Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Моделирование физических параметров в многомасштабной неоднородной среде 30
1.1. Построение непрерывного мультипликативного каскада 30
1.2. Логарифмически нормальная модель поля 33
1.3. Логарифмически устойчивая модель поля 37
Глава 2. Подсеточное моделирование процессов переноса в изотропной многомасштабной среде 45
2.1. Эффективные коэффициенты при логнормальном распределении вероятностей поля проводимости 48
2.2. Оценка вторых статистических моментов при логнормальном распределении вероятностей поля проводимости 51
2.3. Эффективные коэффициенты при логарифмически устойчивом распределении вероятностей поля проводимости 59
2.4. Оценка вторых статистических моментов с логарифмически устойчивым распределением вероятностей проводимости 61
2.5. Численное моделирование 64
Глава 3. Подсеточное моделирование в анизотропных многомасштабных средах 81
3.1. Эффективные уравнения в анизотропной многомасштабпой среде с логарифмически нормальным распределением вероятностей поля проводимости 83
3.2. Оценка вторых статистических моментов в анизотропной многомасштабной среде с логарифмически нормальным распределением вероятностей поля проводимости 92
3.3. Численное моделирование 109
Глава 4. Подсеточное моделирование дисперсии фильтрационного по тока в многомасшабных случайных средах 127
4.1. Эффективные уравнения распространения фронта меченых частиц с логарифмически нормальным распределением пористости и проницаемости 128
4.2. Оценка статистической дисперсии средней скорости распространения фронта меченых частиц с логарифмически нормальным распределением пористости и проницаемости 132
4.3. Эффективные уравнения с логарифмически устойчивым распределением пористости и проницаемости 136
4.4. Численное моделирование 143
Глава 5. Подсеточное моделирование для квазистационарных уравнений Максвелла 153
5.1. Эффективные уравнения с логарифмически нормальным распределением проводимости 154
5.2. Оценка вторых статистических моментов плотности электрического тока и напряженности электрического поля 159
5.3. Численное моделирование 169
Заключение 193
Литература
- Логарифмически нормальная модель поля
- Оценка вторых статистических моментов при логнормальном распределении вероятностей поля проводимости
- Оценка вторых статистических моментов в анизотропной многомасштабной среде с логарифмически нормальным распределением вероятностей поля проводимости
- Эффективные уравнения с логарифмически устойчивым распределением пористости и проницаемости
Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Современная геофизика вышла за рамки традиционной горизонтально-слоистой однородной модели среды. Общепринята точка зрения, согласно которой неоднородность среды оказывает существенное влияние на процессы распространения жидкости, тепла, электрического тока, волн и т.д. В большинстве геофизических задач крупные неоднородные включения (пласты, пропластки) учитываются в модели непосредственно с помощью граничных условий. Такие задачи широко используют численные методы. Прогресс в этом направлении при современных темпах роста вычислительных возможностей представляется неограниченным. Однако и здесь имеются принципиальные трудности, если ограничиться непосредственным расчетом физических величин в средах достаточно сложной структуры. Поэтому одна из фундаментальных задач при изучении неоднородных сред касается математического моделирования, включающего малые масштабы. Эта задача возникает, например, в молекулярной динамике, турбулентных течениях и в задачах протекания жидкости, электрического тока, тепла в многомасштабных неоднородных средах. Основные уравнения для подобных явлений, такие как уравнения Шрёдингера, Максвелла, фильтрации, упругости или уравнения Навье-Стокса могут быть очень точными моделями для реальных явлений, но требуют больших вычислительных затрат из-за вариаций коэффициентов всех масштабов. Если учитывать малые масштабы, то даже компьютеры с большой мощностью не способны решить эти уравнения с достаточной точностью. Традиционный подход для преодоления этой трудности - найти упрощающие модели, требующие меньшего количества вычислительных затрат, решение которых для физических величин, например, для скорости, напряженности электрического поля и т.д. близко в среднем к решению первоначальной полной задачи. Построение таких более простых моделей, правильно описывающих поведение решения в крупномасштабном пределе, называется подсеточным моделированием. Естественным подходом для поиска подсеточной модели может быть усреднение полных уравнений по мелкомасштабной компоненте. В середине семидесятых годов прошлого столетия появилась новая область исследований в геодинамике и подземной гидродинамике - стохастическое моделирование потока и переноса. При исследовании явлений переноса в неоднородной среде мелкомасштабные неоднородности учитывают в рамках статистических моделей с помощью эффективных коэффициентов (М. И. Швидлер, 1963, G. Dagan, 1983). Эффективные характеристики системы, найденные для одной задачи, могут оказаться непригодными для другой задачи, решаемой для той же системы. Если масштаб неоднородности сравним с размерами области
решения системы, эффективная проводимость зависит не только от свойств среды, но и от размеров области и типа условий на ее границе. В этом случае эффективные характеристики зависят от условий задачи в целом и должны определяться в каждом отдельном случае. Если размеры области решения велики по сравнению с масштабом неоднородности, краевые условия мало влияют на эффективные характеристики, за исключением возможно узкой приграничной зоны. Однако в этом случае эффективные коэффициенты должны, так или иначе, зависеть от всех параметров случайного поля, например, от всех моментов случайного поля. Попытки суммирования всего ряда теории возмущений связаны с методом перенормировок, развитым в квантовой теории поля. Формула Ландау - Лифшица-Матерона для эффективной проницаемости в рамках строгой полевой ренормализационной группы получена в работах U. Jackel, Н. Vereecken (1997), G. Chistakos, D., Т. Hristopulos (1999), Э. В. Теодоровича (2002). В начале девяностых годов новые подходы в задаче подсеточного моделирования были развиты на основе динамической численной подсеточной модели, впервые введенной Джермано и др. (1991). В этом подходе ищется подсеточная модель для конкретных данных. Сначала на разных вычисляемых (достаточно крупных) масштабах численно ищется решение с хорошей точностью. Затем, используя эти решения, пытаются найти формулы экстраполяции решения от масштаба к масштабу, чтобы применить их для учета мелких масштабов. Зависимость коэффициентов от начальных данных и граничных условий принимается во внимание.
Для того, чтобы иметь основания применить метод подсеточного моделирования или применить метод перенормировок Вилсона, необходимо, чтобы задача в некотором интервале масштабов, включая малые масштабы, имела некоторую "масштабную регулярность". Например, для того чтобы опыт, приобретенный при решении задачи на грубых масштабах с хорошим численным решением, можно было использовать для более мелких масштабов. Многие задачи, имеющие вариации коэффициентов от малых до больших масштабов, например, течения при больших числах Рейнольдса в неоднородных пористых средах и т.д., фактически имеют такую регулярность. Для моделирования физических величин с таким поведением используются каскадные модели, поскольку оказалось, что они хорошо описывают эмпирические данные в различных геофизических задачах. Бесконечные мультипликативные каскады, введенные впервые Колмогоровым, ведут к крайне неоднородным множествам. Впервые каскады Колмогоров ввел в 1941 г. для прикладной задачи о распределении частиц при дроблении. Процесс дробления моделировался как каскад с автомодельным механизмом последовательного измельчения частиц, что привело к логнормальному распределению их размеров.
Усовершенствованная гипотеза подобия в турбулентности сформулирована Колмогоровым в 1962 г.. Задачи моделирования развитой турбулентности и процессов, происходящих в неоднородной среде, различны. Речь идет лишь о внешних проявлениях двух очень разных физических процессов, а именно: стохастичности, автомодельности, иерархически пространственной структурированности и наличии степенных закономерностей. Признаком масштабного подобия служит наличие степенных зависимостей в корреляционных функциях. По результатам геофизических работ в нефтегазовых скважинах и петрофизическим исследованиям многими авторами отмечалось масштабное подобие для электрофизических и гидрофизических параметров сред. К настоящему времени сложилось понимание важности проблемы учета мелких масштабов и развития методов подсеточного моделирования в геофизических задачах. Цель исследования и основные задачи
Цель работы: создать методы определения эффективных параметров и решить уравнения движения с учетом многомасштабности и перемежаемости вариаций параметров в среде, если о флуктуациях параметров имеется, лишь статистическая информация. Научная новизна
В настоящей работе предложен новый метод подсеточного моделирования, позволяющий решить задачи с учетом мелкомасштабных флуктуации в многомасштабной неоднородной среде, в котором физические параметры задачи моделируются непрерывными мультипликативными каскадами (испытывают сильные пространственные флуктуации с перемежаемостью). Впервые построена непрерывная каскадная модель среды, пригодная для прямой численной проверки статистических моделей. Метод применялся для решения стационарных задач фильтрации, квазистационарных уравнений Максвелла и задачи конвективной диффузии. Практическая ценность работы
Вследствие недоступности большинства геологических систем непосредственному наблюдению их исследование производится с помощью геофизических методов и математических моделей. Поэтому большой практический интерес имеет оценка влияния микронеоднородностей при создании математической модели вытеснения пластовых флюидов фильтратом бурового раствора и возбуждении электромагнитного поля в нефтяном резервуаре. В частности, при проектировании высокочастотных зондов в индукционном каротаже. В работе получены результаты в задаче конвективной диффузии. Эта задача важна для построения математической модели распространения загрязнений токсичными и радиоактивными веществами подземных вод, переноса теплоты
фильтрационным потоком, использования различных добавок к воде при заводнении
нефтяных скважин.
Достоверность, построенных математических моделей, основана на теоретическом
анализе, детальных численных экспериментах и сопоставлением полученных решений, с
известными решениями.
Апробация работы
Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах « Математические методы в геофизике» под руководством академика РАН Алексеева А.С. (Новосибирск 2000-2003г.), под руководством академика РАН Михайленко Б.Г. (Новосибирск 2008г.), на семинарах «Геомеханика и Геофизика» под руководством академика РАН Гольдина СВ. (Новосибирск 2001г., 2002г., 2004г., Байкал 2006г.), на семинарах по геоэлектрике под руководством академика РАН Эпова М.И. (Новосибирск, 2003г.-2008г.); на семинаре «Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике» под руководством член-корр. РАН Михайлова Г. А., а также на четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНГГРИМ-2000г.), посвященном памяти М. А. Лаврентьева; на 7 и 8 международных конференциях «Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей», Новосибирск 2000г., 2001г. На зарубежных конференциях: EAGE/SEG Research Workshop on 'Reservoir Rocks', (PAU, France 30 April-3 May 2001); International Conference on Multifield Problems, (April 8-10, 2002, Stuttgart, Germany); на конференции « Математические методы в геофизике», (Новосибирск, ИВМ и МГ 2003); на международной конференции: «Kolmogorov and contemporary mathematics», (Москва, Июнь 16—21, 2003); на зарубежных конференциях IVth FMACS Seminar on Monte Carlo Methods, (September 15-19, 2003), WIAS Berlin; Symmetry in nonlinear mathematical physics, Kyiv (June 23—29, 2003), Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании, (Алматы, 2004г., 2008г.); Computational Science, Workshop Multiscale problems - ICCS 2005, (Atlanta, USA); The International Conference on Applied and Theoretical mechanics (Mechanics'06) Venice, Italy, 20-22-November; International Conference on Mathematical Modeling and Computational Physics, (August 28-September 1, Slovakia 2006); WSEAS International Conference Applied and Theoretical Mechanics, Spain, (December 14-16, 2007); на конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики», Новосибирск , (21-24 августа, 2007г.); на конференции «ГЕО-Сибирь», 2008г., Новосибирск, на конференции по «Математическим Методам в Геофизике», посвященной восьмидесятилетию акад. А.С. Алексеева, Новосибирск, 2008г.
Публикации
Общее число публикаций по теме диссертации - 25. В их числе 9 статей - в журналах из
перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть
опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени
доктора наук; 13 статей - в сборниках международных и российских конференций; 3
статьи - в иностранных и отечественных журналах, не входящих в перечень ВАК.
Личный вклад
Все результаты в соавторстве с Геннадием Андреевичем Кузьминым получены на
паритетных началах. В работах с другими соавторами основной вклад принадлежит
автору диссертации (получение теоретических результатов, написание основных
программ, проведение численных расчетов, обсуждение результатов).
Структура и объем
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой
литературы. Объем диссертации составляет 215 страниц, в том числе 176 страниц
основного текста, 47 рисунков на 39 страницах.
Логарифмически нормальная модель поля
Механизм осадконакопления в достаточно спокойных условиях приводит к тому, что природным неоднородным средам свойственен характер слоистой системы. Поэтому большой интерес представляет исследование задач геоэлектрики и фильтрации в анизотропных средах. В третьей главе предложенный метод подсеточиого моделирования применяется для анизотропной среды в случае, когда проводимость в точке - изотропна, а корреляционная функция поля - анизотропна. Как правило, реальные пласты, вследствие слоистости, обладают анизотропией именно такого рода. Предполагается, что среда состоит из множества однородных изотропных блоков, по форме близких к параллелепипеду. Проводимость блоков случайна. Если блоки размещены в пространстве достаточно упорядочено, такая среда будет макроанизотропной. Это видно в предельном примере слоистой системы, состоящей из слоев различной проводимости. В дальнейшем предполагаем, что масштабы корреляций удельной проводимости по различным осям различны. В изотропном случае вид корреляционной функции не влияет на эффективные коэффициенты, полученные с помощью метода, описанного в главе 2. В этом случае статистическая информация исчерпывается знанием закона распределения, среднего поля р(х, I) и его дисперсии. Исследование анизотропного случая требует информации о виде корреляционной функции. Экспериментальное определение этой функции требует измерения проводимости в большом количестве точек в различных интервалах. Такие систематические измерения довольно дороги, требуют больших временных затрат и, вследствие этого, редки в научной литературе. Одна из основных трудностей - это извлечение ненарушенного керна из рыхлой осадочной породы. Тем не менее, в работах [79], [80] получены экспериментально не только средние значения и дисперсия по ля проводимости, но и вид корреляционной функции. В работе предполагается, что проводящая среда, стратифицироваина таким образом, что проводимость по координатам х\, Х2 имеет одинаковые масштабы неодно-родностей. Если по осям хі, Х2 масштаб равен li = a il, по оси жз - h — о , то а,\ «2 или а\ с 2- Одинаковые масштабы по двум осям рассматриваются только из соображений уменьшения громоздкости вычислений и, чтобы избежать численного вычисления эллиптических интегралов, которые неизбежно возникнут при интегрировании корреляционных функций для трехмерных структур. Поле проводимости имеет логарифмически нормальное распределение вероятностей. Анализ корреляций полей в анизотропных средах в рамках обычной теории возмуіцений показал, что вид корреляционной функции несущественно влияет на величину корреляционного момента [2]. Чтобы получить представление о степени влияния вида корреляционной функции на эффективные коэффициенты, предлагаемые в данной работе, рассмотрены анизотропные корреляционные функции проводимости, приведенные в работах [2], [79], [80], [81]. Результаты вычислений эффективных коэффициентов для различных корреляционных функций приведены в таблицах 1, 2. Показано, что для получения правильной оценки среднего потока можно пользоваться прямоугольной аппроксимацией корреляционной функции, поскольку коэффициенты в основном зависят от масштаба корреляций по различным осям. Для оценки вторых статистических моментов такая аппроксимация применима только в определенном диапазоне параметров. В разделе 3.2 сделана численная проверка полученных формул. Рассматривалось две модели среды. В первой модели коэффициент проводимости имеет крупные масштабы по осям х, /, а мелкие по оси z. Во второй модели коэффициент проводимости имеет крупные масштабы по оси z, мелкие по осям х, у. Численные расчеты показали, что для замены статистического усреднения усреднением по пространству, сетка 256 х 256 х 256 недостаточна, поэтому использовалось дополнительное усреднение по ансамблю Гиббса. На рисунках для сравнения приведены результаты расчетов как для анизотропного, так и изотропного случая. Для локального потока проведено сравнение с результатами, полученными по формулам обычной теории возмущений.
В главе 4 рассматривалось подсеточное моделирование дисперсии фильтрационного потока в многомасштабных случайных средах. Нерегуляр ность реальных пористых сред и, как ее следствие, нерегулярность ПОЛЯ скоростей являются причиной дисперсии жидкости, тепла и т. д. в процессе фильтрационного переноса. Задача имеет важное прикладное значение. Например, при решении проблем захоронения радиоактивных отходов, загрязнения воды химическими отходами, переноса теплоты фильтрационным потоком, использования различных добавок к воде при заводнении нефтяных скважин. Знание процесса переноса способствует решению обратных задач, дает возможность исследовать структуру среды. Важность задачи подтверждает огромное количество публикаций по данной тематике. Обширная библиография приведена в книгах [2], [3] и обзоре [44]. Теоретические основы анализа дисперсии закладывались В. Н. Николаевским, P. G SafFman, А. Е. Шейдегером в работах [82], [83], [84], [85], [86], где приведены основные уравнения, дан анализ экспериментов и некоторых задач.
Можно выделить мысленно некоторый объем в фильтрационном потоке и проследить за жидкими микрочастицами, находящимися в первоначальный момент времени в этом объеме. Нерегулярность поля скоростей в межпоровом пространстве приведет к тому, что через некоторое время микрочастицы займут новые положения в пространстве, расстояния между ними изменятся. Если следить за многими микрочастицами, то индивидуальное положение частицы будет определяться полем истинной скорости фильтрации, т. е. усредненным полем скорости жидких микрочастиц. Диспергирующие свойства усредненной скорости главным образом зависят от изменчивости макроскопических свойств пористого пространства, т.е. от флуктуации полей проводимости и пористости.
В настоящей работе рассматривается только конвективная диффузия, то есть диффузия порождаемая только флуктуирующим полем скорости [87], [88] [89], [90], [91], [92], [93], [94], [95]. В этом случае перенос жидких частиц определяется довольно сложным механизмом и для его описания привлекаются статистические методы. В разделе 4.1 приведена оценка средней скорости распространения фронта меченых частиц с логарифмически нормальным распределением пористости и проницаемости. В начальный момент времени в объем, заполненный чистой жидкостью, начинает поступать окрашенная жидкость. Поверхность раздела метится пассивными частицами, которые занимают начальные положения, затем перемещают ся стационарным полем скорости. Поскольку жидкости физически одинаковы, то их скорость фильтрации удовлетворяет стационарному уравнению ДарСИ. ДЛЯ Коэффициентов ПРОВОДИМОСТИ Є (аз) И ПОРИСТОСТИ 771 (аз) используется каскадная модель с логарифмически нормальным распределением вероятностей. Предполагается, что поле у?(аз, /) и поле, моделирующие пористость, х(аз, /) - дельта-коррелированы по логарифму от масштаба. По определению поле пористости имеет естественные ограничения (т (аз, /)) = mo, IQ I L, 0 т (аз) 1. Первое ограничение означает, что должен рассматриваться только консервативный каскад. Требование, чтобы все значения поля были меньше или равны единицы, удовлетворяется подбором дисперсии поля х(аз, /) при заданном значении параметра то. Корреляция между полями пористости и проницаемости задается через корреляцию полей (аз, /) и х (ж) О"
Оценка вторых статистических моментов при логнормальном распределении вероятностей поля проводимости
Полученные с помощью подсеточного моделирования формулы для оценки статистических моментов полей h(x), v(x), должны улучшить точность оценок получаемых в обычной теории возмущений. Численная проверка этого утверждения составляет содержание этого раздела, в котором полученные оценки сравниваются с численным экспериментом и результатами обычной теории возмущений. Для проверки приведенных выше формул в кубе с ребром LQ численно решается уравнение : V,- ((т(х)Ч&(х)) = 0, U(x) г= Е/о(Г), hj (х) = -VjU И), VJ (ж) = hj (ж). (2.63) На гранях куба у = 0 , у = LQ задается постоянный потенциал U{x) \V=Q= Z7i, U(x) \у=ьй— U2 , U\ Щ- Потенциал на других гранях куба задается линейной зависимостью по : U = U\ + (U\ — ІІ2)у/ LQ. Выбор плоскопараллельной модели обусловлен только простотой численной реализации проверки. В расчетах используются безразмерные переменные. Все расстояния измеряются в единицах LQ, за единицу разности потенциалов выбирается {U\ — С/2), проводимость измеряется в единицах его- Таким образом, задача решается в единичном кубе, с единичным скачком потенциала и 00 = 1. Поле проводимости моделируется по формуле (1.7). По простран ственным переменным используется сетка 256 х 256 х 256. Вначале вы числяется поле проводимости. Интеграл в формуле заменяется конечно разностной формулой, в которой удобно перейти к логарифмам по основа нию 2: at(x) = ехр - In2 / ip{x, r)dr « 2 =- х п)8т. (2.64) 1 \ J\og2l ) Здесь li = 2п] 8т = 1 - шаг дискретизации по логарифму масштаба. Рассмотрим случай логарифмически нормального распределения вероятностей поля проводимости. Корреляционная функция нормального случайного поля выбиралась в виде р{х, k) p{yt lj) с= (Ф0/ In2) ехр (- (ж - у)2 /22г ) 6& (2.65) Корреляционная функция в виде (2.65) является в некотором смысле "ба 00 зовой" функцией, поскольку формула R(r) = /exp (—туг2) dF(r}), где F о функция распределения вероятностей, исчерпывает все непрерывные изотропные корреляционные функции в гильбертовом пространстве [76. Константы Фо, р должны быть выбраны из экспериментальных данных для пористых природных сред. Дельта-коррелированность по логарифму масштаба означает, что на каждом масштабе 1{ поле с/?(ж,т;) генерируется независимо для каждого тг-. Общий показатель степени в (2.64) суммируется по статистически независимым слоям. Для расчета используется ограниченное количество слоев. Количество слоев и масштабы выбирались так, чтобы масштаб самых крупных пульсаций проводимости позволил заменить приближенно усреднение по реализациям величинами усредненными по пространству, а масштаб самых мелких - так, чтобы разностная задача хорошо аппроксимировала уравнение . Для численного моделирования было использовано одно из наиболее известных [77], [78] представлений корреляционной функции однородного изотропного поля, позволяющее, учитывая размерность задачи (2563 точек), экономично построить поле где ppqt = (p2Ax2 + q2Ay2 + q2Az2) ,p — k — i, q = l — j,t = m — n - расстояние между узлами с индексами ij и kl , рр и pq, pt - расстояния между узлами по осям х и у, z . Для построения поля (2.66) использовался хорошо известный прием моделирования случайных полей (так называемый метод "по строкам и столбцам") [77], [78], [113], [114] в соответствии, с которым поле на равномерной сетке с числом узлов строится в два этапа. Для простоты алгоритм приведен для случая двумерных полей. Для трехмерных полей алгоритм строится аналогично. Сначала строится матрица, столбцы которой являются независимыми нормальными векторами 77i,..., т]п с нулевым средним и одной и той же корреляционной функцией г р. Далее для каждой строки применяется одно и то же линейное преобразование (77,1, 7г2, , Vim) & = (Xil, Хг2,, Xin) , І = 1, Ш, ТаКОЄ, ЧТО бы последовательности хп, Хі2, Xin имели одну и ту же корреляционную функцию гр. Полученное в результате этих преобразований однородное изотропное нормальное поле (2.66) имеет корреляционную функцию (2.67). Для построения гауссовских векторов-столбцов туї,..., 77п, а затем гауссовских векторов-строк хп, Xi2,, Xin с корреляционными функциями гр и используется алгоритм, основанный на методе условных функций распределения [77], модифицированный для моделирования гауссовских векторов с корреляционными матрицами теплицева вида [78]. При моделировании векторов с корреляционными функциями указанного вида применяются методы регуляризации, рассмотренные в [78]. Использовался датчик случайных чисел, разработанный по алгоритму из [77] с мультипликативным генератором псевдослучайных чисел [115].
В конкретных задачах масштабы L, IQ могут принимать различные значения. В данной работе они не конкретизируются, поскольку ее целью является поиск подсеточнои модели и ее универсальных показателей степени (типа Фо/6— ( р) в формуле (2.18)). Для приближенного расчета можно использовать некоторое ограниченное количество слоев. В расчетах использовалось три слоя с масштабами (1/16,1/32,1/64). Два три нижних уровня и два верхних оставлены незаполненными, т. е. поле ср на них равно нулю. Значение Фо согласно оценкам, приведенным в работах [44], [79], [80], для коэффициентов гидродинамической проводимости и плотности некоторых природных сред лежит в диапазоне от 0.1 до 0.45.
На рисунках 2.1 - 2.3 показано изменение поля проводимости по мере увеличения вклада все более мелких флуктуации в среднем сечении z = 0.5 при Фо = 0.3, (р = 0.15 (консервативный каскад) для логарифмически нормального распределения вероятностей.
Оценка вторых статистических моментов в анизотропной многомасштабной среде с логарифмически нормальным распределением вероятностей поля проводимости
Механизм осадконакопления в достаточно спокойных условиях приводит к тому, что природным неоднородным средам свойствен характер слоистой системы. Поэтому большой интерес представляет исследование задач геоэлектрики и фильтрации в анизотропных средах. Как правило, теория решения таких задач основана на решении уравнений потенциала для сред с разного вида регулярными неоднородностями. Однако при достаточно большом количестве поверхностей раздела в среде, формулы теории становятся достаточно громоздкими, использование их для анализа и интерпретации затруднительно. Обычно мелкомасштабные аномалии поля не интерпретируются, что, безусловно, приводит к потере информации о строении среды. В этом разделе подсеточное моделирование используется для исследования анизотропной среды в случае, когда проводимость в точке изотропна, а корреляционная функция поля анизотропна. Как правило, реальные пласты вследствие слоистости обладают анизотропией именно такого рода. Будем полагать, что среда состоит из множества однородных изотропных блоков, по форме близких к параллелепипеду. Проводимость блоков случайна. Если блоки размещены в пространстве достаточно упорядочено, такая среда будет макроанизотропной. Это видно в предельном примере слоистой системы, состоящей из слоев различной проводимости. В дальнейшем предполагаем, что масштабы корреляций удельной проводимости по различным осям различны. Пространственная изменчивость гидравлической проводимости приведена рисунке 3.1. Это пример поля измеренного в местечке Borden в Канаде [80]. Детально исследовались керны, взятые вдоль двух сечений - продольного и поперечного относительно направления потока.
Изолинии —\х\К (К измеренная в см/сек гидравлическая проводимость) в вертикальном сечении Sudicky [80]. фективные коэффициенты, полученные с помощью метода описанного в предыдущих разделах. В этом случае статистическая информация исчерпывается знанием закона распределения и средних значений поля р(х,1) в точке х. При исследовании анизотропного случая нужна информация о виде корреляционной функции. Экспериментальное определение этой функции требует измерение проводимости в большом количестве точек в различных интервалах. Такие систематические измерения довольно дороги и затратны по времени и вследствие этого редки в научной литературе. Одна из основных трудностей извлечение ненарушенного керна из рыхлой осадочной породы. Тем не менее, в работах [79], [80] получены экспериментально не только средние значения и дисперсия поля проводимости, но и вид корреляционной функции. Анализ корреляций полей в анизотропных средах в рамках обычной теории возмущений показал, что вид корреляционной функции несущественно влияет на величину корреляционного момента [2. Чтобы получить представление о степени влияния вида корреляционной функции на эффективные коэффициенты, предлагаемые в данной работе, рассмотрим анизотропные корреляционные функции проводимости, приведенные в работах [2], [79], [80]. Будем считать, что проводящая среда, стратифицированна таким образом, что проводимость по координатам х\, x i имеет одинаковые масштабы неоднородностей. Если по осям масштаб х\, x i равен 1\ — а\1, по оси х% - h = &2І, «1 ф с 2- Одинаковые масштабы но двум осям рассматриваются только из соображений уменьшения громоздкости вычислений и, чтобы избежать численного вычисления эллиптических интегралов, которые неизбежно возникнут при интегрировании корреляционных функций для трехмерных структур.
Эффективные уравнения в анизотропной многомасштабной среде с логарифмически нормальным распределением вероятностей поля проводимости Как и в предыдущей главе для случая изотропной среды, поле проводимости имеет логарифмически нормальное распределение вероятностей. В этом случае, чтобы оценить подсеточный член в уравнении (2.4), следует вычислить интеграл
Если с 2 — ai, то получим результат соответствующий изотропному случаю туп = тій = 1/3. Можно полностью отказаться от свойства масштабной инвариантности, то есть функциями от масштаба могут быть и коэффициенты «і, а?2. Если среда масштабно инвариантная, то решение уравнений (3.7) имеет простой вид _ 11 (і і т\Ф0/2-Ф0т)п- (р _ „.12 (і/т\Фо11-ФоШ- Ч» (3.8) Рассмотрим вторую корреляционную функцию проводимости :
Эффективные уравнения с логарифмически устойчивым распределением пористости и проницаемости
Для проверки приведенных выше формул, как и в изотропном случае, задача решается в единичном кубе, с единичным скачком потенциала и сто = 1. Расчеты делаются для двух вариантов граничных условий. Вариант а) - на гранях куба у = О, у = LQ, задается постоянный потенциал U(x,y,z).\y=o = U\, U (x,y,z)\y=Lo — U2, U\ U2. Потенциал на других гранях куба задается линейной зависимостью по у: U = U\ + (U2 — U2) У/LQ , в этом случае наибольшая компонента скорости локальный потока вдоль оси у, средние значения компонент vx, vz равны нулю. Вариант Ь) - постоянный потенциал задается на гранях z = О, z = Lo, на других гранях куба потенциал задается линейной зависимостью по z: U = U\ + {U2 — U2) Z/LQ. Локальный поток имеет наибольшую компоненту скорости вдоль оси z, средние значения компонент vy, vz равны нулю. В расчетах используются безразмерные переменные. Поле проводимости моделируется по формуле (2.64). По пространственным переменным используется сетка 256 х 256 х 256; шаг по масштабу 8т = 1. Корреляционная функция нормального случайного поля (р:
На рисунке 3.2 приведен пример анизотропного поля проводимости промо-делированнного численно по формуле (2.64). При моделировании использовалась корреляционная функция (3.30) для трех масштабов.
Рассматриваются две модели среды: 1 - крупные масштабы по осям ж, у, мелкие масштабы по оси z, а.\/а2 = 0.25 ; 2 - мелкие масштабы по осям х, у, крупные масштабы по оси z, а\/а2 — 4. Все результаты получены при параметрах: Фо = 0.3, ((р) = 0.15, то есть рассматривается консервативный каскад (1.13).
Точно так же как и для изотропного случая, численно расчитываются средние характеристики полей в интервале масштабов (L,l). Затем они сравниваются в с теми же характеристиками, полученными по теоретическим формулам для той же области масштабов (I/,/), при этом I — IQ. Численные расчеты показали, что для замены статистического усреднения усреднением по пространству при соотношениях ai/a2 = 0.25 и а\/а2 — 4 размера куба недостаточно (максимальный масштаб и в том и в другом случае равен 1/4). Поэтому использовалось дополнительное усреднение по ансамблю Гиббса. Генерация коэффициента и решение задачи выполнялись восемьдесят раз с последующим доусреднением но пространству. Это ока 110 залось достаточным для выбранных параметров задачи. Результаты сравниваются также с результатами полученными по обычной теории в первом порядке. Среднее значение потока в обычной теории возмущений в первом приближении равно (vi (аз)) = Vffl - L / ViVj- ]_ {а (х) а (ж )) dx vi0, (3.31) где VQ невозмущенный поток. В нашем случае корреляционная функция для а равна (а (ж) а1 (х )) = ехр Фо 2 ехр (-щ) (3.32) а\ ((х - х )2 + (у- у )2) + а\ (z - z f ик = Ь L (з.ЗЗ) 1к После подстановки (3.33) в (3.31), замены переменных и интегрирования по частям интеграл в (3.31) для а\ а сводится к интегралам вида 00 оо / / v w + z2 ехр ( —j w ) ехр ( Ф0 ехр ( - vj - -j -z2 J J dw —oo z exp l—j -z2) dz, 0 z exp f Фо exp f -± (y2 - z2) - -%-z2 J J dydz, которые вычисляются численно. Для а\ «2 коэффициенты вычисляются аналогично. На рисунках 3.3 - 3.6 приведены зависимости логарифма средних значений компонент скорости локального потока от числа масштабов для первой и второй моделей среды. Цифрой 1 обозначен теоретический результат для изотропного случая, численный результат для изотропного случая обозначен кружками. Цифрой 2 обозначен теоретический результат для анизотропного случая, численный результат для анизотропного случая обозначен звездочками. Цифрой 3 обозначен результат, полученный по обычной теории возмущений в анизотропном случае. На рисунках 3.3, 3.4 приведены результаты для первой модели среды (крупные масштабы по осям х, у, мелкие по оси z) при этом основной поток направлен то по оси у , то по оси z. На рисунках 3.5, 3.6 приведены результаты для второй модели среды.
Убывание скорости при увеличении числа масштабов в среде (рис. 3.3-3.6) объясняется тем, что увеличивается контактная поверхность между неоднородностями разного масштаба. В связи с чем увеличивается сопротивление течению. По этой же причине увеличивается дисперсия потока и поля h. Для обеих моделей среды и различных направлениях течения наблюдается очень хорошее совпадение численного и теоретического результатов. Для вариантов течения на рисунках 3.3 и 3.6 ошибка в пределах одного процента по скорости для трех масштабов. Для вариантов течения 3.4, 3.5 ошибка по скорости составляет 8.8 процента (таблица 3.3.1) и 4.2 процента соответственно. В таблице 3.3.1 приведены усредненные численные значения потока, теоретические значения и значения полученные по обычной теории возмущений для рисунка 3.4. Ошибка 1 это относительная ошибка между теоретическими и численным значениями. Ошибка 2 это относительная ошибка между значениями, которые дает обычная теория возмущений и численным значениями. масш. vz числ. vz теор. vz обыч. теор. возм. ошиб. 1 ошиб. 2
Из численного эксперимента видно, что оценка среднего локального потока имеет хорошую точность даже при довольно больших значениях дисперсии поля ср. При Фо = 0.3 дисперсия этого поля для трех масштабов равна 0.9. Например, по экспериментальным данным приведенным в работах [79], [80] для гидравлической проницаемости осадочных пород К, дисперсия log if лежит в два раза меньшем интервале 0.2-0.45.
На рисунках 3.7 - 3.10 приведены зависимости корреляционного тензора поля h от количества учитываемых в модели масштабов для анизотропного случая. Проверка теоретических формул производится также как и в случае изотропного коэффициента проводимости. На рисунках 3.7, 3.8, 3.10 цифрами 1, 2 обозначается теоретический результат в изотропном случае; о - результат численного моделирования в изотропном случае; цифрами 3, 4 обозначен теоретический результат для анизотропного случая, - результат численного моделирования в анизотропном случае.
Похожие диссертации на Подсеточное моделирование процессов протекания в задачах фильтрации и геоэлектрики в многомасштабной неоднородной среде
