Введение к работе
Актуальность темы и объект исследования Широкий круг физических процессов и явлений в природе описываются кинетическими уравнениями переноса С точки зрения практики представляет интерес исследование линейных интсіродиффсрснциальньїх уравнений в частных производных первого порядка моделирующих рассеяние света в атмосфере и биологических тканях распространение рентгеновских лучей и гамма-квантов в неоднородных средах Эти уравнения используюіся также при описании диффузии нейтронов в веществе в теории плазмы в газо-кинетических моделях и в теории распространения звука
Большой вклад в исследование краевых задач для интегродифференци-альных уравнений переноса и в создание математически обоснованных вычислительных методов их решения внесли работы В С Владимирова, Е С Кузнецова Г И Марчука, С Б Шихова В И Лебедева, М В Масленникова Т А Гермогеновой, Г А Михайлова В И Агошкова Т А Сушкевич В В Смелова А Исимару К Кейза, С Чапдрасекхара и др
При описании процесса распространения излучения в веществе приходится сталкиваться с тем, что среда составлена из разнородных по своим радиационным свойствам материалов В терминах уравнения переноса это означает разрывность его коэффициентов На поверхностях разрыва ставятся условия сопряжения, которые накладывают дополнительные ограничения на функцию распределения плотности излучения Наиболее полно исследованы задачи для уравнения переноса с условиями сопряжения типа непрерывной склейки решения на границе раздела сред Даже в эшм одном из самых просі ых случаев локальная структура решения оказывается весьма сложной и на этапе получения общих качественных утверждений многие трудности обходятся рассмотрением достаточно широких классов решений
Рассмотрение более общих условий сопряжения позволяеі учшывагь отражение и преломление света на контактных границах а не только его поглощение и рассеяние на случайно распределенных микро-неодиородностях среды Модель основанная на уравнении переноса с обобщенными условиями
сопряжения, весьма актуальна и находит свое применение в атмосферной оптике, в лазерной медицине и в трехмерной компьютерной графике Несмотря па ее более чем полувековую историю и повышенный интерес в последнее время, теоретические результаты в этой области развиты в незначительной степени По всей видимости, это объясняется увеличивающейся сложностью поставленных задач
С еще большими проблемами приходится сталкиваться при решении обратных и экстремальных задач теории переноса излучения имеющих многочисленные приложения в медицине, физике и технике На сегодняшний день теория обратных задач весьма обширна и развита в работах Г И Марчука М В Масленникова, А И Прилеп ко, Д С Аниконова ГА Михайлова ЮЕ Аниконова, В Г Романова, В А Шарафутдинова, В Р Кирейтова, У Н Сул-тангазина и других Теория обратных задач отличается большим разнообразием посіаиовок задач, различными ограничениями и методами
Экстремальные задачи теории переноса излучения в основном рассматривались в рамках волновых моделей, применительно к теории синтеза оптических многослойных систем (А Н Тихонов А Г Свешников В Б Гласко А В Тихонравов и др)
Работа посвящена исследованию прямых обратных и экстремальных задач для стационарного линейного уравнения переноса излучения с различными условиями сопряжения на границах раздела сред
Цель работы Исследовать качественные свойства, решения прямых задач для стационарного уравнения переноса Сформулировать необходимые и достаточные условия единственности решения обратных задач для уравнения переноса и разработать соответствующие численные алгоритмы Рас смотреть проблему постановки и решения экстремальных задач в рамках кинетического подхода к описанию процесса переноса излучения
Методы исследования При изучении качественных свойств решения краевых задач применялись методы теории интегральных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных Исследование обрашых
задач проводилось в рамках теории условно-корректных задач и существенно основывалось на изучении локальных свойств решения прямой задачи При построении численных алгоритмов и проведении экспериментов использовались методы компьюісрного моделирования и некоюрыс разделы теории методов Монте-Карло
Научная новизна В диссертационной работе получены следующие новые результаты
Построена качественная теория краевых задач для стационарного уравнения переноса излучения с обобщенными условиями сопряжения на границе раздела сред
В рамках построенной теории, разработан и обоснован метод решения задачи томографии позволяющий определять отражающую и преломляющую границу раздела сред по потоку прошедшему через рассеивающий объект неизвестной структуры
Для задачи томографии в модели, не учитывающей эффекты отражения и преломления, получены необходимые условия единственности решения Предложены новые подходы для нахождения оптимального решения задачи томографии используя в качестве управляющей переменной энергетическую зависимость внешних источников излучения
Для полихроматического уравнения переноса разработан метод нахождения коэффициента ослабления по излучению известному на границе, основанный на использовании специального типа внешнего излучателя
Предложен новый подход к исследованию теоретических проблем оптики просветляющих и маскировочных покрытий случайно-неоднородных сред рассматривающий указанные проблемы с позиции решения экстремальных задач для уравнения переноса с френелевскими условиями сопряжения
Разработаны и программно реализованы следующие численные алгоритмы для определения границ неоднородностей по излучению прошедшему через среду, для решения оптимизационных задач рентгеновской томографии и оптической маскировки для нахождения коэффициента ослабления
уравнения переноса при разрывном типе внешнего источника
Теоретическая и практическая ценность При исследовании краевых задач для стационарного уравнения переноса излучения получены теоретически значимые новые результаты Изученные свойства решений прямых задач будут полезны при разработке и обосновании эффективности численных алгоритмов в атмосферной оптике астрофизике, компьютерной графике Предложенные методы решения обратных и экстремальных задач для уравнения переноса допускают практическое применение в неразрупгающем контроле промышленных изделий, в медицинской томографии и биооптикс
Исследования диссертации, позволили создать "Базу данных радиационных характеристик веществ, представляющих интерес в рентгенодиагностике" (http //sxray iam dvo ru) и запатентовать способ маскировки изделий [21], которые будут полезны специалистам при интерпретации данных полученных при рентгеновском облучении веществ с целью определения их внутренней структуры или в связи с созданием материалов с заданными радиационными свойствами
Исследования автора были поддержаны РФФИ (проекты №№97-01-00078-а, 01-01-00128-а 04-01-00126 05-07-90055-в) программами ведущих научных школ Российской Федерации (проект НШ-9004 2006 1) "Университеты России" (проект УР 03 01 002) и "Минобразования России" (проект Е02-1 0-128) грантами 6-го конкурса-экспертизы научных проектов молодых ученых РАН (проект №4), Конкурса проектов ДВО РАН (проекты №№ 05-Ш-А-01-101 06-Ш-А-01-014) Конкурса интеграционных проектов Дальневосточного, Сибирского и Уральского отделений РАН (проекты №№04-2-1-00-006 06-ІІ-СУ-01-001)
Апробация работы Основные результаты диссертации были представлены на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи" (Новосибирск 1992), на международном симпозиуме по компьютерной томографии (Новосибирск 1993) на Российско-японском семинаре "Дифференциальные уравнения в прикладной математики" (Хабаровск 1994) па международных
конференциях "Inverse Problems га Engineering Sciences/ (IPES-94, Osaka Japan 1994) "Mathematical Modeling and Cryptography" (PMMC-95, Владивосток, 1995), "Computational Radiology and Imaging Therapy and Diagnostics" (University of Minnesota, USA 1997), "Recent Developments m Theories and Numerics" (Hong Kong China 2002) "Тихонов и современная математика" (Москва, МГУ, 2006), на Дальневосточных математических школах-семинарах им академика Е В Зологова (Владивосток, Хабаровск, 1998-2006)
По материалам диссертации автор выступал на семинарах лаборатории обратных задач математической физики Института математики им С Л Соболева СО РАН (1993, рук д ф-м п ЮЕ Аниконов), отдела статистического моделирования в физике Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (1993, рук чл-корр РАН ГА Михайлов) отдела условно-корректных задач ИМ им С Л Соболева СО РАН (2004, рук академик М М Лаврентьев, чл-корр РАН В Г Романов), лаборатории математического моделирования фазовых переходов Института гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН (2004 рук чл-корр РАН П И Плотников), на семинаре "Обратные задачи анализа, математической физики и естествознания" кафедры математического анализа МГУ (2005 рук дф-ми А И Прилепко), на семинаре по "Математической физике" ИПМ им М В Келдыша РАН (2005 рук д ф-м н MB Масленников), на расширенном семинаре лаборатории механики деформируемого твердого тела ИАПУ ДВО РАН (2007 рук д ф-м н А А Буренин), на общеинститутских семинарах ИПМ ДВО РАН (2004 2007, рук чл -корр РАН Н В Кузнецов)
Публикации Всего по теме диссертации опубликовано 45 работ том числе три монографии [1-3], патент [21] и 13 статей [4 8,10-14,16-18 22-24] в журналах рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов докторских диссертаций
Личный вклад автора Из результатов совместных работ в диссертацию включены т.олько тс которые получены непосредственно автором либо те, в коюрых сіепень участия соавторов в исследовании равная Результа-
ты, представленные во второй главе диссертации получены совместно с Д С Аииконовым па паритетных началах
Структура й объем работы Диссертация состоит из введения 27-ми параграфов, структурно разделенных на пять глав, заключения и списка литературы из 266 наименования Работа изложена на 256 страницах и содержит 18 рисунков
