Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор существующих методов исследования акустического поля воздушного источника 9
1.1 Существующие методы решения задач с составными граничными условиями 9
1.2 Гидроакустическое поле воздушного источника 13
2 Источник в полупространстве с составными граничными условиями 18
2.1 Описание модели. Постановка задачи 18
2.2 Интегральное представление решения 20
2.3 Доказательство теоремы существования и единственности решения . 28
2.4 Обоснование принципа предельного поглощения 31
2.5 Асимптотика поля на больших расстояниях 35
3 Гидроакустическое поле воздушного источника 43
3.1 Усредненные законы убывания с расстоянием интенсивности гидроакустического поля воздушного источника 44
3.1.1 Постановка задачи, формулы полного поля и его модовой части 45
3.1.2 Убывание с расстоянием среднего по глубине моря уровня интенсивности гидроакустического поля воздушного источника . 48
3.1.3 Убывание с расстоянием среднего по глубине моря уровня интенсивности гидроакустического поля водного источника . 53
3.2 Гидроакустическое поле воздушного источника в зонах интерференционных максимумов 55
3.3 Аппроксимация гидроакустического поля движущегося воздушного источника 70
3.3.1 Выражение для поля движущегося источника 70
3.3.2 Алгоритм аппроксимации поля движущегося источника 73
4 Результаты численного моделирования 76
4.1 Численная факторизация Винера-Хопфа 76
4.1.1 Оценка погрешности факторизации Винера-Хопфа 76
4.1.2 Алгоритм численной фактризации Винера-Хопфа 79
4.1.3 Численный расчет факторизации функции с конечными разрезами 84
4.1.4 Численный расчет факторизации G(a) 91
4.2 Расчет среднего уровня убывания гидроакустического поля воздушного источника 98
4.3 Результаты моделирования поля движущегося источника с помощью неподвижного источника 101
4.4 Результаты обработки данных натурного эксперимента 110
Заключение 118
Литература
- Гидроакустическое поле воздушного источника
- Доказательство теоремы существования и единственности решения
- Убывание с расстоянием среднего по глубине моря уровня интенсивности гидроакустического поля воздушного источника .
- Алгоритм численной фактризации Винера-Хопфа
Введение к работе
Широкая распространенность практических задач, связанных с расчетом звуковых полей воздушного источника в слоистых средах, по отношению к которым источник является внешним, а также в воздухе над плоской поверхностью с резким изменением акустических свойств вдоль некоторой границы, обуславливает необходимость разработки соответствующих математических моделей. Так, к задачам о распространения звука воздушного источника в средах с составными граничными условиями можно отнести следующие: исследование акустического поля, создаваемого взлетающими и садящимися самолетами при контроле уровня шумности в аэропортах; распространение звука над водоемами в окрестности береговой линии. Результаты решения подобных задач могут быть также использованы в медицине, для улучшения качества ультразвукового исследования, в дефектоскопии, в архитектурной акустике и ряде других задач.
Исследование особенностей поведения гидроакустического поля воздушного источника валено для создания и улучшения характеристик широкого спектра гидроакустического оборудования. Ввиду сложности измерения параметров волновода и влияния флуктуации среды, неучитываемой при расчетах при расчетах, большую практическую ценность имеют различные, устойчивые к этим факторам, характеристики гидроакустического поля. Знание о средних законах спада гидроакустического поля с расстоянием необходимо для оценки дальности действия гидроакустических антенн, а также может служить основой алгоритмов классификации надводных и подводных источников.
Очевидный интерес представляют задачи, связанные с движущимся воздушным источником. Сложность структуры его гидроакустического поля и необходимость решения обратных задач порождает потребность в построении эффективных алгоритмов его аппроксимации.
В связи с указанной проблематикой в настоящей диссертационной работе были поставлены и рассмотрены следующие задачи:
Исследовать возможность строгого обоснования принципа предельного поглощения в задачах для уравнения Гельмгольца с составными граничными условиями.
Разработать метод численных расчетов интегральных выражений, полученных при решении задач методом Винера-Хопфа.
ф Исследовать поведение акустического поля при удалении источника и приемника от места резкого изменения граничных условий.
Исследовать суммарное гидроакустическое поле, создаваемое воздушным источ
ником на вертикальной антенне, полностью перекрывающей волновод.
Исследовать особенности амплитудно-фазовых характеристик гидроакустического поля воздушного источника в волноводе при различных горизонтах излучения и приема сигнала.
Разработать алгоритм аппроксимации гидроакустического поля движущегося воздушного источника с помощью решения соответствующей задачи для неподвижного источника.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Первая глава содержит краткий обзор известных методов решения дифракционных задач в областях с составными граничными условиями и и задач о волноводном распространении акустических сигналов в средах, по отношению к которым источник является внешним.
Вторая глава посвящена задаче методов построения и исследовани связанных с указанной выше проблематикой. Первый раздел главы посвящен методам решения дифракционных задач для уравнения Гельмгольца в области с составными граничными условиями. Рассматриваются известные результаты, относящиеся к задачам дифракции акустических и электромагнитных волн на клине ([1, 2]). Основное внимание в разделе уделено методу Винера-Хопфа, являющемуся эффективным методом решения краевых задач с составными граничными условиями, поставленными в полуплоскости ([7]). Во втором раделе первой главы обсуждаются результаты, касающиеся гидроакустического поля воздушного источника: основные подходы к построению решения соответствующего волнового уравнения; средние характеристики гидроакустического поля воздушного и водного источника; структура гидроакустического поля в зонах интерференционных максимумов; представление поля и алгоритмы его вычисления для случая движущегося источника.
Вторая глава посвящена задаче о распространении звука точечного монохроматического источника в полуплоскости с составными граничными условиями 2-го и 3-го рода ([45]). Формулируется теорема существования и единственности решения этой задачи в специально выбранном классе функций, а так лее теорема, заключающаяся в обосновании используемого для выбора единственного решения уравнения Гельмгольца принципа предельного поглощения. В этом же разделе с помощью метода Винера-Хопфа строится интегральное представление решения рассматриваемой краевой задачи. Второй раздел содержит доказательство данных теорем. В третьем разделе с помощью двумерного метода стационарной фазыпроводится асимптотический анализ полученного интегрального представления.
Третья глава посвящена гидроакустического поля воздушного источника. Вначале рассмотрены средние по апертуре вертикальной антенны, перекрывающей весь водный слой, уровни интенсивности гидроакустического поля воздушного источни-
ка ([39]). Затем аналогично рассмотрены средние по вертикали и горизонтали уровни гидроакустического поля водного источника.
Во втором разделе исследуется структура гидроакустического поля воздушного источника в зонах интерференционных максимумов поля {[40, 42]). По аналогии с водным источником вводится понятие средней фазовой скорости гидроакустического поля воздушного источника. Используя эту величину, сравниваются отклики гидроакустических антенн на сигнал воздушного источника в волноводе и свободном пространстве.
В третем разделе третей главы рассматривается гидроакустического поля движущегося воздушного источника и предлагается алгоритм его аппроксимации с использованием решения задачи о поле водного источника ([40, 41]). Основу алгоритма составляют результаты, полученные в предыдущем разделе.
Четвертая глава содержит результаты численных и натурных экспериментов. В первом разделе приводится алгоритм численной факторизации Винера-Хопфа, основанный на аппроксимации Паде, приводятся результаты сделанного с помощью него расчета факторизации функции, полученной в первой главе при решении задачи с составными граничными условиями ([44, 46]).
Во втором разделе результаты численного расчета среднего гидроакустического поля воздушного источника сравниваются с полученными в третьей главе асимптотическими формулами. Показано, что на средних дальностях, предложенные формулы действительно описывают спад среднего уровня.
Третий раздел посвящен численной проверке предложенного алгоритма аппроксимации гидроакустического поля воздушного источника. Показана хорошая корреляция рассчитанного по известным формулам и аппроксимирующего полей в зонах интерференционных максимумов.
В четвертом разделе приводятся результаты первичной обработки данных экс-пери ментальнта по наблюдению гидроакустического поля движущегося воздушного источника ([43]). Основное внимание уделено воздушной боковой волне, которую благодаря движению источника удалось уверенно выделить в полном гидроакустическом поле. В заключении обобщены итоги и результаты проведенных исследований.
Из полученных в настоящей диссертационной работе результатов на защиту выносятся следующие:
Обоснован принцип предельного поглощения в двумерной задаче о распространении звука над поверхностью с составными граничными условиями второго и третьего рода
Разработан метод численной факторизации Винера-Хопфа на основе аппроксимации Паде, позволяющий производить факторизацию функций, допускающих
аппроксимацию рациональными функциями в окрестности контура интегрирования
Получены асимптотические формулы для расчета поля в задаче о распространении звука над поверхностью с составными граничными условиями второго и третьего рода
Получен закон убывания с увеличением расстояния от воздушного источника интенсивности его гидроакустического поля, осредненной по глубине мелкого моря
Разработан алгоритм аппроксимации гидроакустического поля воздушного источника в зонах интерференционных максимумов квазиплоской волной. Получено выражение для фазовой скорости данной волны через фазовые скорости мод, показывающее, что данная величина не зависит от вертикальной координаты источника.
Гидроакустическое поле воздушного источника
Модель распространения акустических волн в слое воды, порожденных находящимся в воздухе источником может быть построена как частный случай модели распространения акустических волн в слоистых средах. По историческим причинам, наиболее исследованной является смежная модель распространения акустических волн от водного источника. При этом, как правило, наличие воздушного полупространства игнорируется и заменяется простым предположением о свободной верхней границе. Такое упрощение хорошо согласуется с наблюдаемой физической картиной и объясняется большой разницей плотностей граничащих сред ( га 0,0011). Однако, в случае когда источник находится в воздухе, наличие воздушного полупространства, очевидно, игнорировать нельзя.
Известно, что из воздуха в воду проникает только узкий пучок лучей, попадающих в конус с углом при вершине примерно 13 градусов от нормали к водной поверхности ([30, 35]). Этим объясняется, что при переходе из воздуха в воду уровень сигнала падает на величину порядка 20 дБ,
Функцию Грина для гидроакустического поля воздушного источника в волноводе, представляющем собой водный слой, заключенный между воздушным и донным полупространствами, можно получить в виде интеграла Ханкеля. При деформации контура интегрирования в комплексной плоскости эта функция представима в виде трех слагаемых: двух интегралов по берегам разрезов (непрерывный спектр сигнала, представляющий собой воздушную и донную боковые волны), и суммы вычетов в полюсах подынтегральной функции (дискретный спектр — волноводные моды).
Основным структурным отличием функции Грина воздушного источника от функции Грина водного источника является наличии воздушной боковой волны, распространяющейся вдоль границы воздух/вода с фазовой скоростью звука в воздухе. В работе [24] методом перевала было получено асимптотическое выражение для гидроакустического поля воздушной боковой волны на больших расстояниях г от источника, из которого следует, что амплитуда воздушной боковой волны убывает с ростом расстояния как г-2, а с ростом глубины приема z ее амплитуда падает пропорционально exp(-fcwz /njj — 1), где ку) — волновое число в воде, пд « 4,5 — показатель преломления границы раздела сред вода/воздух. Вклад донной боковой волны в полное гидроакустическое поле воздушного источника очень мал и на практике его можно не учитывать.
Методы расчета поля как водного, так и воздушного источника можно разделить на две группы: лучевые и модовые ([19]). Лучевой подход представляет собой приближение геометрической акустики. Им хорошо описывается поле на сравнительно небольших расстояниях от источника, когда количество приходящих в приемник лучей невелико. Кроме того, этот метод позволяет легко учитывать профиль скорости звука, поэтому он является одним из основных методов расчета поля в океане. Ыа больших расстояниях от источника количество подлежащих учету лучей становится слишком велико и в этом случае поле удебнее описывать суммой нормальных волн (волноводных мод).
В настоящей работе большинство результатов, связанных с гидроакустическим полем воздушного источника, получено для условий распространения сигналов в мелком море. Под мелким морем мы понимаем такую модель волновода, в которой сигнал от источника в приемник распространяется путем многократых отражений от поверхности и дна моря а длина звуковой волны источника сопоставима с глубиной моря по порядку величине. Одной из первых работ, посвященных исследованию гидроакустического поля неподвижного воздушного источника в мелком море является работа [21]. В ней рассмотрена вертикальная и горизонтальная интерференционная структура модовой части гидроакустического поля воздушного источника в плоскослоистых волноводах для различных типов дна.
При исследовании гидроакустических полей в волноводах большое практическое значение имеет получение различных устойчивых к флуктуациям среды и погрешностям измерения параметров волновода характеристик этого поля. К таким характеристикам прежде всего можно отнести оценки убывания уровня интенсивности гидроакустического поля, осредненного как по глубине так и по интервалам в горизонтальной плоскости. Первый такой результат был получен Л. М. Бреховских ([18]) и заключается в том, что уровень интенсивности гидроакустического поля водного источника, осредненный одновременно по глубине приема и по глубине излучения, на средних дальностях убывает с расстоянием между источником и приемником г пропорционально г"3/2. Здесь под средними дальностями понимаются расстояния от источника, большие по сравнению с толщиной водного слоя, но такие, что число мод, вносящих эффективный вклад в формирование акустического поля и уменьшающееся с ростом расстояния из-за диссипативных потерь при отражении звуковых сигналов от дна, было еще достаточно велико.
На основе развитого Л. М. Бреховских математического аппарата позднее были получены и другие результаты, касающиеся осредненного уровня интенсивности гидроакустического поля. Так, в работе [34] исследован средний уровень убывания с расстоянием интенсивности гидроакустического поля водного источника при го ризонтальном осреднении по интервалу Дг, превосходящему максимальный период интерференции мод (определяемый интерференцией между первой и второй модой). Рассмотрены типичные случаи расположения горизонтов приема и излучения относительно границ волновода и сделан вывод, что характер убывания среднего уровня интенсивности поля существенно зависит от этих горизонтов: указанная интенсивность поля убывает пропорционально г 7?2 для случая когда оба гидроакустических преобразователя находятся в узком приповерхностном или придонном слое; г-5 3 когда один из преобразователей находится около середины волновода, а второй в приповерхностном или придонном слое; г 3 2 когда оба преобразователя находятся вблизи середины волновода.
Работа [37] посвящена осредненному по горизонтали уровню интенсивности гидроакустического поля воздушного источника. В ней для средней интенсивности гидроакустического поля получена удобная для анализа асимптотическая формула и показано, что закон убывания этой интенсивности на средних дальностях не зависит от высоты источника г0 и определяется лишь горизонтом приема. Именно, средняя интенсивность пропорциональна: г-7/2 в придонной области; г-4 в приповерхностной области (в этом случае поле определяется воздушной боковой волной); т ъ12 в среднем диапазоне глубин.
Другая практически важная характеристикой гидроакустического поля в волноводе выявляется при анализе его структуры в окрестностях интерференционных максимумов. Известно, что гидроакустическое поле водного источника в зонах интерференционных максимумов хорошо аппроксимируется локально квазиплоской волной [22, 31, 32, 33]:
Доказательство теоремы существования и единственности решения
Согласно приведенному в п. 1 определению, для обоснования П.П.П. нам осталось доказать существование предельной функции при є —Ь 0. Значение выражения (2.46) для P0(x,z) не изменится, если мы продеформируем контур интегрирования по переменной а в область аналитичности подынтегральной функции: Р0{х, г) Л= f ф(а, z)e-ikaax da. (2.53) V 2тг Jr
Здесь контур Г мы выберем в соответствии с рис. 2. Он получен возмущением вещественной оси на конечном отрезке и при всех значениях є будет отдален от особенностей подинтегральной функции. /ma .г Рис. 2. Контур Г и разрезы функции 7(0 Рассмотрим теперь задачу Римана с уравнением (2.22) на данном контуре Г Ф+(а) + С(а)Ф_(а) = g(a)t а є Г, (2.54) где 7(а), д(а) даются выражениями (2.23) и (2.24). Решение этой задачи Римана существует и единственно. Действительно, преобразования, приведшие нас от уравнения (2.22) к представлению (2.47), очевидно будут верны и для контура Г при условии существования относительно него канонической факторизации для функции G(a). Достаточными для этого условиями являются принадлежность G(a) классу Гельдера І7](Г), не обращение в нуль на Г и равенство нулю топологического индекса. Все эти факты доказываются так же, как и в случае вещественной оси в п. 3, причем, в силу отдаленности контура от особенностей функции С?(а), справделивы не только для є 0, но и для є = 0.
Рассмотрим решение уравнения (2.22). Деформация вещественной оси в контур Г проходит в области аналитичности всех функций, входящих в уравнение, поэтому оно верно и на контуре Г. Решение задачи Римана на контуре Г единственно, поэтому в силу единственности аналитического продолжения решения уравнений (2.22) и (2.54) совпадают в областях, заключенных между вещественной осью и контуром Г. Отсюда, опять же по принципу аналитического продолжения заключаем, что они совпадают во всей комплексной плоскости. По аналогии с (2.37), запишем уравнение (2.54) в операторной форме: АтФ(а)=д(а), Ф,дЄІ2(Г), (2.55) АГ:12(Г)-+Ь2(Т), Av = Pr-GQr, Pr = \(I + ST), Qv = \(I-Sr). Здесь ST оператор сингулярного интегрирования, определенный следующим образом: вг:і2(Г) і2(Г), тгг Jp т — t где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши. Справедливы теоремы:
Теорема 6. Оператор As := Ар заданный соотношением (2.55) при каждом значении є 0 ограничен и имеет ограниченный обратный оператор, представимый в виде A;1 - G PrGl1/ + G-QvG-Jl. (2.56) (Здесь G(a) = G+(a)G-(a) — каноническая факторизация функции G{a) на контуре Т.) Теорема 7. Уравнение (2.54) G {а)ф-(а) + Ф+(a) = д(а) при є 0 относительно функции Ф(а) = Ф+(а) + Ф (а), Ф+(а) Є -J(R), Ф (а) Є Xj(R) имеет единственное решение, принадлежащее пространству г(Г) и пред-ставимое в виде
Эти теоремы соответственно являются прямыми аналогом теорем (4) и (5) и их доказательство повторяется практически буквально с заменой контура R на Г. Для дальнейших рассуждений нам потребуются следующие леммы. Лемма 1. Норма функции с(а,) = ад = і + й в пространстве Ьсо(Г) непрерывна по параметру є Є [0, Єо] Доказательство. Нам нужно показать, что для любого Є\ Є [0, о] выполняется lim sup \G(a, Єї) - G(a, 2) — 0.
Ясно, что это будет выполнено, если мы сможем показать ограниченность производной G (a,e) на контуре Г. Функция G(a,e) непрерывно дифференцируема по параметру є, поэтому осталось показать, что существует конечный предел Се(а,єі) при а — ±оо. о7 (а) Отсюда непосредственно получаем, что lim G Ja,e) = 0. Лемма доказана.
Следствие 1. Функция принадлежит L2(T) и её норма в этом пространстве непрерывна по параметру є Є М Доказательство. Принадлежность функции д(а) пространству г(Г) доказывается так же, как в п. 3 показывалась принадлежность пространству Li(R). Пусть Єї, є2 [0,го]- Произведем оценку: I!ff(a.ei)-S(a,ei)lk.(r) WGia e - G(a,l)\\Laa{T] ЦФ НІІМП На основании леммы 1, последнее выражение стремится к нулю, когда Єї — Сг. Следствие доказано.
Лемма 2. Норма оператора А 1 = А 1(є) в пространстве АгСГ) ограничена при всех значениях є Є [0,0].
Доказательство. Покажем, что в пространстве #і(Г) нормы функций G± оцениваются с константой через норму функции G(ct). Согласно хорошо известным формулам факторизации ([4], [5], [9]), функцию G+(a) можно представить в виде G+(a) = ePrlnG Q .
Здесь разрез функции логарифм выбран так, чтобы он не пересекал образ G(a), когда а Г. Это всегда можно сделать за счет того, что hid G(ct) = 0. Поскольку образ G(a) есть ограниченная замкнутая кривая, то логарифм — непрерывно-дифференцируемая функция, и \nG(a) так же является гёльдеровой функцией с тем же показателем. Оператор Рг не выводит из класса Гёльдера, как и взятие экспоненты от Гёльдеровой функции. Значит, норма функции G+(a) допускает оценку через норму G(a). Возможность подобной оценки остальных функций доказывается аналогично.
Известно, что норма пространства « не превосходит нормы пространства Яь поэтому можно выбрать константу Сі, такую, что
Отсюда получаем оценку обратного оператора для любого є Є [0; Єо] ІІА-Чіь г) = \\G+PrG-4 - G-jQvG Ihw СПРгіит) + CtWQrlUv) oo. Лемма доказана. Далее, для сокращения записи рассматриваемые операторы будем обозначать А, AQ, A l, AQ1, где индекс є соответствует положительному значению параметра, а О —нулевому. Аналогично через GE(a), GQ(a) будем обозначать коэффициент задачи Римана при различных значениях е. Лемма 3. Последовательность операторов А 1 сходится к оператору AQ1 в пространстве Ьг(Г), при є — 0. Доказательство. Оценим разность операторов в норме г(Г) {{А;1 - А \\ЫГ) = К"1 (А, - )Л_11к(г} итЧыт) УЛ_11кг(Г) \\Ае - Л0Мг) 114_1к(Г) IIVIM \\Qr\\Li{r)SUV\G(a) - G0(o). Последнее выражение стремится к нулю при є—ї+0 в силу ограниченности обратных операторов (лемма 2) и равномерной сходимости G(a) к Go(a) (лемма 1). Лемма доказана.
Убывание с расстоянием среднего по глубине моря уровня интенсивности гидроакустического поля воздушного источника .
Введем цилиндрическую систему координат с полярными координатами Orip и вертикальной осью Oz. Бедем считать, что плоскость z = 0 соответствует поверхности воды, а ось Oz направлена вниз, так что дно совпадает с плоскостью z = Я. Не нарушая общности, будем считать, что источник находится на оси Oz. Ввиду того, что задача, имеет цилиндрическую симметрию, формальную зависимость от полярного угла р в обозначених будем опускать и будем указывать координаты источника и приемника в виде (г, z). Таким образом, воздушный источник имеет координаты (0, ZQ), ZQ 0, а водный приемник — (г, 2), 0 Z Я.
Комплексная амплитуда создаваемого источником звукового давления Р = P(r, z) должна удовлетворять следующим уравнениям:
Здесь fcg, kw, кь — волновые числа воздуха, волновода и дна соответственно, Я — глубина волновода, pg, pw и / — плотности воздуха, водного слоя и дна соответственно. Решение задачи (3.3)-(3.7), удовлетворяющее принципу предельного поглощения, неоднократно рассматривалась (см. например [24]). При 0 z Н (в воде) оно имеет вид
Отметим, что типичное значение показателя преломления воздуха п9 к 4,5, т.е. достаточно велико. Интеграл (3.8) при деформации контура интегрирования в комплексной плоскости можно представить в виде трех слагаемых: донной боковой волны, воздушной боковой волны и суммы вычетов в полюсах подынтегральной функции (квазирас-пространяющихся мод). Наличие боковой волны (непрерывный спектр), распространяющейся вдоль границы раздела вода/воздух со скоростью звука в воздухе и экспоненциально затухающей с увеличением глубины приема сигнала, является отличительной особенностью гидроакустического поля воздушного источника, по сравнению с полем водного источника. Вкладом доннай боковой волны в полное гидроакустическое поле воздушного источника на практике можно пренебрегать, а для комплексной амплитуды звукового давления воздушной боковой волны известна асимптотика для больших горизонтальных расстояний между источником и приемником ([37]): Pg(r,z) qg(kgz 1(ng,z)-—j-, (3.15) где число qg — некоторая константа, определяемая параметрами волновода и не зависящая от z0, Z, Г; kg = w/cs; ipi(ng,z) определяется формулой (3.9). При малых глубинах z Ag/4, А9 = 2ircg/uj воздушная боковая волна вносит основной вклад в полное гидроакустическое поле воздушного источника. На больших расстояниях от источника, когда Jfc«,r l, (3.16) при z Аа/4 основной вклад вносит модовая часть поля, имеющая следующий вид: iW = (M). (3.18) где числа //j = fAj(o) являются корнями следующего дисперсионного уравнения Wo(//)+oWiM=0, (3.19) где Wo(fJ.) имеет вид (3.12), а И ІС/І) определяется в (3,13) и (3.18). Введём теперь в рассмотрение модель Пекериса. Она определяется следующей системой: + + + = -5 - (320 О z Н, 0 z0 Н, (3.22) Г Р0(г,Я-0) = Я0(г,Я + 0) Решение системы (3.20)-(3.22), удовлетворяющее принципу предельного поглощения, может быть записано в виде Po(r, ) - у gT j «fc (3-23) —сю где (/Л о) = sin (А;шго7ш( ))) а, функции фі{іл, z) и Wo(yu) определяются равенствами (3.10) и (3.12) соответственно.
Деформацией контура интегрирования в комплексной плоскости, этот интеграл можно представнить в виде интеграла по разрезу (боковая волна) и суммы вычетов (квазираспространяющихся мод) На больших расстояниях (3.16) основной вклад в полное поле вносят квазираспространяющиеся моды: Уч(лі,-(0), гЩц(О), zQ)fiH (kwr (0)) 2 U W (»№) fi),m(r, г) = - 2, і йЖї (3.24) Здесь -(0)-корни следующего дисперсионного уравнения: WbM = 0. (3.25)
Рассмотрим дисперсионоое уравнение изучаемой трёхслойной модели (3,19). Его отличительной особенностью является наличие малого параметра є (напомним: характерное значение параметра г0 имеет порядок 10 3). При этом главная часть уравнения (3.19) —функция WO(JJ) — представляет собой левую часть дисперсионного уравнения модели Пекериса (3.25). Используя стандартную технику возмущения, можно получить следующее разложение этого корня уравнения (3.19) по малому параметру НЫ = /%() + cijso + 0(є7п) (3.26) где fij (0) — корень дисперсионного уравнения модели Пекериса (3.25), С\ j — некоторая, имеющая явное выражение постоянная ([24]).
Рассмотрим задачу об осреднённом по вертикальной антенне, перекрывающей весь волновод глубины Я, уровне звукового поля от точечного монохроматического источника, расположенного в воздухе, в рамках рассматриваемой трёхслойной модели. При этом мы будем предполагать, что в дне имеет место поглощение, которое учитывается добавлением к показателю преломления в дне малой чисто мнимой добавки (3.2)
В условиях мелкого моря коэффициент поглощения /3 обычно берётся в пределах от Ю-2 до 5 10 2. Нас интересует поле на больших расстояниях, поэтому прежде всего мы будем оперировать с модовой частью поля. Учитывая малость разности /ІДЄО) — iij(Q) (численные расчёты в [1] показали, что (о) - A j(0) 10"5 — 1СГ6 ), мы заменяем в (3.17) {J,J(SQ) на //j(0). Заметим далее, что ipi(jij(0),z) есть собственная функция модели Пекериса, поэтому
Алгоритм численной фактризации Винера-Хопфа
Рассмотрим теперь вопрос о рациональной аппроксимации некоторой функции K(z) по заданным коэффициентам ряда Тейлора в нуле и бесконечно удаленной точке. Пусть разложение K{z) в нуле начинается с нулевой степени, а в бесконечно удаленной точке — с s-й степени. Для того, чтобы у рациональной функции Pn(z)/Qm{z) первые к коэффициентов ряда Тейлора в нуле совпадали с первыми к коэффициентами разложения K(z) необходимо и достаточно выполнения первых к уравнений системы (4.13). Аналогично, для совпадения первых I коэффициентов разложения в бесконечно удаленной точке необходимо и достаточно потребовать выполнения первых I уравнений системы (4.16). При этом, конечно, степени многочленов должны удовлетворять условию п — т = s.
Итак, вопрос о построении рациональной аппроксимации по известным коэффициентам ряда Тейлора в нуле и бесконечно удаленной точке свелся к решению системы линейных уравнений. Пусть теперь нам известны коэффициенты d+ разложения в ряд Тейлора функции K(z) в окрестности некоторой точки ZQ ф 0 (для определенности будем считать, что da, коэффициент при (z — ZQ)0, отличен от нуля). Рассмотрим рациональную функцию Д (z) = Pn(z + 2o)/Qm(2 + zo)- Очевидно, её разложение в нуле совпадает с разложением Pn(z)/Qm(z) в точке zQ, поэтому задача свелась к уже рассмотренной. Таким образом, алгоритм построения аппроксимации в окрестности точки ZQ заключается в следующем: сначала записываются уравнения системы (4.13), где вместо коэффициентов Oi взяты d{. Затем, через формулу бинома Ньютона, происходит возврат от коэффициентов многочленов Pn{z+ZQ), Qm(z+zo) к коэффициентам многочленов Pn(z), Qm(z). При этом, очевидно, линейные уравнения переходят в линейные и сохраняется их смысл, т.е. если данное уравнение соответствовало условию совпадения j-ro коэффициента ряда Тейлора в нуле для функций K(z + z0) и fi{z), то после замены переменных оно будет соответствовать совпадению j-ro коэффициента ряда Тейлора в точке ZQ для функций K{z) и f(z).
В соответствии с изложенной выше теорией в математическом пакете MATLAB была написана программа для численного построения многоточечной аппроксимации Паде с последующей факторизацией Винера-Хопфа. Ниже будут кратко описаны её возможности. Интерфейс программы представлен двумя функциями: function [plusP, plusQ, minusP, mimisQ, ... rootsP, rootsQ, matrix, condNumber] ... = WHPade(pOrder, qOrder, series); function [plusP, plusQ, minusP, minusQ, ... rootsP, rootsQ, matrix, condHumber] ... = WHPadeEven(pOrder, qOrder, series);
Функция WHPade служит для факторизации произвольной функции К(х) по известным её разложениям в ряд Тейлора в нескольких точках. В качестве контура, относительно которого производится факторизация, берется вещественная ось. Функция WHPadeEven — это вариант WHPade для функций К (х), четных относительно нуля и бесконечно удаленной точки. Задачей этих функций является поиск коэффициентов многочленов Р(х) и Q(x), таких, что рациональная функция Я(х) := P(x)/Q(x) близка к функции К(х).
Входные параметры имеют следующий смысл. pOrder— степень многочлена в числителе R(x); qOrder — степень многочлена в знаменателе R{x); series — матрица, каждая строчка которой соответствует разложению фактори-зуемой функции К(х) в некоторой точке Хц. Именно: на первом месте стоит хо (бесконечно удаленная точка в системе MATLAB указывается как Inf), на втором месте стоит число г(ха) — порядок аппроксимации, который означает, что у рядов Тейлора функции К(х) и построенной аппроксимации в окрестности точки Хо будут совпадать первые т(хо) коэффициентов. Далее в строке идут собственно коэффициенты ряда Тейлора, в порядке увеличения степеней (для конечной точки) или в порядке уменьшения степеней (для бесконечно-удаленной точки).
Для нахождения коэффициентов многочленов Р(х) я Q(x) необходимо, чтобы в соответствующей системе линейных уравнений (...) число уравнений равнялось числу неизвестных. Поэтому входные данные должны удовлетворять условию: сумма всех порядков аппроксимации должна равняться pOrder -I- qOrder + 1 (сумма всех коэффициентов многочленов равна pOrder + qOrder + 2, но очевидно, один коэффициент должен быть изначально зафиксирован; в программе принимается, что коэффициент при х многочлена Q(x) равен 1). Для облегчения построения матрицы series имеется функция addLineS, которая добавляя строку в матрицу автоматически дополняет короткие строки нулями.
Опишем теперь выходные параметры. plusP — коэффициенты полинома Р+{х), в порядке уменьшения степеней; plusQ — коэффициенты полинома Q+(x), в порядке уменьшения степеней; minus Р —коэффициенты полинома Р (х), в порядке уменьшения степеней; minusЦ — коэффициенты полинома Q (x), в порядке уменьшения степеней; rootsP— нули функции R(x); rootsQ — полюса функции R(x); matrix — прямоугольная матрица размером (pOrder + qOrder + 1) х (pOrder + qOrder + 2), каждая строка которой интерпретируется как коэффициенты ли нейного уравнения для нахождения коэффициентов R(x). Первые pOrder + 1 столбцов соответствуют коэффициентам числителя Р(х) в порядке уменьшения степеней. Следующие qOrder + 1 столбцов соответствуют коэффициентам зна менателя Q{x) в порядке уменьшения степеней. Предполагается, что в правой части каждого уравнения стоит 0. Система решается при допущении, что млад ший коэффициент знаменателя равен 1; condHumber — число обусловленности системы линейных уравнений, именно: condHumber cond(matrixl), где matrixl —это matrix без последнего столбца, a cond —стандартная функци MATLAB для нахождения числа обусловленности матрицы. Функция WHPadeEven имеет несколько отличий: pOrder и qOrder должны быть четными.
В случае четной функции К(х), которая раскладывается в ряд по четным степеням х в окрестности нуля и бесконечно удаленной точки, в соответствующих полиномах Р{х) и Q(x) коэффициенты при нечетных степенях должны быть равны нулю. (Действительно, предполагая противное и записывая условие четности для достаточно большого количества точек, приходим к полиному, у которого число нулей превосходит его степень.) Значит, входные данные должны удовлетворять требованию: сумма всех порядков аппроксимации равна (pOrder + qDrder)/2 + 1.
Разложения в нуле и бесконечно удаленной точке должны указываться как есть, вместе с нулевыми коэффициентами при нечетных степенях х, однако порядок аппроксимации (число г(хо)) для этих точек относится только к коэффициентам при четных степенях.
