Содержание к диссертации
Введение
1. Построение модели пространства-времени вейля-картана на основе калибровочно го принципа 25
1.1. Группа Пуапкаре-Всйля 25
1.2. Теорема Нетер для группы Пуанкаре-Вейля 31
1.3. Принцип локальной инвариантности 33
1.4. Структура лагранжиана взаимодействия с калибровочным полем 38
1.5. Лагранжиан свободного калибровочного поля. Уравнения калибровочного поля 44
1.6. Взаимодействие калибровочных полей 49
1.7. Геометрическая интерпретация 50
1.8. Лагранжиан гравитационного поля 56
2. Вариационный формализм в постримано- вых теориях гравитации (тетрадный формализм и формализм внешних форм) 59
2.1. Вариационный тетрадный формализм в пространстве L(g, Г)
для. общего квадратичного лагранжиана 59
2.2. Дифференциальные тождества для вариационных производных в аффинно-тетрадном вариационном формализме 69
2.3. Вариационный тетрадный формализм и уравнения гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана 73
2.4. Вариационный метрический формализм и тождество Гаусса-Бонне в пространстве Вейля-Картана 81
2.5. Формализм внешних форм в постримановых пространствах 86
2.6. Лемма вариационного исчисления в формализме внешних форм 89
2.7. Вариационный формализм на языке внешних форм в пространстве Римана-Картана 93
2.8. Уравнения гравитационного поля для квадратичных лагранжианов в формализме внешних форм в пространстве Вейля-Картана 99
2.9. Инварианты Понтрягинаи Эйлера, члены Черна Саймонса
в пространстве Вейля-Картана 105
3. Модель идеальной спиновой цветовой жидкости 112
3.1. Лагранжева плотность цветовой жидкости 112
3.2. Уравнения движения цветовой жидкости 116
3.3. Уравнения цветового поля и тензор энергии-импульса цветовой жидкости 119
3.4. Гидродинамическое уравнение Эйлера для спиновой цветовой жидкости 123
3.5. Уравнения движения частицы со спином и цветовым зарядом в цветовом поле в пространстве Римана-Картана 126
3.6. Обобщенное уравнение движения вектора спина частицы в цветовом поле в пространстве Римана-Картана 127
4. Модели материальных источников немет-ричности пространства-времени 131
4.1. Модель идеальной спин-дилатационной жидкости в про странстве Вейля-Картана 131
4.1.1. Динамические переменные и связи 131
4.1.2. Лагранжева плотность и уравнения движения жидкости 134
4.1.3. Законы движения тензора спина и дилатационного заряда 136
4.1.4. Тензор энергии-импульса идеальной спин-дилатационной жидкости 137
4.1.5. Гидродинамическое уравнение Эйлера 138
4.1.6. Движение частиц в прострапстве Вейля-Картана . 139
4.2. Модель идеальной гипермоментной жидкости 142
4.2.1. Динамические переменные и связи 142
4.2.2. Лагранжева плотность и уравнения движения жидкости 145
4.2.3. Закон изменения тензора гипермомента 146
4.2.4. Токи гипермоментной жидкости как источники гго-стриманова пространства-времени 147
4.2.5. Гидродинамическое уравнение Эйлера для гипермоментной жидкости 148
4.2.6. Особые случаи движения гипермоментной жидкости 151
5. Некоторые следствия модели пострима-новой структуры пространства-времени 155
5.1. Плоские волны кручения в пространстве Римана-Картана 155
5.2. Модель эволюции Вселенной со сгшн-дилатационной темной материей 163
5.2.1. Анализ Г-уравнения гравитационного поля 163
5.2.2. ^-уравнение поля в однородной и изотропной космологии и обобщенное уравнение Фрид мана-Л ем етра 167
5.2.3. Общие свойства эволюции вселенной с дилатациониой материей 171
5.2.4. Решения обобщенного уравнения Фридмана-Леметра на различных стадиях эволюции вселенной 174
5.2.5. Моделирование перехода от стадии инфляции к фридмановской стадии эволюции вселенной 178
Заключение 182
Литература
- Теорема Нетер для группы Пуанкаре-Вейля
- Вариационный тетрадный формализм и уравнения гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана
- Уравнения цветового поля и тензор энергии-импульса цветовой жидкости
- Законы движения тензора спина и дилатационного заряда
Введение к работе
Современные астрофизические и космологические модели строятся на основе идущей от Эйнштейна [1]-[5] фундаментальной идеи о том, что геометрическая структура пространства-времени совместна со свойствами материи, заполняющей пространство-врем я, в том смысле, что динамика материи влияет на метрику и связность пространственно-временного многообразия и, в свою очередь, зависит от геометрических свойств пространства-времени. В рамках теории гравитации Эйнштейна в пространстве Римана созданы различные астрофизические и космологические модели [6]-[9|, достаточно успешно описывающие основные структуры наблюдаемой части Вселенной.
Однако, современные достижения наблюдательной космологии [10]-[16] привели к формированию представлений о существовании темной материи, плотность которой на порядок превышает плотность барион-ной светящейся материи, из которой сформированы звезды и светящаяся компонента галактик. Именно темная материя во взаимодействии с превосходящей ее в два раза по плотности положительной энергией вакуума определяет динамику эволюции Вселенной. Другое важное следствие из современных наблюдательных данных состоит в понимании того, что наступил конец фридмановской стадии в развитии Вселенной., характеризуемой замедлением расширения Вселенной, и началась постфридма-новская стадия "второй инфляции", при которой расширение с замедле-
ниєм сменилось расширением с ускорением, причем возможен переход к экспоненциальному расширению.
Решение этих новых проблем многие авторы видят в обобщении теории гравитации на пространства с более сложной геометрической структурой: пространство Римана-Картана с кривизной и кручением и общее аффинно-метрическое пространство с кривизной, кручением и неметрич-ностыо, в частности, пространство Вейля-Картана с неметричностью вейлевского типа. В космологических теориях, развитых в пространстве Римана-Картана [17]—[23], решается проблема начальной космологической сингулярности либо за счет использования источника в виде идеальной спиновой жидкости Вейссенхоффа-Раабе [17], [18] (по поводу жидкости Вейссенхоффа-Раабе см. [24], [25]), либо за счет вкладов от квадратичных лагранжианов [20], либо за счет учета квантовых добавок в эффективное действие [26]. В других работах проводилось построение космологии в пространстве Вейля-Картана и в общем аффинно-метрическом пространстве [27]-[39]. Во всех указанных работах в качестве источников гравитационного поля фигурирует материя с обычными свойствами, как правило, обычная идеальная жидкость или идеальная спиновая жидкость Вейссенхоффа-Раабе. В работах [40], [41] использовалась конформная теория гравитации для объяснения ряда современных наблюдательных данных. Появилось целое направление, названное "нериманова космология" [42], которое автор предпочитает называть "постриманова космология".
Вместе с тем, причиной возможных отклонений от римановой структуры и появления постримановых свойств у пространства-времени могут служить материальные среды, обобщающие обычную идеальную жидкость и идеальную жидкость Вейссенхоффа-Раабе на наличие бо-
лее сложных внутренних степеней свободы. К ним относятся построенные автором модели идеальных сред с внутренними степенями свободы, обобщающие идеальную спиновую жидкость Вейссенхоффа-Раабе: модель релятивистской идеальной цветовой жидкости с учетом спин-цветового взаимодействия [43)-(48]1. каждая частица которой обладает спином и неабелевым цветовым зарядом (Глава 3), модель идеальной спин-дилатационной жидкости [50], [51], частицы которой наделены спином и дилатационньш зарядом (Глава 4), модель идеальной гипермо-ментной жидкости (Глава 4) [52]-[56]> [58]—[62], [64]. [65], [67] (предложенная позднее также другими авторами [57], [63] и [66]), частицы которой наделены внутренним гипермоментом.
Вместе с некоторыми другими исследователями [70]-]72], автор развивает в работах [73]—[81] точку зрения о том, что возможные отклонения от римановой структуры и появление ностримановых свойств у пространства-времени, в частности, возникновение постримановой космологии, должны быть обусловлены существованием материи с указанными выше внутренними степенями свободы, которая заполняет пространство-время, генерирует его структуру и взаимодействует с этой структурой. В качестве такой материи В.Г. Кречетом и В.Н. Мельниковым [68] и В.Г. Кречетом [69] была рассмотрена идеальная жидкость с параметрами, обладающими трансформационными свойствами относительно прямого произведения группы Лоренца и группы дилатаций. Подобная жидкость вводит в пространстве Вейля дилатационное поле, источником которого служит величина є + р. В [70] предлагалось использовать идеальную гипермоментную жидкость в общем аффинно-метрическом пространстве, а в [71], [72] рассматривалась идеальная беседе помощью подчеркивания обозначена литература, принадлежащая автору
пиновая жидкость, частицы которой наделены связанным с масштабной симметрией "зарядом Прока". Автором предложено в качестве источников постримановых свойств пространства-времени рассматривать идеальную спин-дилатационную жидкость [73j-[81j. Также для этой цели автором наряду с другими исследователями [70] предлагалось использовать идеальную гипермоментную жидкость в аффинно-метрическом пространстве.
Взаимодействие указанных моделей жидкостей с геометрией пространства-времени таково, что при наличии идеальной жидкости со спином и неабелевым цветовым зарядом возникает модель пространства-времени с постримановой структурой Римаиа-Картана, идеальная спин-дилатациониая жидкость приводит к постримановой модели пространства-времени со структурой Вейля-Картана, в то время как идеальная гипермоментная жидкость приводит к постримановой модели общего аффинно- метрического пространства.
В Главе 1 свойства геометрии Вейля-Картана обосновываются, исходя из идей калибровочной теория поля. Как показано в целом ряде работ [96]—[122], [90]—[92] требование локальной калибровочной инвариантности является конструктивным принципом, который в соединении с естественными физическими требованиями позволяет построить содержательную физическую теорию поля в ее классическом аспекте. Интерес к калибровочной трактовке гравитационного взаимодействия не ослабевает вплоть до настоящего времени [123]—[135]. В Главе 1 на основании общих принципов теории калибровочных полей [91| развивается калибровочная теория поля, ковариаптная относительно группы Пуапкаре-Вейля [132], [135]. Рассмотрение этой группы связано с тем, что физика высоких энергий выдвигает требование локальной масштабной инвари-
антности теории, которая в математическом смысле эквивалентна требованию инвариантности относительно группы Вейля растяжений (дила-таций) пространства. В связи с этим целесообразно рассматривать расширение группы симметрии теории поля от группы Пуанкаре до группы Пуанкаре-Вейля.
Процедура локализации состоит в следующем. Рассмотрим интеграл действия системы спинорных полей, инвариантный относительно группы Пуанкаре-Вейля с постоянными параметрами, и потребуем, чтобы этот интеграл действия стал локально калибровочно инвариантным по отношению к группе Пуанкаре-Вейля, то есть инвариантным относительно действия этой группы с параметрами, являющимися произвольными функциями точек пространства-времени. Тогда на основании использования I и П теорем Нетер можно определить, как должна видоизмениться лагранжева плотность и физическая теория поля в целом, чтобы калибровочная инвариантность имела место. Калибровочное поле, соответствующее подгруппе Вейля (подгруппе дилатаций), названо дилатацион-ным полем. Это поле описывается вектором Вейля. Его напряженность представляет собой тензор сегментарной кривизны, который появляется в теории наряду с тензором кривизны и тензором кручения. Источником дилатациоиного поля является дилатационный ток внешних полей.
Результатом построенной теории является обнаружение структуры тетрадных коэффициентов, а именно того, каким образом они содержат калибровочные поля, соответствующее локализованной подгруппе трансляций (t-поле), локализованной подгруппе Лоренца (r-поле) и локализованной подгруппе дилатаций (d-поле). Этот результат может быть полезен при построении квантовой теории гравитационного поля. Показано, что геометрической основой гравитационного поля должно являть-
ся постриманово пространство Вейля-Картана с кривизной, кручением и немстричностью вейлевского типа. Выяснена общая структура лагранжиана гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана и получены соответствующие уравнения гравитационного поля. Особенность данного лагранжиана состоит в том, что при сохранении калибровочной инвариантности он допускает наличие ненулевой массы у вектора немет-ричности Вейля, а тем самым и у дилатационного калибровочного поля. Это обстоятельство говорит о том, что калибровочное поле, вводимое при локализации группы дилатации, не является электромагнитным полем (в отличии от первоначальной идеи Вейля), а полем другой природы, на что указывалось в работах [136]-[138]. Наличие массы у поля Вейля может сыграть роль в интерпретации современных наблюдательных данных на основе использования постримановых космологических моделей (см. Главу 5). Некоторые слагаемые в данном лагранжиане имеют структуру лагранжиана Хиггса и тем самым могут играть определенную роль при спонтанном нарушении дилатационной инвариантности и образовании масс частиц [95], [139].
Один из фундаментальных методов построения математических моделей состоит в использовании вариационных принципов, адекватных изучаемым моделям [140]. Вариационные методы находят широкое применение для решения различных задач математического моделирования (см., например, [141]—[143]). Построение моделей гравитационного взаимодействия в пространстве-времен и с постримановьши геометрическими свойствами требуют развития новых (по сравнению с пространством Римана) вариационных формализмов. Если вариационный формализм в пространстве Римана-Картана (см. [87]—[91] и цитируемую там литературу), а также в общем аффинно-метрическом пространстве [93]-[95]
достаточно хорошо развиты, то построению вариационного формализма в пространстве Вейля-Картана до последнего времени не уделялось достаточного внимания. Уравнения гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана как правило получались как частный случай уравнений гравитационного поля в общем аффинно-метрическом пространстве при наложении на неметричность условия Вейля. Однако, полученные таким способом уравнения в общем случае не совпадают с вариационными уравнениями, получаемыми при наложении условия Вейля до вариационной процедуры, если предположить, как это полагает автор, что пространство Вейля-Картана имеет первоначальный фундаментальный статус вне всякой зависимости от аффинно-метрической теории гравитации. Поэтому в диссертационной работе значительное внимание уделено развитию вариационного формализма именно в пространстве Вейля-Картана (Глава 2).
В Главе 2 развиваются вариационные методы получения уравнений поля (тетрадный формализм и формализм внешних форм) в теории гравитации с квадратичными лагранжианами в вариационном формализме первого порядка, в котором метрика и связность рассматриваются как независимые вариационные переменные (обобщенный формализм Палатний, см. [144]—[153]). Теории гравитации, основанная на учете в формализме первого порядка кроме линейного по кривизне также и лагранжианов квадратичных по кривизне, кручению (в пространстве Римана-Картана) и неметричности (в общем аффинно-метрическом пространстве), в последнее время получили значительное развитие. При этом в пуанкаре-калибровочная теория гравитации (ПКТГ), в основе которой лежит группа Пуанкаре, используются не только линейные по кривизне, но также квадратичные по кривизне и кручению лагранжианы [101],
[103], [154]—[206] (см. также [114], [95], [91] и цитируемую там литературу). Использование квадратичных лагранжианов в теории гравитации стимулируется попытками построения иеренормируемои теории в пространстве Римана-Картана [188], [200]. Большинство квадратичных теорий гравитации основываются на лагранжианах, которые являются частным случаем 10-параметрического лагранжиана, впервые предложенного в [103].
Теории гравитации, построенные на основе вариационного формализма первого порядка, отличается от гравитационных теорий с квадратичными лагранжианами, развиваемых в пространстве Рямана в формализме второго порядка. Эти последние теории предлагались в работах Вей ля [96], Эддингтона [207], Ланцоша [208] и других авторов [209]-[224] и в настоящее время связаны с попытками решения проблемы инфляции, построения перенормируемой и унитарной теории гравитации, а также попытками устранения сингулярностей за счет учета квантовых флуктуации. Все эти теории строятся в пространстве Римана, и в них используется вариационная процедура, приводящая к уравнениям поля, содержим производные от метрики выше второго порядка.
В диссертации производится сравнение двух способов варьирования в формализме первого порядка. В первом из них в качестве потенциалов гравитационного поля рассматриваются тетрады, а во втором способе - базисные один-формы. В качестве обобщенной связности рассматриваются три типа связности: связность Римапа-Картана с кручением, связность Вейля-Картана и связность общего аффинно-метрического пространства. В п. 2.1 и 2.2 развит аффинно-тетрадный вариационный формализм в общем аффинно-метрическом пространстве [226], а в п. 2.3 развит тетрадный вариационный формализм в пространстве Вейля-
Картана и получены соответствующие уравнения поля [225], [227].
Для проверки правильности полученных достаточно сложных выражений вариационных уравнений были использованы как аналитические методы, связанные с проверкой выполнения дифференциальных тождеств для каждого слагаемого в лагранжиане, так и система символьных вычислений CARTAN [228], модифицированная и доработанная автором с той целью, чтобы с ее помощью можно было производить вычисления в пространстве Вейля-Картана [229], [230]. Для этой цели к системе CARTAN с использованием методов функционального и процедурного программирования добавлен большой набор новых функций и переменных, позволяющих вычислять связность, тензор кривизны, тензор Рич-чи и другие геометрические величины в пространстве Вейля-Картана как в координатном, так и в неголономном ортогональном базисах. Сама исходная система CARTAN позволяет использовать вычислительную систему Mathematica для символьных вычислений тензорной алгебры только в пространстве Римана-Картана. Отметим, что методы компьютерной алгебры находят самое широкое применение при решении разнообразных задач математической физики и математического программирования, см. [231], обзор [232] и цитируемую в нем обширную литературу. Краткое описание модифицированной системы CARTAN и пример ее использования приведен в Приложении А.
В п. 2.4 рассмотрен аффинно-метрический вариационный формализм в пространстве Вейля-Картана и на его основе доказана обобщенная теорема Гаусса-Бонне в пространство Вейля-Картана. Ранее было известно, что теорема Гаусса-Бонне выполняется в пространстве Римана (так называемое тождество Ланцоша [208]) и в пространстве Римана-Картана [181], но не выполняется в общем аффиш-ю-метрическом пространстве
[238]. Автором было доказано [235, 236], что данная теорема выполняется также и в пространстве Вейля-Картана.
Излагается развитый автором [234], [79] вариационный метод получения уравнений гравитационного поля для квадратичных лагранжианов в формализме внешних дифференциальных форм, основанный на доказанной лемме, определяющей правило коммутации вариации произвольной р-формы и операции дуального сопряжения Ходжа. С помощью развитого формализма в пространстве Вейля-Картана автором проведено еще одно доказательство [237] обобщенной теоремы Гаусса-Бонне, основанное на доказательстве существования в указанном пространстве топологической формы типа Эйлера. Кроме того, доказано также, что данная форма в пространстве Вейля-Картана может быть представлена как внешний дифференциал от выражения типа Черна-Саймонса. Данные результаты могут найти свое применение при анализе топологических проблем в теории поля, в частности, при исследовании вопроса о существовании топологических солитонов [233] в пространстве Вейля-Картана.
Другим фундаментальным методом построения математических моделей является использование аналогий между изучаемым объектом и другим объектом, законы поведения которого до определенной степени изучены. В Главе 3 развивается с использованием вариационных методов развитая автором [43], [45]—[49] гидродинамическая аналогия между системой взаимодействующих кварков и глюонов (кварк-глюонной плазмой) и идеальной цветовой жидкостью, каждая частица которой обладает спиновым моментом и неабелевым цветовым зарядом. Данный тип жидкости представляет собой объединение идеальной спиновой жидкости Вейссенхоффа-Раабе и идеальной жидкости с неабелевым цветовым
зарядом, нерелятивистская теория которой была построена в работах Балачандрана и других [239]—[241]. В релятивистской теории подобный источник гравитационного поля порождает геометрию Римана-Картана. Начатый первоначально Аморимом [242] релятивистский вариант данной модели был обобщен автором с целью учета спиновых поляризационных хромомагнитных эффектов в пространстве Римана-Картана. Позднее модель цветовой жидкости строилась в работах Шоке-Брюа [243], [244], а сравнительно недавно Джакивом с соавторами [245].
Данный тип среды возникает при гидродинамическом подходе к системе взаимодействующих кварков и глюонов; которая апроксимиру-стся классическим образом как идеальная жидкость с внутренними степенями свободы. Автором разработана вариационная модель данного типа жидкости с учетом дополнительного взаимодействия сгган-хромомагнитное ноле. В теории явно учитывается пространственнопо-добная природа спина, используя условие Френкеля [246]. Теория развивается на основе формализма внешних форм. Строится лагранжева плотность жидкости, выводятся уравнения цветового поля в пространстве Римана-Картана, находится тензор энергии-импульса жидкости. Важность получения правильного выражения для тензора энергии-импульса идеальной спиновой жидкости с цветовым зарядом связано также с тем, что знание этого выражения позволяет из закона квазисохранения тензора энергии-импульса в пространстве Римана-Картана вывести гидродинамическое уравнение типа Эйлера движения спиновой жидкости с цветовым зарядом в неабелевом цветовом калибровочном поле и находящейся в пространстве Римана-Картана. Гравитационное поле порождается тензорами энергии-импульса и спинового момента, а цветовое поле порождается током цветового заряда частиц жидкости, поэтому
1?
задача является самосогласованной.
На основании найденного уравнения типа Эйлера выводятся обобщенное уравнение эволюции спина типа Варгмана-Мишеля-Телегди [247]-[249] в пространстве Римаиа-Картана, а также обобщенное уравнение типа Вонга [250] [258] движения частицы со спином и цветовым зарядом.
Построенная в Главе 3 модель позволяет сделать вывод о том, что на частицу в кварк-глюонной плазме действуют силы четырех типов: обобщенная на цветовое поле сила Лоренца, порождаемая неабелевым цветовым зарядом; обобщенная на цветовое поле сила типа Штерна и Герлаха, градиентная по напряженности цветового поля; сила Матиссона, отражающая взаимодействие спина частицы с кривизной пространства-врем єни; и сила "трансляционного" типа, отражающая взаимодействие обобщенного импульса частицы с кручением пространства-времени. Интересно, что такого типа силы возникают в современной калибровочной теории дисклинаций и дислокаций [259], [260], в которой калибровочные группы вращений и трансляций используются для описания дефектов кристаллов. Построенная теория нашла свое дальнейшее применение в работах А.С. Вшивцева и В.Е. Фортова с сотрудниками [261], [262] при обосновании гидродинамической модели кварк-глюонной фазы деконфаймен-та, на основании которой было проведено обобщение гидродинамической модели Ландау множественного рождения адронов [263], явным образом учитывающей структуру вакуума квантовой хромодинамики и цветовой заряд кварков [264].
В Главе 4 излагается построенная в работах автора [50], [50] вариационная модель идеальной спин-дилатационной жидкости, частицы которой наделены кроме спина также дилатационным зарядом. Понятие
дилатационного заряда по отношению к группе дилатаций имеет тот же смысл, что и введенное ранее в работах Такера [72] понятие "вейлевского заряда" по отношению к группе масштабных преобразований. Показывается, что данный тип материи будет порождать в пространстве-времени геометрическую структуру Вейля-Картана и взаимодействовать с этой структурой.
В модели спин-дилатационной жидкости возникает новая динамическая величина тензор дилатон-спина частиц жидкости, которая обобщает тензор спина жидкости Вейссенхоффа-Раабе. Существенным при построении теории оказывается то обстоятельство, что условию Френкеля удовлетворяет не весь тензор дилатон-спина, а только его составляющая - тензор спина. Устанавливается лагранжева плотность теории и определяются вариационные уравнения движения жидкости, а также уравнение эволюции тензора дилатон-спина, которое содержит в себе закон сохранения дилатационного заряда. Затем находятся материальные токи спин-дилатационной жидкости (каноническая 3-форма энергии-импульса, метрическая 4-форма энергии-импульса, 3-форма дилатон-спинового момента), которые являются источниками гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана. Данные выражения затем используются для вывода из тождеств теоремы Нетер обобщенного гидродинамического уравнения типа Эйлера для спип-дилатационной жидкости. В предельном случае исчезающего давления жидкости (уравнения состояния пыли) это последнее уравнение переходит в уравнение движения пробных частиц со спином и дилатационным зарядом в пространстве Вейля-Картана.
Далее в этой главе строится модель более сложного типа идеальной жидкости, впервые построенной автором [52]—[55]. Частицы этого типа
жидкости наделены тензором гипермомента, введенным Хелем и Нее-маном [95], который обобщает тензор спинового момента на линейную группу GL(4, R). Позднее этот тип идеальной жидкости под названием "гипержидкость" был рассмотрен Обуховым и Трескуерресом [57], [66], а затем Смолли [63]. Данный тип жидкость порождает геометрическую модель общего аффинно-метрического пространства, теория которого в настоящее время развивалась в работах Хеля и Неемана с сотрудниками в связи с проблемой взаимоотношений теории гравитации и теории элементарных частиц [265], а также в связи с проблемой перенормируемости квантовой теории гравитации [266]. В диссертации построена вариационная модель идеальной гипсрмоментной жидкости, устанавливается ла-гранжева плотность и выводятся уравнения движения с использованием условия Френкеля для бесследовой части тензора гипермомента частиц жидкости. Затем находится тензор энергии-импульса, на основании которого выводится гидродинамическое уравнение типа Эйлера.
В Главе 4 устанавливаются ряд общих теорем, доказанных автором [56], [67], о движении частиц с дилатационным зарядом и с гипермоментом. Как следствие этих теорем выясняется, что движение спин-дилатационной жидкости в пространстве Вейля-Картана в предельном случае исчезающе малого дилатационного заряда и спина, а также движение гипермомептной жидкостей в общем аффинно-метрическом пространстве в предельном случае исчезающе малого гипермомента, совпадают с движением обычной идеальной жидкости в пространстве Римана. Тела и среды, не обладающие дилатационным зарядом или гипермоментом, не подвержены влиянию возможной вейлевской или более общей аффинно-мерической структуры пространства-времени и поэтому не могут служить инструментом для обнаружения подобных структур. Важ-
ным следствием этих теорем является утверждение о том, что для обнаружения различных проявлений вейлевской или аффинно-метрической структур пространства-времени (если подобные структуры существуют) следует использовать тела и среды, наделенные спин-дилатационным зарядом или гипермоментом.
В Главе 5 модели, построенные в предыдущих главах, применяются для решения некоторых проблем теории гравитации в постримаповых пространствах. В данной главе на основе развитого вариационного формализма автором выясняются условия существования плоских волн кручения в теории гравитации с квадратичным лагранжианом общего вида в пространстве Римана-Картана (п. 5.1), а также рассматривается применение теории гравитации в пространстве Вейля-Картана для построения несингулярной космологической модели эволюции вселенной (п. 5.2).
Проблеме поиска волновых решений для кручения в пространстве Римана-Картана посвящено целый ряд работ [268]—[276], [234]. В работе Адамовича [268] на основании аналогии с электромагнитными волнами было сформулировано понятие плоской волны кручения. Работы автора [272]-[275], [234] посвящены проблеме существования плоских волн кручения в пуанкаре-калибровочной теории гравитации с квадратичным лагранжианом общего вида в пространстве Римана-Картана. На языке внешних форм с помощью производных Ли формулируется определение пространства типа плоской волны метрики и кручения и выясняется, что в таком пространстве бесследовая неприводимая компонента тензора кручения зависит только от двух произвольных функций, а остальные неприводимые компоненты тензора кручения (след и псевдослед) равны нулю. Центральным в этом параграфе является доказательство теоремы, устанавливающей необходимые и достаточные условия того, что метрика
и кручение пространства типа плоской волны удовлетворяют уравнениям пуанкаре-калибровочной теории гравитации с квадратичным лагранжианом общего вида. Теорема устанавливает, что данные условия дают ограничение на константы связи в общем квадратичном лагранжиане. Физический смысл этого ограничения состоит в том, что кванты поля кручения должны иметь нулевую массу покоя. При этом также устанавливается на основании критерия, высказанного Траутманом [278], что плоские волны кручения могут переносить информацию.
В современной космологии на основе анализа наблюдательных данных было выяснено [10]—[16], что плотность темной материи на порядок превышает плотность барионной материи, из которой сформированы звезды и светящаяся компонента галактик. Именно темная материя во взаимодействии с превосходящей ее по массе в два раза положительной энергией вакуума (или квинтэссенцией [12], [14]) определяет динамику Вселенной в настоящую эпоху. Другое важное следствие из современных наблюдательных данных состоит в понимании того, что наступил конец фридмановской эры в развитии Вселенной, характеризуемой замедлением расширения Вселенной, и началась постфридмановская эра "второй инфляции", при которой расширение с замедлением сменилось расширением с ускорением, причем возможен переход к безудержному экспоненциальному расширению.
Идея о существовании во Вселенной темной (несветящейся) материи была высказана еще в 30-х годах прошлого века Цвикки [279]. Но сущность темной материи до настоящего времени не выяснена. Такером и Вангом [72] была высказана гипотеза о том, что темная материя наделена связанным с масштабной симметрией новым типом гравитационного заряда (названным "зарядом Прока"), при помощи которого осу-
ществляется короткодействующее взаимодействие типа Прока. Это взаимодействие наиболее адекватным образом может быть описано на фоне пространства-времени Вейля-Картаиа. Независимо автором в работе [79] была высказана идея о том, что в качестве модели темной материи может быть рассмотрена идеальная спин-дилатационная жидкость.
В пространстве Вейля-Картана, заполненном спин-дилатациошюй жидкостью, автором построена модель однородной изотропной Вселенной, в которой выводится обобщенное уравнение Фридмана-Леметра, Автором построена модель однородной изотропной Вселенной в пространстве Вейля-Картана, заполненном спин-дилатационной жидкостью. В этой модели выводится обобщенное уравнение Фридмана-Лемет-ра. Доказывается, что при определенных условиях на параметры гравитационного лагранжиана данное уравнение имеет несингулярное решение, указывающее на существование максимальной плотности вещества во Вселенной [79|-[86].
Обобщение уравнения Фридмана-Леметра, по некоторым параметрам похожее на то, которое было получена автором в [79], [82], возникает в целом ряде направлений современной теоретической космологии. Так, в работе [70] уравнение такого типа, но без космологического члена, было получено в аффинно-метрической теории гравитации. Авторы данной работы после анализа полученного уравнения заключают, что "чисто ди-латонная материя усиливает гравитационное притяжение. В частности, она скорее ускоряет, чем замедляет коллапс системы". В космологической части работы константа, определяющая поведение системы, имеет противоположный знак по сравнению с уравнением, полученным автором, что "соответствует дополнительной эффективной силе притяжения, доминирующей в течение самых ранних стадиях эволюции" Все-
ленной [70]. Недавно в рамках данной нестандартной космологической модели (с добавленным руками космологическим членом) был произведен анализ последних данных по SN 1а сверхновой.
В работе [72] аналогичное модифицированное уравнение Фридмана-Леметра {также без космологического члена) было получено в рамках построения взаимодействующей системы Эйнштейна-Прока на основе гравитационной теории в пространстве Вейля-Картана. Здесь для случая материи в виде пыли показано путем численного анализа, что данное уравнение имеет как сингулярные, так и несингулярные решения. В работе [280] в рамках развития многомерной космологии [281] и космологии на D-браиах [282], [283] (с границей в виде пространства анти-де Ситтера) было получено аналогичное уравнение Фридмана-Леметра, в котором дилатационный член пропорционален (4+1)-мерному "электрическому" заряду.
В Главе 5 излагается построенная автором несингулярную модель эволюции Вселенной [73]—[86], которая начинается со стадии типа инфляции (для сверхжесткого уравнения состояния материи), затем проходит фридмановскуго стадию (эру преобладания излучения и эру преобладания вещества (которые соответствуют расширению с замедлением), и наконец завершается пост-фридмановской стадией "второй инфляции", в которой расширения сопровождается ускорением. При этом устанавливается существование двух точек перегиба функции масштабного фактора, вторая из которых соответствует началу расширения с ускорением. Полученное автором обобщенное уравнение Фридмана-Леметра позволяет моделировать различные стадии эволюции Вселенной, в частности, переход от инфляционной стадии эволюции Вселенной к ее фридманов-ской стадии [80]—[86]. Это представляется интересным в свете тех про-
блем, с которыми сталкивается решение данной задачи в современной инфляционной космологии [284]-[287]. Расчет модели произведен методами численного интегрирования на основании алгоритма, приведенного в Приложении В. Результаты представлены в виде графиков.
Во всей диссертации используется метрика сигнатуры (+, +, +, —) и выбрана система единиц, в которой c~l,h — l. Для обозначения конца доказательств используется символ U-
Теорема Нетер для группы Пуанкаре-Вейля
Будем теперь полагать группу VW(u , є. а) локализованной группой VW(x), то есть будем рассматривать ее параметры {иг} = {ит , е, ак} произвольными достаточно гладкими (принадлежащими классу С2) функциями координат wz(x).
Рассмотрим инвариантность интеграла действия (1.2.1) относительно VW(x). Полагая величины ш2(х) и dtluz(x) произвольными и независимыми функциями координат, из (1.2.6) получаем условия t\ 0 , Мкт — 0 , Д = 0. Тем самым интеграл действия (1.2.1) локально инвариантен только тогда, когда законы сохранения выполняются в силу тождественного обращения в нуль соответствующих токов (1.2.7)-(1.2.9).
Избежать этого физически неудовлетворительного результата можно, если в лагранжеву плотность (1.2.1) ввести некоторые дополнительные поля, называемые калибровочными (или компенсирующими) [98], обладающие тем свойством, что дополнительные члены, возникающие в интеграле действия (1.2.1) вследствие преобразования поля фА под действием локализованной группы VW(x), будут исчезать в силу компенсации их соответственно преобразующимися калибровочными полями. Поэтому калибровочные поля под действием VW(x) должны преобразовываться нетензорным образом, выделяя при подобном преобразовании слагаемые, пропорциональные производным от параметров группы VYV(x). В случае группы PW(x) возникает новая особенность, связанная с тем, что вариация (1.1.5) в этом случае равна Sg{j = 2є(ж)5ц , (1.3.1) где е(х) произвольная функция. Поэтому метрический тензор становится функцией точки пространства-времени и может быть представлен в виде: 9ц = Р\х) $, (1.3.2) что требует учета в лагранжиане производных Рф{х) (0(х) 0).
Требование калибровочной инвариантности в применении к группе Пуанкаре было сформулировано в [101], [105] как некоторый вариационный принцип, который для случая локализованной группы Пуанкаре-Вейля обобщим следующим образом.
Постулат 1 (Принцип локальной инвариантности). Интеграл действия J - /n (dx) С(фЛ, Ркф\ A , PkAl, Р(х), Рф(х)) , (1.3.3) где лагранжева плотность С описывает поле т/ , взаимодействие поля фА с дополнительным калибровочным полем AQ И свободное поле А , инвариантен относительно локализованной группы T W(x). под действием которой калибровочное поле испытывает преобразование вида бА и + в д , (1.3.4) где U и S - некоторые матричные функции.
Данный вариационный принцип позволяет применить к калибровочным теориям первую и вторую теоремы Э. Нстор и, несмотря на общность формулировки, достаточен для того, чтобы определить структуру лаграижевой плотности С и вид матричных функций /, S. В настоящей работе мы обобщаем на калибровочную теорию локализованной группы Пуанкаре-Вейля метод построения калибровочной теории, разработанный для группы Пуанкаре в [91]—[130}.
Уравнения калибровочного поля, как и уравнение поля фл, получаются на основании принципа наименьшего действия, который следует выбрать в качестве второго постулата теории калибровочных полей.
Постулат 2 (Принцип наименьшего действия). Уравнения поля фА и калибровочного поля Af реализуют экстремум интеграла действия (1.3.3), описывающего поле фл, взаимодействие поля фл с калибровочным нолем А и свободное поле А%.
Из физических соображений можно заключить, что полная лагранже-ва плотность С состоит из лаграижевой плотности Со свободного калибровочного поля и из лаграижевой плотности $, описывающей свободное поле фА и взаимодействие поля фл с калибровочным полем, причем интегралы действия от каждой из этих лаграпжевых плотностей порознь локально инвариантны, поскольку естественно ожидать, что калибровочное поле может существовать независимо от поля фА
Вариационный тетрадный формализм и уравнения гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана
Под пространством Вейля-Картана CWi принято понимать связанное четырехмерное ориентированное дифференцируемое многообразие, наделенное метрикой с лоренцевой сигнатурой и связностью, подчиняющейся условию Вейля {условие неметричности Вейля): v,9Q/3 = Qa0, = \ f Q , Q, = 9а0Яа0, {2.3.1) Вектор Qn носит название вектора Вейля. Геометрия CW характеризуется вейлевской неметричностью (2.3.1), кривизной (2.1.7) и кручением (2.1.8).
В пространстве Вейля-Картана CW& голономная и неголономная связности могут быть разложены на объекты связности в пространстве Римана-Картана с метрикой, согласованной со связностью, и на слагаемые, зависящие от вектора Вейля: № (С) 1 I" Г%А +Д%А , Д%А = -(6JQ„ - gXvQ + ВДА) , (W) (С) і Гаьх=Г\х +Дябд , Ааьх - -{h"xQb - hlgvXQa + ВДЛ). (2.3.2)
Здесь обозначение (W) над символом означает, что соответствующая величина относится к пространству Вейля-Картана, а обозначение (С) - к пространству Римана-Картана. Подставляя выражения для связностей (2.3.2) в (2,1.7), получаем соответствующее разложение тензора кривизны в неголономном базисе: Rabtu/=&tbfiv +2 V\n Да%] + TTiJ,v&abr + ДафДс]ф/]. (2.3.3) Сворачивая с метрическим тензором, находим выражение для скалярного инварианта (скалярной кривизны) пространства CW через скалярную кривизну пространства Римана-Картана, вектор Вейля Q и кручение: R = Д -\ vi Q - \T»Q, - Q - (2-3.4)
Вариационные уравнения поля в пространстве Вейля-Картана могут быть получены различными методами: независимым варьированием по метрике, кручению и вектору Вейля, независимым варьированием по тетрадам, лоренцевой связности и вектору Вейля [31], по метрике и общей голоиомной связности пространства Li(g,T) с учетом условия (2.3.1) с помощью неопределенных множителей Лагранжа [91].
Нами будет использован метод независимого варьирования по тетрадам и общей ыеголономыой связности с учетом условия (2.3.1) с помощью неопределенных множителей Лагранжа Л [225], [227]. Лагран-жеву плотность теории выберем в виде лагранжевой плотности (2.1.11), добавленной членом с неопределенными множителями Лагранжа
Приравнивая к нулю выражения при вариации неопределенных множителей Лагранжа 8Afab, получим условие (2.3.1) для связности Вейля. Затем с использованием этого условия приравняем нулю коэффициенты при независимых вариациях 5Г%, 5/г% и 5даЬ. В результате получим следующие вариационные уравнения: foP a - Н а = Р\ + №\ , (2.3.14) m Д(Д в + й в - ft"ai2) - tf"a = t,fiat (2.3.15 / 1 \ (Г) 1 /О [Rob - 7 9abR) + Hob = " Tab + gV"A"« (2 ЗЛ6) Из первого уравнения путем симметризации по индексам а и Ь можно найти выражение для неопределенных множителей Лагранжа: №аЪ = hP ab) - H\ab) - J!\ab) , (2.3.17) и с его помощью исключим неопределенные множители из уравнения (2.3.16). Затем антисимметризуем первое уравнение по индексам а и 6, а также возьмем след этого уравнения по этим индексам. В результате, принимая во внимание свойства тензора Палатини: VXP\ = R/ - RK , Р\ - 0 , Р А(Н = 0 (2-3.18) причем последнее равенство выполняется только в пространстве CW±, получим уравнения гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана; -ЬР \ьа] + Щьа] = -ЛИ Н"аа = а , (2-3.19) /о(Я а + R la - h \K) - W\ - i\ , (2.3.20) { 1 \ 1 - M /o (ЯИ) - 2fla4i2j + Hh+ 2 "Д 1{аЬ) = Tab 2,3,21 (m) (Г) 1 „ Ta5flb + 2V JV)- (2 3-22)
В эти уравнения следует подставить с учетом определений (2.3.9) соответствующие выражения, найденные из равенств (2.1.28)-(2.1.30).
По аналогии с теоремой, приведенной в предыдущем параграфе, в пространстве Вейля-Картана справедлива следующая теорема [51], [227]. Под группой Пуапкаре-Вейля здесь понимается расширение группы Пуанкаре с включением подгруппы растяжений (дилатаций) пространства-времени (см. Главу 1).
Теорема 2.2. Для лагранжевой плотности гравитационного поля G = v 9 LG{Ra , Vft,,, Taltl/, Qti) h\, ga ) . как следствие инвариантности интеграла действия относительно группы общих преобразований координат и относительно локализованной группы Пуанкаре-Вейля, действующей в касательном пространстве, в силу структуры тензоров кривизны, кручения и неметричности, подчиняющейся условию Всй-ля, справедливы дифференциальные тождества, которые представляют собой "сильные" тождества, выполняющиеся независимо от справедливости уравнений гравитационного поля и внешних материальных полей:
Уравнения цветового поля и тензор энергии-импульса цветовой жидкости
В (3.1,9 независимыми переменными являются величины п, s, ф, ф и и. Налагаемые на независимые переменные ограничения (3.1.3), (3.1.7), (3.1.8) учитывются при помощи неопределенных множителей Лаграижа Ai, А2, A3 и Qa. Для вычисления вариации лагранжевой плотности (3.1.9) необходимо вычислить следующие вариации; фи0- = -5и Лба + &Ва Ли- иа5г), 6г} = 6ва А % , (3.2.1) 5 ч = даЪва8иъ + иьдаЬ80а , (3.2.2) которые являются следствием соотношений 0а Ли = иау и #u = даьиавь . соответственно. Здесь было учтено, что компоненты метрического тензора даь в иеголономиом ортогональном базисе постоянны и не подлежат варьированию.
Ограничения, накладываемые на динамические переменные, получаются в результате варьирования (3.1.9) по неопределенным множителям
Лагранжа. При варьировании по динамическим переменным, описывающим идеальную жидкость, получаются вариационные уравнения движения идеальной цветовой жидкости: 5п : (є + р)г} - пфОф А и -f ynJmJ f\ $ — -rwAdA2 = 0, (3.2.3) 5s : T + uAdA3 = 0, (3.2.4) би : + 2A1 u-dA2-A3ds + Cae;jS 0, (3.2.5) дє h дф : -уЦ-пОфЛи-пСМаьфв0 Аи + оір +\xnJmrn Л МаЫ?ф + Хп/тЯ" Л = 0 , (3.2.6) (IF — — 8ф : тгт1? + пЩ А и - п(афМаЬвь Л и + + 4 Л Моь + хШтГ1 Л S - 0 . (3.2.7) При вычислении производных от внутренней энергии є по ф и ф в уравнениях (3.2.7) и (3.2.6) следует учесть, что вследствие (3.1.6) зависимость внутренней энергии от ф и ф реализуется только через ее зависимость от Sab и Jm: (п,.$,ф,ф) = є(щз,фМаі)ф,фІтф) , (3.2.8) что приводит к соотношениям: дє - пиаЬфМпЬ + W"fc , (3.2.9) - j = -пшаЬМаЬф + пшт1тф . (3.2.10) аф 2 Значение лагранжева множителя Ai можно получить, умножая (3.2.5) на и внешне справа и учитывая (3.2,3). В результате получим 2пХхг) = (є + p)ri + х шТ"1 Л S . (3.2.11)
Важным обстоятельством является тот факт, что 4-форма лагранже-вой плотности (3.1.9) оказывается пропорциональна гидродинамическому давлению жидкости /1Ш = РЦ- (3.212)
Это можно получить, использую уравнения (3.2.3) и ограничения (3.1.3), (3.1.7), (3.1.8). Данный факт означает наличие правильного предельного перехода от вариационной теории идеальной спиновой цветовой жидкости к вариационной теории обычной идеальной жидкости, для которой лагранжевой плотностью как раз является гидродинамическое давление. Для нахождения закона изменения тензора спина частицы жидкости следует вычислить лагранжевы множителя (а. Для этой цели вычислим выражение и D(nSaf,u), используя уравнения движения жидкости (3.2.6) и (3.2.7). В результате получим ?Sca = Sabub - Sacub(xJmFmbc + Jc) . (3.2.13) Здесь "точка"означаег.г операцию дифференцирования, которая для произвольного тензорного объекта Ф определяется равенством: ф% = Цу, л ЮФ%) . (3.2.14)
Учитывая тождество ВМаь = 0, закон изменение тензора спина частицы жидкости получаем в виде: U A DSab + ЩаЩ}йс7] = 2S {xVb]c Л Я Jm + ЩсП) + +2S{ ud(XFmcdJm + ш г) . (3.2.15) Если правая часть данного выражения равна нулю, то отсюда получаем известное выражение для закона изменения тензора спина идеальной спиновой жидкости Вейссеихоффа-Раабе [300], [301], [302], [303], [304], 119 [305]—[307], [308]. Из уравнения (3.2.15) вытекает, что причиной несохра-неиия спина вдоль линии тока жидкости может быть спин-хромомагнит-ное взаимодействие, а также возможный обмен спинами между элементами жидкости.
Законы движения тензора спина и дилатационного заряда
Закон движения директоров описывается уравнением (4.1.19), которое умножим внешним образом на Щва Л ...: \sap + \Щ - XrSnrue - (rSr0Ua = 0 . (4.1.21) Свернем (4.1.21) по индексам аи/5с исполкюванием условия Френкеля (4.1.4). В результате получим закон сохранения дилатационного заряда j = 0. (4.1.22) Свертывая уравнение (4.1.21) сначала с иа, а потом с и@ с использованием (4.1.22) и условия Френкеля (4.1,4), находим множители Лагранжа: Сг5 = - ,S 7 , XTSar = \sa . (4.1.23)
Как следствие (4.1.22) и (4.1.23) уравнение (4.1.21) приводит к закону изменения тензора спина: Sa0 + І 4 + Х = 0 . (4.1.24)
Данное уравнение обобщает закон движения тензора спина жидкости Вейссенхоффа-Раабе на пространство Вейля-Картана. Используя тензор проектирования (4.1.5), уравнения (4.1.24) и (4.1.22) могут быть записаны в эквивалентной форме как уравнение изменения полного тензора спин-дилатационного момента: n;ngj = 0. (4.1.25)
Тензор энергии-импульса идеальной спин-дилатационной жидкости
Выражения для материальных токов, порождающих гравитационное поле, могу быть получены из лагранжевой плотности (4.1.13) на основе вариационной процедуры. В случае спин-дилатационной жидкости такими источниками являются каноническая 3-форма энергии-импульса Еа, метрическая 4-форма энергии-импульса иа и. 3-форма спин-дилатаци-онного момента Jap,
Каноническая 3-форма энергии-импульса Еа равна вариационной производной от лагранжевой плотности (4.1.13) относительно ва [87]: пхг8\{дсгр1рчи + ualq) + іп ї/р . (4.1.26)
Используя выражение для множителя Лагранжа (4.1.20), условие Френкеля (4.1,4) и закон сохранения дилатационного заряда (4.1.22). получим: 1 . = Щ„ + (є + p)uffu + -nSUP - nxrSpr{gapu + 1%иа) . (4.1.27) Выражение (4.1.27) с помощью закона изменения тензора спина (4.1.24) и с использованием (4.1.23) принимает вид: т = РЩ + (є + р)иаи + nga\aSa$uPu . (4.1.28) Наконец, учитывая (4.1.4), получаем окончательное выражение для канонической 3-формы энергии-импульса в пространстве Вейля-Картана: S(T = рг] г + (є + р)иаи + nSopUPU . (4.1.29)
Это выражение внешне совпадает с выражением для канонической 3-формы энергии-импульса жидкости Вейссенхоффа-Раабе. Но в случае спин-дилатационной жидкости в (4.1.29) плотность энергии є содержит также энергию дилатационного взаимодействия жидкости.
Метрическая 4-форма энергии-импульса получается аналогично [87]: 0а0 = 2- = Та0г}, Т# = pgalj + (e+p)uV + nS%uu (4.1.30) 3-форма спин-дилатационного момента равна г = ж = \п (sap + \JS%) u = s" i + \JS» (4X31) В (4.1.31) использованы определения 3-формы спинового момента Sap = = {l/2)nSapu и 3-формы дилатационного тока J = j\ = (l/2)nJu.
Гидродинамическое уравнение Эйлера
Как было сказано в параграфе 7 главы 2, в пространстве Вейля-Картана имеет место система дифференциальных тождеств (2.8.15)-(2.8.17), которые являются следствием инвариантности лагранжиана материи относительно общих преобразований координат, локальных лоренцевых преобразований и локальных преобразований дилатации.
В случае спин-дилатационной жидкости каноническая 3-форма энергии-импульса Ест, метрическая 4-форма энергии-импульса 7а{з, тензор спина Sap и дилатационный заряд J совместны в том смысле, что они удовлетворяют дифференциальным тождествам (2.8.15)-(2.8.17). Тождество Нетер (2.8.15) выполняется при выполнении уравнения движения материи, и поэтому его можно рассматривать как другую форму уравнений движения материи.
