления и значений г = 7г/4 и г = 7г/2 . . .... 142
Сравнение линий переключения для оі раниченної о и линейнсьої раниченного управления и значений г = Зтт/4 и т = л" . . . . . 142
Относительная ошибка (4 30) при сравнении функционалов качосіва для ограниченною и линейно-ограниченного управления 144
Средняя -міері ия системы с сухим трением как функция R, полученная разными мої одами 149
Среднее время Г достижения криіического уровня для aeq = 0 1 . . 151
Среднее время Т достижения криіического уровня для aeq = 0 01 . 151
Приближенная аппроксимация (сплошная линия) резулыаюв численного эксперимент (фон) для системы с вязким і рением {а — 0 2) . . 156
Приближенная аппроксимация (сплошная линия) резулыаюв численною эксперимент (фон) для системы с сухим і рением (/2 = 01) . . . 157
Сравнение результатов для обезразмеренной средней энер1ии системы с управляемой жесікостью в моменты ее максимальных отклонений. 162
Значение средней энергии системы с управляемой жесікос іью как функция Н ... . 163
Сравнение резулыаюв для обезразмеренной средней энергии сисіемьі с управляемым моменюм инерции 167
Значение средней энергии системы с управляемым моментом инерции как функции R . .... ... 168
Сравнение численною "1" и аналитических "2", "3" резулыаюв для значения средней энер1ии сисіемьі с нелинейной восстанавливающей силой
при к = 03 .... 170
36 Сравнение численною "1" и аналитических "2", "3" результаюв для зна
чения средней энергии системы с нелинейной восстанавливающей силой
при к = 1 . ... ... .... 171
Сравнение аналитических "1", "2" и численных "3", "4" резулыаюв средней энер1ии сипемы для разных значений средней частоты появления импульсов А . . .... . . . 172
Сравнение численных "1" и аналитических "2" результатов (5 47) для с и-стемы типа качелей 176
Сравнение численных "х" и аналитических "-" результатов для качелей с возмущаемой ючкой подвеса . . . . 177
Сравнение аналиіических и численных резулыаюв обезразмеренных на величину асимшоїическою значения для качелей с возмущаемой точкой подвеса . . . .... 178
41 Пример изменение площади вымышленною квадрата при пересечении
оси переключения . . . . . . 181
Сіационарі/ая плотносіь распределения -шеріии системы с управляемой жесткостью . . . . . ... 183
Сравнение численных (-) и аналиіических ( ) результаюв для плотности распределения энергии системы с управляемой жесткое і ью . 184
Стационарная плотность распределения перемещения системы с управляемой жес ткостью . . . 185
Стационарная плотность распределения скоропи системы с управляемой жесткостью .... . . 185
Контур совместной стационарной плотности распределения верояшости реакции системы с управляемой жесткостью при R = 0.1. . 18G
Контур совместной стационарной плотности распределения вероятности реакции системы с управляемой жесткостью при R = 0 5 . 18G
Контур совместной стационарной плотности распределения верояшости реакции сисіемьі с управляемой жес і костью при R = 0 9 . . . .187
Сіационарная плотность распределения энергии системы с управляемым моментом инерции . . . . . . 189
Стационарная плотное іь распределения перемещения ф системы с управляемым моментом инерции. . . . . . .... 190
Сіационарная плотное п> распределения скорости q сие іемьі с управляемым моменюм инерции ... . . 190
Кошур совмеспюй стационарной плопюсти распределения вероятносіи реакции системы с управляемым моменюм инерции при R = 0 1 . 191
Контур совместной стационарной плопюсти распределения вероятносіи реакции сисіемьі с управляемым моментом инерции при Я = 0 5 .191
Кошур совмес і ной стационарной плогносіи распределения вероятности реакции системы с управляемым моментом инерции при R = 0.7. . . 192
Численные результаты значения полупериода системы с управляемым моменюм инерции 193
Сіационарная нлопюсть рас иределения энергии качелей с во $мущаемым
цен і ром подвеса . . 194
Стационарной плотность распределения перемещения ф качелей с возмущаемым центром подвеса . . . . . . . 194
Стационарной плотность распределения скорости г/ качелей с возмущаемым цен і ром подвеса ... . . . . . . 195
Кошур совместной сіационарной илоіносіи распределения реакции качелей с возмущаемым цен і ром подвеса при/?= О 1 . . 195
Кошур совместной стационарной плотное і и распределения реакции качелей с возмущаемым центром подвеса при Я = 0 3 . . 196
Кошур совместной стационарной плотности распределения реакции качелей с возмущаемым цен і ром подвеса при Я = 0 5 . . . 196
Численные результаты значения иолупериода качелей с возмущаемым центром подвеса . . 197
Сравнение численных (о) и аналиіических (-) результатов для D = 1
"1" и D = 10 - "2" 213
Сравнение численных (о) и аналитических (-) результатов для D = 1 214
Сравнение численных (о) и аналитических (-) результаюв для ft = 0 01 215
Сравнение численных (о) и аналитических (-) результатов для а = 0 3 . 215
Анали і ические результаты ереднеї о времени между ударами для системы
с зазором при D = \ (--) и D = 10 ( ). ... 219
68 Сравнение численных (о) и аналитических (-) результатов для h — 1,
D = 1 (- -) и D = 10 ( ) 220
69 Анали і ические результат ы среднего времени между ударами для системы
с наїяюм при D = 1 (- -) и D = 10 ( ) 220
70 Сравнение численных (о) и аналитических (-) результатов для h = — 1,
D = 1 (- -) и D = 10 ( ) . . 221
71 Сравнение численных (о) и аналиіических (-) результатов для Д = 0 5,
D = 100 .... . . . 222
Сравнение численных и аналшических резулыаюв для шинное і и распределения вероятности знері и и ... 224
Плотное п. распределения верояі носі и перемещения системы. . . 225
Пик ШЮГНОСІИ распределения верояпюсти перемещения системы для г =
0 5 и разных значений ишенсивности шума 226
Пик плотное їй вероятности перемещения сипемы для рашых значений инкчк И1ІП0С1И шума 226
Плотное п. распределения вероятное їй перемещения (исіемьі с зазором
при D = 1 0 и разных значений козффициеша восстановления . . . 227
77 Плотность распределения вероятное і и перемещения сиеіемьі с наїягом
при D = 1 0 и разных значений козффициечпа восстановления 228
Значение среднею перемещения виброударной сисіемьі при D = 2 0 и разных значений коэферициента восстановления 228
Значение среднеквадратичного перемещения виброударной сиечемы при
D = 2 0 и рашых значений коэффициент воспановления. 229
Спектральная плотное і ь ускорения системы при h = 0, г = 0 9 . . 231
Спектральная илоінооїь ускорения системы с при h = 0, г = 0 5 . 231
Спектральная плотное п> ускорения системы с при h = 0, г = 0 3 . 232
Безразмерная средняя амплитуда виброударной системы для оірицаїель-
ных значений раесгройки при qn < hn . .... . 237
Безразмерная средняя амплитуда виброударной системы для положительных значений paociройки при qn < hn . . 237
Безразмерная средняя амнлиіуда виброударной с исіемьі для отрицательных значений расеіройки при qn > hn ... . . 238
Безразмерная средняя амплитуда виброударной системы для положительных значений раесгройки при qn > hn ... 239
Безразмерная средняя амплитуда виброударной сисіемьі при qn > hn и
г = 08 240
88 Безразмерное перемещение виброударной системы для значений а — 0 01
и г) = 4 3 . . . 242
89 Безразмерное перемещение виброударной системы для значений а = 0 01
и ц = 4 5 242
90 Безразмерное перемещение виброударной системы при а = 0 0, г = 04и
г] = 45 . . .... 243
91 Амплитудно-частотная характерне їйка виброударной сисюмы для раз
ных значений интенсивности шума при а = 0 01. . . . ... 243
Средняя энергии виброударной сипемы при возбуждении и неупругом ударе первой мае г ы . . . . . 247
Средняя энер! ии виброударной системы при возбуждении и неупругом ударе второй массы . .... 248
Список таблиц
Значения maxXiXiS 132
Резулыаты < А > /Д для сисіемьі с сухим ірением . ... 136
Сравнение численных (NM) и аналитических результатов (AN) средне-квадраіичною перемещения сисіемьі с управляемой жесткостью 164
Результаш численного моделирования (NM) и аналитические (AN) ре-зулыаш полученные при ш пользовании acq 169
Сравнение численного (NM) и аналитическою (AN) среднего времени между переключениями для (исдемы с управляемой жесткостью . . 188
Введение к работе
Изучение колебаїельньїх процессов имеет фундаментальное значение Невозможно преде іавить себе современную, реальную физическую систему или механиш без хорошо спланированных, грамотных инженерных расчетов Несмотря на бурное раз-виїие вычислительной іехники и численных методов, теоретический анали і, будь то точный или приближенный, остается основным инсірументом исследования реальных физических явлений и сисіем. Теоретические исследования важны не юлько как ин-струмеш для получения і очных или приближенных результатов, изучения влияния разных параметров на поведение системы, но и как апиараї для апробирования новых моделей и методов, их правомерности и точности
Исследование любой реальной физической системы, как правило, іребует нексно-рой идеализации. Одной и і іаких идеализации может служить рассмспрсние систем с конечным числом степеней свободы Такая идеализация удобна, так как позволяеі не только упрос і и гь исходную задачу, но и сохрани і ь важную информацию о характерных свойствах сисчемы В зависимое їй от целей посіавленной задачи ее можно упростить путем уменьшения числа с іененей свободы Таким обраюм, в той или иной степени, подавляющее большинство действующих динамических сие іем можно моделировать с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих поведение консірукции с конечным числом степеней свободы
Пос і роение и изучение детерминированных моделей іакже являемся идеализацией более сложных явлений, оказывающих прямое или косвенное влияние на работу динамических сисіем. Так, например, при изучении движения обьекта в турбуленпюй среде необходимо учитывать влияние случайных турбулентных сил. Для этою в уравнение динамической модели вводи іся случайный процесс с заданными статистическими характерне іиками, описывающий неопределенное і и, возникающие в системе. Очевидно, что испольювание случайных процессов при моделировании динамических сисіем продиктовано целым рядом факторов или их комбинацией Природным источником случайных нагрузок является действие веіра (в особенности на высошые сооружения и подвесные мосіьі), сейсмическая активность, воздейсівие морских волн на суда и платформы Случайные колебания могу і возникать во время движения по неоднородной поверхности дорої и, в результате процесса горения в двиїаіелях ракет, флукіуаций
в радиотехнических приборах. Отметим, что $ачапую параметры самой сисіемьі или наїружения моїут быть известны не точно, чю может быть компенсировано введением в модель случайных функций Наконец, в задачах управления ошибки измерений и наблюдении приводні к неопределенностям, коюрыс необходимо учиїьіваїь при расчетах. Приведенные выше примеры говорят о необходимости изучения (іохасіических динамических сисіем, і е динамических систем подверженных действию некоюрых случайных наїруюк Динамическое моделирование іаких сисіем проводится с помощью стохастичсч ких дифференциальных уравнений
Одной из насущных проблем стохастической динамики является проблема оптимального стоха( іиче(кою управления. Целью мноюшаювого процесса оптимальною стохастического управления являеіся выбор такой последоиаіельности решений, для которой некоторая функция параметров состояния сие іемьі достигает экстремального значения В отличие о і задач управления детерминированными системами, іде оптимальная (іраичия можеі сіроиіься в виде программы, в задачах стохас їйче(кою управления іакои подход оказывается менее эффекшнным Как правило, для решения задач оптимальною ( юхасіического управления используемся друюй подход, а именно, метод динамическою нроїраммирования. Последний сводиі тдачу отыскания оп-іимальньїх стратегий управления к посі[юению решения задачи Копій для некоюрого вырожденного многомерною несіационарного нелинейного уравнения параболическо-ю типа относи Н'лыю с})ункции Беллмана Это уравнение носи і название уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана
Круг задач, решение коюрых можно построить точно с помощью метода динами-ческої о программирования, весьма оі раничен В большинстве с воем эю либо задачи не имеющие прямого практического применения, либо некие математические модели не су-щесівующих на практике систем К последним, например, относятся модели в коюрых ковариационная матрица возбуждения иредиолаїаеіся невырожденной, чею не можеі произойти в реальных динамических сисіемах, іак как случайное возмущение в іаких системах, уравнение движения коюрых записано в фазовых переменных, входи і всеїда юлько во вюрое уравнение К другим, редко всіречающимся на практике предположениям, оіносяіся нормальное распределение выходною ситала сильно нелинейной сисіемьі, вьшуклосіь минимизируемою функционала по управлению. Мноіие проблемы сюхасіическою управления, іакие как задача быстродейс івия, задача управления
с вероятностным критерием, задача оптимальной коррекции и прочие не упомянуты здесь ввиду того, ЧІО они лежат за пределами облас їй задач, исследуемых в диссеріа-ции
Исключением является хорошо изученная линейно-квадраіичная задача управления, котрая формулируется для линейной сисіемьі с выпуклым функционалом, j е. квадратичным функционалом качества как по фазовым переменным, так и по управлению В качестве функции качества здесь может выступап. средняя энергия системы или среднеквадратичное оіклонение ее фазовых переменных о і заданной величины Такая постановка вдач и имееі прямой физический смысл и практическое применение, гак как своей целью сіавиі минимизацию, например, средней знеріии системы на конечном интервале времени К задачам іакого рода относятся задачи демпфирования колебаний транспортных среде і в, перемещающихся по неровной поверхности, гашение колебаний спутниковых антенн, уменьшение вибраций руки робота манипулятора, а также другие Фундаментальное значение имеет то, что линейно-квадраіичная задача стохастического управления позволяет построить точное аналитическое решение, что помогает глубже поняіь процесс формирования синтеза оптимальною управления и использовать его в качестве модельною примера
Несмотря на все сказанное выше, линейно-квадратичная задача управления имеет существенный недостанж, сосюящий в том, что на управляющее воздействие не накладывается никаких ограничений Друї ими словами, найденная оптимальная стратегия представляет собой управление по принципу обратной связи, но в то же время управление осіается неограниченным по абсолюшой величине Такая постановка задачи не всегда является оправданной в приложении к динамическим системам Разумеется, невозможно создать неограниченную но абсолюпюй величине силу или момеш. Кроме того, мноіие детали и механизмы, с помощью которых осуществляется управление сисіемой, имеют конструкционные связи, ограничивающие их движения. Существующие примеры, среди которых характерным является ограниченное движение элеронов и рулей управления летательного аппарата, являются лучшим подтверждением сказанною выше. Следует также вспомнить о проблеме насыщения акиоаторов, с помощью которых создается управляющее воздействие Известно, чю любой актюагор имеет верхнюю и нижнюю границы, в пределах которых он функционируем в рабочем режиме, а это приводні к оіраничению полезной силы актюатора по абсолютной величине. Развитие
новых материалов іакже послужило толчком для pat смоірелия задач с ограниченным по абсолютной величине управлением. Дело в іом, чю такие материалы имеют, как правило, два устойчивых состояния, и способны резко переходить и? одною сосюя-ния в друюе, изменяя свои физические свойства под влиянием внешних воздействий Именно это: принцип был положен в основу идеи іашения колебаний в иекоюрых динамических системах. Становится очевидным, что рассмотрение проблем ошимальною стохас 1ИЧССК0Ю управления с оіраниченньїм по абсолютной величино управляющим воздействием продиктовано новыми требованиями к управляемым сииемам и развитием новых іехнологий
Метод динамического программирования, как уже было сказано ранее, сводит поставленную задачу к проблеме нахождения решения задачи Коши для нелинейного вырожденною параболического уравнения, причем поставленная задача ведет к сильной нелинейности іипа сиінум-функции Ввиду сложности поставленной задачи и отсутствия сірої их математических меюдов решения вырожденных нелинейных уравнений в частных производных параболическою типа, точное решение пос іавленной задачи на сеюдняшний день остается не найденным В качесіве одного из возможных подходов было предложено использовать меюд возмущений, іде малым параметром считалась интенсивность шума или абсолюшая величина управления Отметим, что продвинуться дальше нулевого приближения во многих случаях практически не удается из-за сложное і и исходного уравнения в частных производных. Использование классических численных методов, таких как метод сеток, для решения соотвеїсівующею уравнения Гамилыона-Якоби-Беллмана іакже не преде іавляется возможным, ввиду того, что асимпюіическое поведение функции Беллмана неизвестно. Следовательно, неизвестными являются краевые условия, іребуемьіе для численного решения уравнения параболическою іипа в оіраниченной вычислительной обласіи Известны работы, в которых зі и условия выбрались на основе некоторых, чиєю интуитивных соображений, что не даеі право рассчитывать на высокую точность полученного резулыата и даже говорить о ею правомерность С друюй стороны, наличие такою рода задач не только в облас їй ошимальною управления ведет к развитию новых численных методов способных справиться с описанными трудностями Хочеіся еще раз подчеркнуть, чю на данный момент не сущесгвуеі точных методов решения задач сюхастическою управления с ограниченным по абсолютной величине управляющим воздействием.
Оісуїствие ючного результата приводні к тому, что невозможно проверим, юч-носм, юго или иною нового метода Более того, предложение использовать некоторый неошимальный закон управления не позволяет оценим, сіеиень неоптимальносіи последнею Следовательно, акіуальной на сегодняшний день является попытка нахождения оптимальных законов с юхасіического управления для модельных задач, і е задач с конечным числом степеней свободы, включая самые прос іьіе - линейные стохас іиче-ские системы с одной степенью свободы. Отметим, что задача минимизации средней сшеріии линейной, недемпфированной сисіемьі, находящейся под дейсівием внешнею гауссовою случайного возбуждения и оіраниченного по модулю внешнего управления, к конечному, фиксированному моменту времени, остается нерешенной. Действителыю, сформулированная задача стохастическою управления приводні к следующей задаче Кош и.
ди дх<
_сРи 2 дхі
а'
+
-R
П2хг
дт дх\
ди дх2
и{хих2,0) = \{П2х1 + х1), г Є [О,Г]
Здесь Xi, j2 - перемещение и скорость системы, запис анные в фазовых переменных, И - собственная частота, о1 - интенсивность гауссовою белого шума, R - оіраничение на величину управляющею воздействия
Именно такие актуальные и прикладные проблемы оімимального стохастическо-ю управления с ограниченным по абсолютной величине управляющим воздейс мзием рассмотрены в предложенной рабо і е В линейных системах управление является внешним, тогда как в билинейных задачах управление происходи! засчет изменения пара-мсчров системы, те является парамеїрическим Исследованы задачи Майера (минимизация целевой функции к заданному, фиксированному момешу времени), Лагранжа (минимизация целевой функции \\л заданном интервале времени) и Больца (линейная комбинация вышеуказанных критериев качества). Во всех задачах, за исключением задачи оптимального слежения, в качесіве целевой функции выбрана средняя энергия системы, і е. сруикционал является выпуклым но фазовым переменным и не содержит управления. В задаче оптимального слежения роль целевой функции иірает среднеквадратичное отклонение перемещения системы от заданной іраекіории.
Ввиду сложности задач оптимального стохас іическоїо управления, а гакже трудностей, связанных с реализацией таких законов на иракіике, часто приходи і ся при-
меняіь неоптимальные или квазиоптимальные стратегии управления. Предложить такой закон управления, удовлетворяющий хогя бы час іично предъявленным требования, оказывается не менее сложной задачей. Разумеется, выбор квазионіимального закона управления, в первую очередь, основьіваеіся на пропою ею применения к реальным физическим си( юмам. Как будет показано в рабою, іаким квазиошимальным законом служит закон тесно связанный с (игнум-функцией В задачах с внешним управлением таким законом выступает закон сухою трения, і е. закон пропорциональный сишум-функции с коропи системы, а для задач с парамнрическим управлением квазиоптимальным законом может служи і ь закон пропорциональный сигнум-функции о і произведения перемещения и скорости (ИСЮМЫ.
Хотя применение квазиоптимальных (іратегий сущее іиенно упрощаем реализацию синіеза оптимальної о управления, появление таких (ильных нелинейносюй - нели-нейнопей гипа сигнум-функции делает сложным анализ получаемых динамичес ких си-(юм. Желание проанализировать поведение квазиоптимальных систем с целью предсказания их поведения является вполне есюственным и приводит к необходимости рассмотрения и изучения нелинейных задач стохастической механики Анализ таких сипом затруднен ввиду юю, что в резулыаю возникают сюхастические сипомы с разрывными правыми чапями, причем квашопгимальное управление завис и і юлько 01 юкущего состояния фазовых переменных еипемы Такие еинемы в рабою имену-ююя сильно нелиш иными Существующие локальные методы анализа стохас іических систем, а также мої оды усреднения, не способны дать надежных результатов, іак как базируются на предположении о малой нелинейности, входящей в уравнение движения или малых изменениях амплитуды (энергии) системы 3d период.
Применение квазиошималыюю управления в системах с внешним управлением приводні к рассмотрению с юхапических систем с сухим трением, а в системах с парамнрическим управлением - к рассмотрению еще более сложных стохастических синем с мгновенно изменяющимися параметрами Заметим, что ввиду свойств сишум-функции, потери в парамемрически управляемых невозмущенных сисюмах происходяї в дискрнные моменты времени, правда, заданные движением самой системы. В связи с таким характерным поведением, эти еипемы образуюі класс кусочно-консервативных синем. Появление сильно нелинейных систем, как резулыат применения квазиоптимальных страюшй, поднимает целый ряд вопросов касающихся надежности іаких си-
стем, возможности получения оценки средней знеріии системы, вычисления плотности распределения фазовых переменных состояния Попытки пси і роения некоюрых из перечисленных оценок приводні к необходимое і и развития новых методов анализа таких сиси'м, как аналитических, іак и численных. Интересно, чю прямое численное моделирование уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова по о і ношению к илопюсти распределения вероятности перехода для соотвеїсівующей системы не преде і аил яет-ся возможным. Объясняется зю іем, что в уравнении появляемся дельта функция, как резульїаі дифференцирования сигнум-функции. Таким обраюм, численное поем роение плотное їй распределения вероя і носі и требует модификации сущесівующих численных методов или разработки новых подходов
Заметим, чю класс кусочно-консервативных сисіем включаем в себя не только параметрически управляемые сисмемы, но и сие юмы, сильная нелинейность которых обусловлена их физическими с войс івами К таким оіносятся виброударные сие юмы с доминирующими энергетическими потерями при ударе, те недемпфированные системы с неупруїим ударом Виброударные режимы всіречаютея во мноіих динамических системах, специально скоие іруированньїх для виброударной рабо і ы. К их числу оі носите я пружинный молот, виброударные инструмент и ручные машины ударною действия для сіроигельной, горнорудной и металлообрабатывающей оіраслей С друїой стороны, виброударные режимы как нежелательные явления можно встретить при работе зубчатой коробки передач, движении колеса ваюна на стыках и стрелках и прочие Сущее івующие методы анализа стохастических виброударных сисіем позволяю і получить приемлемые результаты только в случае малых ударных по і ерь Случай немалых потерь іребуеі развития новых аналитических мечодов.
Резюмируя, данная работа посвящена изучению поведения стохастических линейных и нелинейных динамических сисюм, находящихся под действием внешних случайных наїрузок Представленная диссертация состоит из трех основных частей 1) изучение проблем стохастическою оптимальною управления линейными и билинейными, НОЛН0С1ЫО наблюдаемыми сие і омами с ограниченным по модулю управлением; 2) аналитический и численный анализ нелинейных стохас іических систем, возникающих в результате применения законов управления, 3) аналиіический и численный анализ стохастических виброударных систем с поведением качес тонно схожим с параметрически управляемыми еиоюмами.
Цель работы. Целью насюящей рабоїьі является создание комплексною подхода, состоящего из аналитических и численных меюдов, служащих для магматического моделирования и анализа задач стохастическою оптимальною упраиления, л іакже исследования сильно нелинейных сюхастичес ких систем Конкретно (іавились следующие цели
Поиск эффективною метода для решения задач синтеза ошимальною стохастическою управления полностью наблюдаемыми, линейными и билинейными системами с внешним широкополосным случайным возмущением.
Создание вычислительных проірамм с целью установления оптимальных и квазиоптимальных сіратегий управления для рассмотренных классов линейных и билинейных сисіем
Разрабснка аналитических меюдов, позволяющих эффективно проводить анализ сильно нелинейных стохасіических сие іем
Разработка и усовершенствование численных методов, а также с оздание на их базе комплекса вычислиіельньїх программ, служащих для анализа с ильно нелинейных с юхастических сисіем
Методы исследований. В диссеріации использованы меюды функционального анализа, іеории дифференциальных уравнений в частых производных, теории обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений, теории численных меюдов, теории случайных процессов и теории управления
Научная новизна полученных результатов. Все результаты, включенные в диссертацию, получены впервые Научная нови зна результатов, представленных к за-щиіе состоит в следующем*
1. Предложен численно-аналиіический метод решения уравнения Гамильтона - Яко-би - Белл мана С помощью *тю метода нос і роен сишез оптимальною управления для класса задач стохастической оптимизации с ограничением на абсолютную величину управляющего воздейсівия.
I lor і роен алгоритм, позволяющий примениіь разработанный метод решения уравнения Гамилыона - Якоби - Беллмана для динамических систем г конечным числом степеней (вободы, а также еистем с пуассоновским внешним возбуждением
Разработаны вычислительные программы, позволяющие строи п. ошимальные стратегии управления линейными сие і омами с внешним управлением
4. Получены квазиоптимальныо законы управления линейными и билинейными системами, находящимися в режиме установившихся колебаний
Проведено численно-аналитическое исследование задачи надежности квазиопти-мально управляемых еж і ем
Результаты численною моделирования показали, что закон управления в виде сухою і рения являеіся наилучшим в классе линейно - ограниченных управлений
7. Разработан чигленно-аналитичеекий метод идентификации параметров стохастических систем г одной степенью свободы и нелинейным трением
8 Разработан аналитический меюд баланса энергии для оценки средней ліеріии кусочно - консервативных сиеіем.
9. Предложен ряд усовершенствований численного метода ингсчрирования вдоль траекюрий, который леї в основу комплекса вычислительных программ, созданных для построения ПЛОПЮС1И распределения верояїности переменных сое юяния сильно нелинейных сипом.
Обоснованность выводов диссертации. Дос юверность полученных результа-юв обеспечивается выбором апробированных исходных моделей, сірої остью применения математического аппарата и формализмом механики, сравнением аналитических результатов г результатами чигленного моделирования; использованием модельных задач при чиеленном моделировании и сравнением резулыатов с результатами, полеченными друїими авторами независимыми методами исследования подобных задач
Практическая ценность работы В диссертации рассмотрен целый ряд модельных задач стохастическою управления Полученные в диссертации результаты могут найти применение при решении многочисленных задач управления г обратной связью
колебагельными процессами в системах, подверженных случайным нагрузкам, при заданном ограничении на абсолютную величину управляющем о воздействия Кроме то-ю, представленные результаш могут служиіь эталоном для апробации новых методов в теории ошималыюю стохастическою управления В рабою исследован ряд задач, имеющих иракіическое значение, среди которых задача идентификации нелинейных характерне іик сюхастических сие іем, задача исследования надежности управляемых систем, задача о возникновении субгармонических колебаний океанских илаїформ. Предложен ряд законов управления, коюрые могут быть использованы в машинах и механизмах для гашения нежелательных вибраций. Разрабоїанньїе вычислительные мс і оды и проіраммьі могуі найіи применение в задачах, где проведение эксперимен-іа можеі оказаться слишком дороюстоящим Аналиіические методы моїут использо-ваіься в учебном процессе при изложении теории управления и динамики нелинейных сюхасіических систем
Апробация работы. Резульгаїьі диссертации докладывались на научных семинарах кафедры "Механика и процессы уиравления",СПбГПУ, на кафедре "Прикладная механика и управление", МГУ; на кафедре "Кибернетика", МИЭМ, в Инсіиіуіе проблем машиноведения РАН (С-Пеіербурі), в Инстиіуіе проблем механики РАН (Москва), на Инженерном департаменю Университета Майами (США), на Инженерном департаменю Института Иллинойса в Урбана Шампейн (США), на департаменте Прикладной маїематики ГУ Тронхейма (Норвеїия), на Инженерном департаменю Ву-стерского полиюхническою института (США) Представленные результаты докладывались на всесоюзных и международных конференциях. Stochastic Structural Dynamics 1998, (Нотер Дам, США), EUROMECH 386,1998, (Берлин, Германия), ASME'99 (Блакс-бург, США), ENOC99 (Коппенгаген, Дания), EURO- DYN99 (Роїердам, Нидерланды), EUROMECH 413, 2000, (Палермо, Игалия), ЮТАМ 2000 (Чикаю, США), NOLCOS 2001 (С-Петербург), СОС 2000 (С-Петербург), VIII Всероссийский сьезд по теореіи-ческой и прикладной механике (Пермь, 2001), АРМ 2001 (С-Пеіербурі), АРМ 2002 (С-Петербург), ENOC02 (Москва), XIV Симпозиум но виброударным и сильно нелинейным системам (Звенигород 2003), ЕСС'ОЗ (Камбридж, Ашлия), ICOSSAR'05 (Рим, Иіалия), ENOC'05 (Эйшхоиен, Голандия), XV Симпозиум по виброударным и сильно нелинейным системам (Звениюрод 200G).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 48 научных ірудов
Структура и объем диссертации. Диссеріация состой і из введения, шести глав и заключения Работа содержит 278 сіраниц, включая 93 рисунка и списка лите-раїурьі состоящею из 303 наименований.
В первой їлаве изложены основы необходимые для аналитическою и численного анализа стохастических сжіем. В первых двух параірафах вводятся понятия случай-ноі о процесса, белого шума, дельта - коррелировашюі о процесса и марковского диффузионного процесса, а также даются определения плотности распределения верояїности, моментов, корреляционной функции, спектральной плотное їй и друї ие понятия, присущие случайным процессам Показано, что интеїрирование случайною процесса существенно отличаеіся от привычного, классическою понятия интегрирования в смысле Римана, так как значение эюю интеграла зависит от выбора точки в которой берегся шачение подьішеїральной функции Эю напрямую связано с понятием дифференциального уравнения в смысле Ито и в смысле Сіраіоновича. Показано, что пленноеть распределения вероятносіи перехода диффузионного марковского процесса удовлетворяем двум уравнениям в частых прои знодных параболическої о типа - прямої о и обрат-ною уравнениям Колмоюрова. В п 1 3 вводится понятие управления диффу шонными случайными процессам Показано, чю синтез ошималыюю управления можно строить методом динамическою программирования, предложенною Беллманом Продемонстрировано, что функционал Беллмана удовлеіворяет уравнению в частных производных параболического типа - уравнению Гамилыона - Якоби - Беллмана В этом пара-ірафе, также дан краї кий обзор существующих методов решения задач опіимального стохастическою управления. Объясняемся, что эффективность метода динамического программирования, ввиду специфики меюда и указанных существующих проблем, невелика, особенно для задач с ограниченным по абсолютной величине управляющим воздействие В юже время оіраничение на модуль управляющего воздействия являеіся весьма естесівенным требованием при рассмотрении задач управления Следовательно, создание новых методов отыскания решений уравнения Гамилыона - Якоби - Беллмана с іановится особенно актуальным. Раздел 1.4 посвящен точным и приближенным аналиіическим мої одам, служащим для решения задач стохасіической динамики, с об юром как классических так и новейших мемодов анализа Приводится краткий обзор
меюда статистической линеаризации, метода моментов, мої ода стохастическою и квазиконсервативною усреднения В п 1 5 дан краткий обзор численных методов, часіь из коюрых используется в диссертации. Обсуждается возможность численных решений стохастических дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных для переходной ШІОШОГІИ распределения верояїности парамеїров сое юяния системы. В том числе освещены современные численные методы меюд клеточных отображений и метод интегрирования вдоль іраекторий Последний параграф посвящен особенности анализа сильно нелинейных виброударных сие іем Показано, чю существующие меюды анализа не способны даіь точную оценку динамических харакіеристик ииб-іюударньїх систем с неуиругим ударом, что дикіуег необходимость разработок новых методов и подходов
Во второй їлаве предложен меюд решения задач ошимального сюхастическою управления В п 2 1 сформулирована задача ошимального с юхастическоїо управления движением ос циллятора с одной сіепенью свободы В п 2 3 на примере решения задачи оптимальною сюхастическою управления, для системы с одной ыепенью свободы и енраниченным по абсолютной величине управляющим воздействием, для функционала Больца (п 2 2), даеіся математическое обоснование метода гибридного решения уравнения Гамильтона - Якоби - Белл мана Показано, что разработанный меюд позволяем находить ючное аналитическое решение уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана во внешней обласіи и проводи і ь численное решение того же уравнения в оставшейся, дополнительной к внешней, 01 раниченной внутренней области, используя полученное аналитическое решение в качесіве краевых условий. Более юю, показано, что полученное методом характеристик аналитическое решение является асимпюіическим для функции Беллмана во внешней области. В п 2.4 приводится решение задач стохасти-чес кою управления с внешним гауссовским и пуассоновским шумами, а также для системы с вязким і рением и без нею В п 2 5 обсуждается численная схема для решения уравнения Гамилыона - Якоби - Беллмана во внутренней области, которая реализуем алюритм гибридного решения Здесь приводяіся резулыаш решения соелветствую-щих уравнений динамического проіраммирования для разных задач, рассмотренных в эюй їлаве, дается анализ полученных результаюв и их сравнение с резулыагами альїернаїивньїх вычислений, проведенных другими авторами.
В іреіьей главе рассмотрены некоюрые задачи ошимальною стохастического
уиравления, коюрые могут бьпь проанализированы меюдом гибридного решения. В разделе 3 1 рассматривается задача оптимального управления сие іемой со мноїими степенями свободы Эта задача является обобщением задачи, решенной в п 22 Показано, чю уравнение Гамильтона - Якоби - Беллмана для эюй системы распадаеіся на п уравнений (іде п - число степеней свободы динамичес кой системы) Каждое полученное уравнение, для соответствующей степени свободы, схоже с уравнением для сие іемьі с одной степенью свободы, решенным в предыдущей главе В разделе 3.2 рассмаїри-ваеіся возможное іь применения меюда гибридного решения к задачам управления с гохасіическими сисіемами с распределенными параметрами В пЗЗ (формулирована и решена задача оптимальною сюхастическою слежения объектом, двиїающимся в случайной среде В последующих двух разделах рассмотрены задачи с юхастичос ко-ю опіимальноіо управления билинейными сисіемами, те системами с параметрическим управлением Приводится вывод уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана для іаких систем и анализ методом іибридного решения В и 3 4 рассмотрена задача оптимальною стохастического управления жесткосіью системы, а в разделе 3 5 задача ошимального стохастического управления момешом инерции системы. Раздел 3 6 ио-( вящен проблемам ошимального стохасіического управления нелинейными системами Показано, что для узкого класса сие іем метод гибридного решения позволяем получить решение задачи синтеза управления, а в остальном подавляющем большинстве случаев необходимо либо линеаризовать сие іему, либо воспользоваться методом усреднения для понижения порядка системы Приведены резулыаты других авторов, полученные алыернаышными путями, подтверждающие полученные в диссертации резулыапл
В четвертой їлаве проведен анализ стохастических сисіем с сухим і рением В п 4 1 показано, что квазиоптимальным законом управления при минимизации средней энер1 ии системы, находящейся в режиме усіановившихся колебаний, является закон сухою ірения В разделе 4.2 показано, чю результаты стохастическою аналим для средней амплитуды процесса совпадают с і оми, что получены из рассмотрения функционала Беллмана Таким образом, здесь продемонстрирована связь между решением уравнения ГЯБ и стохастической оценкой поведения средней амплитуды процесса В п 4 3 представлено сравнение оіраниченного и линейно-оі раниченною управления Показано, чю замена одного закона управления на другой вносит серьезную ошибку по функционалу качества, а также, чю из множесіва линейно-енраниченных функций
управления закон сухого трения являеіся наилучшим В разделе 4 4 проведен анализ надежности ошимально-управляемых систем. Показано, чю оптимально-управляемые си( іемьі, те сисіемьі с сухим трением менее надежны, чем системы с вязким трением в ( мысле достижения некоюрого пороіового значения В последнем разделе рассмотрена задача идеіиификации нелинейной характеристики (юхастических сие іем с одной степенью свободы. Предложен новый мсюд идеиіификации иарамеїров нелинейною трения таких си( іом по измеряемому выходному сиіналу
В пятой їлаве вводи к я определение кусочно - консервативных систем. В п 51 предлагается меюд анализа кусочно - консерваїивньїх систем - метод баланса эшр-гии В следующих трех параірафах приводятся аналитические и численные резулыа-гы анализа стохас іических сисіем с ошимальным управлением- сие і ем с изменяемой жесткое іью п 5 2, систем с изменяемым моментом инерции п.5 3 и сие і ем с изменяемой длинной подвеса (качели) п 5 4 Показано, чю разработанный метод обеспечиваоі более точные ре зульташ, чем существующие до этою приближенные меюды В разделе 5 4 описывается подробно алюритм меюда интеїрирования вдоль траекторий, который в следующем разделе успешно используется для построения плотносіи распределения переменных сосюяния оптимально-управляемых сисіем, рассмотренных в п 5 2, п.5 3 и п 5 4 Изучена зависимость с іационарной плотносіи распределения вероятное їй переменных сое іояішя системы от величины управления
В шестой їлаве рассмоіреньї стохасіические виброударные сие іемьі В п б 1 описаны известные методы анализа стохас і ических виброударных сисіем. В разделе 6 2 приводится способ вычисления спектральной плотности перемещения виброударных си-с іем с упругим ударом, во збуждаемых негауссовс ким, делыа - коррелированным белым шумом. В п64 проведен приближенный аналитический анализ задачи о досіижении заданных границ Полученные в эюм разделе резулыаш используются в п.6 3 для получения приближенных аналитических выражений для средней энергии виброударных систем с доминирующими ударными потерями. Численные результаты для плотносіи распределения вероятности неременных состояния и спектральной плонюсти виброударных систем с неупругим ударом преде і явлены в п.6 5 Здесь получены эмпирические формулы для некоторых с іаіистических харакіеристик переменных состояния системы В п б 6 проведено исследование поведения виброударных с исіем находящихся под действие узкополосною случайною нагружения анализ субіармонических коле-
баниях морских платформ и влияния фазовых флукіуаций на хаоїическое поведение виброударной гипемы. В п 6 7 приводится численный анализ виброударных сисіем с двумя степенями свободы
В заключении сформулированы основные результаты диссертации
