Введение к работе
Актуальность темы.
Как известно, метод Монте-Карло (М.К. метод) является единственным средством решения многомерных задач переноса излучения, в особенности для сложных геометрических областей.
В работе рассматриваются полросы, связанные с повышением эффективности моделирования процесса переноса нейтральных частиц через вещество. Исследуются задачи переноса при наличии источника частиц н неразмножающей среде. Потребность в моделировании таких задач переноса возникает при решении самых разнообразных проблем науки и техники. Это, прежде всего, задачи физики защиты реакторов, радиобиологии и медицинской ядерной физики, физики атмосферы и астрофизики. Решение этих задач методом Монте-Карло сводится к оценке математического ожидания случайных величин, заданных на тра-екторршх цепи Маркова с состояниями (r.-.w,-,/?,), где г R'- координата взаимодействия частицы с веществом, wr единичный нектор направления движения после взаимодействия и ft- энергия частицы после взаимодействия. Эффективность моделиропа-. дня определяется как величина, обратная трудоемкости, равной произведению дисперсии используемой случайной величины па среднее время моделирования траектории. Среднее время моделирования, рапное произведению средпего числа столкновений в траектории на средпее время моделирования перехода из одного состояния в другое, практически пе поддастся аналитическому исследованию. Кроіге того, среднее число столкновений может быть уменьшено введеппем некоторых дополнительных условий'обрыва траектории без увеличения дисперсии за счет небольшого смещепня оценки (см., например, гл. 3 и 4 настоящей работы). Поэтому в работе осповпое внимание направлено па оптимизацию метода по дисперсии. Это обусловлено еще одним обстоятельством, которое наиболее отчетливо проявляется при решении задач прохождения излучения на боль-
шиє оптические расстояния. Так, при имитационном вычислении вероятности выхода частицы за слой большой оптической толщины рост относительной погрешности расчетов с ростом толщины настолько велик, что его невозможно компенсировать разумным увеличением статистики. Практически это выражается в том, что программа дает сильно заниженные результаты даже на очень большой статистикс( практически достижимой), хотя оценка дисперсии дает значения, кажущиеся удовлетворительными. Отметим, что на больших толщинах практически все программы, основанные на известных алгоритмах метода Монте - Карло дают заниженные результаты, что было предметом обсуждения на Y Всесоюзной научной конференции по защите от источников ионизирующих излучений (г. Протвино). Поэтому разработка эффективных алгоритмов для решения задач переноса, rro-прежлему,- актуальная задача, решение которой должно сопровождаться разработкой и"исследованием соответствующих программ.
Важное значение имеет создание универсальных программ, точнее, программ для решения широкого класса задач. Этому препятствует то обстоятельство, что оценка малых вероятностей драктически невозможна методом прямого моделирования, а для ряда задач до последнего времени вообще отсутствовали средства решения путем моделирования.
Хотя теоретическое решение проблемы оптимизации, основанное на минимизации дисперсии оценки и связанное с переходом к моделированию фиктивных траекторий и введением статистических весов, известно, однако, оно требует знания решения сопряженного уравнения или удачного приближения к нему. Несмотря на значительную актуальность итого направления,.имеются лишь отдельные примеры программ, использующих результаты такого рода, которые к тому же не снимают проблемы занижения результатов. Отмеченпые обстоятельства ставят новую научную проблему: разработки аналитических методов исследова-
ния задачи оптимизации и получения приближений к решению сопряженного уравнения, учитывающих специфику метода М,К..
D диссертации проведен ряд теоретических исследовании, расширяющий сферу применимости М.К. метода и позволяющих создать комплексы программ решения задач переноса, существенно более общие, чем до сих пор.
Приводится теория, описание программ и примеры вычислений.
Автором предлагается новый, достаточно общий подход к решению упомянутой аналитической задачи.
В работе получены и решены (точно или приближенно ) уравнения для фиктивной плотности распределения по пробегу, дающего нулевую дисперсию для оценок по поглощениям С и столкновениям І, а предположении, что остальные параметры фиктивной модели выбраны оптимальным образом. Зная эту оптимальную плотность, можно найти и остальные оптимальные параметры.
Среди разнообразных подходов к построению оптимальных программ, по - видимому, наиболее популярен метод существенной выборки и использование оценок по столкновениям или по поглощениям. В силу принципа суперпозиции понятно, что, если аналитически решить задачу оптимизации оценок по столкновениям D методе существенной выборки для точечного источника, расположенного в точке г, є II3 и испускающего частицы о направлении ы, ,
Ss{r,u) = S(v — r„)5(u> —w,), r,r„ ы,ш, It', | w, |=|w |= 1,
и точечного детектора( источника сопряженного интегрального уравнения)
ht[r,u) = S(r - глЩь>4 - u>), tj, ud Є ЗІ3, І и^ |= 1,
то оптимальпая плотность r(('.w)-» (r',w')> для моделирования переходов (r,u>) ~»(r',w') и рождений p,(r,w) для произвольных источника S(r,u) и детектора Л(г,ы) получается интегрированием полу-
ченвой оптимальной плотности Грина по распределению детекторов. Более точно имеем
P((r,w) - (г ,w')) = j rfrW j Pt^u_+r,tU.)h[UtUi)duiLjt
Dxft Dxf)
S{r,u) J p((r,u)-.(r',u.'))ir'A/'
Dxfi Dxft
S(r,w) - плотность распределения источников, *(г,ы) - функция детектирования, р((г,и) -* (г',ы')) - плотность переходов (г,ы) -4 (г',<у), дающая нулевую дисперсию для оценок по столкновениям или поглощениям, в задаче с функцией детектирования Л(г,ы); pr<^(r,u -> r',u>') - то эке, что и р(г,ы - г',и/), но в задаче с точечным детектором ( оптимальная плотность Грина ). Отметим, что оптимальную плотность для широко известных локальных ( по всем координатам ) оценок естественно называть резольвентной оптимальной плотностью.
Аналогичный подход применим, если г„ч є U. Очевидно, что подоби: їй результат справедлив и для задач с зависимостью характеристик рассеивающей среды от ввергни частицы. Реализации этого подхода и посвящены первые три главы работы.
Упомянутые уравнения для оптимальной плотности по пробегу получены для базовой - плоской геометрии задачи (rd U). Зная эти базовые плотности, можно получить оптимальные фиктивные плотности для локальных оценок (гл є її3) в той же геометрии. Используя последние в качестве оптимальной плотности Грина, можно приближенно решить задачу оптимизации для вычисления любого линейного цепрерывного функционала для произвольной геометрии. Это сделано для однородной среды. Переход к гетерогенной задаче можно осуществить, если воспользоваться методом сложения слоев.
Существующие оценки метода Монте-Карло, в частности, рас-. сматриваемые нами оценки по поглощениям и по столкновениям, обладают тем свойством, что их математическое ожидание естественным образом связано с суммой ряда Неймана (схема Улама-Неймана). Однако, известны преобразования этого ряда, которые дают ряды, сходящиеся значительно быстрее. Это ставит задачу построения и исследования схем альтернативных схеме Улама-Неймана, что особенно актуально для задач переноса, в которых вероятность поглощения частицы близка к пулю, а размеры области велики.
Цель работы заключалась в следующем:
1. разработка аналитического аппарата, позволяющего со
здавать адаптивные программы метода Мопте - Карло, то есть
программы, которые по заданной оптимальной плотности Грина,
путем численного или аналитического интегрирования произво
дят настройку на геометрию задачи и вычисляемый функционал;
2. поиск схем моделирования, альтернативпых схеме У лама -
Неймана;
3. исследование влияния предварительных преобразований
системы линейных алгебраических уравнений ( конечно- раз
ностных приближений уравнения переноса) иа свойства оценок
метода Монте - Карло и обобщении их на интегральные уравне
ния.
Научная новизпа.
1. В работе впервые выпедены и решены уравнения для оптимальной резольвентной плотности фиктивных переходов в беско-печпой и полубесконечпой средах и пластине конечной оптической толщипы в случае одпоскоростной задачи, что можот быть использовано для построения адаптивных программ как для од-поскоростных задач цереноса,'так и для задач со слабой зависимостью характеристик взаимодействия частицы с веществом от энергии частицы.
2.Впервые решена задача оптимизации моделирования пере-
поса быстрых нейтронов в водородосодержащизс средах, идейно близкая к задаче 1.
3. Проведен теоретический анализ оптимизации локальных
оценок поля излучения (h,4(r) -
решения этой задачи и задачи из п.1 (КЛГ) = 6{г - rj),rj е It) ,
что в принципе позволяй! строить адаптивные алгоритмы для
сложных'трехмерных геометрий. Кроме того, впервые решена
задача полной оптимизации локальной оценки поля излучения,
что имеет и большой самостоятельный интерес.
4. Впервые показано, что, если метод Монте - Карло исполь
зуется для решения конечно - разностных задач ( в частности, за
дач переноса ), то предварительное преобразование Якоби, Зей-
деля, Некрасова и некоторые другие п ряде случаев приводят к
более эффективным оценкам метода Монте - Карло.
Практической ценность. В работе предложен повий подход к аналитическому исследованию оптимальних фиктивных плотностей переходов, что позволяет разрабатывать адаптивные программы метода Мопте - Карло, что, по-существу, является новым направлением в теории оптимизации оценок. Кроме того, предложены алгоритмы либо дополняющие, либо заменяющие схему Улама - Неймана, использование которых позволяет повысить эффективность разрабатываемых программ. Предлагаемые алгоритмы реализованы в виде программ' или процедур.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в работе, докладывались па И, IV, V' Всесоюзной научной конференции по защите от источников ионизирующих излучений, на VII, VIH Всесоюзном совещании по методу Монте - Карло в вычислительной математике, на Школе - семинаре по методу Мопте - Карло в г. Ташкенте (1991 г.), на конференции HI - Modei'Orien-Ы Data Analisis (M0DA-3) в С.-Петербурге, на семинарах п СПбГУ, СПГТУ, ВЦ СО РАН, ИПМ СО РАН, ФЭИ, обсуждались со специалистами ИПМ, ИАЭ, МИФИ.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из вве-
дения, G г лан, заключения и приложения.
