Введение к работе
Актуальность темы.
Имеется целый ряд физических проблем, требующих достаточно точного решения задач теории переноса излучения в атмосфере с учетом поляризации. Это, прежде всего, задачи интерпретации оптических наблюдений.
Диссертационная работа посвящена разработке методов статистического моделирования и вычислительных алгоритмов для исследования свойств поляризованного излучения и решения обратных задач атмосферной оптики по определению параметров, определяющих взаимодействие излучения с рассеивающей и поглощающей средой (коэффициентов взаимодействия, индикатрисы рассеяния).
Известное математическое описание процесса переноса поляризованного излучения предоставляет удобный инструмент для исследования этого процесса. Базовыми при этом являются вектор-функции Стокса, компоненты которых определяют в совокупности интенсивность, степень поляризации, плоскость поляризации и степень эллиптичности излучения, и интегро-дифференциальное уравнение переноса, описывающее процесс переноса.
Процесс переноса излучения можно также описать интегральным уравнением второго рода, оператор которого, в силу физических особенностей задачи, оставляет инвариантным множество вектор-функций Стокса.
Изучению уравнений переноса излучения посвящена обширная литература. В ней содержатся математические постановки задач теории переноса, вывод интегро-дифференциального и интегрального уравнений переноса, дается обоснование условий существования собственных значений, разрабатываются численные методы решения соответствующих задач. Существенное место здесь занимает метод статистического моделирования (метод Монте-Карло), так как уравнение переноса трудно разрешимо классическими методами вычислительной математики, если учитываются реальные индикатрисы и неоднородность среды. Во многих случаях практически это можно осуществить методом Монте-Карло.
Процесс распространения света можно рассматривать как случайную марковскую цепь столкновений фотонов с веществом, которые приводят либо к рассеянию (с пересчетом вектора Стокса), либо к поглощению фотонов. Метод Монте-Карло заключается в модели-
ровании траекторий этой цепи на ЭВМ и вычислении статистических оценок для искомых функционалов. Построение случайных траекторий для "физической" модели процесса принято называть прямым моделированием. При этом в скалярном варианте веса не используются и дисперсии оценок метода Монте-Карло заведомо конечны. Указанный выше пересчет вектора Стокса уже предполагает использование матричного веса. В связи с этим ранее были построены и предварительно исследованы общие матрично-весовые алгоритмы для решения систем интегральных уравнений теории переноса излучения с учетом поляризации.
Отметим, что алгоритмы численного статистического моделирования естественным образом распараллеливаются путем распределения численных статистических испытаний по отдельным процессорам, поэтому, в связи с ростом мощностей вычислительных систем, их исследование приобретает особое значение.
Рассматриваемая математическая модель процесса переноса излучения позволяет ставить достаточно большое множество практически интересных задач, для решения которых может быть эффективно применен метод Монте-Карло. Традиционный способ его использования заключается в следующем. Рассматривается некоторый линейный функционал I от решения уравнения переноса, для него строится стандартная весовая оценка статистического моделирования , математическое ожидание которой и дает нам искомое значение функционала.
Конкретный вид функционала I, разумеется, зависит от поставленной задачи. Так, для определения характеристик поляризованного излучения "в точке" используются локальные оценки. Обладая же возможностью вычисления характеристик излучения можно ставить и решать задачи определения параметров рассеивающей среды по некоторым заданным результатам наблюдений.
Для успешного применения метода Монте-Карло к вычислению линейного функционала I необходимо на интегральный оператор, описывающий перенос излучения, наложить некоторые ограничения, обеспечивающие существование математического ожидания оценки , ее несмещенность и конечность дисперсии. В общем случае эти условия оказываются достаточно жесткими, однако специфика рассматриваемой системы интегральных уравнений позволяет существенно их ослабить. При этом оказывается, что дисперсия векторных оценок метода Монте-Карло может быть бесконечной даже
в том случае, когда соответствующие скалярные оценки (без учета поляризации) имеют конечную дисперсию. Это, естественно, приводит к необходимости проведения дополнительного теоретического и численного анализа условий конечности дисперсии в векторном случае.
Однако, даже если дисперсия оценки конечна, она может быть довольно большой, и соответствующий алгоритм метода Монте-Карло может оказаться практически неприменимым. В этом случае необходимо применять специальные весовые модификации моделирования переноса излучения с поляризацией, приводящие к уменьшению дисперсии оценок метода Монте-Карло.
Рассмотрение обратных задач и, применительно к ним, итерационных процессов (Ньютона-Канторовича и других) приводит к необходимости получения оценок параметрических производных соответствующих линейных функционалов. В этом случае целесообразным представляется использовать уже имеющиеся стандартные оценки , сведя задачу к вычислению параметрических производных ' этих оценок. При этом опять возникает необходимость рассмотрения условий несмещенности и конечности дисперсии полученных оценок производных.
Отметим, что использование итерационного процесса Ньютона-Канторовича обладает, помимо всего прочего, еще одной особенностью. А именно, его применение сопряжено с обращением матриц, элементы которых рассчитываются с использованием реализаций оценок производных '. При этом обращаемые матрицы, как правило, являются плохо обусловленными. В этом случае на первый план выступают вопросы уменьшения дисперсии оценок производных и исследования альтернативных итерационных методов.
В диссертации рассмотрены три задачи оптического зондирования атмосферы, имеющие практическое значение. Две из них относятся к так называемому пассивному зондированию, когда по измерениям приходящего в приемник рассеянного солнечного излучения требуется определить параметры аэрозольной составляющей атмосферы.
Первая задача состоит в определении высотного хода (распределения) коэффициента аэрозольного рассеяния в атмосфере.
Наиболее информативными наблюдениями в этой задаче считаются наблюдения из космоса, численному моделированию которых и сравнению с экспериментальными данными посвящено много работ.
Очевидно, что наземные наблюдения рассеянного солнечного излучения являются менее дорогостоящими, однако их информативность возможна только в сумерках. Исследованию сумеречного метода зондирования с поверхности Земли, моделированию наблюдений методом Монте-Карло и сравнению с экспериментом также посвящено много работ.
Следует отметить, что решение задач переноса излучения в сумерках является значительно более сложной проблемой, чем в дневной области. Во-первых, необходимо рассматривать сферическую геометрию атмосферы Земли, что усложняет алгоритмы, а во-вторых, в этих задачах присутствуют большие оптические толщи среды на пути света от Солнца к приемнику, которые приводят к необходимости учета вкладов от рассеяний многих порядков. Погрешности метода Монте-Карло в сумеречных расчетах, при этом, оказываются на порядок больше погрешностей расчетов в дневной области Земли, а погрешности расчетов параметрических производных от функционалов на порядок больше погрешностей расчета самих функционалов. Поэтому важными этапами решения обратных задач являются как разработка и исследование алгоритмов расчета соответствующих параметрических производных, так и анализ погрешностей соответствующих оценок. Учет поляризации излучения еще больше усложняет обратную задачу, но дает возможность ее решения не только по данным измерений интенсивности излучения, но и по измерениям других компонент вектор-параметра Стокса.
Вторая задача состоит в определении индикатрисы аэрозольного рассеяния по наблюдениям яркости неба с поверхности Земли в альмукантарате Солнца, то есть в различных направлениях, составляющих с зенитом тот же угол, что и направление на Солнце. Поле излучения в атмосфере формируется одно- и многократно рассеянным солнечным светом, а также отраженным от подстилающей поверхности излучением. В приближении однократного рассеяния наблюдаемые значения яркости пропорциональны соответствующим значениям индикатрисы. Для оценки индикатрисы было построено несколько итерационных алгоритмов, в которых с помощью математического моделирования последовательно уточняются значения индикатрисы на основании информации об угловом распределении поля яркости на подстилающей поверхности и предположения, что доля однократно рассеянного излучения достаточно велика.
Учет поляризации излучения в этой задаче ранее не производил-
ся, хотя известно, что она влияет на интенсивность приходящего в альмукантарате излучения.
Третья задача состоит в исследовании временной асимптотики многократно рассеянного поляризованного излучения, выходящего из среды и являющегося помехой обратного рассеяния при дистанционном зондировании атмосферы. Получение оценок параметров асимптотики для данной задачи является актуальной и до сих пор мало исследованной проблемой.
Основные цели работы.
Обоснование применения метода Монте-Карло для расчета функционалов и их параметрических производных от решения системы интегральных уравнений переноса поляризованного излучения. Получение условий несмещенности и конечности дисперсий соответствующих статистических оценок. Исследование спектрального радиуса оператора, определяющего матрицу вторых моментов стандартной векторной оценки метода Монте-Карло, построение и реализация алгоритма для его численной оценки.
Разработка и численная апробация алгоритмов решения задачи восстановления высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния атмосферы по результатам измерений поляризационных характеристик рассеянного солнечного излучения с поверхности Земли в сумерках.
Построение и обоснование итерационного метода восстановления индикатрисы рассеяния по наземным наблюдениям интенсивности поляризованного излучения в альмукантарате Солнца. Разработка комплекса программ, реализующих рассматриваемые алгоритмы. Исследование сходимости алгоритмов при различных параметрах среды.
Разработка и обоснование алгоритмов оценки параметров временной асимптотики многократно рассеянного поляризованного излучения. Разработка комплекса программ, проведение численных расчетов и определение параметров асимптотики для различных сред и функционалов от интенсивности поляризованного излучения.
Методы исследования базируются на теории переноса излучения, теории интегральных уравнений второго рода и теории весовых
методов численного статистического моделирования. Научная новизна.
-
Получены ослабленные условия несмещенности и конечности дисперсии весовых векторных оценок метода Монте-Карло в случае нестоксовского свободного члена сопряженного векторного уравнения переноса.
-
Впервые получены условия несмещенности и конечности дисперсии весовых оценок производных по параметрам, входящим в матричное ядро уравнения переноса.
-
Проведено исследование спектрального радиуса р матрично-интегрального оператора Кр, определяющего матрицу вторых моментов стандартной векторной оценки метода Монте-Карло. Построен алгоритм оценки спектрального радиуса оператора Кр методом Монте-Карло на основе итераций соответствующей резольвенты. С помощью расчетов, а также приближенно аналитически, показано, что величина /э(Кр) для ограниченной среды приближенно равна произведению спектральных радиусов оператора, соответствующего переносу излучения без поляризации и оператора, соответствующего переносу излучения в бесконечной однородной среде, который вычислен для молекулярного и тестового аэрозольного типов рассеяния.
-
Впервые получены теоретические выводы о конечности дисперсий оценок функционалов при использовании различных весовых модификаций метода Монте-Карло. Проведены численные эксперименты по исследованию поведения статистических оценок и их дисперсий при значениях коэффициента поглощения в среде близких к критическим, для которых теоретически дисперсия оценок бесконечна.
-
Впервые получены выражения для вычисления производных весовых оценок по коэффициентам поглощения, рассеяния и аэрозольного рассеяния в неоднородной атмосфере с учетом поляризации.
-
Предложены способы уменьшения дисперсии оценок производных, основанные на методе рандомизации и билинейном представлении оцениваемых функционалов.
-
Осуществлена численная реализация разработанных автором алгоритмов с использованием модифицированной двойной локальной оценки для сферической геометрии атмосферы.
-
Впервые получены условия применимости разработанных алгоритмов к решению задачи восстановления высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния по наблюдениям поляризационных характеристик рассеянного солнечного излучения с поверхности Земли в сумерках.
-
Для решения задачи восстановления индикатрисы рассеяния атмосферы по наземным наблюдениям яркости поляризованного излучения в альмукантарате Солнца предложен новый итерационный метод, эффективно учитывающий отражение от подстилающей поверхности. Дано теоретическое обоснование сходимости предложенного метода, подтвержденное численными расчетами.
-
На основе теории параметрического дифференцирования векторных оценок разработан алгоритм вычисления матрицы Яко-би для построенного итерационного метода. Численные эксперименты позволили обосновать сходимость этого метода для различных параметров среды и также показали целесообразность учета поляризации при восстановлении индикатрисы.
-
Разработаны и обоснованы новые алгоритмы вычисления параметров временной асимптотики интенсивности многократно рассеянного поляризованного излучения. Первый алгоритм, основанный на реализации итераций резольвенты соответствующего оператора переноса, позволяет оценивать параметр экспоненциальной асимптотики. Второй алгоритм, основанный на параметрическом дифференцирования по времени специального представления решения нестационарного уравнения переноса с поляризацией, позволяет оценивать параметры как экспоненциальной, так и степенной асимптотик.
-
Впервые аналитически получено значение экспоненциальной временной асимптотики интенсивности поляризованного излучения для бесконечного однородного пространства.
-
С помощью прецизионных расчетов впервые показано, что для ограниченных сред и различных типов рассеяния значения параметров экспоненциальной временной асимптотики в случае
учета поляризации и без ее учета не совпадают, то есть деполяризация потока излучения несколько запаздывает относительно перехода к асимптотике.
14. Получены значения параметров асимптотик для различных функционалов от интенсивности поляризованного излучения, в том числе для излучения, являющегося помехой обратного рассеяния при дистанционном зондировании полубесконечной атмосферы. Показано, что в этом случае тип рассеяния и поляризация не влияют на параметры асимптотики с точностью до статистической погрешности.
Достоверность полученных выводов подтверждается математическим анализом разработанных алгоритмов, проведением численных экспериментов для модельных задач с известным точным решением, контрольными расчетами альтернативными методами, сравнением результатов с исследованиями других авторов.
Практическая значимость работы. Для решения ряда важных прикладных задач существенным является то обстоятельство, что полученные в диссертации условия несмещенности и конечности дисперсии оценок параметрических производных функционалов от решения векторного уравнения переноса оказались практически совпадающими с аналогичными условиями для оценок самих функционалов. Критерий конечности дисперсии при этом связан с величиной спектрального радиуса матрично-интегрального оператора, определяющего матрицу вторых моментов стандартной векторной оценки метода Монте-Карло. Применение разработанных автором алгоритмов оценки этого спектрального радиуса позволяет сделать выводы о конечности дисперсии оценок, используемых при решении практических задач.
Разработанные новые математические методы и вычислительные алгоритмы определения параметров атмосферного аэрозоля по наблюдениям поляризованного солнечного излучения могут найти применение при интерпретации соответствующих экспериментальных данных.
Разработанные автором методы и алгоритмы оценки параметров асимптотики поляризованного излучения могут быть использованы при исследовании поведения практически важных функционалов на больших временах. Полученные в диссертации параметры асимптотики "помехи обратного рассеяния" могут быть использованы при
решении задач лазерного зондирования атмосферы и океана.
Личный вклад автора. Все представленные в диссертации новые результаты получены при непосредственном личном определяющем участии автора. Соавторы совместных работ Юрков Д. И, Трачева Н. В., Чимаева А. С. являются учениками Ухинова С. А.: он был научным руководителем их кандидатских диссертаций.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на семинарах Отдела статистического моделирования в физике ИВМиМГ СО РАН, на Международных семинарах по математическому моделированию (С.-Петербург; 1998, 2001, 2009 гг.), на Международном симпозиуме стран СНГ "Атмосферная радиация" (С-Петербург; 1999 г.), на Всероссийских конференциях по вычислительной математике (Новосибирск; 2002, 2007, 2009 гг.), на Международной конференции по математическим методам в геофизике (Новосибирск; 2008 г.), на Второй молодежной международной научной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск; 2010 г.), на Объединенном семинаре ИВМиМГ СО РАН (2010 г.).
Публикации. По теме диссертации в ведущих рецензируемых научных журналах автором с соавторами опубликовано более двадцати работ. Основные результаты диссертации содержатся в тринадцати работах в журналах из Перечня ВАК.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы и подразделы, приложения, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 235 страницах, включает библиографический список из 80 наименований работ, 20 рисунков, 41 таблицу.
