Введение к работе
Актуальность темы.
Имеется целый ряд физических проблем, требующих достаточно точного решения задач теории переноса излучения в атмосфере с учетом поляризации. Это, прежде всего, задачи интерпретации оптических наблюдений.
Вариации яркости неба главным образом определяются изменчивостью аэрозольной компоненты атмосферы, которая обладает сильной рассеивающей способностью. Теоретическое исследование проблем переноса излучения в такой среде невозможно без знания ее оптических параметров. Одним из них является аэрозольная индикатриса рассеяния.
Диссертационная работа посвящена исследованию дисперсии стандартной векторной оценки метода Монте-Карло, применяющейся при решении задач переноса поляризованного излучения, а также разработке и обоснованию методов решения задачи восстановления индикатрисы аэрозольного рассеяния атмосферы по наземным наблюдениям "яркости неба" в альмукантарате Солнца с учетом поляризации излучения.
Математическое описание распространения поляризованного излучения предоставляет нам удобный инструмент для исследования этого процесса. Базовыми при этом являются вектор-функции Сток-са, характеризующие свойства излучения в каждой конкретной точке фазового пространства, и интегро-дифференциальное уравнение переноса описывающее процесс переноса.
Интенсивность и состояние поляризации излучения определяются четырехкомпонентной вектор-функцией Стокса, компоненты которой определяют в совокупности интенсивность, степень поляризации, плоскость поляризации и степень эллиптичности излучения. Процесс переноса излучения в этом случае можно описать интегральным уравнением второго рода, оператор которого, в силу физических особенностей задачи, оставляет инвариантным множество вектор-функций Стокса.
Рассматриваемая математическая модель позволяет ставить достаточно большое множество практически интересных задач, для решения которых может быть эффективно применен метод Монте-Карло. Традиционный способ его использования заключается в следующем. Рассматривается некоторый линейный функционал J от
решения уравнения переноса, для него строится стандартная весовая оценка статистического моделирования , математическое ожидание которой и дает нам искомое значение функционала.
Конкретный вид функционала J, разумеется, зависит от поставленной задачи. Так, например, для определения характеристик поляризованного излучения "в точке" нами используются "локальные оценки". Отметим, что алгоритмы численного статистического моделирования естественным образом распараллеливаются путем распределения численных статистических испытаний по отдельным процессорам, поэтому, в связи с ростом мощностей вычислительных систем, их исследование приобретает особое значение.
В силу особенностей рассматриваемого подхода для применения метода Монте-Карло к вычислению линейного функционала J необходимо на интегральный оператор, описывающий перенос излучения, наложить некоторые ограничения, обеспечивающие существование математического ожидания оценки , ее несмещенность и конечность дисперсии. В диссертационной работе изучается вопрос о конечности дисперсии стандартной векторной оценки метода Монте-Карло. Однако, даже если дисперсия оценки конечна, она может оказаться довольно большой и полученный алгоритм окажется практически неприменимым. В этом случае нами применяются специальные весовые модификации моделирования переноса излучения с поляризацией, приводящие к уменьшению дисперсии оценок метода Монте-Карло.
Основные цели работы.
Исследование спектрального радиуса оператора, определяющего ковариационную матрицу, т.е. и дисперсию, векторной оценки метода Монте-Карло, построение и реализация алгоритма для его численной оценки.
Построение и обоснование итерационных алгоритмов восстановления индикатрисы рассеяния по наземным наблюдениям интенсивности поляризованного излучения в альмукантарате Солнца. Разработка комплекса программ, реализующих рассматриваемые алгоритмы.
Разработка алгоритма вычисления матриц Якоби для рассматриваемых итерационных методов и его численная реализация.
Проведение модельных тестовых расчетов.
Методы исследования базируются на теории переноса излучения, теории интегральных уравнений второго рода и теории весовых методов статистического моделирования.
Научная новизна.
Проведено исследование спектрального радиуса р матрично-интегрального оператора Кр, определяющего дисперсию стандартной векторной оценки метода Монте-Карло в задаче о переносе поляризованного излучения.
На основе теории положительных операторов аналитически вычислена величина p{Sp) = ро, где Sp оператор, определяющий ковариационную матрицу для задачи переноса в бесконечной однородной среде.
Получены теоретические выводы о конечности дисперсий оценок функционалов при использовании различных весовых модификаций, которые являются основанием для применимости метода Монте-Карло.
Проведены численные эксперименты по исследованию поведения дисперсий векторных оценок метода Монте-Карло при значениях коэффициента поглощения в среде близких к критическим, т.е. для которых теоретически дисперсия оценки бесконечна.
Построен алгоритм оценки спектрального радиуса оператора Кр методом Монте-Карло на основе итераций соответствующей резольвенты.
С помощью расчетов разработанным методом, а также приближенно аналитически, на основе возмущения специального функционала, показано, что величина р(К.р) для ограниченной среды приближенно равна произведению значения ро на спектральный радиус оператора, соответствующего переносу излучения без поляризации.
Для решения задачи восстановления индикатрисы рассеяния атмосферы по наземным наблюдениям "яркости неба" в "альмукантарате" Солнца предложен новый итерационный метод, представляющий собой комбинацию аддитивного и мультипликативного методов и учитывающий отражение от подстилающей поверхности. Рассматриваемые методы распространены на
случай поляризованного излучения. Дается обоснование предложенного метода.
8. С помощью предложенного комбинированного метода, а также
двух ранее известных - аддитивного и мультипликативного ме
тодов, проведены тестовые расчеты для однородного плоского
слоя. Сравнение результатов, полученных разными методами
показало, что
при увеличении оптической толщины слоя т аддитивный метод расходится, а комбинированный и мультипликативный методы сходятся при сравнительно больших т;
погрешность восстановления индикатрисы комбинированным методом меньше, чем мультипликативным, если присутствует отражение от подстилающей поверхности;
учет поляризации излучения молекулами воздуха повышает точность методов.
9. Разработан алгоритм вычисления матриц Якоби для рассмат
риваемых итерационных методов. С помощью построенного ал
горитма проведены расчеты матриц Якоби, позволяющие обос
новать сходимость для различных параметров среды.
Достоверность. Достоверность полученных выводов подтверждается анализом разработанных алгоритмов и проведением численных экспериментов на модельных задачах с известным точным решением, а также контрольными расчетами альтернативными методами.
Практическая значимость работы. Исследование спектрального радиуса матрично-интегрального оператора, определяющего ковариационную матрицу стандартной векторной оценки метода Монте-Карло в задаче о переносе поляризованного излучения, позволило сделать выводы о конечности дисперсии этой оценки, которые дают основания к ее применению для решения различных практических задач. Предложен новый эффективный метод для решения задачи восстановления индикатрисы аэрозольного рассеяния по наземным наблюдениям "яркости неба" в альмукантарате Солнца, а также показано, что учет поляризации при решении этой задачи повышает точность восстановления.
Личный вклад соискателя заключается в построении и обосновании вычислительных алгоритмов, разработке на их основе ком-
плекса программ, проведении численных экспериментов и анализе их результатов. Все результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно или при ее непосредственном участии.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре Отдела статистического моделирования в физике ИВМиМГ СО РАН (2005 - 2009 гг.), на семинаре Отдела математических задач геофизики ИВМиМГ СО РАН (2009 г.), а также на следующих конференциях:
- Конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (2004, 2006,
2008 гг.)
Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2007 (г. Новосибирск, 2007 г.)
Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2009 (г. Новосибирск, 2009 г.)
Международная конференция по математическим методам в геофизике ММГ-2008 (г. Новосибирск, 2008 г.)
Шестой Санкт-Петербургский международный семинар по стохастическому моделированию Simulation (г. Санкт-Петербург,
2009 г.).
Публикации. По тематике диссертации автором опубликовано 7 работ (в том числе одна работа без соавторов), среди которых 4 работы в изданиях из списка ВАК [1-4]. Список опубликованных работ помещен в конце автореферата.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 96 страницах, включает библиографический список из 37 наименований работ, 8 рисунков, 11 таблиц.
