Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задача дифракции в плоском слое
1. Основные предположения и обозначения 18
2. Постановка и исследование краевой задачи дифракции 27
3. Непрерывность решения задачи дифракции 33
4. Моделирование преломления и отражения по законам Френеля в плоском слое 40
5. Метод Монте-Карло решения прямой задачи 48
Глава 2. Задача определения показателя преломления слоистой среды
1. Постановка задачи 52
2. Некоторые качественные свойства решения задачи дифракции с Френелевским отражением 55
3. Задача определения показателя преломления но данным оптического просвечивания в трехслойной системе GO
4. Численные эксперименты по определению показателя преломления CG
Глава 3. Задача дифракции в ограниченной области
1. Прямая задача дифракции 71
2. Условия сопряжения Френеля в Е3 79
3. Метод Монте-Карло решения прямой задачи дифракции 82
4. Визуализация трехмерных объектов 87
5. Задача оптимизации для уравнения переноса. Просветляющие покрытия и маскирующие среды 93
Глава 4. Численное моделирование распространения излучения с учетом комптоновского рассеяния
1. Обзор физических понятий 98
2. Прямая задача для уравнения переноса с чисто комптоновским рассеянием 101
3. Метод Монте-Карло решения прямой задачи 104
4. Индикатор неоднородности и мера видимости в диапазоне
комптоновского рассеяния. Невидимые и шюховидимые среды 111
5. Аппроксимация уаювия плохой видимости для низких энергий 118
6. База данных пар веществ плоховидимых при их рентгенодиагностике 124
Публикации автора по теме диссертации 132
Список цитируемой литературы
- Постановка и исследование краевой задачи дифракции
- Задача определения показателя преломления но данным оптического просвечивания в трехслойной системе
- Метод Монте-Карло решения прямой задачи дифракции
- Прямая задача для уравнения переноса с чисто комптоновским рассеянием
Введение к работе
Рассмотрим процесс распространения излучения в некоторой области С в трехмерном евклидовом пространстве Е3, заполненной сплошной средой. Процесс переноса фотонов в сплошной среде сопровождается рядом физических эффектов, интенсивность и относительный вклад, которых в общую картину взаимодействия излучения и вещества зависит, как от энергии излучения, так и от самого вещества. На ранней стадии изучения рентгеновских лучей в качестве источников излучения применяли разрядные трубки с разностью потенциала значительно меньшим 100 кВ. Прохождение мягких рентгеновских лучей, получаемых на этом источнике, через вещество определялось главным образом процессами фотоэлектрического поглощения и достаточно хорошо описывалось простым экспоненциальным законом. При появлении источников с высоким потенциалом и изучении жестких 7-квантов, испускаемых радиоактивными ядрами, выяснилось, что они взаимодействуют с веществом более сложным образом. В настоящее время известно свыше десятка различных типов элементарных процессов взаимодействия 7-квантов с веществом (обзор их можно найти, например, в [G8]), но, в основном, при изучении распространения 7-квантов выделяют четыре основных вида взаимодействия фотонов с атомами вещества [G8]. Это фотоэлектрическое поглощение, Рэлеевское рассеяние, Комнтон-эффскт и образование электрон-позитронных пар.
Все указанные выше эффекты достаточно хорошо описываются в рамках теории переноса излучения, изучающей класс уравнений математической физики, называемых уравнениями переноса. Это интегро-дифферепциальные уравнения в частных производных, первого порядка, имеющие в стационарном случае вид:
и -Vr/(r, и, Е)+ fi(r, E)f(r, х,Е) =
= 11 к(г, и,и', Е, E')f(r, и/, Е')сЬ'с1Е' + J(r, и, Е). (1)
Ei Q
Здесь функция /(г, и, Е) интерпретируется как плотность потока фотонов в точке г = (Ті,Г2,гз) Є G, летящих в направлении и = (0^,0/2,^3) Є П, где Q - единичная сфера в трехмерном пространстве, и имеющих энергию Е Є [#1,/]. Функция J(r,u,E) описывает плотность внутренних источников излучения, расположенных в области G. Фупк-
ция /((г, Е) называется коэффициентом полного взаимодействия, а функция к(г, и, и/, Е, Е') индикатрисой рассеяния и, которая определяет вероятность того, что в точке г частица, летящая в направлении и/ и имеющая энергию Е' сменит их, соответственно, па и и Е. Под выражением и- Vr/(r, со) понимается производная по пространственной переменной г в направлении и.
Если область G выпуклая и ее граница 8G обладает достаточной гладкостью, к уравнению (1) добавляется граничное условие, задающее входящее в среду излучение и имеющее вид:
f(z,u,E)=h(z,u,E), zedGtu}Q,u-n(z)<01EG[E1,E2]. (2)
Здесь n(z)- единичный вектор внешней нормали к поверхности 8G в точке Z.
Рассмотрим краевую задачу, заключающуюся в нахождении неизвестной функции / из уравнения (1) и граничного условия (2), если функции h,J,/.t,k известны. Такую постановку задачи часто называют прямой задачей теории переноса излучения.
В данной работе мы не будем рассматривать процесс образования электрон-пози-тронных пар и ограничимся диапазоном энергий от 1.5 эВ до 1 МэВ. При энергии близкой к верхней границе указанного диапазона, преобладает некогерентное комито-новское рассеяние. Этот эффект имеет место начиная с энергии 10 кэВ. Он был открыт в 1923 г. опытным путем Комптоном и представляет собой процесс некогерентного (с потерей энергии) рассеяния квантов, на свободном электроне. При этом, разность величин обратно пропорциональных энергиям падающего и рассеяного фотонов зависит только от угла рассеяния 0 и не зависит от свойств рассеивающего вещества и энергии падающего излучения. Эта связь выражается соотношением Комнтона, имеющим
вид [79]:
Во Е0
— = —+ 1-cos0. (3)
Здесь Е, Е' соответственно энергии до и после рассеяния, Е0 - энергия покоя электрона. Из-за жесткого соотношения Комптона, индикатриса рассеяния в уравнении (1), определяемая сечением Кляйна-Нишипы-Тамма [19], содержит дельта-функцию Дирака. Интересно отметить, что прямая задача для уравнения (1) с сечением Кляйна-Нишины-Тамма была строго исследована лишь недавно [13], основная же масса работ
по комптоновскому рассеянию посвящена разработке различных численных алгоритмов [29,40,41]. Необходимо заметить, что закон комптоновского рассеяния получается в случае рассеяния фотона именно на свободном и покоящемся электроне. Если последнее условие не выполняется, то закон комптоновского рассеяния становится сложнее. Наличие связей и первоначального движения электрона приводит к тому, что вероятность рассеяния оказывается меньшей по сравнению с вероятностью определяемой но формуле Кляйна-Нишины-Тамма [19], а жесткое соотношение Комптона между Е, Е' и 0 становится неопределенным [G8].
При постепенном уменьшении энергии излучения величина передаваемого электронам импульса падает и рассеяние становится преимущественно упругим. В этом случае псупругос комптоповскос рассеяние маловероятно и вместо соотношения (3) будем иметь
Е' = Е. (4)
В теории переноса под упругим рассеянием чаще всего подразумевается Рэлесвское рассеяние. Хотя процесс Рэлеевского рассеяния преобладает в области низких энергий, но даже при очень высоких энергиях первичных фотонов существует узкий конус, направленный вперед (и и/ « 1), внутри которого преобладает когерентное рассеяние. Однако, полное сечение упругого рассеяния, полученное в результате интегрирования но всем направлениям, в большинстве случаев, пренебрежимо мало. Для фотонов низких энергий упругое рассеяние составляет значительную часть рассеяния, но, практически целиком, перекрывается фотоэлектрическим поглощением. Таким образом, Рэлеевское рассеяние существенно среди других процессов взаимодействия лишь на незначительном участке энергий [68].
В силу преобладания при низких энергиях когерентного рассеяния и выполнения условия (4), уравнение (1) и условие (2) могут быть переписаны в виде:
u>-Vrf{r,u) + n{r)f{r,u)= Jk{r,u-w')f(r,u/W + J(r, и), ' (Ґ)
f(r,j = h(r,u)> redG, u-n<0. (2')
Здесь зависимость от переменной Е Є [Еі,Ег], играющей роль параметра в (1'),(2')} опущена. Уравнение (1') называется стационарным моноэнергетическим уравнением не-
реноса или односкоростным приближением [8,22,25]. Важность изучения моноэнергс-тического случая вызвана в следствии общепринятой многогрупповоіі аппроксимации уравнения переноса по энергетической переменной [48].
При дальнейшем уменьшении энергии излучения до диапазона мягкого рентгена или видимого света, наряду с указанными выше эффектами, также, большую роль будут играть эффекты преломления и отражения потока фотонов на границе раздела двух однородных сред. Общепризнанной моделью для описания распространения видимого света является система уравнений Максвелла [21]. В настоящее время имеется огромное количество работ по данной тематике [59,00,82], однако, авторы достаточно часто пренебрегают рассеянием излучения на частицах среды (атомах, молекулах и других микропсодпородиостях). Дашюс обстоятельство приводит к потере адекватности модели реальному физическому процессу, в особенности при моделировании распространения излучения в сильно рассеивающих (мутных) и случайно неоднородных средах [66,67,85,86]. Введение в рассмотрение рассеяния на частицах в рамках теории Максвелла, как правило, влечет необходимость рассмотрения одного из приближений теории многократного рассеяния [86], что, в свою очередь, приводит к достаточно громоздкой (чрезмерно детализированной) модели и существенно усложняет ее исследование.
Альтернативой данному подходу является модель основанная на кинетическом уравнении переноса излучения, которая, также, достаточно известна и широко применяется при моделировании рассматриваемого процесса [49,53,56,57,66,67,69]. Теория переноса рассматривает процесс распространения излучения, как движение через среду фотонов. При этом, волновые эффекты преломления и отражения на границах раздела однородных компонент среды учитываются при помощи специальных условий сопряжения. Такой подход имеет достаточно давнюю историю и используется, как отечественными [25,50,53,54,56,57,65], так и зарубежными авторами [77,86,87,95,103,104]. Интерес к изучению данной модели связан не только с рассматривавшимися ранее задачами атмосферной оптики [28,39] и фотометрии [18,31], но, также, обусловлен бурным развитием методов исследования биологических тканей [49,61,67,81,93,95,96,99-102,105]. В последнее время интерес к уравнению переноса возрос в связи с разработкой более
совершенных алгоритмов визуализации трехмерных объектов [50,77,87,103,104].
Как уже говорилось, в теории переноса излучения преломление и отражение на границе раздела сред учитывается при помощи специальных условий сопряжения. Пусть z-точка поверхности Г раздела двух неодиородностей, тогда условия сопряжения в точке z для решения уравнения (1'), в достаточно общем случае, могут быть записаны в виде:
f\r-(z,u) = (Bf\r+)(z,u) + h(z,u), (z,u)eT. (5)
Здесь /|г± = f(z q= и0, и) предельные значения функции f{r,u>) при соответствующем стремлении точки г к z, принадлежащей границе Г. В - некоторый оператор сопряжения, позволяющий моделировать преломление, отражение и другие эффекты, связанные с переходом потока излучения через границу раздела материалов. Функцию h можно интерпретировать как плотность поверхностных источников излучения.
Задачу с условиями сопряжения (5), по смыслу, можно отнести к задачам дифракции, как они понимаются в [34,35]. Отметим, что условия сопряжения (5) не совсем традициоины в теории переноса излучения. В большинстве работ, посвященных исследованию разрешимости краевых задач для уравнения переноса, используются условия непрерывности решения вдоль направления распространения и, имеющие вид:
/lr-(*.w)=/M*,w). (50
Прямая задача для уравнения (1') с условиями (5') достаточно хорошо изучена и библиография работ, посвященных этому направлению, весьма обширна [1,8,22-25,36,48, 51,52,62,75]. Особо стоит отметить фундаментальную работу B.C. Владимирова [22], которая сыграла определяющую роль в развитии математической теории уравнения переноса, а так же монографию Т.В. Гермогеновой [25], посвященную локальным свойствам решения уравнения (1'). В случае непрерывности решения уравнения (1') вдоль направления и многие проблемы, связанные с условиями сопряжения, удается решить с помощью выбора соответствующих классов, в которых ищется решение [8,22,25]. В частности, помимо причин физического характера, это, возможно, одна из причин, по которой термин "задача дифракции" в [22,25] не используется. Справедливости ради отметим, что и в нашем случае указанный термин употребляется сравнительно редко.
Дело в том, что в оптике понятие "дифракционная задача", зачастую, понимается в некотором, более узком смысле [21], нежели в [35].
Очевидно, что условия (5') являются частным случаем условий (5), поэтому, в дальнейшем, условия (5) будем называть обобщенными, в то время как на условия (5') будем ссылаться как на классические.
Стоит отметить, что среди работ, посвященных вопросам существования и единственности решения краевой задачи с обобщенными условиями сопряжения, довольно мало чисто теоретических. В большинстве случаев исследование разрешимости непосредственно связано с методом решения задачи [50,65,99]. Также, практически не выясненными остаются вопросы гладкости решения. В частности, в трехмерном случае, непрерывность решения не исследована даже в случае, когда оператор сопряжения моделирует классические законы преломления и отражения по законам Френеля. В плоско-параллельном случае, гладкость решения исследовалась в [72,97]. Отметим работу [72], в которой рассмотрены некоторые вопросы поведения производной решения уравнения переноса по угловой переменной. В [72] показано, что введение условий сопряжения, учитывающих преломление и отражения по законам Френеля, приводит к появлению особенности у производной решения по угловой переменной, при приближении к углам полного внутреннего отражения на какой-либо из границ. Причем, значения угловой переменной, при которых возникают эти особенности, могут изменяться при переходе через другие границы, согласно законам отражения и Снеллиуса, что еще более усложняет качественное поведение решения.
Отметим, что в теории переноса, при моделировании преломления и отражения излучения в веществе, кроме подхода, основанного на использовании обобщенных условий сопряжения, также, применяется подход, основанный на введении зависимости направления распространения и от показателя преломления среды. В этом случае, в уравнении переноса появляются дополнительные члены, учитывающие эту зависимость [90]. Такой подход хорошо работает когда показатель преломления внутри области изменяется плавно и абсолютно неприемлем, когда коэффициент преломления изменяется скачкообразно, что бывает на границе раздела двух однородных сред. В последнем случае, подход, основанный на введении обобщенных условий сопряжения, кажется более пред-
почтительным.
До сих пор мы рассматривали, так называемые, прямые (или краевые) задачи, когда искомой является функция f(r,Lj,E), а коэффициенты fi,k,J,h предполагаются известными для среды G. Кроме прямых задач для уравнения переноса, также, рассматриваются и обратные задачи, состоящие в нахождении коэффициентов уравнения переноса или некоторой информации об этих коэффициентах, используя, какие-либо, дополнительные условия о решении уравнения переноса.
Впервые обратные задачи для уравнения переноса были поставлены Г.И.Марчуком [37,38], в связи с использованием информации с метеорологических спутников Земли. Следующие по хронологии работы принадлежат А.И.Прилепко [51] и Д.С.Аииконову [3]. В настоящее время обратные задачи теории перспоса являются активно развивающейся областью науки в нашей стране и за рубежом. Среди работ, посвященных обратным задачам для уравнения переноса отметим работы [3-11,14,17,28,31,37,38,42-44, 51,58,72-76,88,89,97,98].
Несмотря на обширный список трудов, пересечения авторов незначительны. Объясняется это, в частности, разнообразием типов уравнения переноса: стационарные и нестационарные, односкоростные и многоскоростные. Имеются, также, некоторые упрощенные виды уравнений. Это плоско-параллельный, сферически-симметричный и цилиндрический случаи уравнения переноса. Причем, различные типы уравнений значительно отличаются друг от друга, что приводит к использованию различных методов исследования. Кроме разнообразия видов уравнений переноса, добавляется разнообразие краевых условий и постановок обратных задач.
Из обратных задач для уравнения переноса выделим задачу о нахождении поверхностей разрыва коэффициентов уравнения переноса по известной информации о выходящем из среды излучении. В этом случае, к уравнению переноса добавляется условие вида:
f(z,u,E) = H{z,^,E), zedG, u-n(z)>0, E\EUE2).
Задачи такого типа достаточно хорошо изучены в работах [б, 8,10,73,75,76]. Так в работе [73] предлагается метод нахождения границ неоднородностей, основанный на вычислении специальной функции — индикатора неоднородности. Особенностью ин-
дикатора является то, что для его работы требуется значительно меньше данных, чем скажем в задачах определения коэффициента полного взаимодействия [7,8]. Но, в то же время, для вычисления индикатора неоднородности требуется знать выходящее излучение на всей границе среды G во всех направлениях и, что существенно ограничивает практическую применимость данного метода.
Далее, метод, основанный на вычислении индикатора неоднородности, развивается в работе [10]. Здесь строится индикатор, позволяющий определять структуру некоторого сечения Ga, области G плоскостью П, причем, предполагается, что выходящее излучение известно лишь в точках пересечения границы области 8G и плоскости П в направлениях и лежащих в плоскости П (задача с неполными данными). Стоит отметить, что строгое обоснование применения ипдикатора нсоднородностн проведено для моноэнергетического уравнения переноса (1'), однако, анализ доказательства показал, что свойства индикатора неоднородности обусловлены, главным образом, геометрическими причинами, и, по всей видимости, метод будет работать и для уравнения (1) с энергетической зависимостью, в частности, когда в среде преобладает комптоновское рассеяние. Приведенные в диссертации результаты численных экспериментов в данном направлении дают положительный ответ на этот вопрос.
Особый интерес представляет постановка обратных задач для уравнения переноса с обобщенными условиями сопряжения, моделирующими преломление и отражение. Данное обстоятельство связано с возросшим в последние годы интересом к методам оптической томографии. В последнее время появилось большое количество оригинальных работ [49,61,93,99,100]. а также обзоров [66,67,101,102,105] в области исследования возможности томографических подходов к восстановлению внутренней структуры оптически плотных и сильнорассеивающих (мутных) сред. При этом, под внутренней структурой обычно понимается пространственное распределение макроскопических характеристик среды, таких как, показатель преломления, коэффициенты полного взаимодействия и рассеяния излучения и т.д. Такой интерес обусловлен как практической значимостью оптической томографии сильнорассеивающих сред, так и научной сложностью самой задачи, поскольку хорошо разработанный математический аппарат традиционной вычислительной томографии, опирающийся на преобразование Радона,
в случае рассеивающих сред не работает [8,47,66,89]. Поэтому, при разработке томографических подходов приходится начинать с описания прохождения излучения через мутные среды.
Учет в модели, основанной на уравнении переноса излучения, эффектов преломления и отражения, с помощью условий сопряжения, с одной стороны, усложняет исследование прямых задач, с другой стороны, приводит к появлению новых математических эффектов, которые могут использоваться для решения обратных задач. В частности, на одном из таких эффектов основан, рассматриваемый в диссертации, метод определения неизвестных показателей преломления по данным о выходящем из облучаемой среды излучении. Задачи такого типа, как правило, являются некорректно-поставленными [33] и достаточно сложными в плане исследования. Однако, они достаточно актуальны [67,81]. В частности, измерение показателей преломления биотканей и отдельных ее компонентов является одной из актуальных задач оптики биотканей [81]. В основу метода положено наличие особенностей у производной решения уравнения переноса по угловой переменной, при приближении к углам полного внутреннего отражения.
Перейдем к обзору основных результатов диссертации. Первая глава посвящена рассмотрению задач дифракции в неоднородной слоистой среде. Основные результаты этой главы опираются на работы [57.72,97]. Стоит отметить, что хотя плоско-параллельный случай и считается упрощенной моделью переноса излучения, его рассмотрение представляет большой интерес гак как, с одной стороны, он очень широко используется на практике, с другой стороны, плоско-параллельная симметрия — это пример неограниченной в трехмерном пространстве области. Неограниченность области вносит ряд отличий от случая трехмерной ограниченной области, который изучался в работах [53-55]. В частности, удается показать единственность решения краевой задачи для более ши-рокого класса операторов сопряжения В.
В 1,2 главы 1 приводится постановка задачи дифракции и изучается ее разрешимость.
Параграф 3 посвящен исследованию непрерывности решения задачи дифракции. При ограничениях общего характера показана разрешимость задачи дифракции в клас-
се, являющемся подмножеством класса кусочно-непрерывных функций.
В 4 рассматривается пример условий сопряжения, позволяющих моделировать эффекты преломления и отражения по законам Френеля. Показывается, что оператор сопряжения типа Френеля удовлетворяет ограничениям теорем о разрешимости задачи дифракции. Также, рассматриваются некоторые качественные свойства оператора сопряжения.
Пятый параграф посвящен описанию численного метода решения прямой задачи, в случае, когда оператор сопряжения моделирует преломление и отражение по законам Френеля.
Вторая глава посвящена рассмотрению задачи оптической диагностики. Суть задачи заключается в нахождении относительных показателей преломления веществ, входящих в многослойную систему, по известному потоку выходящего из среды излучения. При этом используются особенности у первой производной решения по угловой переменной, при приближении к углам полного внутреннего отражения на какой-либо из границ. Сама по себе идея определения неизвестных параметров облучаемой среды по особенностям у решения или его производных не нова, так, например, в работах [6,8,10,73,75,76] рассматриваются задачи по определению поверхностей разрыва коэффициентов уравнения переноса, трактуемых, как границы раздела неоднородностей, входящих в состав многокомпонентной среды. При этом использовались особенности у градиента решения при приближении переменной и к касательному направлению для искомой поверхности, в результате чего удавалось выделить семейство касательных, а следовательно, определить интересующую поверхность. Аналогично, в работах [8,11], используя в качестве источника излучения разрывную функцию, удавалось восстановить неизвестный коэффициент ослабления в рассеивающей среде. Важным является то обстоятельство, что наличие дополнительных особенностей у решения уравнения переноса излучения, вносимых условиями преломления и отражения Френеля — это новый математический эффект, и его тщательное исследование может привести к появлению неизвестных ранее результатов. Данная глава содержит четыре параграфа.
В первом параграфе приводится общая постановка задачи и обсуждается ее физический смысл.
Второй параграф посвящен рассмотрению некоторых свойств решения задачи дифракции в плоском слое, в случае, когда оператор сопряжения моделирует преломление и отражение по законам Френеля. Выводятся представления для производной решения по угловой переменной. Показывается, что производная решения по угловой переменной может иметь особенности при приближении к углам полного внутреннего отражения.
В 3 изучается частный случай задачи определения показателей преломления. Предполагается, что процесс распространения излучения рассматривается в трехслойной системе, причем известен абсолютный показатель преломления первого слоя. Задача состоит в том, чтобы определить абсолютные показатели преломления второго и третьего слоев. При этом, известным считается лишь часть выходящего из среды излучения, а именно — отраженный поток. Для решения задачи вводится специальная функция, позволяющая определять искомые показатели преломления. Также, обсуждаются ограничения, предполагаемые при обосновании метода.
Четвертый параграф содержит результаты численных экспериментов по решению задачи определения показателей преломления. Алгоритм тестируется на модельной системе, коэффициенты, которой, соответствуют реальным веществам. В качестве облучаемого материала использовался поверхностный слой человеческой кожи толщиной 300 мкм (он включает в себя роговой слой кожи, эпидермис и верхний слой дермы). На численных примерах показывается, как меняется качество восстановления показателя преломления в зависимости от точности измерений выходящего излучения.
В третьей главе диссертации изучается задача дифракции в ограниченной области трехмерного Евклидового пространства.
В 1 приводятся некоторые известные факты о решении задачи дифракции в ограниченной области [53-55]. Доказательство теоремы о разрешимости приводится полностью. Это делается для понимания метода решения задачи дифракции, который описывается в 3 и опирается на ход доказательства вышеупомянутой теоремы. Также, приводится пример неединственности решения задачи дифракции.
В 2 рассматривается пример условий сопряжения, позволяющих моделировать эффекты преломления и отражения по законам Френеля.
Третий параграф посвящен описанию численного метода решения задачи дифрак-
ции. Приведенный метод является некоторой модификацией метода Монте-Карло, называемого методом сопряженных блужданий.
Изучение рассматриваемого метода продолжается далее в 4, где приводится одно из приложений задачи дифракции. Этот параграф посвящен визуализации трехмерных объектов методами теории переноса излучения. Рассматриваемый подход отличается от большинства работ по визуализации трехмерных объектов тем, что позволяет естественным образом учитывать, как эффекты преломления-отражения, так и эффекты многократного рассеяния.
Пятый параграф посвящен рассмотрению задач о маскирующих покрытиях. Суть этих задач состоит в следующем. Пусть среда G содержит некоторое включение G\. Это включение покрывается некоторой пленкой, коэффициент преломления, которой выбирается из условия минимизации влияния включения G\ на выходящее из среды G излучение. Для решения подобных задач используется численный метод. Предлагаемый метод не претендует на оригинальность и вряд ли является экономичным. Основная цель данного параграфа — показать принципиальную возможность решения новой оптимизационной задачи.
В четвертой главе диссертации рассматривается уравнение переноса с энергетической зависимостью. Предполагается, что среди видов взаимодействия излучения с веществом преобладает некогерентное комптоновское рассеяние.
В первом параграфе приводятся основные сведения о комптоновском рассеянии и дается обзор физических понятий.
Второй параграф содержит некоторые известные факты об уравнении переноса излучения в случае чисто комптоновского рассеяния [12,13,15]. Рассматриваются вопросы существования и единственности решения прямой задачи.
В третьем параграфе рассматривается метод решения прямой задачи, когда основная зависимость в индикатрисе рассения определяет дифференциальным (по угловой переменной) сечением Кляйна-Ншиины-Тамма. Проводятся численные эксперименты, отражающие специфику комптоновского рассеяния, а также, приводится некоторое обоснование того, что в рассматриваемой задаче учитывается только комптоновское рассеяние.
Параграф посвящен вопросу применимости индикатора неоднородности [73] в задаче нахождения внутренний структуры неизвестной среды, для случая комптоновского рассеяния. Строгого обоснования применимости индикатора для этого случая пока что нет. Теоретическое обоснование проведено лишь для моноэнергетического уравнения переноса. Однако, результаты соответствующих численных расчетов являются обнадеживающими и указывают на целесообразность дальнейших теоретических исследований в этом направлении. Также, рассматривается условие "плохой видимости", заключающееся в совпадении двойственных коэффициентов поглощения на границе контакта соседних материалов. Данное условие является прямым обобщением условия, введенного в [76]. Изучается влияние условия "плохой видимости" на качество реконструкции внутренний структуры неизвестной среды.
В пятом параграфе продолжается исследование условия "плохой видимости". Показывается, что значения двойственного коэффициента поглощения сильно зависят не только от материалов среды, но и от распределения внешних источников излучения. В то же время, хотелось бы иметь условие, которое в меньшей степени зависело бы от источника, и давало некоторую информацию о различимости границы контакта основываясь лишь на характеристиках облучаемых материалов. В качестве такой характеристики предлагается использовать коэффициент поглощения и аппроксимировать условие "плохой видимости", заключающееся в совпадении двойственных коэффициентов поглощения на границе контакта соседних материалов, условием совпадения коэффициентов поглощения. С этой целью производится сравнение указанных величин, для выяснения насколько такая аппроксимация обоснована. Результатом параграфа является вывод о том, что для диапазона энергий от 1 кэВ до 50 кэВ такая аппроксимация дает хорошие результаты. Подробно разбирается структура двойственного коэффициента поглощения, в случае преобладания в среде трех основных эффектов — фотоэлектрического поглощения, Рэлеевского рассеяния и Комптон-эффекта. Данный вопрос изучался в работе [30.76] в случае, когда электроны в среде считались свободными. Однако, в реальных вешествах данное условие, как правило, не выполняется из-за связи электронов в атомах. В диссертации, влияние связи электронов в атоме вещества учитывается при помощи введения специальной поправочной функции — S(x, Z), на-
зываемой функцией некогсрсптпого рассеяния [84]. Физический смысл функции S(x, Z) можно объяснить следующим образом: она описывает количество электронов в атоме, которые могут рассматриваться, как свободные, при заданной энергии и рассеянии на заданный угол. Полученные результаты сравниваются с приведенными в [76].
Шестой параграф посвящен описанию базы данных пар веществ, плоховидимых при их рентгенодиагностике. Математическая идея создания базы данных основывается на результатах предыдущего параграфа. База данных содержит информацию об уровнях энергии, на которых различимость границы контакта, для двух заданных веществ, будет проблематичной. Основной целевой аудиторией базы данных являются специалисты в области теории переноса излучения и рентгеновской томографии. Отличием настоящей базы данных от рапсе созданных является то, что приведенная здесь информация касается в первую очередь не столько отдельно взятых веществ самих по себе, сколько пар веществ, находящихся в непосредственном контакте. Подобная постановка вопроса вызвана проблемой определения внутренней структуры неоднородных сред методами рентгеновской томографии и маскировки изделий в целях борьбы с промышленным шпионажем [16] . В промышленности эта проблема связана с необходимостью проведения неразрушающего контроля качества ответственных узлов и агрегатов машин, в медицине - с изучением пораженных органов и тканей. База данных содержит данные о плоховидимых парах для 100 химических элементов и 219 сложных веществ, представляющих интерес в рентгенодиагностике. База данных ориентирована на использование в сети Интернет и доступна по адресу http : .
Основные результаты диссертации опубликованы в работах, приведенных в разделе "Публикации автора по теме диссертации".
Постановка и исследование краевой задачи дифракции
Предметом наших исследований будет являться следующая Задача 1.1. Найти неизвестную функцию / из уравнения (1.1), удовлетворяющую условиям (1.2), при известных /.і, ц3, h,J,g.
Далее, на задачу 1.1 будем также ссылаться, как на задачу дифракции или задачу (1.1)-(1.2). Определение 1.2. Функцию / Є D назовем решением задачи (1.1)-(1.2), если: 1) она почти всюду в X удовлетворяет уравнению Lf — Sf + J; 2) выполняется условие /г- = #/г+ + h почти всюду па Г". Имеет место утверждение. Лемма 1.7. Для того чтобы функция / была решением задачи (1.1)-(1.2) необходимо и достаточно, чтобы / удовлетворяла уравнению /М = /оМ + (Tf)(z,v), /0(2,1/) - Л(Є,і/)ехр (-7(2,0} + (1/)(2,1/), (1.17) в классе D.
Доказательство. Утверждение леммы вытекает очевидным образом из (1.14) и леммы 1.1, если положить в ней F(z,v) = (Sf){z,v) + J{z,v) и учесть, что в силу граничных условий /г- = Д/г+ + h. Лемма доказана. Замечание 1.5. Отметим, что из леммы 1.7 следует, что любое решение уравнения (1.1) в классе D представимо в виде /М = /lr-(Mexp { r(z,0 J + {ASf)(z,v) + (AJ)(z,v). (1.18) Справедлива следующая теорема. Теорема 1.1. Пусть выполняются условия Й1 1, А 1, (1.19) тогда существует единственное решение задачи (1.1)-(1.2), которое мооїсет быть найдено в виде ряда Неймана /( ,!/) = (Г7о)(г,і/). (L2) п=0
Доказательство. Из леммы 1.7 следует, что решение краевой задачи (1.1)-(1.2) эквивалентно решению операторного уравнения (1.17). Поэтому, чтобы доказать существование и единственность решения краевой задачи (1.1)-(1.2), достаточно показать эти свойства для уравнения (1.17). Перепишем уравнение (1.17) в эквивалентном виде (I- f)/ = /о, (1.21) где / - единичный оператор в пространстве D(X). Из оценки (1.15) и условий теоремы следует, что ЦТ 1.
То есть, оператор Т, действующий в банаховом пространстве D, сжимающий. Поэтому [32], решение уравнения (1.21) существует, единственно и для него справедливо разложение (1.20). Теорема доказана.
Необходимо прокомментировать ограничения (1.19), при выполнении которых показано существование и единственность решения задачи (1.1)-(1.2). Если условие А 1 является достаточно типичным в теории переноса и необременительно с прикладной точки зрения, то ограничение Z? 1 достаточно жесткое и существенно ограничива-ет выбор оператора В. В частности, это условие не выполняется даже для оператора моделирующего классический закон Френелевского отражения [21]. Дальнейшие исследования этого параграфа посвящены снижению ограничений на оператор В. Выясним сначала вопрос о единственности решения задачи (1.1)-(1.2).
Лемма 1.8. Пусть А 1. тогда для решения однородного уравнения (1.1) справедлива оценка 11/1г+(?7,1/)11 (1-+) \q + А(1 - q)}\\f\\D, 0 q 1, (1.22) где ф, v) = (z, -и). Доказательство. Действительно, пусть / - решение уравнения (1.1) при J — Oji — 0, тогда для него справедливо представление Учитывая, что (г, ) - i}{z,v)\ min \zk-i — Zk\ 0, и кроме того / / О, A;=l,/V — заключаем, что q 1. Прямо из определения величины q следует, что q 0. Таким образом 0 q 1. Лемма доказана.
Замечание 1.6. Отметим, что если выполняется условие А 1, то величина q -[ А(1 - q) 1. Действительно, так как выражение W(q) = q + А(1 - q), линейно по q, возрастает с ростом q и W(l) = 1, то при q l, выполняется неравенство И ) 1. Теорема 1.2. Пусть выполняются условия \\В\\ 1, А 1, (1.23) тогда решение задачи (1.1)-(1.2) единственно.
Доказательство. Предположим противное, найдутся два различных решения /і и /2 задачи (1.1)-(1.2) и пусть / = /і - /г Ф 0. В силу леммы 1.7 функция / будст удовлетворять однородному операторному уравнению /( ) = (77)( ,1/) (1-17 ) Из (1.17 ), учитывая лемму 1.8, условие нормировки на функцию g и неравенство IL X) Шо, имеем ll/lr-llwr-) = ll(77)lr-Uco(r-) = ЦЯ/Wlwr-) ЙІІІ/Ик. г+) [g+A(l-e)]/b; Отсюда, оценивая норму функции / в классе D имеем o = max ll/lr-lkcc -), V max{g + A(l-9),A}/b. / ЬооРО J
Далее, учитывая замечание 1.6 и условие А 1, приходим к неравенству Ц/Цр /и. Полученное противоречие доказывает теорему. Теорема доказана.
Докажем ряд утверждений о свойствах решения задачи (1.1)-(1.2), которые понадо-. бятся нам в дальнейшем при доказательстве существования решения. Хотя эти утверждения и носят вспомогательный характер, они также представляют и самостоятельный интерес.
Задача определения показателя преломления но данным оптического просвечивания в трехслойной системе
В этом параграфе мы рассмотрим метод, позволяющий, используя эффект полного внутреннего отражения, определять неизвестный показатель преломления среды. На протяжении данного параграфа будем считать, что среда, в которой рассматривается процесс распространения излучения состоит из трех слоев Go = (z0,2i)U(zi, Z2)U(z2, z3). Каждый из слоев характеризуется своими коэффициентами преломления hi, ослабления НІ и рассеяния ц8 і причем эти коэффициенты постоянны внутри каждого из слоев Gu і =1,2,3.
Также, будем предполагать, что плотность поверхностных источников излучения h, отлична от нуля только на границе z = zo, а сама функция h(zQ.u) - непрерывно дифференцируемая при v є [-1,0].
Рассмотрим следующую задачу, являющуюся частным случаем Задачи 2.1:
Задача 2.2. Пусть выполняется условие к\ къ кг. Из уравнения (2.1) и граничных условий (2.2) определить показатели преломления / и к$, если известна плотность потока выходящего излучения H(v) — f\r+(zo,v), v 0 и коэффициент k\.
Заметим, что в рассматриваемой задаче известными считаются только показатель преломления к\ и плотность потока выходящего из среды излучения II(v), v 0. Остальные параметры среды (коэффициенты рассеяния и полного взаимодействия, толщины слоев и т.д.) не предполагаются известными, но в то же время, не подлежат определению.
Для решения поставленной задачи будем использовать особенности у производной решения по угловой переменной, возникающие при приближении к углу полного внутреннего отражения. Из представлений (2.20),(2.21), учитывая, в силу условий h к2 h, наличие особенностей у величин R (z\,v), R (z2,v) при и 0, нетрудно получить следующее представление для производной функции H{v)
Из представления (2.36) видно, что функция Ind(k) неограниченно возрастает с приближением аргумента к к коэффициентам к2 и кз, при выполнении условий Аі(і 1) / О и A2(v%) ф О, соответственно. Таким образом, функция Ind(k) может служить для определения неизвестного показателя преломления.
Необходимо отметить, что неизвестный показатель преломления можно находить и не используя функцию Ind{k), путем нахождения значений и переменной и, при которых производная функции Я будет неограниченна (при численном исследовании -принимать аномально большие значения), с последующим решением уравнения v = и0{к) относительно переменной к. Однако, подход основанный на вычислении функции Ind(k) представляется более предпочтительным. Это связано с тем обстоятельством, что он реагирует именно на особенности, связанные с эффектом полного внутреннего отражения, игнорируя значения v, при которых производная функции Я просто принимает большие значения. Поясним этот момент на примере. Будем считать, что в первом слое отсутствует рассеяние, а функция h(v) = 1, и 0 и рассмотрим поведение функции II при щ{к2) v 0. В этом случае, учитывая представление (2.11), граничное условие и формулы (2.4)-(2.8), приходим к следующему виду функции Я:
Отсюда видно, что при достаточно малых, но отделенных от нуля значениях v, производная функции II хотя и будет ограничена, но может принимать достаточно большие значения, в особенности если / i мало, что при численном исследовании функции H {v) может восприниматься, как особенность и приводить к восстановлению ложных показателей преломления.
Стоит сказать несколько слов о достоинствах и недостатках предложенного метода определения показателей преломления, а также, обсудить ограничения, предполагавшиеся при постановке задачи.
Достоинством предложенного метода, является то, что он позволяет находить решение задачи, используя знание только выходящего излучения без задания других характеристик среды. Еще одной отличительной чертой данного способа является его применимость для диагностики мутных (сильно рассеивающих) и оптически плотных сред, без существенных ограничений на коллимацию внешнего источника излучения.
В данной работе автор ограничился рассмотрением только трехслойных систем исключительно в целях упрощения изложения материала. В рассматриваемой обратной задаче гораздо более важными являются ограничения на показатели преломления, коэффициенты уравнения переноса и источник излучения, чем на количество слоев в среде. Так, например, при выполнении ограничений предполагаемых в работе (/ //4 1; ki ki+i,i = 1,..,р-1) предлагаемый метод будет работать и в произвольной р-слойной системе (р 3). Это нетрудно показать, проделав выкладки, аналогичные приведенным в параграфе 3. В то же время, при нарушении требуемых ограничений, легко привести пример неединственности решения в трехслойной системе. Будем предполагать, что li-Hs (среда чисто рассеивающая), h(v) = 1 для v Є [-1,1]. Нетрудно убедиться, что в этом случае, для произвольных фиксированных значений показателя преломления, решением прямой задачи для уравнения переноса будет функция f(z, и) = 1
Метод Монте-Карло решения прямой задачи дифракции
Обратимся к теореме 3.2, как будет видно далее, метод ее доказательства, не только отвечает на вопрос о существовании решения Задачи (3.1),(3.7), по и в силу своей конструктивности, фактически дает способ его нахождения. Ниже излагается описание численного метода решения задачи дифракции с оператором сопряжения Френеля.
Стоит отметить, что предлагаемый метод решения задачи дифракции с оператором Френеля отличается от классических в теории переноса методов Монте-Карло. Это связано с тем, что помимо интегрального слагаемого в операторе Т, связанного с рассеянием, появляется еще и не интегральное слагаемое, отвечающее за преломление и отражение. Такого, в частности, не будет если рассматривать в качестве оператора сопряжения, оператор описывающий диффузное прохождение границы, которое встречается при прохождении через матовые поверхности. Этот оператор задается следующим образом (Bip)(z,u) = gr(z,u),L) )(p(z,u )du) . (3.50) n Здесь gr(zfw,u) ) - некоторая функция, описывающая свойства границы. Из определения оператора (3.50) видно, что он имеет интегральную форму и легко может быть учтен в классических методах Монте-Карло. В отличие от диффузного отражения, которое носит случайный характер, френелевское отражение и преломление является детерминированным процессом. Применение, в этой ситуации, стандартной схемы метода Монте-Карло, заключающейся в выборе, какой из эффектов учитывать (преломление, отражение или рассеяние) приводит к существенному увеличению дисперсии оценки.
Последнее обстоятельство влечет за собой ухудшение точности метода. Ниже предлагается альтернативный метод, использующий рекурсию, что позволяет учитывать преломление и отражение по законам Френеля точно.
Перейдем непосредственно к рассмотрению метода. Будем считать, что коэффициенты рассеяния и ослабления постоянны внутри областей Gj, т.е. имеет место представление р р Kr) = 2xi(r)lM, tis(r) = 2xi(r)Hs,i- (3.51) i=\ i=\
Здесь Xi{r) характеристические функции областей ( fjti,fiSti — постоянные скалярные величины, и пусть At = //.s,i// 1 для всех і = 1,..., р. Также, будем считать, что оператор сопряжения В определяется выражениями (3.38)-(3.45). Очевидно, что при сделанных нами предположениях выполняются условия теорем 3.2, 3.3 и решение задачи дифракции существует и единственно. Для нахождения приближенного реше-ния задачи (3.1), (3.7), следуя ходу доказательства теоремы 3.2, заменим оператор В оператором Bs, положив 6 = 1/по, т » 1. В этом случае, \\В$\\ = (1 — 6)\\В\\ 1 и решение краевой задачи с оператором сопряжения Bg, в силу теоремы 3.1, представимо в виде сходящегося ряда Неймана оо f{r,u) = Y,&?fo)(r,u), (3-52) п=0 где 1}, получается из оператора Г, определяемого выражением (3.15), заменой опера-тора В, оператором Bs и имеет вид (fsf)(r,u) = (&/г+)(г - h(r, -ф,ш)ехр{-т{г,иМг, -ш))} + (ASf){r,u ). (3.53) Ввиду того, что (7}1/о) - 0, при п — оо, ограничимся суммой N первых членов ряда (3.52), имеем N Ыг,о,) = (7Т/о)(г,и;). (3-54) п=0 Перепишем эту сумму в виде следующих рекуррентных соотношений: fnM = Tsfn-i(r,u) + Mr,u)t п= 1,..., N. (3.55)
Таким образом, если найти приближенную формулу для вычисления Tgf, можно, используя соотношения (3.55), найти приближенное решение задачи (3.1),(3.7). Рассмот рим подробнее структуру оператора %. Выражение Tsf состоит из двух слагаемых, первое из которых отвечает за вклад в общую плотность потока излучения эффектов преломления и отражения. Это слагаемое, может быть вычислено точно (за исключением ошибок округления). Второе слагаемое в Tgf соответствует вкладу рассеянных частиц. Рассмотрим это слагаемое более подробно. Пусть г Є Gi, тогда j.i{r) = ЦІ, /xs(r) = fiSyi. С учетом изложенных выше предположений, путем несложных преобразований, иите-тральное слагаемое AS/, в правой части (3.53) можно переписать в виде
Прямая задача для уравнения переноса с чисто комптоновским рассеянием
Пусть процесс переноса излучения рассматривается внутри некоторой выпуклой ограниченной области G в трехмерном евклидовом пространство Е3. Введем следующие обозначения: г EG - точка ъ Е3, а/, и- направление движения фотона до и после рассеяния, и/, и Є О = {и Є Е3: \и\ — 1}, о/, а - энергия фотона до и после рассеяния. а , а Є / = [а, а]; 0 а а со. Будем считать, что в процессе взаимодействия излучения с веществом, фотоны могут рассеиваться только но закону Комптона. Это предположение приводит к тому, что при переходе, в результате рассеяния, фотона с характеристиками (и, а) в фотон с характеристиками (и/, а ) эти переменные связаны соотношением Комптона: а = д{и, и , а), д(и, а/, а) = —— ;—гт, (4.8) 1 + а[и о/ — 1) где означает скалярное произведение векторов и и и/, а переменная и/ принадлежит подмножеству единичной сферы QUta = W и Q, и) и/ 1 — 1/а + 1/5} и верпы неравенства: а д(и, и/, а) а. [12,13,15] В качестве математической модели указанного процесса выбирается стационарное уравнение переноса, имеющее вид и Vr/(r, и, a) + fi(r, a)fix, и, а) = = / k(r,uj,Lj ,a)f(r,u} ,g(oo,u ,a))(L + J(r,u,a), (4.9)
Здесь f(r, и, а) — плотность излучения в точке г Є G, распространяющегося в направлении и Є Г2 и имеющего энергию а /; /j(r, а) — коэффициент полного взаимодействия излучения со средой в точке г при энергии а; к(г,со,и ,а) — индикатриса рассеяния; J (г, и, а) — плотность внутренних источников излучения.
Введем, также, ряд дополнительных обозначений, которые потребуются нам в дальнейшем при формулировке рассматриваемых задач. Обозначим через Lr w — {r+ut, t 0} луч, исходящий из точки г в направлении и, d(r,u)) = mes\{LTiUC\G}- расстояние от точки г до границы области G в направлении и. Здесь символом mes\ обозначена мера Лебега на прямой. Введем в рассмотрение множества Г = {г Є 0G : Ьг ц C\G -/ 0}.
В точках множества Г (Г) излучение в направлении и входит в G (выходит из G). Обозначим через Г = {{г,и , В) Є 0G х П х / : г Є Г }. Добавим к уравнению (4.9) следующее граничное условие f(t,u,a)=h&uta)t &и,Е)єГ . (4.10) Функция h интерпретируется как плотность потока излучения входящего в G. Задача 4.1. Задачу определения функции f из уравнения (4-9) и условия (4-Ю) при известных ц, //,,, k, J, h будем называть прямой задачей (4-9)-(4-10).
Для характеристики неоднородности среды по пространственной переменной разобьем область G на подобласти G\,...,GP такие, что d П Gj = 0, і Ф j, Go = р _ U Gi, Go = G. Области Gj можно трактовать как некоторые неоднородности (включені ния) заполненные "і" -ым веществом. Введем обозначения X = GxQxI,X0 — G0xD,xI. Через СЬ(Х0) будем обозначать банахово пространство функций определенных и ограниченых на Х0 = X и непрерывных на Хо, с нормой IMk(Xo) = SUP \Ф)\-хеХо
Сформулируем ограничения на коэффициенты уравнения (4.9). Будем считать, что /х Є Cb{Go х I), к Є Cb(Go x П x Q x /). Относительно функции h будем предполагать, что h Є Сб(Г"). Рассмотрим следующие выражения, d(r,-w) ( t (Aip)(r,u),a) = / exp - / ц(г — t u,a)dt ip(ru ,u,a)dt, (4.11) о \. о (S(p)(r,Lj,a)= / k(r,u,u/,a) p(r,u tg(u,u) ,a))dJ, (4.12) ( )(г,Ы)а) = Й(г,ца). (4.13) xs. .-ч Они определяют линейные операторы А : Сь(Хо) — Сь{Хо), S : Сь(Хо) —Сь{Х0), Т : Сь(Хо) - Сь(Х0) [13].
Справедливо следующее утверждение [13] Лемма 4.1. Для любой степени п = 1,2,.. оператора Т справедлива оценка {2жК(1)п /1__ 1\п m VMr-=) . ай) где d — диаметр области G, К — \\к(г,и,и ,а\\р. Под выражением и Vr/(r, и, а) будем понимать производную по пространственной переменной в направлении и df(r + uit,u,a) dt u-Vrf(r,u,a) = t=o Введем так же обозначение If (г, и), а) —из Vr/(r, и, a) + /i(r, а)/(г, и , а). Определение 1. Функцию f(r,u),a) назовем решением задачи (4-9),(4-10) если: l)f,lfCb(X0); 2) для всех (г, и, а) Є Х0 удовлетворяет уравнению If = Sf + J; 3) выполняется граничное условие f(r — d{r, —и)и, и, а) — h(r — d(r, —и)ш,и, а). Следуя стандартной схеме [8,12,13] нетрудно показать справедливость следующего утверждения. Лемма 4.2. Для того чтобы функция f была решением краевой задачи (4-9), (4-Ю) необходимо и достаточно чтобы она удовлетворяла следующему уравнению f(r,u,a) = (ff)(r,w,a) + fo{r,u,a), ( d(r,-ui) /о(г, и, а) = h(r - d{r, -U)UJ, и, а) ехр + (A/)(r,w,A). (4.15) — / ц(г — tu, a)dt о в пространстве Сь{Хо). Из леммы 4.2, оценки (4.14) и принципа сжимающих отображений [32] непосредственно вытекает следующая теорема.
Теорема 4.1. Решение краевой задачи (4-9),(4-10) существует, единственно и мо-оісет быть найдено в виде сходящегося ряда Неймана Пг,и,а) (ГМг,и,а).
Интересно отметить, что теорема 4.1 не содержит традиционного неравенства для коэффициентов уравнения, характерного для многих подобных утверждений в теории переноса [8,25]. Наличие этого математического эффекта является следствием закона комптоновского рассеяния, устанавливающего функциональную зависимость между потерей энергии фотона при рассеянии и изменением направления его движения. Упомянутый математический эффект отсутствует в моноэнергетическом случае, где игнорируется потеря энергии при взаимодействии частиц со средой.
Чаще всего для решения задач теории переноса излучения применяется метод Монте-Карло или метод статистических испытаний. Дело в том, что попытка решения задач теории переноса излучения, как правило, приводит к необходимости вычисления интегралов большой кратности и в этом случае метод Монте-Карло является чуть ли не единственным методом, позволяющим найти решение с приемлемой точностью. Это обусловлено тем, что скорость его сходимости не зависит от кратности вычисляемых интегралов, а зависит лишь от количества испытаний и дисперсии распределения случайных величин. Идея метода основана на представлении переноса излучения в среде в виде случайного процесса - движения через среду фотонов, моделирования взаимодействия излучения со средой и вычисления математического ожидания искомых величин.
В теории переноса излучения принято различать два подхода к использованию метода Монте-Карло: первый из них - это метод формального математического решения уравнения переноса излучения, при котором решение представляется в виде ряда Неймана и далее этот ряд суммируется при помощи метода Монте-Карло, второй же подход заключается в моделировании физических процессов распространения излучения в среде и накоплении некоторой статистической информации об искомых величинах без привлечения математического аппарата теории переноса. Здесь мы будем придерживаться первого подхода.
