Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Перенос электромагнитного излучения в нелинейных слоистых структурах (обзор) 12
1.1. Основы электромагнитной теории оптических волноводов 13
1.2. Общая характеристика поверхностных электромагнитных волн оптического диапазона 20
1.3. Оптическая бистабильность 27
1.4. Особенности переноса электромагнитного излучения в плоскопараллельных структурах с нелинейными
свойствами 32
1.5. Нелинейные оптические волноводы 35
Глава 2. Математическое моделирование распространения электромагнитных волн в нелинейных поглощающих средах 43
2.1. Математическая модель и исходные уравнения 43
2.2. Устойчивость стационарного распространения нелинейной волны 52
2.2.1. Формулировка задачи для исследования устойчивости нелинейной волны 53
2.2.2. Устойчивость стационарного распространения электромагнитной волны в слоистой среде с поглощением... 55 2.3. Моделирование силы Казимира в тонких диэлектрических
структурах 58
Глава 3. Методы решения стационарной задачи с поглощением с различными нелинейными диэлектрическими зависимостями от поля 62
3.1. Построение разностной схемы интегро-интерполяционным методом 62
3.2. Метод матричной прогонки 66
3.3. Базовый алгоритм распараллеливания и его эффективность 69
3.4. Разностная схема для нахождения напряженности поля ТЕ - типа поляризации 76
3.5. Решение разностной задачи методом матричной прогонки. Итерационный процесс 77
3.6. Разностная схема и численная реализация исследования устойчивости поверхностной волны в нелинейных средах с
поглощением 80
Глава 4. Результаты численного моделирования 84
4.1. Влияние поглощения на процесс переноса электромагнитного излучения 84
4.1.1. Влияние поглощения на напряженность электрического поля 85
4.1.2. Поток электромагнитного излучения с учетом поглощения 88
4.1.3. Устойчивость стационарного распространения
нелинейной волны в поглощающих средах 94
4.2. Бистабильный характер зависимости эффективного показателя преломления и потока энергии от силы Казимира в
тонких пленках 97
Заключение. 102
Литература
- Общая характеристика поверхностных электромагнитных волн оптического диапазона
- Устойчивость стационарного распространения нелинейной волны
- Разностная схема для нахождения напряженности поля ТЕ - типа поляризации
- Влияние поглощения на напряженность электрического поля
Введение к работе
В настоящее время ведутся исследования связанные с нелинейными системами, что связано как с научным, так и с практическим значением. Такие исследования позволяют выявить качественные и количественные закономерности распространения электромагнитных волн и изменение свойств сред, что необходимо для решения многих задач электродинамики. Одной из важных проблем энергетики является задача передачи энергии без существенных потерь на большие расстояния. Одним из решением данной проблемы является применение оптических волноводов.
Изучение распространения электромагнитных волн в структурах различных форм с нелинейными свойствами в последнее время стало особенно актуально в связи с распространением оптических волноводов и других устройств, сконструированных на основе оптических закономерностей [1]-[5]. Это также важно в связи с использованием в современных волноводах таких веществ с нелинейными свойствами, как жидкие кристаллы, полупроводники [6]-[9]. Открытие оптической бистабильности в полупроводниках GaAs [10] и InSl [11], и их многочисленное применение в оптических интегральных процессорах для оптической связи и в оптических компьютерах стимулировали в последние годы значительную теоретическую и экспериментальную активности [12-13]. Интерес к оптическим бистабильным элементам вызван рядом причин. Такие устройства являются оптическими аналогами основных электронных элементов ЭВМ и потому перспективны для цифровых оптических вычислений и обработки информации с широким применением несравненно легче реализуемых в оптике параллельных операций. Поэтому математическое моделирование нелинейных оптических эффектов в волноводах играют важную роль в разработке систем волоконной и
интегральной оптики, предназначенных для оптической связи и обработки информации. С актуальностью данной проблемы связано большое число работ, посвященных исследованию переноса электромагнитного излучения в нелинейных системах.
Оптические волноводы, известные также как "диэлектрические" волноводы, представляют собой структуры, которые используются для концентрации и направления света в волноводных устройствах и схемах интегральной оптики [14-15]. Хорошо известным оптическим волноводом является оптическое волокно, которое обычно имеет круглое поперечное сечение. Для интегральной оптики представляют интерес планарные структуры (плоские), такие как планарные пленки или полоски. Поэтому в диссертации уделено внимание планарному волноводу [16].
Предполагалось, что среда состоит из трех слоев: подложки, пленки и покрытия, каждый из которых характеризуется своей диэлектрической проницаемостью (sj) j=l,2,3. В диссертации рассматриваются различные типы нелинейности диэлектрической проницаемости от поля: керровского типа, полиномиальная зависимость четвертого порядка, с насыщением и диэлектрическая проницаемость, при которой нелинейные уравнения Максвелла инвариантны относительно конформной группы С(1,3). Как известно, форма диэлектрической функции определяется физическими процессами, которые ведут к нелинейности. Нелинейность Керра, которая
является квадратичной функцией локального оптического поля sNL =а
возникает вследствие нелинейности электроники, тепловых эффектов и т. д. Кроме того, во всех реальных средах при достаточно высоких значениях интенсивности наблюдается явление насыщения, т.е. существует предельное значение изменения показателя преломления. Поэтому для нелинейности с
6 насыщением можно смоделировать функцию для диэлектрической
проницаемости следующим образом: eNL = єч
а Е
1-ехр( )
[17-18].
Как известно, при распространении электромагнитного излучения в структурах с нелинейными свойствами может возникать явление оптической бистабильности [19], [20]. Данной проблеме посвящено большое количество литературы в связи с важными техническими приложениями: оптические волноводы, бистабильные переключатели.
Поскольку в процессе распространения излучения в реальных системах всегда имеет место поглощение части излучения, что влияет на характеристики волноводов, то в работе представляется важным рассмотреть вопрос о распространении электромагнитных волн в модельном волноводе типа плоскопараллельной структуры с учетом поглощения. Предполагалось, что каждая из сред, составляющих структуру, имеет некоторый, отличный от нуля, коэффициент поглощения (,j~j +і/ ) Действительно, при рассмотрении воздействия достаточно мощного излучения учет поглощения (є" *0) становится актуальным даже для слабо поглощающих систем [21].
При рассмотрении переноса электромагнитного излучения в тонких слоях может оказывать влияние сила Казимира [22-28]. Сила притяжения или отталкивания между макроскопическими материальными границами в вакууме. В 1948 г. Генрих Казимир показал, что вследствие существования флуктуации электромагнитного поля две параллельные незаряженные проводящие пластины, помещенные в вакуум, будут притягиваться [22]. Притяжение это достаточно мало и проявляется лишь на малых расстояниях (порядка микрона), поэтому эффект Казимира оказывает свое действие на микроструктуры.
В связи с тем, что рассматриваются тонкие (микронные) слои волновода, в процессе переноса электромагнитного излучения возникает сила
Казимира. Поэтому в работе рассматривается задача исследования поведения этой силы при таком распространении электромагнитных волн.
Таким образом, актуальность данной работы заключена в изучении распространения электромагнитных волн в многослойной структуре с различными нелинейными средами с поглощением и характера поведения силы Казимира в рассматриваемой структуре.
Целью диссертационной работы является математическое
моделирование и выявление качественных и количественных особенностей
распространения поверхностных электромагнитных волн 7Е-типа
поляризации в слоистых нелинейных средах с поглощением, что может быть
использовано для создания более эффективных оптических приборов и
систем, вследствие нелинейных эффектов в процессе переноса
электромагнитного излучения. Для ее достижения были поставлены следующие задачи:
- исследование математической модели переноса электромагнитного
излучения в нелинейных слоистых структурах с различными видами
нелинейности и с поглощением в каждом слое;
- разработка эффективного алгоритма численного решения для нахождения
напряженности электромагнитного излучения методом матричной прогонки с
применением параллельных вычислений;
исследование методами численного моделирования устойчивости стационарного распространения поверхностной электромагнитной волны в различных нелинейных средах;
изучение особенностей бистабильной зависимости потока электромагнитного излучения от эффективного показателя преломления, характеризующего скорость распространения волны ТЕ-типа поляризации для различных оптических параметров системы;
- исследование поведения силы Казимира в тонких (микронных)
диэлектрических структурах с нелинейными свойствами, позволяющее
учесть ее влияние на нелинейный характер переноса электромагнитного излучения.
Методы исследования. В диссертационной работе применяются методы нелинейной электродинамики для построения математической модели переноса электромагнитного излучения в многослойных структурах с нелинейными свойствами. Для реализации решения поставленных задач, которые определяют цель работы, применяются численные методы математического моделирования с использованием параллельных вычислений на многопроцессорной вычислительной технике.
Научная новизна работы заключается в следующем:
- исследована математическая модель распространения поверхностной волны
ТЕ-типа поляризации в многослойной структуре с различными
коэффициентами поглощения каждого слоя и различными типами
нелинейности;
разработан алгоритм решения системы уравнений Максвелла для нахождения напряженности электромагнитного поля с учетом поглощения и осуществлена его параллельная реализация на многопроцессорной вычислительной системе;
проведены расчеты влияния поглощения на амплитуду электрической напряженности электромагнитного поля излучения и на характер оптической бистабильности потока энергии в зависимости от скорости распространения электромагнитной волны в рамках данной модели;
проведено исследование устойчивости стационарного распространения электромагнитной волны с учетом поглощения для предложенной математической модели;
впервые определена зависимость силы Казимира от потока электромагнитного излучения в тонких нелинейных диэлектрических слоях планарного волновода.
Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы в энергетике, а также в области оптоэлектроники и интегральной оптики. В частности, для оптимизации параметров нелинейных волноводов при их конструировании, для создания оптических переключателей, нелинейных ответвителеи, полупроводниковых и оптических приборов, которые основаны на явлении оптической бистабильности.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях:
на IV Международной конференции «Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах», Москва: МГТУ «СТАНКИН», 2000 г.
на VII Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов 2000», Москва: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2000 г.
на II Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки», Самара, 2001 г.
на V-ой Научной конференции МГТУ «СТАНКИН» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «СТАНКИН» и ИММ РАН», Москва , 2002 г.
на VI Международном конгрессе по математическому моделированию, Нижний Новгород, 2004.
на XII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование», Пущино, 2005 г.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 12 работ. Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследований, показана научная новизна и кратко излагается содержание диссертационной работы.
В первой главе представлен обзор научной литературы по исследованию особенностей переноса электромагнитного излучения в нелинейных слоистых средах.
Исследования в области распространения электромагнитных волн в слоистых нелинейных средах связаны с именами таких отечественных и зарубежных ученых, как Сухоруков А.П., Розанов Н.Н., Агранович В.М., Литвак А.Г., Миронов В.А., Марадудин А.А., Карамзин Ю.Н., Колоколов А.А., Суков А.И., Федянин В.К., Ахмедиев Н.Н., Г. Агравал, Д. Маркузе, А. Снайдер, и др. Поиск решений близких по тематике проблем и анализ полученных ранее результатов в работах других авторов позволили определить место работы в общем потоке исследований.
Во второй главе проводится построение математической модели переноса электромагнитного излучения в плоскопараллельных структурах на примере планарного волновода в рамках системы уравнений Максвелла. Важнейшим вопросом при распространении нелинейных поверхностных волноводных мод (НПВМ) является вопрос исследования их устойчивости. На основании существующих методов исследования устойчивости в диссертации рассматривается проблема устойчивости НПВМ в нелинейной трехслойной структуре с поглощением. При рассмотрении переноса электромагнитного излучения в тонких (порядка микрона) диэлектрических слоях может оказывать влияние сила Казимира. Сила притяжения или отталкивания между макроскопическими материальными границами в вакууме. Поэтому во второй главе на основании существующих данных по исследованию силы Казимира была рассмотрена модель ее определения.
В третьей главе предлагаются методы решения поставленных задач.
Первая часть главы посвящена выбору и краткому описанию математических методов для нахождения стационарного решения одномерной и двумерной задач в рамках математической модели. Для решения дифференциальных уравнений используется метод конечных разностей. Предлагается интегро-интерполяционный метод построения консервативных разностных схем для численного решения поставленной задачи. Для решения разностных нелинейных уравнений используется метод матричной прогонки с итерациями. Для повышения эффективности численных расчетов применяются параллельные вычисления, поэтому разрабатывается алгоритм распараллеливания матричной прогонки.
Во второй части главы на основе интегро-интерполяционного метода, осуществлено построение разностной схемы и численная реализация для решения одномерной и двумерной краевых задач.
В четвертой главе содержатся результаты численного моделирования переноса электромагнитного излучения в многослойной структуре.
В заключении диссертационной работы сформулированы основные выводы и приведены выносимые на защиту результаты.
Общая характеристика поверхностных электромагнитных волн оптического диапазона
Поверхностными электромагнитными волнами (ПЭВ), или поверхностными поляритонами, называются волны, распространяющиеся вдоль границы раздела двух разнородных сред и существующие одновременно в них обеих [30-34]. Эти волны подчиняются уравнениям Максвелла и стандартным граничным условиям к ним. Переносимые ПЭВ поля локализованы вблизи поверхности и затухают по обе стороны от нее. Они являются частично продольными волнами 7М-типа. Электрический вектор Ё имеет две составляющие (рис. 1.3, а): Ех - вдоль волнового вектора ПЭВ ks и Ег - перпендикулярно поверхности; магнитный вектор Н перпендикулярен направлению распространения волны и лежит в плоскости поверхности.
Постоянная распространения ПЭВ ks отличается от волнового числа света ко=са/с, с - скорость света в вакууме, она удовлетворяет дисперсионному соотношению [30, 31] ,= о,Р?-. (1-39) Єі+Є2 Коэффициенты Х\ и Х2 определяются так: є2 у є1 z,=U-- = J-- С1-40)
Из условия вещественности и положительности величин ks, Xi и %2 Для сред без потерь следует, что ПЭВ могут существовать и распространяться вдоль плоских границ раздела двух сред с диэлектрическими проницаемостями разных знаков. Если в среде 1 у 0, то диэлектрическая проницаемость среды 2, так называемой поверхностно-активной среды, должна удовлетворять неравенствам: є2 0; \є2\ Єі. (1.41)
Из формул (1.39) и (1.40) видно, что затухание ПЭВ в граничащих средах не связано с диссипацией энергии, так что существует и при отсутствии в них поглощения (Ітєі?2=0) и обязано эффективному "вытеснению поля волны из объема к поверхности. Для сред без потерь из выражения (1.41) следует также, что ks k0, то есть ПЭВ является безызлучательной модой, которая не может непосредственно возбуждаться светом на плоской поверхности; кроме того, Xi ks Z2- Из последнего неравенства вытекает, что энергия ПЭВ в основном сосредоточена в поверхностно-неактивной среде (Re \ 0) и преимущественно переносится вдоль распространения волны к,. В то же время благодаря продольному компоненту электрического вектора Ех энергия в ПЭВ циркулирует и через поверхность, попеременно из одной среды в другую. Наличие потерь (например, поглощения в среде 2 или рассеяния на шероховатой границе), а также адсорбированных слоев и тонких пленок на поверхности приводит к ограничению длины пробега волны L вдоль ks.
Обычно в оптике имеют дело с ПЭВ на границе поверхностно-активной среды с воздухом (/=1) или другим прозрачным диэлектриком. Неравенство (1.43) при этом выполняется для металлов и легированных полупроводников с высокой концентрацией свободных носителей, у которых область аномальной дисперсии диэлектрической проницаемости охватывает весь ИК-и видимый (для металла) диапазон частот. ПЭВ могут также возбуждаться на поверхности полупроводников и диэлектриков в среднем ИК- диапазоне, в интервале между частотами продольного и поперечного оптических фотонов. Соответствующие ПЭВ называются также поверхностными фотон-поляритонами. Существуют ПЭВ и в области экситонного поглощения в полупроводниках.
Для последующего наибольший интерес представляют ПЭВ на границе металлов и расплавленных полупроводников с воздухом (поверхностные плазмон-поляритоны) [34]. Их свойства определяются плазменной частотой С0р и частотой столкновений у в электронной плазме металла. В этом случае в У О оптическом диапазоне частот (у со соо) Є2=є»1-сор /со и , „(!+- -) 2сор2 , соХ\ - косор Xl - осо (1.42) Поскольку є»1, относительные отклонения величины ks от ко на длине волны 1 мкм не превышают 10"2, а на А=10, 6 мкм - 10 4. Такие ПЭВ затухают в металле на глубине І2=1/Х2 сор 10"6 см, соответствующей глубине скин-слоя 8 для объемной волны, а в воздухе сосредоточены в слое 1,=1/Хі«5(с0р/со)2 (102-104)5 в зависимости от частоты. Фактически здесь металл играет роль открытого волновода для ПЭВ, которая пробегает по его поверхности путь, ограниченный диссипативными потерями [30]: L = - О-43) 2у1г и достигающий на Х=10,6 мкм 1-5 см. Из выражения (1.40) следует, что из компонентов электрического вектора ПЭВ наибольшим является Ei z, причем в данном случае Ех = E2z ., Ех - 0)р Е1г -Н,- = = — «1. (1.44)
Наряду с плоскими ПЭВ важную роль в усилении поля и оптических процессах могут играть цилиндрические поверхностные электромагнитные волны (ЦПВ) и локализованные моды (плазмоны). Как и плоская ПЭВ, ЦПВ является частично продольной волной ТМ-типа (отсутствует нормальный к поверхности компонент Я) и экспоненциально затухает по обе стороны от границы раздела сред, одна из которых поверхностно-активна. Однако в отличие от плоской волны ЦПВ исходит из некоторого центра и за счет радиального разбегания убывает по мере удаления от него вдоль поверхности. Радиальное распределение полей в ЦПВ описывается функциями Ханкеля, а ее волновое число - дисперсионным соотношением. Угловая структура этой волны характеризуется наличием выделенного направления, задаваемого поляризацией падающего света. Перенос энергии в ЦПВ осуществляются преимущественно вдоль этого направления, а также попеременно из одной среды в другую, как и в ПЭВ. ЦПВ могут возбуждаться на различных радиально-симметричных неоднородностях, микровыступах и микровпадинах поверхности. В частности, при рассеянии на цилиндрическом выступе линейно поляризованный свет возбуждает ЦПВ, максимальное значение поля в которой достигается на границе выступа (высотой h и радиусом г0) со стороны диэлектрика (воздуха) и равно [30]: El2=S - -E, (1.45)
Из выражения (1.45) следует, что на выступе с размерами порядка десятой доли длины волны действующее поле в результате генерации ЦПВ удваивается.
К настоящему времени установлено, что ЦПВ эффективно участвуют в образовании ГШС на поверхности материалов при лазерном воздействии (особенно на начальных стадиях). Они могут оказывать влияние на снижение порога оптического пробоя металлических поверхностей. Наконец представления о ЦПВ существенны для ПЭВ-микроскопии.
Во многих случаях необходимо исследовать поведение и свойства ПЭВ, распространяющейся по границе слоистой структуры, например металлической пленки на диэлектрической (полупроводниковой) подложке или по поверхности металла, покрытой тонким слоем другого материала. В частности, такое исследование интересно в связи с возможным применением ПЭВ в литографии высокого разрешения. Особое место здесь занимает анализ ПЭВ в структуре, состоящей из слоя поверхностно-активной среды (толщиной Ь), который находиться между двумя диэлектриками с различными показателями преломления (nj и пі).
Устойчивость стационарного распространения нелинейной волны
Важнейшим вопросом при распространении нелинейных поверхностных волноводных мод (НПВМ) является вопрос исследования их устойчивости [61], [74]-[78]. В данной параграфе рассматривается проблема устойчивости НПВМ в нелинейной трехслойной структуре с поглощением.
Рассмотрим ТЕ - поляризованную волну, которая распространяется вдоль оси х, ее профиль зависит от z и ориентирована она вдоль оси у. Тогда используя уравнения Максвелла можно получить точные решения. Стационарные решения будем искать в виде: Еу (х, z) = у/{х, z) exp(z fo) (2.34) где к — постоянная распространения, y/(x,z) - профиль поперечного поля. Тогда для поля у/ в приближении медленно меняющих амплитуд имеет место параболическое уравнение: 2 + TT- V + )MV = 0 (2.35) OX OZ К. 9 9 где /3=— - эффективный показатель преломления, у и 0 - поперечные профили линейной и нелинейной восприимчивости соответственно. Уравнение (2.35) безразмерное, т.к. координаты х, z и постоянная распространения к ортонормированны на волновое число в вакууме к0 = — ,а с поле y/(x,z) на нелинейную диэлектрическую проницаемость. Уравнение (2.35) - уравнение типа нелинейного уравнения Шредингера. НУШ представляет собой динамическую систему с бесконечным числом степеней свободы. Ему соответствует бесконечномерная гамильтонова система, которая относится к классу интегрируемых систем, поэтому она имеет бесконечное число законов сохранения (интегралов). Интегралы низшего порядка - это энергия (или мощность, или число частиц), импульс (количество движения) и гамильтониан [79]. Уравнение (2.35) имеет два интеграла сохранения - Q и Н: интеграл, пропорциональный потоку мощности Q= ]\{x,z)\dz, (2.36) -cQ и гамильтониан Д пропорциональный плотности энергии н = ТрУ- +Л М-\вШ dz dz (2.37)
Поток мощности Р пропорционален pQ. Количество движения не сохраняется, т.к. рассматривается многослойная структура, имеющая границы раздела.
Гамильтониан играет важную роль в описании динамики системы в целом. Используя гамильтониан, уравнение (2.38) можно записать в каноническом виде (гамильтоново уравнения движения): !L = -iL (2.39) dz 5ц/ где правая часть представляет собой вариационную производную по комплексно сопряженной величине к у/. На основании канонического вида можно исследовать некоторые важные характеристики системы, в частности устойчивость. Каждое стационарное решение соответствует экстремуму гамильтониана. Оно устойчиво, если экстремум является точкой локального или глобального минимума. В противном случае стационарное решение неустойчиво.
Рассмотрим трехслойную структуру с поглощением, состоящую из линейной подложки характеризуемой диэлектрической проницаемостью es в области z 0, линейной пленки толщиной d, характеризуемой диэлектрической проницаемостью Sf и нелинейного покрытия, подчиняющегося закону Керра с диэлектрической проницаемостью е=єс + ссс Ё I 2, в области z d (см. рис.2.1). ТЕ - поляризованная волна (Ё = (0,Еу,0) и Я = (Нх ,0, Н2)) с частотой со распространяется вдоль оси х, а электрическое поле однородно вдоль оси у. Тогда ненулевая компонента электрического поля Е (x,z,t) будет определяться соотношением (2.7).
Разностная схема для нахождения напряженности поля ТЕ - типа поляризации
Для решения разностной задачи (3.32-3.33) воспользуемся методом матричной прогонки. Так как —(со +1/2 -со, І/2) = —Т(УІ+І ІУ, +Уы) то в нашем h h случае система уравнений метода матричной прогонки будет иметь вид: Vy-i -сМ+вМ і = FP J = l-aN-\, (3.34) 1 По Aj V і fio где элементы матриц Aj,Bj и вектора / постоянные величины и не зависят от/, а элементы матрицы С, изменяются в зависимости от/, т.е. С, является переменным коэффициентом: (Л oiK -l (% (jr) n w D\\j nl2j + k02D2 с =41(Л 7? w R J h2 01 где элементы матрицы 5/ изменяются в зависимости от выбранного узлау следующим образом: пі I л . М ?2 / В sf, при\ J — U) впГ=\ 2- )+\іР2- -ЩирЧ = /? - с-у , npu — j M где М = 2N- общее число узлов; 12/ д (О j-, При 1 J -(8f+e), nPUJ= — М гж ес, при — j М - у , Я/?И 1 j М 52iy = , ft //ч . м ,/ - -с , И/Ш J М /5 -/? npu\ j — ( ) 2 V = Ь(/?2 - ) + т(/? - - Я, ) ЇРи У = М М при — j M Итак, приходим к следующему алгоритму матричной прогонки для системы (3.34): У}=аіУі+\+Рі 7 = Л/-1,...,0 причем j?0 = Е0 = В0 = 0,С0 = \,F0=E0, yM=0 AM=0,CM=\,FM=0, (0 (Л ч0 0, 0 "й ау=(Су- .,)-15у, У = 1,...,М \EoJ До = о - о = - о = . = (С, - Ajaj.x Г (Fj + А,рм), і = 1,..., М
В настоящей работе разностная схема (3.34) нелинейная относительно уп так как диэлектрическая проницаемость в покрытии зависит от поля квадратичным образом (керровская нелинейность), или полиномиальная зависимость четвертого порядка или нелинейность насыщения. Для решения получающейся системы нелинейных уравнений применяются итерационные методы [85, 86]. Запишем разностную задачу (3.32-3.33) в операторном виде: AhEh-k02D2BhEh=0 (3.35) с граничными условиями EJQ = Е0 (напряженность падающей волны на границу подложка-пленка? =0) /=2лг = (т-к- энергия поля не должна рассеиваться в пространство).
Для решения разностной задачи (3.23) составим следующий итерационный процесс, воспользовавшись методом простой итерации:
В качестве нулевого приближения возьмем значение напряженности падающей волны на границу подложка-пленка, которую можно найти аналитически ( 2.1): (0) E0{D-z)ID Решение уравнений (3.36) относительно Ёи+пи с граничными условиями первого рода находятся методом матричной прогонки. Для окончания итераций используется условие (3.37): є Ен(х) (3.37) где (s) = max max 2.V-2 \l j 2N Ф) , max 1 ; 2ЛГ-1 »(s) J Ф+1) Ф) E, -E, P (i+1) _ г I ) , max l j 2N-\ //(4 + 1) , »(-0 = max max -2(2AT-2) [і У 2ЛМ
Итерационные схемы типа (3.36) позволяют для обеспечения заданной точности использовать более крупный шаг по времени по сравнению с безытерационными схемами (для линейных уравнений относительно у/), что зачастую приводит к значительному уменьшению объема вычислительной работы. Для численного исследования устойчивости стационарного распространения нелинейной волны применялась шеститочечная неявная разностная схема Кранка - Николсона [80] (рис.3.3) с погрешностью аппроксимации 0(hz +hx ). Введем в области G = \(x,z); 0 х Dx, - D/ z Dzc) равномерные сетки по координатамхиz с шагамиhxnhz и числом узловNx иN2 соответственно: cux=\x:x = jhx;j = 0,\,...Nx-\;hx= -[ coz=\z:z = ihz;i = 0,1,.. JV, -\;hz = г + г УІх УІ /+1 г и Рис. 3.3 Шаблон схемы Кранка-Николсона (3.38) (3.39) (3.40) Заменяя производные уравнения (2.46) на разностные соотношения (3.38) и (3.39), получим следующую разностную схему (3.40). ,-Н _ ,,J дх hx dz2 2К -y2yj+0 УІ УІ Yx УҐ-УІ _yL-2yl2yrl+y „ „/ hr 2k2+yL+y Решение разностной краевой задачи для у{ х было найдено методом матричной прогонки. В силу того, что схема (3.40) нелинейная относительно -/+ организуется сходящийся итерационный процесс. В частности, был выбран метод простой итерации. Он заключается в следующем. Всюду в левой части уравнений (3.40) в качестве у, на новом расчетном слое берется (5+1) итерация, а в правой нелинейной части на новом слое берется s итерация, где 5=0,1,2,..., smax-l- номер итерации.
Влияние поглощения на напряженность электрического поля
Результаты численного моделирования представлены на рис. 4.6-4.11 при различных значениях диэлектрических проницаемостей, коэффициентах поглощения, толщины пленки. На основании полученных графиков зависимости потока электромагнитного излучения от эффективного показателя преломления, представленных на рис.4.6 - 4.7 можно сделать вывод, что с увеличением коэффициента поглощения оптическая бистабильность приобретает все более нечеткий характер, и в итоге вовсе пропадает. На рис.4.8 - 4.9 численные расчеты проведены для поглощающих сред при различных значениях диэлектрической проницаемости.
Из проведенного такого рода расчетов следует, как это иллюстрируют рис. 4.8 - 4.9, что минимальное значение потока электромагнитного излучения, необходимое для возбуждения ТЕ — нелинейных поверхностных волн, увеличивается с увеличением разницы между диэлектрическими проницаемостями контактирующих сред.
Аналогичные результаты были получены и для двухслойной структуры рис. 4.10 - 4.11, состоящей из двух слоев: линейной подложки с диэлектрической проницаемостью es и нелинейного покрытия с єс.
Было установлено, что при определенном значении параметра дифракции и при большой разнице между диэлектрическими проницаемости контактирующих сред, имеет место явление мультистабильности: свойство оптической системы находиться в нескольких возможных состояниях с отличающимися характеристиками выходного излучения (Рис. 4.11).
Проведено также исследование состояния мультистабильности в поглощающих структурах. Результаты расчетов проведены на рис. 4.9 и 4.11. Мультистабильная зависимость ДР) представлена на рис.4.11 который получен для более простой двухслойной модели. Поглощение отлично от нуля, но мультистабильность при определенных условиях существует. На рис.4.9 расчеты проведены при аналогичных значениях параметров для подложки и покрытия, а также длине волны лазерного излучения и том же значении мнимой части диэлектрической проницаемости. Как показано на рис.4.9 мультистабильность при этом исчезает. Таким образом, усложнение структуры может негативно сказаться на таком сложном явлении как явление мультистабильности.
Было исследовано влияние поглощения на нелинейную зависимость потока электромагнитного излучения от эффективного показателя преломления для различных типов нелинейности. В частности, для нелинейности типа Керра обнаружено, что при некоторых критических значениях коэффициента поглощения (г} =0,01) и параметра дифракции (27i?i/ds3,2593) имеет место исчезновение бистабильности; при определенном значении параметра дифракции (2тсАЛ1 =1,6171) и при большой разнице между диэлектрическими проницаемостями контактирующих сред (Ає=0,093) имеет место явление мультистабильности. Для нелинейности с насыщением показано, что при некотором оптически наведенном изменении диэлектрической проницаемости (ssal =0.1256) и коэффициенте поглощения (8j =0,1) эффект бистабильности исчезает.
При исследовании диэлектрической проницаемости, при которой нелинейные уравнения Максвелла инвариантны относительно конформной группы С(1,3), негативное влияние поглощения на явление оптической бистабильности при определенных условиях на амплитуду волны может уменьшаться или исчезнуть в связи с возникновением эффекта Маркуса.
С помощью критерия устойчивости, рассмотренного в главе 3, проведено исследование устойчивости стационарных решений с учетом поглощения. Неустойчивость стационарного распространения волны определялась изменением распределения поля по координате z по мере распространения по координате х. Результаты численного моделирования представлены на рис. 4.13 - 4.14. В случае нелинейного покровного слоя, подчиняющегося закону Керра в области отрицательного наклона кривой dP ДР), т.е. при — 0 стационарные волны являются неустойчивыми на dj3 определенном расстоянии хкрит=2$ мкм. В случае нелинейного покровного слоя с насыщением в области положительного наклона кривой ДР), т.е. при dP — 0 стационарные волны являются устойчивыми на расстоянии um=40 - 2 мкм. Исследована роль коэффициента поглощения на энергию волны А .
Для нелинейности Керра при коэффициенте поглощения 0.001 на расстоянии х=20 мкм потери энергии составляют 37,29%, а для нелинейности с насыщением - 33, 51%. На расстояниях х хкрит энергия волны практически полностью поглощается и потери составляют при коэффициенте поглощения 0,01: для нелинейности Керра - 98,03%, а для нелинейности с насыщением 97,72%.
