Содержание к диссертации
Введение
1 Моделирование двойной пористости в псевдо-параболическом приближении 14
1.1 Схема с весами для псевдо-параболической модели двойной по ристости 14
1.1.1 Постановка задачи 15
1.1.2 Разностная схема 19
1.1.3 Численные эксперименты 23
1.2 Реализация псевдо-параболической задачи на основе метода ко нечных элементов 28
1.2.1 Конечно-элементная реализация 28
1.2.2 Модельная задача 30
1.2.3 Вычислительный алгоритм 31
1.2.4 Результаты расчетов 32
1.3 Схемы расщепления для псевдо-параболической модели двойной пористости 48
1.3.1 Постановка задачи 49
1.3.2 Векторная задача 52
1.3.3 Аддитивные векторные схемы 54
1.3.4 Численная реализация 59
2 Моделирование двойной пористости на основе системы уравнений
2.1 Модель Баренблатта 60
2.1.1 Постановка задачи 61
2.1.2 Постановка обезразмеренной двумерной задачи 63
2.1.3 Вычислительный алгоритм 64
2.1.4 Результаты расчетов 65
2.2 Схемы расщепления 71
2.2.1 Последовательная схема расщепления 71
2.2.2 Параллельная схема расщепления 72
2.2.3 Более общие задачи 73
2.3 Явно-неявные схемы для систем уравнений 76
2.3.1 Введение 76
2.3.2 Начально-краевые задачи для систем уравнений 79
2.3.3 Схема с весами 82
2.3.4 Схемы с диагональным оператором 84
2.3.5 Общий случай 90
3 Моделирование процесса фильтрации в ненасыщенном грунте с при менением модели двойной пористости 91
3.1 Модельная задача просачивания воды в грунт 92
3.1.1 Введение 92
3.1.2 Уравнение Ричардса 93
3.1.3 Постановка задачи 94
3.1.4 Вычислительный алгоритм 97
3.1.5 Результаты расчетов 98
3.2 Трехмерная задача просачивания воды в грунт 111
3.2.1 Введение 111
3.2.2 Результаты расчетов 112
3.3 Применение схем расщепления для трехмерной задачи 121
3.3.1 Введение 121
3.3.2 Схемы расщепления 122
Заключение 125
Литература
- Разностная схема
- Схемы расщепления для псевдо-параболической модели двойной пористости
- Результаты расчетов
- Трехмерная задача просачивания воды в грунт
Введение к работе
Актуальность работы. При решении прикладных проблем мы имеем дело с краевыми задачами для систем нестационарных уравнений в частных производных. При построении вычислительных алгоритмов для таких задач решаются проблемы аппроксимации уравнений с учетом соответствующих начальных и граничных условий. Аппроксимация по пространству проводится на основе разностных методов, метода конечных элементов, метода конечных объемов. В настоящее время необходимо решать задачи в сложных расчетных областях. В силу этого метод конечных элементов рассматривается как основная технология для проведения инженерных и научных исследований.
Большое прикладное значение в строительстве гидротехнических сооружений, в мелиорации, водоснабжении, при добыче нефти и газа имеют исследования движение жидкости (воды, нефти) или газа (воздуха, природного газа) сквозь пористую среду. Наиболее простые модели фильтрации жидкости приводят к одному эллиптическому (стационарные задачи) или параболическому (нестационарные задачи) уравнению второго порядка с линейными или нелинейными коэффициентами. Более содержательные задачи связаны с необходимостью рассмотрения краевых задач для систем уравнений.
Модель пористой среды представляет собой систему непроницаемых, неподвижных зерен произвольной формы, между которыми имеются небольшие пустоты — поры. Считаем, что поры заполнены жидкостью или газом, которые могут при соответствующих условиях перемещаться. Во многих прикладных проблемах мы должны учитывать что в породах, кроме пор, имеется развитая система трещин. Проблема математического моделирования двойной пористости тесно связана с задачами разработки месторождений углеводородов, с задачами течения подземных вод, просачивания жидкости в грунт и рядом других актуальных задач. Данные задачи связаны с особенностью большинства реальных грунтов — наличием трещин.
Математические модели движения жидкости в такой среде были разработаны в конце 50-х годов Г.И.Баренблаттом, Ю.П.Желтовым, И.Н.Кочиной. В современной литературе эта модель двойной пористости (в порах и в трещинах) известна как модель Баренблатта. Модель характеризуется наличием обмена давлениями между фазами.
Классическая модель двойной пористости включает два параболических уравнения для давления в порах и давления в трещинах. Основная особенность рассматриваемой математической модели состоит в том, что отдельные уравнения связаны друг с другом по младшему коэффициенту — обмен между трещинами и порами до установления одного и того же давления. Актуальной проблемой является построение и обоснование вычислительных алгоритмов для приближенного решения подобных задач, когда переход на новый временной слой был бы связан с решением двух отдельных задач, несвязанных друг с другом. Более общие модели двойной пористости основаны на системах уравнений, в которой уравнения завязаны также по старшим коэффициентам и по коэффициентам при производных по времени. Упрощенная модель двойной пористости приводит к одному уравнению, которое является псевдопараболическим уравнением. Хорошо известны схемы расщепления по пространственным переменным для параболических задач. Интересно построить схемы расщепления по направлениям для краевых задач для псевдопараболических уравнений.
Эрозия почвы — разрушение и снос верхних наиболее плодородных горизонтов почвы. Эффективная защита почв от водной эрозии возможна при плановом и систематическом внедрении комплекса противоэрозионных мероприятий, разработанного с учетом конкретных природно-географических условий каждого района или хозяйства. Также такие задачи ставятся при строительстве помещений, технических сооружений и транспортных путей сообщения. Защита естественных и техногенных массивов дисперсных грунтов от размыва является одной из самых актуальных проблем на территории России. На данный момент не существу-
ет универсального способа позволяющего решить указанную проблему. Область рационального применения существующих методов защиты грунтов от эрозии достаточно ограниченна, поэтому использующиеся на практике методы часто применяются в несвойственных для них условиях, что приводит либо к завышенной стоимости профилактических работ, либо их низкой эффективности. Очевидным является тот факт, что наличие систем трещин в грунте делает его наиболее подверженным водной эрозии. В данных случаях с целью правильного и не затратного обеспечения защиты от водной эрозии будет целесообразно проведение комплекса расчетно-теоретического исследования процесса увлажнения.
Целью диссертационной работы является разработка вычислительных алгоритмов расщепления для численного моделирования процессов фильтрации с учетом наличия трещин. Для достижения данной цели сформулированы следующие задачи:
Построение вычислительных алгоритмов расщепления, реализующих модели двойной пористости;
Создание программ для численного моделирования фильтрации в трещиновато-пористых средах;
Тестирование разработанных вычислительных алгоритмов и программ на модельных тестовых двумерных задачах;
Численное моделирование задачи просачивания жидкости в грунт при наличии в нем системы трещин.
Научная новизна и практическая значимость. В диссертационной работе получены следующие результаты:
Построены и исследованы схемы расщепления для моделей двойной пори
стости;
Разработаны вычислительные алгоритмы и прикладное программное обеспечение для численного исследования процессов насыщенной и ненасыщенной фильтрации в трещиновато-пористых средах;
Проведено численное моделирование процесса просачивания воды из канала в грунт. Моделирование просачивания воды в трещиновато-пористую среду проведено в условиях максимально приближенных к реальным: трехмерная задача, сложная геометрия вычислительной области, подробные расчетные сетки.
Апробация работы. Основные материалы диссертации докладывались на научных конференциях:
International Young Scientists Conference on Mathematical Modeling (Liniy, China, May 24-25, 2010);
Supercomputer Technologies of Mathematical Modeling (Yakutsk, November 28-30,2011);
Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации (Якутск, 21-26 мая, 2012);
5th International Conference on Porous Media & Annual Meeting (Prague, Czech Republic, May 21-24, 2013);
Supercomputer Technologies of Mathematical Modeling (Yakutsk, July 8-11, 2013).
Работа выполнена при поддержке грантов:
Разработка математических моделей и высокопроизводительных программ
ных средств для суперкомпьютерного моделирования рационального при
родопользования с учетом антропогенного и техногенного воздействия на
окружающую среду регионального конкурса ДАЛЬНИЙ ВОСТОК Российского фонда фундаментальных исследований;
Разработка прикладного ПО для численного моделирования добычи углеводородного сырья на высокопроизводительных вычислительных системах №5542 ГЗ МО;
грант 02.740.11.0041 Разработка симуляторов экологически безопасных технологий разработки и мониторинга месторождений ископаемых Арктики и регионов Севера Федеральной целевой программы.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 научных работах, из них 2 статьи [1,2] в рецензируемых журналах входящих, в перечень ВАК, 3 статьи [3-5], 2 тезиса конференций [6,7] и одно учебное пособие [8].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
Разностная схема
Проводится исследование псевдо-параболической модели двойной пористостипри.использовании метода конечных элементов для аппроксимации по про странству. Задача решается в безразмерных переменных, при оценке точности в качестве эталонного берется численное решение, которое получено на достаточно подробных сетках по времени и пространству.
Рассматриваемая псевдо-параболическая начально-краевая задача для уравнения (1.13) с соответствующими граничными и начальными условиями решается при аппроксимации по пространству на основе метода конечных элементов. Такая вычислительная технология позволяет рассмотреть более сложные вычислительные области, а сами результаты расчетов — использовать для верификации расчетных данных по более общим моделям двойной пористости.
Модельная задача ставится следующим образом. Ищется решение системы уравнений сі (ж)— - div(di(x) grad щ) + г{х)(щ - щ) = /і (ж, і), (1.40) с2(ж)— -div(d2(a;)grad и2) + г(х){и2 -щ) = /2(ж,і) (1.41) в ограниченной области Q,, время меняется от 0 до Т. Будем считать, что коэффициенты уравнений системы удовлетворяют следующим ограничениям: г(х) 0, dj{x) 0, d2(x) 0, хЄП. Граничные условия возьмем в виде ua(x,t) = gda(x,t), хЄГй, і Є (0,7], (1.42) дії da(x)- (x,t) = д%(х,і), xETN, t (0,Г], a = 1,2, (1.43) где Гд U Гдг = 9fi и n — внешняя нормаль к границе Гдг. Кроме того, задается начальное условие: иа(х,0)=иа(х), х =П, а = 1,2. (1.44) Для вычислительного эксперимента рассмотрим случай с постоянными коэффициентами, а также потребуем выполнения следующих условий для правых частей: /e(aj,t) = 0, хеП, t є (0,7і], ос = 1,2. Наиболее распространенный тип трещиноватости соответствует тому, что di » (і2, сі С С2 Обезразмерим систему уравнений (1.45), (1.46), с учетом выше принятых допущений, следующим образом: с\ = с, d\ = 1, с2 = 1, с?2 = d. В этом случае основная система уравнений принимает следующий вид: с— divgrad щ + г(щ — щ) = 0, (1-45) — - ddivgrad щ + г(и2 - щ) = 0, (1-46) с близкими к нулю положительными параметрами с, d. В предельном случае, когда мы пренебрегаем данными множителями, имеем div grad щ + г(щ — и2) = О, (1.47) дщ, + г{щ — tti) = 0. (1.48) Из этой системы непосредственно следует дщ д Ж 1 dt divgrad щ divSrad al = (1.49) где основным является параметр 7 = - г Таким образом получаем упрощенную модель двойной пористости, которую мы рассматривали выше. 1.2.2 Модельная задача Рассмотрим двумерную задачу в области Q, которая отображена на рис. 1.8. В данном случае приняты следующие обозначения (Гд = ГіиГз, Гц/ = ГгиІГ ): г, Рисунок 1.8: Расчетная область Q Будем считать, что граничные условия имеют вид uQ(x,t) = 1 -exp(-St), х Є Гі, ua(x,t) = 0, х Є Г3, (1.50) 011 da(x) (x,t) = 0, жєГ2иГ4, te(0,T]. (1.51) Модельная задача решается при начальных условиях uQ(x,0) = 0, іЄП, а = 1,2. (1.52) Из постановки задачи следует, что на части границы Гі повышается давление от 0 до 1. Скорость подъема давления зависит от параметра 6. 1.2.3 Вычислительный алгоритм Для приближенного решения поставленной нестационарной задачи фильтрации возьмем, для простоты, равномерную сетку по времени с шагом г: шт = штU {Г} = {tn = пт, n = 0,l,...,N, rN = T} и обозначим уп — y(tn),tn — пт. По пространству используем конечно-элементную аппроксимацию, состоящую из стандартных лагранжевых конечных элементов второй степени [55,60]. В области Q, проводится триангуляция, на этой расчетной сетке определим конечномерное пространство конечных элементов V С H2(Q). С учетом особенностей рассматриваемой модельной задачи расчетная сетка сгущена к участкам с наибольшими градиентами решения.
Запишем чисто неявную схему по времени для псевдо-параболического уравнения (1.49). В этом случае приближенное решение определяется как решение следующей вариационной задачи: Приведем результаты численных расчетов, которые выполнены на последовательности сгущающихся сеток. Контроль приближенного решения (зависимость от параметров задачи) будем проводить путем сравнения с эталонным решением (решением на мелкой сетке).
Расчетная сетка 4: 10041 узлов, 19664 треугольников Для данной задачи в качестве эталонного выберем решение, которое будет представлять численное решение на наиболее подробной сетке, которая показана на рис. 1.12. Контроль численного решения будем проводить путем сравнения с эталонным решением. На графиках 1.13 — 1.21 показаны зависимости погрешности решения и\ в норме норме L2(2) в сравнении с эталонным решением по времени. Исходя из полученных результатов расчетов, можно сделать следующие выводы:
Схемы расщепления для псевдо-параболической модели двойной пористости
Начиная с [48,49] различные численные алгоритмы были разработаны для уравнений типа Соболева. В настоящее время различные классы аддитивных операторно-разностных схем для эволюционных уравнений строятся с помощью аддитивного расщепления оператора L (связанный с решением г ) на несколько слагаемых. Для ряда приложений более интересно рассмотреть задачи, в которых аддитивное представление имеет место для оператора при производной по времени (оператор М). Такая ситуация у нас есть, например, для отмеченного выше уравнения Соболева, где оператор при производной по времени равен сумме трех одномерных операторов и оператор при и также одномерный.
Будем считать, что линейные операторы А и В, действующие из Н в Н {А : Н — Н, В : Н — Н), — положительные, самосопряженные и стационарные, т.е. А = А 0, ±LA = A . В = В 0, В = В . at at dt dt
Для задачи (1.55), (1.56) можно получить различные априорные оценки, выражающие устойчивость решения по начальным данным и правой части в различных пространствах. Мы ограничимся простейшими из них, стараясь получить однотипные оценки для скалярной и векторной задач, для решения дифференциальных и разностных задач. В ряде задач вычислительные сложности связаны не с оператором А, а с оператором В при производных по времени. Предметом нашего рассмотрения будет случай, когда В = Е + -уА, (1.57) где Е — единичный оператор, 7 — положительная постоянная. С учетом (1.57) домножим уравнение (1.55) скалярно в Н на Аи и получим -—(Би, Аи) + {Аи, Аи) = (/, Аи). Для правой части используем оценку (f,Au) (Au,Au) + ±(f,f). Это позволяет получить следующую априорную оценку для решения задачи (1.55), (1.56): t \W(t)\\2An \\u0\\2AB + lJ\\f(s)\\2ds, (1.58) о выражающую устойчивость по начальным данным и правой части. В (1.58) с учетом (1.57) имеем 1К )Нлв = (Au,u)+j(Au,Au). Для стандартных аддитивных разностных схем характерно разбиение (расщепление) оператора А на сумму операторов более простой структуры. Например, будем считать, что для оператора А справедливо следующее аддитивное представление: V A = J2A«, Аа = А а 0, а = 1,2,....,р. (1.59) Аддитивные разностные схемы строятся на основе (1.59), когда задача распадается на р подзадач. Переход с одного временного слоя tn на другой — tn+1 = tn + т, где т 0 — шаг сетки по времени и уп = y(tn), tn = пт, п = 0,1,..., связан с решением задач для отдельных операторов Аа,и = 1,2, ...,р ъ аддитивном разложении (1.59). С учетом (1.59) понижение вычислительной сложности численного решения задачи (1.55)—(1.57) связывается с использованием аддитивного представления также и для оператора В. Переход на новый временной слой обеспечивается решением некоторых вспомогательных задач Коши для уравнений типа du (Е + уАа)—+ Ааиа = fa(t), t 0, а = 1,2,...,р при задании соответствующих начальных условий.
Зададим вектор г = {щ, иг,..., ир}. Каждая отдельная компонента определяется как решение однотипных задач + EV +I = m о, (1.60) /3=1 /3=1 иа(0) = и, а =1,2,..., р. (1.61) Приведем простейшую покоординатную оценку устойчивости решения. Вычитая одно уравнения из другого, получим dua dun-i С учетом начальных условий (1.61) это дает ua = ua-i, а = 2,3,...,р. Для отдельной компоненты иа получим тоже самое уравнение, что и для и: + 7Х / + Х /з = /( ), 0, а = 1,2,... Р. /3=1 /3=1 Тем самым справедливы априорные оценки t \КШАП \\u0\\AB + \J\\m\\2ds, «=1,2,...,p. (1.62) о В силу этого ua(t)=u(t), t О, а = 1,2,...,р. и поэтому в качестве решения исходной задачи (1.55), (1.56) можно взять любую компоненту вектора u(t).
Для векторной эволюционной задачи можно получить (см., например, [24] при рассмотрении аддитивных схем с расщеплением (1.59)) априорные оценки для вектора и, рассматривая задачу в гильбертовом пространстве Н = Нр, в котором скалярное произведение есть V {U.V) = У у(иа,Уд). а=1 Уравнения (1.60) запишем в виде Аа + 7 АаАр- - + 2АаАри(з = fa(t), 0, а = 1,2,...,р, /3=1 /3=1 где fa = Aaf. Это позволяет записать систему уравнений в векторной форме fill -" C— + Du = f. (1.63) at Операторные матрицы С и D имеют вид С = {Са/з}, CQ/3 = 5авАа + jAaAp, (1.64) D = {Daj3}, Da0 = AaA0, а,Р = 1,2,...,р, где &ар — символ Кронекера. Уравнение (1.63) дополняется начальным условием и(0) = и. (1.65) Принципиальное преимущество использования записи (1.63) связано с тем, что С = С 0, D = D 0 в Н. Приведем априорную оценку для решения векторной задачи (1.63)—(1.65), которая, с одной стороны, более сложна, чем (1.62), с другой стороны, именно на нее мы будем ориентироваться при рассмотрении соответствующих операторно-разностных схем.
Результаты расчетов
Во многих прикладных задачах неизвестные компоненты вектора решения завязаны между собой. Поэтому для получения хорошей задачи при переходе на новый временной слой используются схемы расщепления. На основе теории аддитивных схем (схем расщепления) были построены эффективные вычислительные алгоритмы для приближенного решения начально-краевых задач для систем нестационарных дифференциальных уравнений с частными производными.
В данной части работы вычислительные алгоритмы строятся с использованием явно-неявных аппроксимаций по времени. Наиболее типичной является ситуация, когда аддитивные операторно-разностные схемы для систем эволюционных уравнений строятся в случае, когда аддитивное представление имеет место для операторов действующих по пространству. Мы исследуем более общие задачи, в которых рассматриваются аддитивное представление также для операторов при производных по времени вектора решений. На основе этих общих результатов исследуется безусловная устойчивость схем расщепления для моделей двойной пористости, которые строятся на основе системы параболических уравнений для давления в порах и трещинах.
При решении прикладных задач мы сталкиваемся с начально-краевыми задачами для систем нестационарных дифференциальных уравнений с частными производными. Для построения вычислительных алгоритмов для таких задач мы аппроксимируем уравнения с учетом начальных и граничных условий. Аппроксимация по пространству основана на методе конечных разностей, на методе конечных элементов или на методе конечных объемов [20,55,60,75].. Накладываются специальные ограничения на аппроксимацию по времени для численного решения систем уравнений [35,56,61]. Помимо учета условий сходимости и устойчивости, необходимо отдельно рассматривать вопросы, связанные с вычислительной реализацией, с решением соответствующей дискретной задачи на новом временном слое. В связи с этим можно отметить наиболее удачные результаты, которые связаны с построением специальных аддитивных операторно-разностных схем (схем расщепления) [17,24].
Аддитивные схемы (схемы расщепления) используются для решения многих нестационарных задач [17,20,24,34]. Они сконструированы для эффективного нахождения приближенного решения на новом временном слое. Переход к цепочке более простых задач позволяет нам строить эффективные локально-одномерные разностные схемы — здесь идет речь о расщеплении относительно пространственных переменных. В некоторых случаях бывает полезным расщепление на подзадачи разной физической природы — мы получаем схемы расщепление по физическим процессам. Регионально-аддитивные схемы (схемы разбиения по подобластям) ориентированы на построение вычислительных алгоритмов для параллельных вычислительных систем.
Основные теоретические результаты по устойчивости и сходимости аддитивных схем были получены для скалярных эволюционных уравнений первого порядка, и в некоторых случаях, для эволюционных уравнений второго порядка [17,20,24,34]. В вычислительной практике естественным является необходимость построения схем расщепления для систем эволюционных уравнений. Например, векторные задачи часто приводят к системам уравнений с завязанными между собой компонентами вектора. В данном случае применение соответствующих схем расщепления направлено на получение более простых задач для отдельных компонент вектора решения на новом временном слое.
Для стандартных параболических и гиперболических систем уравнений с самосопряженным эллиптическим оператором аддитивные схемы были построены в [20] с применением принципа регуляризации разностных схем. Схемы расщепления для систем уравнений могут быть построены с применением треугольного расщепления оператора задачи на сумму сопряженных к друг другу операторов, используя попеременно-треугольный метод разработанный А.А. Самарским. Аддитивные схемы такого типа были использованы в [62] для динамических задач упругости. Похожие результаты [11,76] были получены для задач несжимаемой жидкости с переменной вязкостью. Аддитивные схемы для динамических задач электродинамики были рассмотрены в [8].
Выше упомянутые классы для аддитивных операторно-разностных схем для эволюционных уравнений базируются на аддитивном представлении основного оператора на несколько операторов. Для многих задач практический интерес заключается в исследовании нестационарных краевых задач при аддитивном представлении оператора при производных по времени. В первой публикации по данной тематике [89] были предложены и исследованы векторные аддитивные операторно-разностные схемы, где оператор при производных по времени был расщеплен на сумму самосопряженных и положительно определенных операторов.
Среди аддитивных схем отдельного упоминания заслуживают явно-неявные схемы, в которых различная природа слагаемых оператора задачи учитывается использованием неоднородных аппроксимаций по времени. Явно-неявные схемы широко применяются для численного решения задач конвекции-диффузии. Различные варианты неоднородной дискретизации по времени представлены в [36]. Те или иные явные аппроксимации были применены для оператора конвективного переноса, в свою очередь оператор диффузионного переноса был аппроксимирован неявно. В этом случае наиболее серьезные ограничения на временной шаг относящийся к диффузии были сняты. В связи с подчинением оператора конвективного переноса оператору диффузионного переноса мы можем просто доказать безусловную устойчивость выше упомянутых явно-неявных схем для нестационарных задач конвекции-диффузии. Подобные подходы были использованы при анализе задач диффузии-реакции. В данном случае (см. [73]), диффузионный перенос был аппроксимирован явно, тогда как оператор для реакции были использованы неявные аппроксимации. Такие неявные аппроксимации демонстрируют очевидные преимущества для нелинейных задач, описывающих процессы реакции.
В данной работе мы предлагаем схемы расщепления для аддитивного представления основного оператора при производных по времени. Мы выделяем диагональные части операторных матриц задачи и используем явно-неявные аппроксимации по времени.
Трехмерная задача просачивания воды в грунт
По оценке главы города Якутска Айсена Николаева (см., например, www.rg.ru/2013/06/20/reg-dfo/problema.html), проблема водоотведения сейчас стала одной из главных в Якутске. И решать ее необходимо в ближайшие годы. Для этого будут реконструированы городские каналы, налажена проточность внешнего и внутреннего кольца озер. Данные мероприятия запланированы для центральных улиц города. Если говорить об остальной части (пригороды, прилегающие поселки), для них наиболее эффективным способом защиты от водной эрозии является построение каналов и водооттоков. Однако, и это не полностью решает вопросы защиты от намокания проблемных участков территории. Вода в достаточно больших объемах может в них попасть и с помощью механизмов просачивания. С целью защитить от эффекта просачивания проблемные территории можно дополнить каналы системой колодцев (естественных скважин).
Специальных работ по моделированию частично насыщенной фильтрации в приближении двойной пористости в произвольной геометрии в трехмерном пространстве практически нет. В этой связи отметим только близкие по тематике работу [67] по моделированию фильтрации в параллелипипеде (простейшая трехмерная расчетная область) и работу [84] для осесимметричного случая (двумерная задача). Расширим рассмотренную выше задачу фильтрации до трехмерной геометрии.
Приведем результаты численного моделирования. Моделировался процесс просачивания воды в трещиновато-пористую среду в достаточно сложной трехмерной геометрии. Размеры области: длина L\ = 20 м, ширина L,2 = 15 м, высота Z/3 = 10 м. Определяющие параметры задачи взяты теми же, что и для модельной двумерной задачи.
На рис. (3.26 - 3.35) отображена насыщенность в трещинах s\ и в порах S2 в моменты времени t = 0.5,1,2,4,10 час. Из рис. (3.26 - 3.35) видно, что фильтрация по трещинам протекает быстрее фильтрации по порам. Также на рис. (3.35) прослеживается влияние перетока в модели двойной пористости.
Кратко обсуждаются проблемы распараллеливания вычислительных алгоритмов приближенного решения задач двойной пористости. Рассматривается разбиение расчетной области на подобласти с решением отдельных задач в подобластях. Применяются схемы расщепления физическим процессам, которые исследованы в главе 2.
Для повышения эффективности вычислительных расчетов при приближенном решении задач в трехмерных сложных геометриях применяют параллельные вычисления. Вторая возможность понижения вычислительной сложности задачи связана с применением более эффективных вычислительных методов. При решении задачи из раздела 3.2 время счета при использовании одного процессора составляет 433 минуты. Данный факт подтверждает вычислительную сложность поставленной задачи. В этом случае вычислительная сложность обусловлена необходимостью строить большую совместную матрицу при переходе на новый временной слой. В главе 2 были построены и исследованы аддитивные схемы расщепления для модели двойной пористости. Благодаря данным схемам расщепления мы имеем возможность развязать эту систему и решать отдельно заметно более простые задачи.
Рассматриваемая задача более подробно описана в разделе 3.2. На данной задаче мы применим параллельные вычисления, а также последовательную и параллельную схемы расщепления.
Для минимизации времени счета расчеты выполнены на вычислительном кластере СВФУ. На рис. 3.38 отображено разбиение области на непересекающиеся подобласти.
Данные схемы применительно к нашей задаче дают сравнимые по точности результаты. С точки зрения экономии времени счета наиболее эффективна параллельная схема расщепления. Данный результат потверждает теоретический результат, который был получен в главе 2. Схемы расщепления были использованы с целью уменьшить вычислительную работу. Параллельная схема расщепления не обладает недостатком последовательной схемы. Отметим, что именно для параллельной схемы расщепления мы применяем два вида параллельных вычислений. Первый тип параллельности, как и в других схемах связан с разбиением расчетной области на подобласти. Второй тип параллельности означает, что для 8 потоков параллельной схемы соответствует 8 потоков, в каждом из которых по два потока распределенные по каждому из уравнений системы (3.25), (3.26). Время расчетов по параллельной схеме даже без разбиения области значительно меньше времени расчетов на 8 подобластях на неявной схеме. График зависимости времени счета от количества процессоров и вида схемы по времени представлен в табл. 3.1. Первая строка в таблице отражает эффективность схем расщепления, а первый столбец отражает эффективность параллельных вычислений по подобластям. Для данной задачи их эффективности достаточно близки, поэтому действенно применять комплексный подход, который отражен в оставшихся ячейках табл. 3.1.
