Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Краткий обзор литературы 13стр.
Глава 2. Гиббсовская модель гауссовских случайных полей
2.1 Векторные случайные поля 20стр.
2.2 Гауссовские векторные поля 25стр.
2.3 Линейно регулярные векторные случайные поля 27стр.
2.4 Гиббсовские поля с линейно квадратичным потенциалом 39стр.
2.5 Основная теорема второй главы 43стр.
Глава 3. Математическая модель переноса излучения в случайной среде
3.1 Пространство траекторий 48стр.
3.2 Распределение вероятностей на пространстве траекторий 50стр.
3.3 Теорема о вероятности выхода кванта из среды 52стр.
3.4 Случай, когда вероятность выживания кванта является случайной функцией 56стр.
3.5 Среднее число точек рассеяния 62стр.
Литература 63стр.
- Гауссовские векторные поля
- Гиббсовские поля с линейно квадратичным потенциалом
- Распределение вероятностей на пространстве траекторий
- Случай, когда вероятность выживания кванта является случайной функцией
Введение к работе
Теория гиббсовских случайных полей с непрерывным множеством значений вызывает большой интерес. Некомпактность пространств состояний приводит к дополнительным трудностям, и получить полное описание гиббсовских полей данным потенциалом здесь трудно. Поэтому представляется интересным рассмотреть частный случай линейно-квадратичного потенциала, приводящий к гауссовским случайным полям.
Марковские гауссовские случайные поля были рассмотрены еще в работе Розанова [4] (см. также работу Чея [7]). В статье Добрушина [1] был подробно изучен общий класс гиббсовских полей с линейно-квадратичным потенциалом, включающий гауссовские-гиббсовские поля и в частности марковские гиббсов-ские случайные поля. Эти исследования были продолжены в статье Кюнша [11]. Во всех цитируемых работах рассматривались случайные поля со скалярными значениями.
Вторая глава этой работы посвящена распространению этих результатов на векторный случай. Здесь применены традиционные методы линейной теории случайных процессов, а также был получен новый результат для линейно-регулярных векторных случайных полей. Сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие регулярности векторного случайного поля в терминах его спектральной меры. В скалярном случае эта задача была решена Розановым [4]. Оказалось, что рассматриваемая здесь задача существенно легче
4 аналогичной задачи об условиях векторного процесса в обычной «одностроной 4
формулировке».
В диссертационной работе также приводится условие сингулярности векторных случайных полей. Эти результаты распространяются для обобщенных случайных полей.
Теория переноса лучистой энергии представляет собой важнейший раздел теоретической астрофизики. С проблемой переноса излучения мы встречаемся также в геофизике (при изучении земной атмосферы и водных бассейнов).
В теории переноса излучения широко применяются вероятностные методы исследования. К ним относятся известный метод Соболева [18], вероятностная трактовка операторов отражения и пропускания, применяемые в сочетании с принципом инвариантности Амбарцумяна [19].
Следует отметить, что до сих пор эти методы использовались на «физическом уровне строгости». Математическое обоснование вероятностных методов теории переноса излучения представляет не только чисто математический интерес, но и может способствовать адекватному математическому описанию новых, более сложных задач переноса (например, задач переноса в случайно неоднородных средах).
Задачи теории переноса соответствуют малоизученному классу задач теории вероятностей, а именно задач случайного блуждания в непрерывных средах.
В третьей главе этой работы дается математическая постановка и реше
ние одного класса задач, хорошо известных и изученных в теории переноса.
Случай, когда параметры среды постоянны, исследуются довольно полно. В
случае, когда вероятность выживания кванта является случайной функцией от
среды, ситуация определенно усложняется. Работы, посвященные этому случаю
содержат принципиальную ошибку, (см. например [26], [23]) $-М&
В диссертации рассматривается случай, когда радиус корреляции є случайного процесса очень мал, по сравнению с длинной свободного пробега кван- J та. С точностью є2 получается формула для вероятности выхода кванта.
В работе получена формула для вычисления среднего числа точек рассеяния кванта. По теме диссертационной работы опубликованы 3 печатных работы ([27] - [29]).
Диссертация состоит из трех глав, которые делятся на 10 параграфов. Нумерация утверждений двойная: например, теорема 3.1 является первой теоремой главы 3. Нумерация формул в каждой главе отдельна. Список литерату- і/ ры содержит 30 наименований.
В первой главе дается краткий обзор литературы, которая была использована при написании диссертации.
Вторая глава посвящена гауссовским-гиббсовским векторным случайным
полям. В 2.1 дается описание векторных случайных полей = {, = ,...<-..,* є z"}
^) J
на целочисленной решетке Zv.
В 2.2 приводятся некоторые результаты из теории векторных стационарных случайных полей, необходимые для дальнейшего изложения. Строятся гильбертовы пространства Hv, порожденные случайными величинами t, tev, vcZv.
В 2.3 рассматриваются линейно-регулярные векторные случайные поля, т.е. поля, для которых выполняется условие
vcZ" v-конечно
Доказывается теорема о необходимом и достаточном условии регулярности векторных случайных полей в терминах спектральной меры. Для того, чтобы векторное случайное поле Е, = (<, = (,.,,...,,„)) со спектральной мерой F(-) было линейно-регулярным необходимо и достаточно совместное выполнение следующих трех условий:
Мера F(-) абсолютно непрерывна;
При почти всех А,є (-7і,7і]v ранг матрицы f(k) принимает некоторое постоянное значение т, где f(X) спектральная плотность поля ;
Существует m тригонометрических вектор-полиномов
Tj(X) = \Tj,k, k = \,...,n\, j = \,2,...m таких, что для почти всех Xe(-n,n]v ранг матрицы Т(Л) = {тм(Л)}н*~* равен m и сходятся интегралы \{т^Х)Г\Х)) J^X, j = \,2,.,m ,
7 где (тДА)/"1 (Я))' =bjW единственный вектор из FR" такой, что bj(^)F(A,)=Tj(A.)
j=l,...,m.
В 2.3 рассматривается и линейно-сингулярные случайные поля. Поле t, teZv называется линейно-сингулярным, если
vei/
где Н = НГ.
В этом параграфе доказывается теорема об условиях сингулярности векторного случайного поля:
Для того чтобы векторное случайное поле \ было линейно-сингулярным v
НеобхОДИМО И ДОСТаТОЧНО, ЧТОбы ДЛЯ ЛЮбоГО, НЄ раВНОГО ТОЖДеСТВеННО НуЛЮ \Л/
тригонометрического вектор-полинома Т(к) такого, что T(A,)eR(7i) для почти vv
всех по мере Лебега Xe(-n,n]v выполнялось условие ^
\{т(Х)Г\Х))т(ЩХ,= со,
v/
где, f(X) плотность абсолютно непрерывной компоненты спектральной меры v
F(-).
V/
В конце параграфа рассматривается стационарное в широком смысле век- j торное обобщенное случайное поле ^=^ ,
странстве D(RV) быстро убывающих функций.
Поле 4 называется линейно-регулярным если ,
veR' ^-компактно
8 где Hv, vcR" пространство порожденное величинами , j=l,2,...,n для которых носитель лежит В V.
Спектральной мерой такого поля является мера F(-) умеренного роста со значениями в Fn на с-алгебре В борелевских подмножеств множества Rv.
Формулировки и построение в этом случае в основном параллельны соответствующим формулировкам и построениям, для дискретного случая.
В 2.4 дается описание гиббсовских полей с линейно квадратичным по-тенциалом. Пусть heR", a U(t), teZ-матричная функция размерность nxn такая, J у 4ToU(t)=U(-t)H
1Ио|<„
leZ"
где норма матрицы определяется, как ,
||С/(0||=тах|^,(0|.
С=1,„.,л
f" " -рг ,.„? ^
„,,,/ Пусть Y(U)cX множество функций x=(xt, teZv) такая, что xteRnH
где;
Yp(t-s)x\<, seZv.
feZ"
Введем гиббсовскую плотность
{s,t}cv\ ) ^ Ш\ J \ sev J \ teZ'/v
Zv«= /ехр{-ЯГ&/*ІЧ
(R)v Будем называть векторное случайное поле с распределением вероятностей Р (h,U) гиббсовским, если
P(Y(U))=1 и при любом vi)v существует условная плотность pv(-/X) и для Р - почти
всех хєХ и Pv(-/X) - почти всех Xv Є [R")
Vv(xv/x) = p;u(xv/x) . Пусть A(h, U)cX множество всех функций a=(at, teZv)eX таких, что
YU{t-s)a,=h, seZv .
leZ'
Будем называть сверткой Р=Рі*Рг двух распределений вероятностей слу-
О 9
чайных полей распределение вероятностей <^ЄЛ ґ
Р(Л)=/р,'(Л)Р2№), АеВ.
В 2.5 дается формулировка и доказательство основной теоремы первой главы.
Теорема 2.3. Для того, чтобы совокупность (h, U) - гиббсовских полей
была нелгуста необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие v
jSplqik)]'1 dk(ca
и множество A(h, U) было недіусто. При этом распределении вероятно- \> '
—J
стей Р будет (h, U) - гиббсовским в том и только том случае,, когда p=pf*p1.
10 где распределение вероятностей Р1 такое, что
р'(Л(Л,1У)) = 1
Третья глава посвящена диффузному отражению кванта от одномерной
среды, параметры котороппіибо постоянны, либо случайны.
Здесь рассматривается задача о рассеивании света в однородной среде. Пусть имеется одномерная среда [о,оо) и со стороны границы {о} на среду падает квант. Будем считать, что при элементарном акте рассеивания, происходящем в среде квант проходит расстояние г с вероятностью е'т. После поглоще-
вероятностью - квант излучается в сторону границы {о}.
В 3.1 описывается пространство Q всевозможных траекторий кванта входящего в среду [о,оо) через границу {о}. На пространстве Q строится боре-левская <т-алгебра В и задается мера m{d(o). Каждой траектории сопоставляется некоторое вещественное число 1(a), которое будем называть длиной траектории
d),o)eQ.
В 3.2 задается распределение вероятностей на пространстве Q. Доказывается (см. лемма 3.1), корректность такого введения. Плотность рх(со) этого распределения вероятностей относительно меры m{doi) задается формулой
,W-
>дЛК(ш)
e'tM при coeQ1
N(a>)-i
Ш (i_A>-'»2W при соеQ2 ,
О при N(co) = 0
где Я є (О. l), N(a>) число точек поглощения в траектории со. ^
В 3.3 доказывается следующая
Теорема. При А є (O.l) имеет место равенство ?х (о1) = Л"1 (2 - А - 2Vl - Я)
где Q1 - э/яо множество всех траекторий которые выходят из среды [0,оо) че- v
-V
рез границу {о}.
Вероятность Рд(п') будем называть вероятностью выхода кванта из среды
[0,«).
В 3.4 рассматривается неоднородный случай т.е. предполагается, что вероятность выживания кванта является случайной функцией Х(х), х є (0,оо), такой что, при любом х0є[0,оо) случайная величина Х(х0) имеет плотность f(X) и
среднее значение
_ і
Я = \Xf{x)dX не зависит от х0 є [0,а>).
Вводится обобщенное пространство траекторий (&,в) и с помощью плотности распределения
П^^/Ян...^^
?W=«
JV-l
П[у^(я,/ям....лЖ^/^-,>-/гй
ири со є Q2 ,
/три
і/
^вводится распределение вероятностей на (&,В) Здесь ф{Х,ІХІЛ Я,) услов- \у
ные плотности случайной величины Я(х,.) при условии
Я(х,.,)=Ям / = 1, ,JV-1.
При некоторых дополнительных условиях для вероятности выхода кванта РДО1) получается следующий результат
Р)=Ф^еіЖф'№\ * #-
const при є -» 0.
Здесь г - это радиус корреляции случайного процесса Л(х), л: є [0,а>)
В 3.5 получаем формулу, для среднего числа рассеяния кванта в одно-
родной среде: N = Я х —^—'-
^7
Гауссовские векторные поля
Векторное случайное поле с распределением вероятностей Р называется гауссовским, если его характеристический функционал имеет следующий вид (?)= Jexp{/{f(x) )Р(Л) = Г 1 (2Л9) = ехр--Яр(р,р) + /Л (р) 1- єФ где У и Я7", соответственно среднее значение, и корреляционный функционал этого поля.
Пусть Р- распределение вероятностей случайного поля и К = {1,2,...л}хК, Vє і/. Будем обозначать через Yv{Alx),AeBv,xeX сужение на а-алгебру Bv условного распределения вероятностей относительно а-алгебры В порожденного состоянием Р, т.е. определенную почти всюду по Р мере функцию от хеХ, измеримую относительно а - алгебры В , значениями которого являются вероятностные меры на ст-алгебре Bv такую, что Р({хєX,xv є А}Г\В)= j?v(A/x)?(dx), (2.20) в где А е Ву, В є В .
Если для почти всех хеХ мера v(-/x) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на \R"J, то плотность меры РД-/х) по мере Лебега будем называть условными плотностями и обозначать pv(xv Іх\ху є (R"J ,х є X.
Лемма 2.1. ([8]) Пусть Р - это распределение вероятностей векторного гауссовского случайного поля. Тогда при любом V euv суэ/сение на Bv условного распределения вероятностей Ру{-/х) относительно а - алгебры В-„ имеет характеристическую функцию вида X{X„teVlx)= \ expf%(Л.пфу))Ру(ху/х)\ = = ехРЦ Х(в;(/,5К,А,) (А., М+ І (2.21) [ t,stV J т.е. является гауссовским с матрицей ковариации Bpv(s,t)={BpjJV(s,t)}s, teV, и вектором средних значений [div +Ap,t& V). Векторное случайное поле называется минимальным, если ?» П Ш (2.22) при всех {j,t}eZv.
Лемма 2.2. (см [2]) Для того, чтобы векторное ковариационно-стационарное поле со спектральной плотностью /(&), є (-ял-]" было минимальным, необходимо и достаточно, чтобы почти всюду существовала обратная матрица f x{k), и \Sp-l(k)dk«x), (2.23) где Spf ] (к)- это след матрицы / (&). При этом af = B(l)(t,t)=(2 r // ( .(-» г #24 и 4.« - ЫагГ Л )) Г2.25; Векторное случайное поле ={,,,...„,}, /eZ" называется линейно регулярным, если П н=, Vet/ (2.26) где К = {1,2,..л}хК.
Введем некоторые понятия, нужные для формулировки и доказательства необходимого и достаточного условия линейной регулярности векторного случайного поля в терминах спектральной меры.
Пусть F„ - пространство п - мерных самосопряженных, положительно определенных матриц F = { уД д. Ведем норму \F\\,F Є Fn равную наибольшему собственному значению матрицы F, Пусть R(F)=FR" , (2.27) образ пространства R" при преобразовании матрицы F, и пусть базисом этого пространства являются ненулевые собственные векторы матрицы F.
Обозначим через g(F) размерность пространства R(F). Ясно, что g(F) = rangF. (2.28)
При aeR(F) обозначим через (aF 1) единственный вектор beR(F) такой, что bF = a. Положим также Я(/(Л)) = Л(А), д(/{л)) = М є(- ]"(2-29) где /(я) спектральная плотность меры F() (см. 2.12). При любом Хе{-лк\ обозначим через P(/l) оператор проектирования на подпространство R{x) заданный соотношением аР{Я) = {а/{Х)Г1(я))\аеС", (2.30) где С- совокупность комплексных чисел, а С"- это п- мерное декартово произведение пространств С.
Будем называть тригонометрическим полиномом функцию вида Г(Л)=С,еП Яе(-ш]\ (2.31) где VGUV, QeC. Множество v будем называть основанием полинома. Тригонометрическим вектор-полиномом будем называть функцию со значениями в С, каждая компонента, которого является полиномом вида (2.31). Основанием вектор-полинома вида будем называть объединение оснований каждой компоненты.
Гиббсовские поля с линейно квадратичным потенциалом
Пусть hєR", a u(t), teZy nxn -матричная функция такая, что U(t)=U(),teZv и ЕИ , (2.51) leZ" где норма матрицы U(t)=pj,(t)), j,l = h ,п определяется как = maxUЦ , j = 1,...я, / = \...п teZv Пусть далее Y(u)СXмножество функций = ( ,,/єг")таких, что х, є і?" и YP{t-s)4 s r (2.52) reZv где норма вектора х, є R" определяется как лг, = г \x)t . Введем энергию взаимодействия SjitV l leV \ szV J \si=V (Z \v J где xv є(xt,tє F)Є[R" j,x = [xtieZ,), veu n гиббсовскую плотность ?M(x, /x) = Z? ехр{-ЯГ)(ху /4 (2.54) где Z„(x)= Гехр{-Я? у)&/ Ю . (2.55) И Ясно, что Zy(x) 0 для всех КЄУ" и xeY(u) тогда и только тогда, если при всех V є і/ EM -jfc.Zjx), Z O, Z,«sC". (2.56) Если положим #() = Y, U(t)e - \ то (2.56) можно записать в виде teZ \(?{k)q{k),P{k))ik 0, (2.57) где P( )=z/(4z, 0,K6E/\ (2.58)
Отсюда следует, что [см [5]], матричная функция q(k) имеет почти всюду строго положительные значения. В дальнейшем будем рассматривать только потенциалы, для которых выполнено условие (2.57). Выражение (2.54) перепишем в виде р№& / )= Ы" teUyf xexpji l(/(/-5Xx, -а;(х))) xs -«;( )}, (2.59) где dett/ -детерминант матрицы Uy ={uy(t-s),t,seV}, a a](x),teV определяются из системы линейных уравнений U(t-s]a](х) + YJU(1-sh = h, seV. (2.60) teV leZ W Будем называть случайное векторное поле с распределением вероятностей Р, (h,U) гиббсовским если Р(Ф)) = 1- (2.61)
При любом V є і/ существует условная ПЛОТНОСТЬ ру ( їх) и для Р - почти всех хеХ и у(»/х) - почти всех х„ є{R"J Vy(xjx) = p (xjx) (2.62)
Пусть Л(/г,[/)сX множество всех функций a = (a,,teZv)eX таких, что [/(/- ,=//, s є Г (2.63) l(=ZV Будем называть сверткой Р = Р, х Р2 двух распределений вероятностей случайных полей распределение вероятностей ?{A)=\?la(A)?2{da),AeB, (2.64) А где 1{А) = 1(А-а), АеВ. Положим f(k)={2тг)-у [д{к)У, (2.65) где [qik)) 1 - это обратная к матрице q(k).
Если \Sp[q{k)]Adx , (2.66) то существует стационарное гауссовское поле с параметрами (О,/). Его распределение вероятностей будем обозначать через Р7. Говорят, что систем векторов \pj4{j,t)eZv) образует слабый базис в пространстве 4(Р) если любой вектор ае 4(Р) единственным образом представим в виде = I.CM, (2.67) где Cj{t), (j,t)eZv- действительные числа, а ряд (2.67) сходится в слабом смысле в пространстве 4(р) Из теоремы 2.1 (см. также [2]) следует, что при выполнении условия (2.66) системы векторов (/,/)е2"}образуют слабый базис в пространстве 4(р) ПРИ этом, если a = Zg, g(k) = (gi(k),...,gn(k)), то функция gj(k) \ j n интегрируемы по мере Лебега и при этом С»=(2 Г jgjik dk (2.68)
В соответствии с определением (2.21), при условии (2.66) т.е. для линейно регулярных полей Bp(s,t)=lmB(s,t\s,teZv (269)
В этом параграфе сформулируем и докажем основную теорему второй главы. Теорема 2.3. Для того чтобы совокупность {h,U) - гиббеовских полей была не пуста необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие \Sp[q(k)Ydk оо (2.70) (-«Г и множество A(h,u) было не пусто. При этом распределение вероятностей Р будет {h,U) гиббсовским в том и только том случае, когда Р = Р! Р\ где распределение вероятностей Рх такое, что P\A{h,U))=\ (2.71)
Доказательство. Проверим, что при условии (2.70) распределения вероятностей f является (0,и) гиббсовским. Из (2.51) следует (2.70) и поэтому из лемм 2.3 и 2.4 и из формулы (2.67) следует, что существует индуцированная состоянием Р} условная плотность
Распределение вероятностей на пространстве траекторий
Сдвиг f-"(xv їх) распределения вероятностей f , при условии (2.70) имеет плотности вида pfv-a{xr/x)=pfv{xv-av/x-a),xve(R"J (2.78) Из формулы (2.22) следует, что при условии (2.74 ) разность Hlh-U){xv їх)- 4h u\xv -ajx-a) (2.79) не зависит от xv и поэтому рМ{х,/х)=Р}кЛ{х, -ajx-a), х, є(л")Г, хеХ (2.80) Выполнение условия (2.61) для PLa следует из выполнения этого условия Pf и из того, что ряд в (2.76) сходится абсолютно. Тогда из формул ( 2.79 ) и (2.80) вытекает, что при условии (2.63) поле с распределением вероятностей виде р(а f) - это распределение вероятностей (h,U) гиббеовских полей.
Покажем теперь, что условие (2.70) необходимо для существования (h,U) гиббсовских полей. Пусть потенциал таков, что интеграл в (2.70) расходится. Обозначим через bJV(t), teV, j = \,...,n диагональные элементы матрицы, обратной к матрице, {u(t-s),s,teV} т.е. дисперсии случайных величин ;, = ,_,, задаваемых плотность распределением вероятностей (2.59). Положим дт{к)-І„+д(к),кє(-ля\ /и = 1,2 (2.81) т где 1п это единичная матрица размерности пхп. Обозначим через Рри плотность распределения вероятностей задаваемую формулой (2.77), где коэффициенты U(t-s) заменимы на Um(t-s), a Um(t) - это коэффициенты Фурье функции qM(k\ke(-nn]\
Пусть й„ - дисперсии случайных величин, xJt задаваемые плотностями РГ Тогда bl(thbJt),teV.veU у = !,...,„ {2Щ т- х) Из доказанной части теоремы следует, что blv(t)=B? (/,/), (2.83) где fm(k)=—7 m( )j а fu У-ый диагональный элемент матрицы fm{k),ke(-nn]. Из (2.82) следует (см. [9] 4.12), что /;« /;+1(4М- 4. (2-84)
Тогда (см. [1] лемма 4.2 2) последовательность bjv(t) монотонно возрастает пошив силу утверждения (2.81) следует, что bjy(t) blv(t), teV, VeU\ (2.85) Для распределения вероятностей Рг из Теоремы 2.3 следует, что И Л МЙ //;( (2.86) „ lim6,v( )=oo __ч Тогда ЛА; (2.87) Г- оо
Пусть теперь Р - некоторое (h,U) гиббсовское распределение вероятностей. Из формул (2.59) и (2.62) следует, что, при любых v є vv, t є v случайная величина (х) = а;( ) + (х), (2.88) где д]{х) - ,( )-а," ( ), имеет гауссовское распределение вероятностей с средним О и дисперсией #А(0слагаемые в (2.88) независимые. Ясно, что P{%\ {Bjy(t)yi) P{g\t) {BJV{t))Yl и левая часть этого неравенства не зависит от v. Поэтому (2.87) противоречит тому, что Р(, С) -»0 при С - оо. Это противоречие доказывает необходимость условия (2.70).
Предположим теперь, что условие (2.70) выполнено, и перейдем к выводу утверждения о необходимости условия (2.71). Из известных общих фактов теории гиббсовских полей следует, что любое (h,U) - гиббсовское поле может быть получено, как взвешенное интегральное среднее регулярных (h,U) гиббсовских полей и так как операция взятия таких средних не выводит из класса полей вида (2.64), то соотношение (2.64) нужно проверять лишь для регулярных полей.
Случайное поле с распределением вероятностей Р называется регулярным, если Р(А) принимает лишь значения 0 или 1 на множествах АеВа, где а- алгебра Яи представляет собой пересечение т- алгебр HVh по всем
Доказательство теоремы 2.3 завершает следующее утверждение (см.[1] продолжение 2.3). Любое регулярное (h,U) гиббсовское случайное поле с распределением вероятностей Р является гауссовским ковариационно стационарным полем со спектральной плотностью f и средними значениями а таких, что (а/\ / є Zv)eA(hU).
Случай, когда вероятность выживания кванта является случайной функцией
Обозначим через QN, N-кратное декартово произведение пространств (0,1), а через в\ а-алгебру борелевских множеств на QN. Положим также 6k=aQ" (3.34) У = ІІПІ (3.35) N20 л л П = П!ип2 (3.36) л Ясно, что в каждом пространстве Q j, N 0, j=l,2 можно определить 2N-мерная мера Лебега dxidx2..dxNdA,,dA,2..dX,N, на борелевской с-алгебре Вк=« п- (3-37)
Тогда из представлений (3.35) и (3.36) следует, что эту меру можно про должить на пространствах Обозначим эти меры соответственно /Л {da х dl) и m{dco х dX),
Пространство Q,$ будем называть обобщенным пространством траек тории. Пусть Цх), хє[0,оо) некоторая случайная функция и 0 (х) 1 при любом хє[0,оо). Предположим, что в каждой точке Хо случайная величина Х(хо) имеет плотность распределения f(X), А,є(0,1) такой, что среднее значение 1= JVUH (3.40) не зависит от Хоє[0,оо).
Будем предполагать, что существуют все условные плотности распределения вероятностей случайной величины Х(х\), при условии, что Л.(ХІ_І)=Л, и,... A,(xi)=Xi и для краткости обозначим эти функции как (р ( / .,,...,/1,). ( А Введем распределение вероятностей на пространстве траекторий Q,$ , плотности которого относительно меры т\й(о) имеет вид й при a kQ} пЩЛ/Ям Л У" =i \ L ) при N( y)= 0 o; где под символом (p =(Я,/Я0) будем подразумевать плотность f( i).
Теперь докажем, что мера, задаваемая плотностью (3.41) является веро ятностной мерой.
Вероятность множества Q , Px(Q ) будем называть вероятностью вы хода кванта из среды [0,оо), через границу {0}.
Лемма 3.5. Если случайный процесс Я={Я(х), хє[0,ю)}. Такой, что случайные величины Я(х]) и Я(х2) независимы, при любом Xj, х2 є[0, х ), тогда
Из теоремы 3.1 следует утверждение (3.6). Лемма 3.3. Пусть случайный процесс п такой, что из условия Л(х,)=Л следует, что Л(у)=Я, при всех уе[о,о), тогда / A(Q )= )Рх М/М Ґ-ЗД
Доказательство следует из теоремы 3.1 и из теоремы Фубини. Формулу (3.48) можно переписать в таком виде РФ ЬЕІІ 1. (3.49) лг «V 2 где Я" = \xNf(X)dX (3.50) о
Теорема 3.2. Пусть выполняются следующие два условия, при є «1 1- ф(Х)= f{X\ если \x,-Xj\ e, 7 = 1,2....,./ = 1,2, ,... 2. Условное распределение случайной величины Я(х)=Л, при условии Л(у) = Я, когда \х - у\ е.
Доказательства равенств (3.58) и (3.59) аналогичны, поэтому докажем только (3.58) По определению \\ e- (Mdco) r—\N Ф1.)-І J Nil л\ \ (3.60) где 4e = \u)/coenlc,N{o)) = N} Простое вычисление показывает, что lU)e- M{dco)=X J U)e l MM{dco)+o{2) (3.61) Подставляя равенство 3.61 в равенство 3.60 получим: —\N p-Mh H\ M h42), "aoJA что и доказывает равенство (3.58) Теперь учитывая равенства (3.58), (3.59), (3.57) и (3.54) получим утверждение теоремы 3.2.
Среднее число точек рассеяниям Пусть в одномерной среде [0,оо) происходит многократное рассеяние описанное в 3.1,3.2
Обозначим через N среднее число точек рассеяния. Тогда квант выходит из среды через границу {о}. Ясно, что N= \N(co)Px(co)m{dco) (3.62) n1 Тогда имеет место следующая теорема.
