Содержание к диссертации
Введение 5
Глава 1. Решение уравнение переноса в r-z геометрии в
собственных характеристических переменных 27
; ' 1.1.1. Постановка задачи 27
Переход к переменным Владимирова 28
Угловая дискретизация 3 О
Характеристический и консервативно-характеристический методы решения 32
Анализ аппроксимации функции
распределения на логарифмических разрывах 3 6
1.1.6. Интегрирование по углам 38
1.1.7. Результаты численного исследования 3 9
Глава 2. Решение уравнений квазидиффузии при слабой
анизотропии рассеяния 46
2.1. Построение комбинированной разностной схемы
для уравнений диффузии на косоугольной ячейке 46
Постановка задачи 46
Построение разностной схемы 48
Метод решения системы разностных
уравнений 53
2.1.4. Численные исследования 5 5
2.2. Нелинейное ускорение итераций решения
эллиптических систем уравнений 61
Введение 61
Метод моментов 62
Нелинейный метод ускорения 64
Результаты расчетов 67 2.3. Квазидиффузионный метод решения
многогрупповой системы уравнений переноса и
энергии для вещества 74
2.3.1. Многогрупповая система уравнений
переноса и квазидиффузии при слабой
анизотропии рассеяния 74
Разностная схема для уравнения переноса 80
Разностная схема для уравнений квазидиффузии 82
Эффективная одногрупповая система уравнений квазидиффузии и уравнение энергии вещества 85
Совместное решение усредненных
уравнений квазидиффузии и уравнения энергии 90
2.3.6. Введение производной Фреше от
усредненного коэффициента поглощения 91
2.3.7. Организация итерационного процесса 92
2.3.8. Результаты расчетов 93
2.4. Аналог монотонной схемы для несамосопряженной
системы уравнений квазидиффузии 102
2.4.1. Постановка задачи 102
2.4.2. Различные формы записи многогрупповой
системы уравнений квазидиффузии 103
2.4.3. Гибридная разностная схема для групповых
уравнений квазидиффузии 104
2.4.5. Результаты расчетов 109
Глава 3. Метод учета сильной анизотропии рассеяния.
Климатические задачи 115
3.1. Метод учета сильной анизотропии рассеяния в
обычной схеме квазидиффузии 116
Введение 116
Квазидиффузионная система уравнений при наличии анизотропии рассеяния и граничные
условия отражения 119
3.1.3. Учет сильной анизотропии в уравнении
переноса 124
3.1.4. Исследование скорости сходимости метода 132
3.2. Метод учета сильной анизотропии рассеяния в
потоковой схеме квазидиффузии при наличии
сосредоточенного источника излучения 134
Введение 134
Метод лебеговского усреднения 135
Разложение решения на компоненты 138
Численная схема 147
Результаты расчетов 152 3.3. Использование предложенного метода учета
анизотропии рассеяния в совокупности с методом
лебеговского усреднения по частотам 170
Глава 4. LATRANT: двумерная лагранжевая методика расчета
течений излучающего газа в приложении к задачам
ИТС Программный комплекс LATRANT и его
применение к решению задач УТС 177
4.1. Введение 177
4.2. Методика расчета 179
Постановка задачи 179
Дискретизация и алгоритмы решения
разностных задач 185
4.2.3. Дискретизация и решение уравнений
газовой динамики 186
Решение групповых уравнений переноса, определение коэффициентов квазидиффузии и решение системы уравнений квазидиффузии для групповых плотности и потока излучения 188
Усреднение групповых уравнений квазидиффузии 190
Решение усредненных уравнений квазидиффузии совместно с уравнениями энергии 191
Контроль энергетического баланса в
системе 195
4.2.8. Сравнение квазиодномерных тестовых
расчетов с использованием модели
многогруппового переноса и трехтемпературной
модели 197
4.2.9. Двумерные расчеты неоднородного
радиационного сжатия внешним излучением 204
4.2.10. Основные выводы и результаты 207
4.3. Моделирование разлета фольг под действием
лазерного излучения 207
4.4. Эффективность параллельных расчетов 213
4.5. Моделирование разлета пенных мишеней и оценка степени конверсии лазерного излучения в
рентгеновское 217
4.6. Сравнение результатов математического
моделирования с экспериментами на PALS 225
4.7. Сравнение результатов математического
моделирования с экспериментами на LIL 236
Глава 5. Исследование саморегулируемых нейтронно-ядерных
режимов в быстрых реакторах 243
Введение 243
Постановка задачи для многогруппового уравнения переноса 245
Многогрупповые уравнения квазидиффузии 251
Усреднение в одногрупповую систему
уравнений квазидиффузии 255
5.1.5. Организация итерационного процесса 257
5.1.6. Результаты расчетов 259
Заключение 265
Литература 268
Введение к работе
Во многих задачах математической физики, таких как математическое моделирование процессов, протекающих в звездах, в задачах управляемого термоядерного синтеза, при разработке теплозащиты летающих аппаратов, в медицинских приложениях использования лазера и многих других возникает необходимость численного решения многомерного уравнения переноса излучения [1-3]. При проектировании активных зон реакторов и в задачах защиты реакторов встает задача нахождения решения уравнения переноса нейтронов, во многом родственного уравнению переноса излучения [4-9]. Уравнение переноса является линейным интегро-дифференциальным уравнением первого порядка относительно функции распределения частиц (фотонов или нейтронов). Отличает эти два типа уравнений переноса структура правой части, отвечающая за источники возникновения частиц. Соответственно, могут отличаться и постановки задач для переноса излучения и нейтронов: если для переноса излучения ставится начально-краевая задача, то в задачах переноса нейтронов помимо начально-краевой задачи возможна постановка задачи на нахождение собственных значений. Однако многие проблемы решения для обеих разновидностей уравнения переноса являются общими.
Первые численные методы решения этого уравнения были созданы в ходе работы над советским и американским атомными проектами и касались, главным образом, решения уравнения переноса в одномерной сферической геометрии. Практически это был первый опыт численного решения уравнений в частных производных. Первые предложенные методы интегрирования уравнения переноса можно разделить на два больших класса: это методы, которые в дальнейшем стали называться Sn методами Карлсона (в советском атомном проекте его аналогом был КН метод В.Я.Гольдина)
[10-13] и характеристические методы, самым знаменитым из которых является метод Владимирова [14-17]. Если Sn методы восходят к разностной аппроксимации непосредственно уравнения в частных производных, то характеристические методы базируются на сведении уравнения переноса к обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) вдоль некоторого набора характеристик или на представлении уравнения переноса в интегральной форме. Соответственно достоинства и недостатки у каждого из этих классов методов свои. К достоинствам Sn метода нужно отнести консервативность (при разностной аппроксимации уравнения, записанного в в дивергентной форме), возможность включения в расчет учета других физических процессов, легко достижимую аппроксимцию второго порядка точности, а к недостаткам - по теореме Годунова [17] следующую из второго порядка аппроксимации теоретичекую и практическую немонотонность метода [17], а во многих практически важных случаях и неположительность схемы. В свою очередь, методы характеристик тоже можно разделить на два больших подкласса: метод длинных характеристик и метод коротких характеристик. По-видимому, на сегодняшний день метод длинных характеристик может обеспечить любую точность решения при использовании, во-первых, соответствующего метода решения ОДУ и, во-вторых, тщательно подобранного набора характеристических направлений [20-22]. Метод Владимирова является примером блестящего сочетания метода длинных характеристик и относительной экономичности метода, достижимой в одномерных сферической и цилиндрической геометриях [14-16]. Однако в более сложных геометриях метод длинных характиристик, для которого решение в заданной точке пространства получается численным интегрированием ОДУ по всей характеристике, начиная от границы, является слишком затратным. Кроме того, метод характеристик без дополнительных условий не обеспечивает консервативности, а неудачный выбор характеристических направлений может приводить к так называемому «эффекту луча» [23], при котором среди выбранных направлений в данной
точке может отсутствовать направление «на источник», обеспечивающий главную часть, например, плотности частиц. Угловая гетерогенность решения в заданной точке является неотъемлемым свойством решения уравнения переноса при пространственной гетерогенности распределения источников. «Эффект луча» оказывается особенно неприятным при расчете потоков в удаленных от источника неоднородностях, что приводит к сильной чувствительности методов характеристик к выбору угловой сетки. В методах коротких характеристик решение в заданном узле разностной сетки ищется интегрированием не от границы всей расчетной области, а интегрированием вдоль отрезка характеристики, приходящей в узел с освещенной грани расчетной ячейки. Этот метод сталкивается с необходимостью многократных интерполяций на освещенных гранях для получения значения в точке ухода характеристики, что ухудшает качество получаемого численного решения по сравнению с методом длинных характеристик.
Примерно одновременно с Sn методом и методом характеристик был предложен метод прямого интегрирования Рихтмайера [24]. Несколько позже для случая сферической геометрии был предложен метод характеристических трубок Трощиева, объединяющий достоинства Sn и характеристического методов, однако тяжело распротраняемый на случай учета других физических процессов и многомерных геометрий [25]. Тогда же был предложен дискретный Sn метод (D Sn метод) [12].
Простота реализации Sn метода в многомерных геометриях, второй порядок аппроксимации и консервативность сделали Sn метод весьма привлекательным в глазах многих поколений вычислителей [26-38].
Следующим классом предложенных схем повышенного порядка аппроксимации для решения уравнения переноса стали моментная Diamond Difference (DD) схема, использующая только основное уравнение баланса, и родственные ей нодальные схемы, увеличивающие порядок аппроксимации с увеличением числа используемых уравнений баланса [39,40].
Варьируя форму дополнительных соотношений DD схемы, удается улучшить качество сеточного решения, не отказываясь от второго порядка аппроксимации. При этом прибегают, например, к учету в дополнительных соотношениях эффекта криволинейности расчетной ячейки в (r,z) геометрии [41], к разбиению ячейки на части отрезками характеристик исходного уравнения [32] или отрезками, параллельными граням ячейки [34,36], к многошаговым схемам [42], к аппроксимации уравнения в интегральной форме [43], а также представление решения в ячейке в виде билинейной [35] или экспоненциальной функции [33]. Аналогичным образом удается улучшить качество нодальных схем с большим числом моментов. При этом используется полиномиальное [21], кусочно-полиномиальное [43] или экспоненциальное представление решения [44]. Однако эти улучшенные схемы не являются безусловно положительными и монотонными. Как уже было сказано, решение, полученное из неположительной схемы, может содержать отрицательные скалярные потоки, и сгущение сеток все равно может приводить к появлению у решения нефизических осцилляции большой амплитуды. Метод, соединяющий характеристический подход с сохранением консервативности, предложен в [45]. Порядок положительной и монотонной схемы можно повысить, увеличив число уравнений баланса [46]
Во всех методах такого типа встает задача распределения выходящего потока по граням ячейки. Некорректность распределения потоков по граням ячейки приводит к большим ошибкам при расчете сингулярных решений (например, в задачах с сильно гетерогенными средами или сосредоточенными источниками). Требование корректности распределения потоков - основа построения некоторых одношаговых схем первого порядка точности (SC и VW схемы, [48]). Преобразование SC схемы к двухшаговой форме [49] существенно повышает точность расчета задач с сосредоточенными источниками.
Чтобы соединить в рамках единой сеточной схемы высокий порядок аппроксимации и свойства положительности и монотонности, переходят к нелинейным схемам, т.е. взвешенным схемам с весовыми параметрами, зависящими от сеточного решения. Первоначально расчет ячейки выполняется со значениями параметров, отвечающих наибольшему из возможных порядков аппрксимации. Если полученное решение не удовлетворяет условию положительности и/или монотонности, проводится коррекция сеточного решения: ячейка пересчитывается со значениями параметров, гарантирующих полное или частичное выполнение рассматриваемых условий. При коррекции порядок схемы снижается. Наиболее известными из нелинейных схем являются взвешенная алмазная схема WDD [48], 9WDD [51-53], адаптивные AWDD [54,28], адаптивные нодальные схемы [55].
Расчет по нелинейным схемам тоже может вызывать ряд вычислительных неприятностей. Во-первых, в ситуации жесткой коррекции, когда параметры схемы меняются скачком, может приводить к отсутствию сходимости итераций по столкновениям из-за цикличности изменения решения на соседних итерациях. Однако даже в ситуации мягкой коррекции, когда параметры меняются плавно, сходимость в некоторых случаях ухудшается. Во-вторых, для схем высокого порядка аппроксимации условие положительности/монотонности может нарушаться в каждой ячейке, что влечет за собой либо ограничение области коррекции, и, следовательно, не полную монотонность, либо снижение порядка аппроксимации во всей области решения. В-третьих, в положительных и частично монотонных нелинейных схемах (например, AWDD и 0WDD) необходимость проведения коррекции и выбор ее параметров определяются априори заданными параметрами монотонизации. При этом сеточные решения с различными значениями параметров монотонизации при сгущении пространственной и угловой сеток могут сходиться к различным предельным функциям [56]. И, наконец, в сильно гетерогенных областях с сильно меняющимся точным
решением задачи коррекция может заметно исказить результат. Эти обстоятельства требуют тщательного подбора параметров коррекции, которые устанавливаются, как правило, эмпирическим путем. При этом информация о поведении решения, определяющая необходимость проведения коррекции и параметры коррекции, получается с помощью неположительной и немонотонной схемы, способной исказить решение качественно.
Еще один класс монотонных нелинейных методов высокого порядка точности носит название TVD схем (Total Variation Diminish) [57-64], основанные на введение ограничений на потоки. Другой подход к построению нелинейных схем высокого порядка аппроксимации с подсеточным разрешением разрывов предложен в [65]. Этот метод использует плавающий шаблон, что позволяет определить возможное положение разрыва решения внутри ячейки. Эти методы наиболее полно применяются для конструирования схем газовой динамики.
Все, что было сказано выше, относится к разностной аппроксимации дифференциального оператора в уравнении переноса. Исследование порядка аппроксимации уравнения переноса производится в предположении непрерывности и ограниченности частных производных функции распределения вплоть до некоторой степени п, отвечающей порядку главного члена погрешности аппроксимации. Однако решение задач для уравнения переноса, как правило, имеет особенности на внешних граничных поверхностях, в окрестности сосредоточенных источников, на характеристиках, касательных к поверхностям разрыва свойств среды. Это означает, что вблизи особенностей решение сингулярное, т.е. обладает большими по величине градиентами, или является недифференцируемым, или даже разрывным. Это приводит к тому, что, по утверждению Р.М.Шагалиева [66], в расчетах реальных гетерогенных задач порядок сходимости, оцениваемый по ошибке решения при сгущении сеток, в три
раза меньше декларируемого порядка аппроксимации (в предположении гладкости функции и ее производных порядок сходимости и порядок аппроксимации для устойчивых разностных схем обязаны совпадать): для схем третьего порядка аппроксимации имеет место сходимость первого порядка, для схем второго порядка - сходимость порядка 0.7-0.6, а для схем первого - 0.3. При таком анализе становится ясно, что схемы первого порядка аппроксимации являются совершенно неудовлетворительными по порядку сходимости.
Для надежности проводимых расчетов необходимо использовать схему, не только обеспечивающую хорошую аппроксимацию в каждой ячейке, но и правильно передающую важные качественные свойства точного решения:
— положительность (неотрицательность решения при неотрицательных
источниках и индикатрисе рассеяния);
-монотонность (сохранение в сеточном решении числа и расположения эктремумов точного решения);
- корректность распределения потоков по граням ячейки.
Трудности решения транспортного уравнения не исчерпываются только разностной аппроксимацией уравнения в частных производных. В общем случае функция распределения частиц зависит от семи переменных: трех пространственных, двух угловых, энергетической и времени. Современная эра суперкомпьютеров позволила во многом разрешить эту проблему с точки зрения памяти для задач со многими измерениями. Однако многомерные динамические расчеты в многорупповом приближении, обеспечивающем необходимую точность, даже сейчас возможны в единичных случаях на многопроцессорных вычислительных системах. Эффективные параллельные алгоритмы решения задач переноса разрабатываются во ВНИИЭФ и в ИПМ РАН им. М.В.Келдыша [66-71].
Спектральное описание решения задач переноса излучения (и переноса нейтронов) также представляет значительные трудности. Связаны они с двумя факторами. Общим местом уже является сложная зависимость коэффициентов уравнения переноса от энергии частиц. Эта сложная зависимость коэффициетов поглощения и других, входящих в уравнение, включающих как непрерывный, так и линейчатый спектры, приводит к необходимости либо использовать чрезвычайно подробную сетку по энергии (не менее 10 точек на каждую линию), либо применять некоторые приближения для описания и расчета задачи. На этом этапе введение иерархии вычислительных моделей является наиболее оправданным [72-74]. Например, в наиболее точных методах 'line-by-line' при учете всех линий поглощения атмосферными газами в задаче теплового баланса атмосферы Земли получается система уравнений переноса, содержащая порядка нескольких миллионов энергетических точек. Если учесть необходимую пространственную и угловую дискретизацию задачи, то такой расчет даже для одномерной пространственной геометрии становится возможен в единичных случаях, особенно при наличии рассеяния. Более простой моделью спектрального представления задачи является многогрупповое приближение, при введении которого используется эффективное усреднение по отрезкам частот, соответствующим некоторому разбиению энергетической шкалы. Строгое введение групповых коэффициентов поглощения возможно в ограниченном числе случаев: для оптически тонкого тела, для непрерывного спектра, для излучения, близкого к локальному термодинамическому равновесию [75]. Тем не менее, практика расчетов показывает, что для большого числа задач может быть использовано многогрупповое приближение при соответствующем выборе весовой функции. Вопрос выбора весовой функции при усреднении спектральных коэффициентов частично обсуждается в Главе IV. Аналогичная проблема усреднения возникает при расчете групповых микроконстант, требующихся для реакторных задач, т.к. при различных взаимодействиях нейтронов с
ядрами также возникают резонансные области с изменением величины микросечений этих реакций на несколько порядков вблизи резонанса [6]. Еще более простой моделью является локальное представление спектральной плотности излучения в виде равновесной функции излучения абсолютно черного тела с локальной температурой, что приводит к так называемой трехтемпературной модели, требующей коэффициента поглощения, усредненного по Росселанду во всем энергетическом диапазоне. Это первый аспект проблемы спектрального представления решения. Второй заключается в том, что если трудность представляет собой вычисление и реальное использование спектральных коэффициентов поглощения в широком диапазоне температур и давлений даже в случе равновесной плазмы, для задач прохождения излучения по неравновесной плазме необходимым этапом является включение в общую схему расчета кинетики населенности уровней атомов, что ведет к дальнейшему экспоненциальному нарастанию сложности модели. Выстраивание правильной иерархии моделей и правильный выбор модели для конкретной задачи также является предметом математического моделирования.
Во многих практически важных случаях расчета задач переноса излучения нам важны его интегральные по спектру характеристики типа скалярного потока. Для этого случая А.В.Шильковым был предложен метод лебеговского усреднения по частотам, который позволяет сократить вычислительную трудоемкость задачи минимум на несколько порядков при предварительной обработке констант. Подробнее этот метод будет описан в Главе 3.
Еще одна проблема возникает в задачах с рассеянием: при наличии сильной анизотропии рассеяния метод итераций источника, который обычно применяется в этих задачах, медленно сходится. Кроме того, чем сильнее анизотропия рассеяния, тем больше членов разложения индикатрисы рассеяния по (присоединенным) полиномам Лежандра нужно использовать, и тем хуже сходятся старшие моменты функции распределения. При
недостаточном количестве используемых членов разложения возможна неположительность восстановленной индикатрисы рассеяния. Ускорением итераций при сильной анизотропии рассеяния занимались многие авторы, отметим здесь работы [76-94]. Еще один возможный источник возникновения итераций - задачи на нахождение собственного значения в реакторных задачах. Обзор быстрых итерационных методов обоих типов, возникающих при решении уравнения переноса, можно найти в [95].
И, наконец, последняя проблема заключается в том, что обычно уравнение переноса должно решаться не само по себе, а в совокупности с дополнительными уравнениями, например, уравнениями газовой динамики для переноса света, или с уравнениями выгорания и реакторной кинетики для расчета активных зон ядерных реакторов. Как правило, взаимодействие различных компонентов решения такой объединенной системы приводит к нелинейности задачи, что необходимо учитывать при разработке алгоритмов численного решения.
В предлагаемой работе основой численного решения задач переноса света или частиц является метод квазидаффузии, предложенный В.Я.Гольдиным в 1964 году [93-94]. Он также относится к классу нелинейных методов решения уравнения переноса, но не к классу методов коррекции скалярного потока. Суть его сводится к постепенному понижению размерности задачи введением ряда дробно-линейных функционалов (нелинейность!), слабо зависящих от решения. Это обеспечивает, с одной стороны, автоматическую консервативность и большую точность решения, полученного из дополнительной системы уравнений квазидиффузии, а с другой - возможность эффективно строить численные алгоритмы для объединной системы полученных уравнений редуцированной размерности с уравнениями, отвечающими за другие физические процессы. Понижение размерности задачи проходит в два этапа: первый отвечает усреднению уравнения переноса по углам, после чего получаются уравнения
квазидиффузии, эта процедура в каком-то смысле аналогична выводу уравнений газовой динамики из уравнения Больцмана (только с другой процедурой замыкания системы уравнений). На втором этапе происходит усреднение по энергии, результатом которого является эффективная одногрупповая система уравнений квазидиффузии для скалярного и вектроного потока (излучения или частиц), которая уже может быть объединена с уравнениями, описывающими другие физические процессы, происходящие в системе. Кроме того, использование уравнений квазидиффузии позволяет значительно уменьшить количество итераций источника в задачах с умеренной анизотропией рассеяния. В настоящей работе метод квазидиффузии был развит для эффективного расчета задач при сильной анизотропии рассеяния. Работы коллег [96-103] развивали метод квазидиффузии в одномерной геометрии и создавали начальные методики решения двумерных (квази)диффузионных уравнений, которые при неявной аппроксимации по времени приводят к эллиптическим пространственным задачам. Был создан одномерный комплекс программ для решения задач ВРГД [104-108]. Работа по исследованию устойчивости квазидиффузионного метода и по созданию методик решения двумерного уравнения переноса в методе квазидиффузии ведется параллельно в США [109-117]. В англоязычной литературе как многогрупповые уравнения квазидиффузии, так и эффективная одногрупповая система уравнений квазидиффузии называются уравнениями низкого порядка в противовес собственно уравнению переноса, которое называется уравнением высокого порядка. В большинстве работ по квазидиффузии используется регулярное вычисление интегралов, необходимых для замыкания системы уравнений квазидиффузии. Объединение квазидиффузионного подхода с методами Монте-Карло для вычисления интегралов предложено в [118].
Система уравнений ВРГД
При изучении таких физических явлений, как процессы в лазерных термоядерных мишенях, газовые разряды, динамика звездных атмосфер, мощные взрывы и т.п., важную роль играет правильный учет переноса энергии собственным излучением сильно нагретого вещества. Взаимодействие излучения с веществом является нелинейным и нелокальным. Прохождение излучения через вещество связано с состоянием вещества на всем пути следования, с другой стороны, проходящее излучение из-за поглощения и переизлучения меняет состояние вещества. Для корректного учета взимодействия излучения с веществом в диссертации представлено описание системы уравнений высокотемпературной радиационной газовой динамики (ВРГД) и необходимые алгоритмы для ее эффективного решения в двумерной r-z геометрии, развивающие методики, примененные для одномерных вариантов пространственной геометрии [107].
Запишем уравнения ВРГД без учета рассеяния излучения в сопутствующей системе координат в одножидкостном двухтемпературном приближении:
/?divw = 0, (1)
du г Wv
p~ + grad(pe+pi+pu))= \Kva dv, (2)
dt о c
de
p-f- + divWe + (pe + ypco)divu = pQie +Qr+ pQe, (3)
ds-
Р—г + &Щ + (Pi + (1- y)pco)divu = -pQie + pQ{, (4)
Здесь (1)- уравнение неразрывности, (2) - уравнение движения среды с учетом давления излучения (правая часть), (3),(4) - уравнения энергии для электронного и ионного компонентов плазмы с учетом теплопроводности,
искусственной вязкости pcodivu и обмена энергией между веществом и собственным излучением. Обозначения газодинамических величин универсальны: р - плотность, и — скорость, р=р(Т,р) — давление, є=є(Т,р) — внутренняя энергия вещества, We, Wi— потоки энергии за счет электронной и
ионной теплопроводности, v - частота излучения, с — скорость света, W -спектральный поток излучения.
Член обмена энергией между электронной и ионной компонентами плазмы Т-Т
Q^-1—*- (5)
может быть взят либо в форме Брагинского [3], либо в форме Калиткина [119],
Qr=\{KvaUv-KvaUvPl)dv (6)
- член обмена энергией между излучением и веществом, V - спектральная
плотность излучения, домноженная на скорость света,
UPI = 4лВу = -^ (7)
Pl с3 exp(hv/kTe)-l к J
- планковская равновесная плотность излучения (h — постоянная Планка, к -
постоянная Больцмана, о - постоянная Стефана-Больцмана), куа —
спектральный коэффициент поглощения с поправкой на вынужденное переизлучение. Остальные обозначения универсальны. В дальнейшем мы пренебрегаем членом давления излучения в уравнении движения (2), поскольку оно существенно только для сверхвысоких температур. Qe и Qi источники энерговыделения в электронной и/или ионной компонентах плазмы.
Система (1)-(7) должна быть дополнена уравнениями состояния:
Pe=Pe(P>Tel Pi=Pi(P>Ti), ,g.
Єе=Єе(Р>Те)> єі=єі(Р>ТіУ
Уравнение переноса излучения, как было показано в [2,120,121], должно таюке записываться в сопутствующей системе координат. Однако аккуратный учет членов порядка и/с в уравнении переноса предъявляет чрезмерно жесткие требования к точности численных схем в ситуации, когда функция распределения близка к равновесной [104]. Использование квазидиффузионного метода [1034,105], в котором плотность излучения, входящая в обменный член Qr, определяется из системы уравнений, аналогичных моментным уравнениям газовой динамики для уравнения Больцмана, позволяет сохранить нужную точность и в этом случае. Эти квазидиффузионные уравнения в нерелятивистском приближении с точностью до членов порядка и/с были строго получены А.В.Шильковым и частично опубликованы в [103]. Без учета членов, соответствующих томпсоновскому рассеянию, они имеют вид:
Е^^+Ц^-І&^-яь-ф', (9)
с at р с dXj с ox- ov
pdWj [ ЩІҐ) ^ wr 8uj 1 дщ д(уЩки")
с dt р дх{ с dxt с дхк dv J
Третьи члены в левых частях уравнений описывают работу сил давления излучения, а четвертые — существенное вблизи резонансов допплеровское смещение энергии фотонов из-за различия газодинамической скорости в разных точках пространства.
В уравнениях (9),(10) используются коэффициенты квазидиффузии D~, Щк, учитывающие угловую зависимость интенсивности излучения (функциираспределения) Iу =I(r,Q,v,t)
r^v — Ал rrV _ An /її \
* [Tvu-' "* JFdu ' (11)
Ал An
Здесь Q - направление полета фотона, определяемое двумя углами: полярным углом 0 и азимутальным углом ср.
Полное уравнение переноса в сопутствующей системе координат имеет чрезвычайно сложный вид. Так как основные переносные эффекты учитываются уравнениями квазидиффузии (9),(10), в которых используются устойчивые дробно-линейные функционалы (11), слабо зависящие от функции распределения Iу, для вычисления последней допустимо использовать уравнение переноса, не содержащее членов порядка и/с (работа сил давления излучения и допплер-эффект):
I^l + Q.Vr+^r=^X- (12)
с dt
В физических приложениях принято как частоту, так и температуру измерять
в энергетических единицах (например, в кэВ), в этих переменных
планковские плотность и интенсивность излучения имеют вид
Ил-^-т-гтг-г. *=% (13)
Помимо спектральных уравнений квазидиффузии (9),(10) рассматриваются
интегральные по спектру уравнения с усредненными коэффициентами, в
которых члены с производной по частоте пропадают, но работа сил давления
излучения остается:
K±L.^ + diyw + Dij^^L = -Qr) (14)
р d U ,. - ^ U ди,
— + divW + D» '-
с dt р с ckj
pdWj diDyU) Widuj »
— J- + J-— + ——j-~-\k W-dv. (15)
с dt p dxj с dXj о
При удачном выборе усреднения коэффициентов уравнений (9),(10) по решению спектральной задачи коэффициенты системы уравнений (14),(15) являются устойчивыми дробно-линейными функционалами спектральных
функций. Заметим, что при усреднении по энергии непосредственно уравнения переноса член поглощения в левой части полученного уравнения зависел бы от направления полета фотонов (угловых переменных), так что пришлось бы вводить и решать сопряженное уравнение переноса.
Уравнения (1)-(15), дополненные соответствующими уравнениями состояния (8) и данными об оптических свойствах веществ куа=к(Т,р,у), составляют систему уравнений ВРГД в рамках квазидиффузионного подхода.
Для надежной аппроксимации уравнения переноса нам необходимы выпуклые сетки с близкими оптическими толщинами соседних ячеек (кроме случая контактных границ). Необходимость аккуратного описания газодинамического движения контактных границ накладывает серьезные ограничения на использование эйлеровой газодинамики. Возможности расчетов в лагранжевых переменных ограничены из-за сильных искажений ячеек сетки. Поэтому разумно ориентироваться на использование смешанных ларанжево-эйлеровых газодинамических алгоритмов.
Общим подходом, позволяющим решать сложные системы уравнений, является метод расщепления по физическим процессам. В алгоритме решения системы (1)-(15) можно выделить шесть вычислительных задач:
Решение спектрального (группового) уравнения переноса (12) для заданных распределений температур и плотностей в веществе. Вычисление спектральных коэффициентов квазидиффузии.
Определение спектральных (групповых) значений плотностей и потоков излучения из уравнений (9),(10). На основе полученных распределений проводится усреднение коэффициентов групповых уравнений для получения коэффициентов уравнений (14),(15).
3. Совместное решение интегральных по спектру уравнений
квазидиффузии и уравнений внутренней энергии вещества для электронной и
ионной компонент с замороженными потоками теплопроводности. Получение согласованных распределений температуры и плотности излучения. Автоматический учет обменного члена между электронной и ионной компонентами плазмы. Отметим, что при температурах больше 1 эВ и невысоких плотностях вещества основную роль в перераспределении энергии между элементами массы играет именно перенос излучения.
4. Расчет теплопроводности в (3),(4) при известных плотностях и
радиационных членах.
5. Газодинамический расчет для определения плотностей, скоростей и
температур в веществе, координат лагранжевой частицы из уравнений (1)-(4)
при известных потоках тепла и радиационных членах.
6. Интерполяция величин, определяемых нестационарными
уравнениями, на новую лагранжевую сетку. При решении уравнения
переноса (12) вопрос интерполяции становится очень сложным ввиду
большого числа переменных, от которых зависит функция распределения. В
работе [101] показано, что использование квазидиффузионного подхода
позволяет использовать в уравнении переноса так называемое X-
приближение, снимающее эту проблему.
Диссертация посвящена созданию методов и программ решения уравнения переноса в двумерной цилиндрической геометрии в рамках квазидиффузионного подхода, объединению полученных программ с известными газодинамическими кодами для решения системы уравнений ВРГД и применению разработанных методов к задачам управляемого термоядерного синтеза. Кроме того, в диссертации предложен метод учета сильной анизотропии рассеяния, позволивший решить ряд задач атмосферной радиации. Аналогичные методы применены в исследованиях саморегулируемых нейтронно-ядерных режимов в быстрых реакторах.
Первая глава посвящена первой из указанных вычислительных задач, а именно, в первой главе изложен экономичный метод решения уравнения переноса, основанный на переходе к собственным характеристическим переменным. Предложены два варианта метода. Показано, что построение консервативно-характеристической разностной схемы значительно повышает точность численного решения по сравнению с характеристической схемой. Для оценки порядка точности схемы приведены результаты расчетов тестовой задачи, имеющей точное решение. Основные результаты данной главы опубликованы в работах [256-258,262].
Во второй главе приведена методика решения второй и третьей задач для единого уравнения энергии вещества без разделения на электронный и ионный компонент плазмы. Приведена неявная разностная аппроксимация многогрупповой системы уравнений квазидиффузии на произвольных матрично упорядоченных четырехугольных сетках. Предложен нелинейный метод ускорения сходимости итерационного процесса для решения эллиптической разностной системы уравнений с автоматической подстройкой итерационного параметра к оптимальному значению. Предложен почти монотонный вариант разностной схемы, основанный на приведении тензора квазидиффузии к собственным осям в плоскости (r,z) в середине расчетной ячейки. Используется комбинированная разностная схема: в областях гладкости решения - немонотонная, а на контактных границах - почти монотонная. Описан метод усреднения многогрупповой системы уравнений квазидиффузии в эффективную одногорупповую систему уравнений квазидиффузии и методы решения полученных одногрупповых квазидиффузионных уравнений совместно с уравнением энергии для вещества. Показана важность введения производной Фреше от усредненного коэффициента поглощения по температуре. Приведены результаты численного исследования ряда методических задач, основанных на первой и второй задачах Флека. Основные результаты данной главы опубликованы в работах [231-233, 235, 236, 244, 245, 248, 263].
В третьей главе изложен метод учета умеренной и сильной анизотропии рассеяния в задаче с сосредоточенными источниками (солнечное излучение). Метод учета сильной анизотропии рассеяния основан на выделении в индикатрисе рассеяния сингулярной и регулярной частей. В регулярной части индикатрисы рассеяния выделяются первые три члена разложения по полиномам Лежандра, главная часть сингулярной части эффективно уменьшает сечение рассеяния. В оставшихся интегралах возможна замена переменных, позволяющая учесть особенности индикатрисы рассеяния. Приведены результаты климатических расчетов для атмосферы Земли. При использовании метода лебеговского усреднения по частотам получены прецизионные результаты для теплового баланса атмосферы Земли при наличии не только поглощения, но и рассеяния атмосферными газами. Основные результаты данной главы опубликованы в работах [234, 237, 238-243, 246].
В четвертой главе описан программный комплекс LATRANT для моделирования задач инерциального термоядерного синтеза, построенный на основе предложенных автором методик, описанных в главах 1-3, и лагранжевой методики расчета газодинамических течений. В программном комплексе LATRANT используется двухтемпературное приближение для электронного и ионного компонента плазмы. На основе данного комплекса проведено сравнение трехтемпературной модели, широко используемой при моделировании задач УТС, с многогрупповым приближением. Показано, что эти трехтемпературная модель дает запаздывающую динамику сжатия центральной области горючего для сферических мишеней по сравнению с многогрупповым расчетом. Проведено сравнение результатов математического моделирования с результатами экспериментов, проведенных на установках PALS и LIL. Показано, что влияние различных факторов приводит к значительно меньшему поглощению лазерной энергии пеной на установке PALS, чем это предполагалось при постановке эксперимента. Показано, что введение в пену кластеров тяжелых металлов
значительно повышает конверсию лазерного излучения в рентгеновское. Результаты сравнения с экспериментами на установке LIL показывают хорошее согласие численного и натурного экспериментов. Основные результаты данной главы опубликованы в работах [252-255,260, 264, 266]
В пятой главе на основании предложенных подходов была создана оригинальная методика решения многогруппового уравнения переноса нейтронов для исследования саморегулируемых нейтронно-ядерных режимов в быстрых реакторах. Предложенные методы необходимы для расчета критической сборки, а также для пересчета усредненных по спектру сечений в ходе динамического расчета. Было предложено усовершенствование полуторамерной динамической модели, на основе которой проводится оптимизация режима. Основные результаты опубликованы в работах [247, 249-251,259,261,265,268].
Основные положения, выносимые на защиту
Созданы эффективные методики и комплексы программ решения многогруппового уравнения переноса совместно с квазидиффузией для решения задач переноса излучения в сплошной среде. Предложенные методы обладают повышенными свойствами монотонности и учитывают особенности решения. Методы эффективного понижения размерности уравнения переноса позволили создать экономичную и точную методику, учитывающую взаимное влияние переноса фотонов и газодинамических процессов в системе.
Предложен метод учета сильной анизотропии рассеяния в уравнении переноса, значительно сокращающий количество итераций по рассеянию. Решен ряд задач атмосферной радиации с рассеянием на аэрозолях и облаках, обладающих особенностью преимущественного рассеяния вперед. Применение предложенного метода учета анизотропии рассеяния совместно с методом лебеговского усреднения
по частоте (А.В.Шильков) позволило получить прецизионные результаты, не имевшие аналогов в мире, для задачи об энергетическом балансе атмосферы Земли.
На основании разработанных автором методик расчета переноса излучения и известных газодинамических методик создан программный комплекс LATRANT для моделирования задач радиационной газовой динамики в r-z-геометрии при существенной роли собственного излучения плазмы. Полномасштабное моделирование задач УТС позволило объяснить экспериментальные результаты, полученные на установках PALS и LIL.
Создан эффективный метод и комплекс программ расчета многогрупповой системы уравнений переноса нейтронов с квазидиффузией в двумерной r-z геометрии, значительно сокращающий число итераций по рассеянию и делению, применяемый для проведения поисковых работ по оптимизации активных зон быстрых реакторов нового типа, предложенных и разрабатываемых в ИММ РАН, которые обладают повышенными свойствами безопасности и экономичности.
