Содержание к диссертации
Введение
1. Спектральная стохастическая эйлерова модель трехмерного потока, в пористой среде 8
1.1 Описание модели 8
1.2 Спектр случайного поля скорости 10
1.3 Численная процедура моделирования случайного поля скорости 12
1.4 Эйлеровы статистические характеристики потока 16
1.4.1 Примеры реализаций случайного поля скорости 16
1.4.2 Тестирование моделирующей процедуры 16
1.4.3 Моделирование поля вихря 17
1.5 Лагранжевы статистические характеристики потока 18
2. Прямое моделирование потока в пористых средах 23
2.1 Процедура прямого численного моделирования 23
2.2 Тестирование моделирующей процедуры 25
2.3 Численные результаты. Сравнение численных результатов прямого моделирования с результатами модели, полученной в приближении малых флуктуации поля гидравлической проводимости 26
2.3.1 Эйлеровы статистические характеристики потока 26
2.3.2 Лагранжевы статистические характеристики потока 27
3. Двухмерная спектральная стохастическая эйлерова модель горизонтального потока в безнапорном водоносном слое 29
3.1 Описание модели 29
3.2 Спектр случайного поля скорости 31
3.3 Эйлеровы статистические характеристики потока 32
3.3.1 Примеры реализаций случайного поля скорости 32
3.3.2 Тестирование моделирующей процедуры 33
3.3.3 Пространственная структура поля скорости 33
3.4 Лагранжевы статистические характеристики потока 35
4. Стохастическая лагранжева модель рассеяния двух частиц в турбулентном потоке 37
4.1 Обзор стохастических моделей турбулентного рассеяния 38
4.2 Описание модели 40
4.2.1 Модель псевдотурбулентности 40
4.2.2 Комбинированная эйлерово-лагранжева модель 41
4.3 Численные результаты 42
4.3.1 Средний квадрат расстояния между двумя частицами 42
4.3.2 Принцип Томсона "два к одному" 43
4.3.3 Интенсивность флуктуации концентрации пассивной примеси 45
Заключение 69
Литература 70
- Численная процедура моделирования случайного поля скорости
- Численные результаты. Сравнение численных результатов прямого моделирования с результатами модели, полученной в приближении малых флуктуации поля гидравлической проводимости
- Эйлеровы статистические характеристики потока
- Комбинированная эйлерово-лагранжева модель
Численная процедура моделирования случайного поля скорости
Приведем моделирующие формулы для случая вещественного случайного поля [40] Пусть р{ } - произвольная вероятностная плотность, определенная на пространстве волновых чисел к Вектор к распределен с плотностью р(к), & и Ш - независимые случайные величины с нулевым средним и единичной дисперсией, независимые от к
Выше было описано моделирование случайного поля с нулевым средним (u(x)} = 0 и с заданной спектральной плотностью 5 (k) Не делалось ЕІИ-каких предположений о многомерных распределениях случайного поля (то есть рассматривали моделирование однородных полей в широком смысле)
При выполнении некоторых, достаточно общих, условий [30] центральная предельная теорема обеспечивает, что многоточечные распределения u v (x) будут сходиться к гауссовским распределениям при N — ею Также увели-чеішем числа N можно добиться эргодичности моделируемого случайного поля
В отличие от гауссовского S1//, р(к) здесь довольно медленно убывает с ростом к Поэтому при моделировании случайного поля здесь важно обеспечить, чтобы среди кг входящих в (15) были полноценно представлены большие волновые числа
В этом параграфе мы представим результаты численного моделирования некоторых эйлеровых характеристик трехмерного потока в пористой среде и проведем тестирование моделирующей процедуры, описанной в 1 3
Для иллюстрации приведем несколько примеров реализаций случайных по (Ь лей флуктуации скорости потока в пористых средах Будем считать In К нормальным случайным полем со средним F — 3 4012 (что соответствует характерному для песка среднему значению гидравличе ской проводимости (К) = 30 м/сутки) и aj — 0 01 Гидравлический градиент выберем в виде J = (J, 0, 0), где J — const = 0 01 Р На рисунке 1 показаны реализации случайного поля флуктуации компо нент скорости {и[, и!2) в трехмерном потоке, в плоскости (х1,Х А) (координата Хз фиксирована), для значений длины корреляции If = 1м (левый график) и If = 0 5м (правый график) Здесь использовался спектр Sfj вида (8)
Заметим, что из вида спектра (13) и формулы (16) можно доказать, что после перехода к системе координат, в которой J = (J, 0,0) функции Cia(r) — C23(r) = Сіз(г) = 0 вдоль любой из координатных осей (гь 0, 0), (0, i2, 0), (0,0, rj) Хотя, как видно из рисунка 4 для произвольного (не параллельного координатным осям) вектора г это неверно
На рисунке 5 вычисленные методом Монте-Карло функции D u/crj (левый график) и D 22/&j (правый график) представлены в сравнении с результатами асимптотических формул (18) и (19), соответственно В расчетах использовалось значение параметра aj = 0 01
Относительная погрешность оценки D ufo j меньше 1% Таким образом, формула Дагана (18) хорошо работает при if 4, численные результаты и асимптотические кривые на левом графике практически совпадают Максимальная относительная погрешность оценки Dl ju составляла 3% при if = 150
Эти-же функции показаны на рисунке б для малых значений времени t здесь они сравниваются с результатами, полученными по формуле (20) Вновь получено хорошее соответствие между вычислениями Монте-Карло (статистическая погрешность метода Монте-Карло составляет от 3% до 5%) и асимптотическими формулами (20)
Интересно оценить, насколько большими могут быть флуктуации проводимости, чтобы асимптотические формулы (18) и (19) оставались применимы На рисунке 7 эти формулы сравниваются с результатами численного моделирования для различных значений (Л На певом графике изображены кривые, полученные для Uf — 0 2 и 0 8 (статистическая погрешность метода Монте-Карло меньше 2%) и асимптотическая кривая (18) Из графика можно сделать вывод, что о"? = 0 2 С уверенностью может считаться с пуча-ем малых флуктуации, тогда как при и J — 0 8 результаты вычислений уже значительно отличаются от
Численные результаты. Сравнение численных результатов прямого моделирования с результатами модели, полученной в приближении малых флуктуации поля гидравлической проводимости
В этом параграфе мы опишем результаты численных расчетов некоторых эйлеровых и лагранжевых статистических характеристик потока в трехмерной пористой среде Используется спектр 5//(к) в виде (6) и (8) Проводится сравнение с результатами описанной в первой главе спектральной моде ни, что позволяет оценить область применимости аппроксимации первого порядка, для данной задачи
На рисунке 21 показана функция j — 1 для различных значений параметра оу Заметим, что при оу — 1 вычисленная нами средняя продольная скорость приблизительно на 26% больше чем средняя скорость, полученная в приближении малых возмущений В [34] эта разница составляла 22%, а в [13] - 15%
На рисунке 22 изображены безразмерные функции GulUl/(afKoJ)2 (левый график) и G U2U2(o fKGJ)2 (правый график) в продольном направлении т[ — гi/If для оу — 0 3, 0 6 и 1 (в [22] приводятся экспериментальные данные, что в естественных водоносных слоях значение оу лежит в интервале [0 4, 4]) Для построения каждой кривой строилось 400 реализаций случайного поля скорости и на каждой реализации искомые функционалы оценивались на 216 траекториях Количество гармоник при моделировании случайного поля логпроводимости N = 300
На левом графике результаты прямого моделирования отличаются от результатов спектральной модели в точке г[ = 1 меньше чем па 4%, 18% и 62% для су = О З, 0 6 и 1 соответственно Статистическая погрешность прямого моделирования меньше 5%, тогда как статистическая погрешность спектральной модели меньше 2% На правом графике разница между кривыми в точке г[ = 1 меньше 7%, 25% и 78% результатов спектральной модели Статистическая погрешность прямого моделирования меньше 10%, тогда как статистическая погрешность спектральной модели меньше 3%
В отличие от эйлеровой корреляционной функции скорости, лагранжевы характеристики имеют более сложную зависимость от параметра т$ В частности, на рисунке 7 была показана зависимость от aj функций D n/aJ, 0 .П/ У) Как видно из рисунка 21 с ростом о$ средняя скорость и і значительно отличается от полученного в первом приближении значения KQJ/6 Нахождение прямым моделированием средней скорости требует гораздо меньше вычислительных ресурсов, чем вычисление лагранжевых характеристик Поэтому, естественно попытаться использовать для вычисления лагранжевых характеристик спектральную модель из первой главы и щ из 2 4 1 На рисунке 23 показаны вычисленные таким способом дисперсии продольного и поперечного смещения Конечно, такие расчеты можно рассматривать лишь качественно, потому что спектральный тензор моделируемого поля скорости изменится при увеличении флуктуации поля проводимости
Далее, здесь для построения прямым моделированием каждой кривой разыгрывалось 400 реализаций случайного поля скорости и для каждой реализации искомые функционалы оценивались на 252 траекториях, стартовавших из различных точек области D При моделировании поля логпрово-димости, для получения устойчивых результатов было достаточно N — 100 гармоник Параметр о/ равен 1
На рисунках 24, 25, 26 изображены дисперсии продольного и поперечного смещения для малых и больших значений безразмерного времени Для построения рисунка 24 использовался спектр Sjf вида (6), для двух других вида (8) Статистическая погрешность вычислений меньше 3% Різ рисунков 24, 25 видно, что как и Б случае малых Of (рисунок 10) при гауссовской корреляционной функции Cjf вида (4) рассеяние идет быстрее и в продольном и в поперечном направлениях Однако численные результаты прямого моделирования уже существенно отличаются от результатов спектральной модели (при if = 5 разница составляет от 30% до 50% от результатов спектральной модели)
На рисунке 27 представлены обезразмеренные продольная и поперечная лагранжевы корреляционные функции скорости Дц(і )/(а/[7)2, Язг(і )/ {иjU)2 Статистическая погрешность вычислений здесь значительно больше чем для ковариаций смещения Уже при if — 1 она достигает 2 — 3% для продольной лагранжевой корреляционной функции и 10 — 15% для поперечной Далее погрешность растет с убыванием корреляций Так же, как и в случае малых возмущений (см 1 5, рисунок 11), здесь можно увидеть область отрицательных значении функции J?22(T) Однако как видно из рисунка 28, на котором показаны безразмерные функции в отличие от случая малых оу характерное лагранжево время корреляции поперечной скорости уже ненулевое Кривые, представленные на рисунке 29, хорошо качественно согласуются с результатами, приведенными в [13], хотя Чип и Ван г были существенно ограничены в выборе шага сетки (/?вих работе выбирался равным I//2) Количественно наши кривые лежат выше на 30% для левого графика и на 15% для правого графика
Из рисунка. 26 видно, в отличие от случая малых oj ([16], [41]) дисперсия поперечного смещения как и продольного линейно растет со временем Это можно объяснить тем, что как видно из рисунка 28, значения А22(оо), АэДсо) не равны пулю при больших cj и в этом случае применима формула Тэйлора Как и при малых значениях Ї результаты прямого моделирования существенно отличаются от результатов спектральной модели (при t — 30 разница достигает 45%).
Эйлеровы статистические характеристики потока
На рисунке 30, показаны реализации случайного поля скорости горизонтального потока (и и у) в плоскости (2:-1.,2:2), а 0 бм-1 (левый график) и а = 2м"1 (правый график)
Спектр Sff выбирался в виде (28) Моделирование проводилось при следующих значениях параметров модели F = 3 4012, J = (./,0), J = 001, aj = 0 01 и средняя толщина слоя В 1м 3.3.2. Тестирование моделирующей процедуры
Для тестирования модели потока в слое, как и в 3 3 1, спектр Sff выбирался в виде (28), F = 3 4012, J = (7,0), J = 0 01, а) = 0 01 Средняя толщина слоя В — 1м и а = 1м"1
Аналогично параграфу 14 2 введем определение Cd r) — { и}(0, 0)щ{г.г)) На рисунке. 31 изображены функции Cd(r) = Cdn(r) + Cd r) (левый график) и Cd12 (правый график), вычисленные методом Монте-Карло и по формуле Симпсона Параметр в здесь полагался равным единице На обоих графиках погрешности вычислений слишком малы, чтобы можно было заметить разницу между кривыми (относительная погрешность составляла меньше 5% при г 2м)
Перед тем. как представить результаты вычислений эйлеровых корреляций поля скорости, сделаем замечание об одном критерии подобия Можно существенно упростить анализ модели, если заметить, что при некоторой замене координат вместо двух независимых параметров - средней толщины слоя В и длины корреляции If, функция Cji будет зависеть только от их отношения I) = If /в
Корреляция продольной компоненты скорости монотонно убывает в продольном направлении Длина корреляции уменьшается с уменьшением толщины водоносного слоя В (рисунок 32, левый график) Более интересно поведение поперечной скорости в продольном направлении (рисунок 32, правый график) Для всех значений толщины слоя здесь существует временной интервал, на котором корреляционная функция принимает отрицательные значения Это означает, что декорреляция достигается за счет поперечного случайного блуждания в обоих направлениях
Как видно из рисунка 33 (правый график) при любых значениях толщин слоя существует большой интервал, на котором поперечные корреляции в поперечном направлении принимают отрицательные значения Это означает, что вихри в поперечном направлении распределены статистически более или менее симметрично Длина корреляции уменьшается вместе с уменьшением толщины слоя Отрицательные значения корреляции продольной компоненты скорости в поперечном направлении (рисунок 33, левый график) появляются только в топких слоях
Часто представляют интерес и смешанные корреляционные функции Січ(гі) Суї{ті) Однако, здесь как и в случае трехмерного потока из вида спектра (30) и формулы (16) нетрудно убедиться, что их значения вдоль координатных осей (і"і,0) и (0,г2) будут тождественно равны нулю
Замечание Спектр скорости (30) бып выведен в предположениях оу 1 и b « В На рисунке 34 показаны результаты численных расчетов функций uh/If (левый график) и ah/B (правый график), где с& дисперсия гидравлического потенциала ip (напомним, что ц — Н + К)
Эти результаты могут быть использованы для проверки предположения Ъ « В Заметим, что две нижние кривые на левом графике хорошо согласуются с отношением а\ = 0 Ъ1а)321) Ці 21В/Л» , JIj/B « 1 , полученным в [19] для двухмерного спектра логпроводимости (28) 3.4. Лагранлсевы статистические характеристики потока В этом параграфе мы представим результаты чиспенных расчетов лагран-жевых характеристик потока в безнапорном водоносном слое В расчетах In К изотропное гауссовское случайное поле со средним Р — 3 4012 и спектром (30) J = (J, 0), J = 0 01 Напомним, что мы имеем дело с потоком, в котором вертикальные изменения гидравлического потенциала очень малы Соответственно, малы и вертикальная составляющая скорости, и приращения вертикальной скорости в горизонтальном направлении
На рисунке 36 изображены продольная и поперечная лагранжевы корреляционные функции Яц(т) и І?22(т), нормированные делением на Rn(Q), j — 1,2 Нужно заметить, что дальнейшее уменьшение параметра Ij/B при значениях меньше 10 уже не влияет на поведение кривых Это верно и для кривых, представленных на рисунках 32, 33 и 37 Это означает, что в (31) вли-янис слагаемых, содержащих множитель -g-, становится незначительным То есть незначительным становится влияние верхних граничных условий на осредненные горизонтальные характеристики потока Такие грунтовые слои можно назвать "толстыми слоями"
Как и в случае трехмерного потока вычисления показывают наличие режима супердиффузии (рисунок 35, правый график) Поперечный интегральный масштаб времени, определяемый как интеграл поперечной лагранжевой корреляционной функции равен нулю Поэтому классическая формула Тэй-лора [4] здесь неприменима Отрицательные временные корреляции приводят к завихрению (захвату) частиц и нелинейному росту дисперсии поперечного смещения, см правый график рисунка 35
Комбинированная эйлерово-лагранжева модель
По определению для малых времен SV и v независимы и (EV(i)2) (Uj;3) Отсюда следует, что в средний квадрат лагранжевых скоростей обоих частиц происходит малый вклад порядка (v(i)2) Функция (v(f)j2) растет линейно со временем, это объясняет некоторый начальный рост кривых на рисунке 40 При больших временах, когда r(t) 0L, уравнения движения частиц совпадают с уравнениями движения в псевдотурбулентности UJS Этим объясняются малые отклонения кривых от точной константы на правом графике Выбирая параметры а и /?, мы можем устанавливать баланс между двумя режимами с одной стороны, выбирая малыми значения а и (3, мы обеспечиваем лучшее выполнение принципа "два к одному" С другой стороны, при больших числах Рейнольдса для r(t)/L 0 физически естественна модель (45), где CUQ константа, зависящая от свойств скорости, и выбирая а слишком малым, мы эту модель проигнорируем
Выше мы предполагали, что начальное расстояние между частицами мало по сравнению с характерным пространственным масштабом тзфбулент-ности При больших начальных расстояниях принцип "два к одному"будет выполняться даже с лучшем точностью Более того, при p(t) (3L он выполняется даже в сильной формулировке (43) 4.3.3. Интенсивность флуктуации концентрации пассивной примеси
Как мы уже видели из вычислений функции /?(#), модель псевдотурбулентности и комбинированная эйлерово-лагранжева стохастическая модель приводят к качественно разному поведению в инерционном подиыгервале
Таким образом, чтобы вычислить среднее значение концентрации с(х, t) мы стартуем в точке х в момент времени t, и моделируем сопряженную ла-гранжеву траекторию до момента to, затем вычисляем статистическую оценку S(X.(to, х, t)) [З] После осреднения по большому количеству пар траекторий мы получаем среднюю концентрацию
Также вычисляется и (с2(х, )) в одной реализации поля скорости мы стартуем в момент времени t две условно-независимые обратные траектории из точек X! и х2 с очень малым расстоянием между ними (расстояние должно быть порядка внутреннего Колмогоровского масштаба rj), и вычисляем случайную оценку 5(X(io,xi,i)) 5(Х(о,Х2,:)) После осреднения по большому количеству пар траекторий, мы получаем второй момент концентрации
Для оценки интенсивности флуктуации концентрации использовалась техника обратных траекторий Источник выбирался в виде (46) сио-О І о/є, где ZUQ энергия турбулентности (см (34))
На рисунке 42 показана /с(0,), как функция от безразмерного времени т = !t Dj в лог-лог координатах Верхняя кривая (2) получена с помощью модели псевдотурбулентности (использовалось N — 16000 пар траекторий), нижняя кривая (1) получена с помощью комбинированной эилерово-лагранжевой модели (использовалось N = 30000 пар траекторий) Для последней CQ — Q, а = 0 05, /3 = 0 1 В обоих случаях использовался интервал от к0 = 2тг до &тах = 103 Для получения устойчивых результатов в псевдотурбулентной модели было необходимо использовать 50 гармоник, тогда как для комбинированной модели было достаточно 30
Построена стохастическая эйлерова модель трехмерного потока в статистически изотропной и анизотропной пористых средах в предположении малых флуктуации поля гидравлической проводимости, основанная на спектральном представленим случайных попей
Численные эксперименты показали высокую точность и эффективность моделирующего метода Полученные с помощью спектральных моделей численные результаты в случае малых флуктуации хорошо согласуются с существующими асимптотическими формулами Это позволило определить область применимости этих асимптотик Вычислены основные статистические характеристики потоков дисперсии продольного и поперечного смещения. лагранжсвы корреляционные функции, лагранжевы структурные функции и среднее расстояние между двумя частицами В частности, обнаружен временной интервал с режимом супердиффузии в поперечном рассеянии
Предложена и реализована процедура прямого численного решения системы уравнений, описывающей трехмерный поток в пористой среде Коэффициент гидравлической проводимости среды в законе Дарси представляется как случайное поле с логиормальным распределением, при этом па величину флуктуации поля гидравлической проводимости не накладывается ограничение малости Исследована область применимости метода малых возмущений Вычислено, что еще при ay = 0 3 статистические характеристики потока, полученные прямым моделированием, хорошо совпадают с результатами, полученными на осгюве спектральных моделей При больших а следует использовать предложенный метод прямого моделирования
Разработана двумерная спектральная модель горизонтального потока со свободной поверхностью в случае статистически изотропной пористой среды в аппроксимации "мелкой воды"Дюшои В поведении эйлеровых и лагранже-вых корреляционных функций и других статистичаских характеристик потока обнаружено подобие в предложенных безразмерных координатах для описания этих функции вместо длины корреляции случайного поля л or проводимости и средней толщины водоносного пласта можно использовать их отношение, что существенно упрощает качественный анализ
Предложенные стохастические модели позволяют рассчитывать различные статистические характеристики переноса частиц в случайных полях скоростей В частности, в задаче об относительном рассеянии двух частиц в развитом турбулентном потоке численно исследована стохастическая эйлерово-лагранжева модель, удовлетворяющая кубическому закону Ричардсона
