Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор методов решения задач тепломассопереноса 9
1.1. Общая постановка задачи промерзания-оттаивания 9
1.2 Аналитические методы решения П
1.3 Методы сведения исходного уравнения теплопроводности к уравнениям другого типа 17
1.4 Численные методы 19
2. Формулировка точного нижнего граничного условия для решения задач промерзания-оттаивания в ограниченных областях 24
2.1 Постановка задачи 24
2.2 Вывод точного выражения краевого условия для одномерного случая .2d
2.3 Вывод точного выражения краевого условия для двумерного случая... 29
2.4 Вывод точного выражения краевого условия для двумерного случа при ненулевых начальных условиях 35
2.5 Вывод точного выражения краевого условия для одномерного случа с учетом геотермического градиента 44
3. Численное моделирование некоторых задач инженерной геокриологии и анализ полученных результатов 53
3.1 Постановка задачи о промерзании в спектре температур 53
3.2 Численный метод расчета. Вывод и обоснование 56
3.3 Контроль точности решения 61
3.4 Проверка корректности работы программного комплекса 61
3.5 Влияние вида нижнего граничного условия на расчет глубины сезонного слоя 65
3.6 Расчет ореола оттаивания под протяженными тепловыделяющими сооружениями 69
3.7 Моделирование многолетней динамики образования вечномерзлых грунтов 75
Заключение 84
Литература 87
- Методы сведения исходного уравнения теплопроводности к уравнениям другого типа
- Численные методы
- Вывод точного выражения краевого условия для одномерного случая
- Проверка корректности работы программного комплекса
Введение к работе
Актуальность проблемы. Промышленное и экономическое освоение северных районов страны, где приходится строить в условиях вечной мерзлоты, вызывает необходимость изучения закономерностей развития мерзлых пород и их свойств, для решения многочисленных теоретических и практических задач. Строительство в условиях сурового климата, повышает требования к теплозащитным качествам применяемых материалов и разрабатываемым проектным решениям. При проектировании обустройства нефтяных и газовых месторождений, огромное значение имеет нахождение температурных полей вечномерзлых грунтов в основании зданий, резервуаров и других тепловыделяющих сооружений. Недостаток информации о температурном режиме грунта может привести к необоснованным проектным решениям. Отсюда следует необходимость увеличения точности расчетов. Увеличение точности подобных расчетов, достигаемое желанием учета неоднородности геологического строения грунтов и нестационарности теплофизических процессов, переводит проблему в разряд нерешаемых аналитически. Единственным способом решения часто является применение численных методов.
В литературе достаточно широко представлены различные математические постановки задач промерзания и оттаивания вечномерзлых грунтов и даны методы их решения. Основная неясность математической постановки задачи касается формулировки краевого условия на нижней границе рассматриваемой области. Проблема состоит в том, что задание температуры или теплового потока - не отвечает никаким реальным физическим процессам на этой границе, и, следовательно, эти условия не являются точными. Принимая во внимание то, что многие задачи практической геокриологии, бывают как одномерными - нахождение сезонных температурных полей вечномерзлых грунтов, так и двумерными -прогнозирование температурных полей вокруг наземных и подземных
5 резервуаров, заглубленных трубопроводов и т.д., представляет очевидный интерес получение результатов для этих случаев.
В работе, опираясь на некоторые особенности физических процессов, удалось получить точную формулировку краевого условия на нижней границе рассматриваемой области в одномерной и двумерной постановке задачи промерзания-оттаивания.
Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является получение и исследование точного аналитического выражения нижнего граничного условия для одномерных и двумерных постановок задачи промерзания-оттаивания.
Для достижения этой цели работы решались следующие задачи:
1. Получение аналитического выражения нижнего граничного
условия для двумерной задачи промерзания оттаивания с нулевым начальным условием.
2. Получение выражения точного краевого условия на нижней
границе для двумерной задачи промерзания-оттаивания с произвольным начальным условием.
3. Получение точного аналитического выражения нижнего
граничного условия для одномерной задачи промерзания
оттаивания с учетом величины геотермического градиента.
4. Разработка программного комплекса для расчета сезонного
профиля температур грунта, а также взаимодействия тепловыделяющих элементов с мерзлыми грунтами, с учетом полученного соотношения для нижнего граничного условия.
5. Постановка и решение задачи описывающей многолетнюю
динамику образования вечномерзлых грунтов.
6. Проведение сравнительного анализа результатов расчетов по
предлагаемой методике с расчетами задач, при традиционной постановке граничных условий.
7. Оценка границ применения традиционных методик расчета и предлагаемой методики расчета тепловых взаимодействий. Научная новизна
Получено точное аналитическое выражение нижнего краевого условия для задач инженерной геокриологии в ограниченных областях, как в случае нулевого начального условия, так и в случае произвольного начального условия.
Получено точное аналитическое выражение краевого условия для задачи промерзания-оттаивания с учетом величины геотермического градиента.
Разработан программный комплекс, позволяющий производить расчеты взаимодействий тепловыделяющих сооружений с мерзлыми грунтами, с учетом полученного точного аналитического выражения для нижнего граничного условия.
Сформулирована новая постановка задачи промерзания-оттаивания, описывающая многолетнюю динамику образования вечномерзлых грунтов.
Практическое значение. Работа имеет практическое значение для
совершенствования нормативно-методической базы инженерно-
геокриологических изысканий под проектирование и строительство зданий и прочих тепловыделяющих сооружений в районах распространения вечномерзлых грунтов. В частности, результаты данной работы позволяют корректировать РД 39-Р-088-91 «Инструкция по определению температурного режима вечномерзлых и сезониомерзлых грунтов и прогнозирования последствий изменения тепловых условий на поверхности».
Правильный вид условий на нижней границе позволит более точно учесть последствия нарушения поверхностных условий при хозяйственном освоении северных территорий.
7 Разработанный программный комплекс, позволяет определить сезонную динамику температурных полей, а также глубину ореола оттаивания под тепловыделяющими конструкциями, с учетом совместного влияния на грунт, как сооружения, так и сезонного изменения температуры на поверхности грунта. Кроме этого, возможно проведение расчетов, позволяющих проследить динамику образования вечномерзлых грунтов.
Обоснованность и достоверность представленных в диссертации теоретических постановок определяется способом вывода из соответствующих законов сохранения и сравнением результатов моделирования с приведенными в научной литературе данными. Надежность численных методов контролировалась соблюдением балансовых соотношений.
При выводе точного аналитического выражения использовалось операционное исчисление: одностороннее и двустороннее преобразования Лапласа.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных и научно-практических дискуссиях:
Международная конференция «Криосфера нефтегазоносных провинций». Тюмень 2004 г.
10-ая Всероссийская конференция студентов-физиков и молодых ученых Москва 2004 г.
Третья конференция геокриологов России. Москва 2005 г. Международная конференция «Приоритетные направления изучения криосферы земли». Пущино 2005 г.
11-ая Всероссийская конференция студентов-физиков и молодых ученых. Екатеринбург 2005 г.
11-ая научная школа-семинар молодых ученых, аспирантов, студентов «Теплофизика, гидрогазодинамика, теплотехника». Тюмень 2005 г.
Международная конференция «Город и геологические опасности». Санкт-Петербург 2006 г.
Научный семинар, посвященный юбилею кафедры «Механики Многофазных систем» ТюмГУ. Тюмень 2006 г.
Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 7 работах.
Структура и объем работы. Диссертация объемом 89 страниц печатного текста, состоит из введения, 3 глав, 7 рисунков, 3 таблиц, основных результатов и выводов, списка литературы из 30 наименований и оглавления.
Методы сведения исходного уравнения теплопроводности к уравнениям другого типа
Одним из самых эффективных способов решения краевых задач является метод конечных разностей. Суть метода такова, что область, в которой некоторая функция /(х,у,г,т) непрерывно изменяется, заменяется дискретным множеством узлов, которые называются сеткой. Соответственно, функция непрерывного аргумента заменяется функцией дискретного аргумента, значение которой определяется в узлах сетки. Производные входящие в дифференциальные уравнения заменяются апроксимируются с помощью разностных соотношений. Дифференциальное уравнение при этом переходит к системе алгебраических разностных уравнений.
Существуют различные типы разностных схем: явная, неявная, явно-неявная. Устойчивость схемы зависит от того, как изменятся решение при изменении входных данных. Например, если решение непрерывно зависит от входных данных при «мелкой» сетке и при незначительном изменении входных параметров решение меняется незначительно, то схема является устойчивой [25].
Ниже рассмотрены некоторые численные методы решения задач промерзания-оттаивания.
Метод сглаживания - состоит в преобразовании искомых функций с их сглаживанием. Для задачи Стефана в обобщенной постановке это способ «размазывания» 8-функции в некотором температурном диапазоне фазовых переходов. Данные операции позволяют избавиться от явного задания координаты фронта, что позволяет проводить численный расчет во всей области. Основными характеристиками сглаживания являются метод аппроксимации 5-функции и ширина интервала, на котором производится сглаживание. При таком подходе весь процесс будет описываться единым квазилинейным уравнением теплопроводности со сложными коэффициентами, существенно зависящими от температуры. Для численной реализации применяются явные и неявные конечно-разностные схемы.
Метод выпрямления фронтов - заключается в фиксации одной из расчетных областей и, соответственно, границы фазового перехода (выпрямление фронта). Для одномерной задачи в том случае если процесс протекает немонотонно, можно применять преобразование Ландау. В задачах с большой размерностью следует применять преобразование Лежандра, что переводит неоднородность условий на фронте в нелинейность основных уравнений. При численной реализации следует применять итерационные методы, которые приводят к линеаризации задачи. Данный метод удобен для решения многофронтовых задач, в том случае, если их число постоянно [3].
Метод с ловлей фронта в узел сетки - реализует неявную разностную схему с фиксированным шагом по координате и переменным по времени. Величина временного шага выбирается таким образом, чтобы граница раздела за это время перемещалась на один пространственный шаг. Численная реализация представляет собой применение метода итераций в сочетании с методом прогонки. В случае монотонного характера продвижения фронта численная схема дает удовлетворительную точность [2]. Возможно обобщение этого метода на немонотонный случай. Для этого необходимо уточнить временной шаг на некоторую величину, которая будет задаваться непосредственно в процессе счета в зависимости от направления и скорости движения фронта. Данный метод позволяет решать одномерные задачи.
Метод прямых - позволяет перейти от исходного дифференциального уравнения к системе к системе дифференциальных уравнений, но с меньшим числом независимых переменных. Основная идея метода это замена производных по одним независимым переменным (координата) разностными соотношениями. Производные по другим переменным остаются без изменений. Для одномерной задачи вышеизложенные преобразования сводят уравнение в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которых реализуется известными численными методами: Эйлера, Рунге-Кутта и т.д.
Метод теплового баланси - позволяет получать схемы, коэффициенты которых для всех узлов сетки будут вычисляться по одним и тем же формулам, как средние значения коэффициентов дифференциального уравнения в окрестности узла сетки. Следовательно, для элементарных ячеек будет выписываться условие теплового баланса. Особенностью применения метода для задачи Стефана является сглаживание функцией Хевисайда при формулировке задачи в энтальпийной форме и использование линейной аппроксимации для ее сглаживания. Ширина интервала сглаживания полностью определяется способом разбиения расчетной области. Для численной реализации используется явная разностная схема расчета.
Метод аддитивного выделения особенности - основан на представлении решения в виде суперпозиции двух функций, таким образом, чтобы для одной из них выполнялись условия сопряжения на границе фазового перехода, а для второй функции условия на границе являлись бы однородными, т.е. не имеющими особенностей внутри расчетной области (отсутствие фронта). Для численной реализации обычно используются итерационные методы. На каждом шаге итерации для второй функции используется схема сквозного счета. Главной проблемой этого метода является тот факт, что у первой функции нет универсального вида, а следовательно ее приходится выбирать для каждого конкретного типа задач.
Численные методы
Подавляющее количество задач инженерной геокриологии предполагает нахождение температурных полей в вечномерзлых грунтах оснований зданий и сооружений. Увеличение точности подобных расчетов, достигаемое желанием учета неоднородности геологического строения грунтов и нестационарности теплофизических процессов, переводит проблему в разряд нерешаемых аналитически. Единственным способом решения часто является применение численных методов. В литературе (см. напр., [13,7]) достаточно широко представлены различные математические постановки задач промерзания и оттаивания вечномерзлых грунтов и даны методы их решения. Основная неясность математической постановки задачи касается формулировки краевого условия на нижней границе рассматриваемой области. Проблема состоит в том, что задание температуры или теплового потока - не отвечает никаким реальным физическим процессам на этой границе, и, следовательно, эти условия не являются точными. В настоящей работе излагается возможный путь решения этой проблемы, опирающийся на некоторые особенности математической постановки задачи.
Наиболее простой вариант предлагаемого метода можно показать на задаче Стефана, хотя возможны и другие постановки. Изменение температуры грунта может быть описано следующей хорошо известной постановкой задачи [26], которая в одномерном случае выглядит так
В данном случае ось Ох направлена вниз, а отметка х=0 соответствует поверхности грунта. Кроме того, h(t) - глубина слоя промерзания в момент времени г, Я- глубина рассматриваемой области, причем H max(h(t)). Индекс 1 соответствует мерзлому грунту, 2 к талому грунту. Краевое условие при х=0 принимается в зависимости от цели решения задачи: постоянная температура, тепловой поток, теплообмен. При х=Н задается или значение функции или ее производная по координате. При этом ни в первом, ни во втором случае это не оправдано с физической точки зрения.
Рассмотрим принципиально иной подход. Поскольку значение координаты х=Н является просто нижней границей рассматриваемой области, то в этой точке нет математических особенностей. Поэтому рассматривая тепловое поле при х Н, можно дополнить задачу (2.1) следующей:
Принципиальной особенностью большинства задач инженерной геокриологии является возможность выбора размера области, то есть значения И, таким образом, чтобы все фазовые превращения влаги, определяющие существенную нелинейность задач промерзания-оттаивания, происходили при х Н. В этом случае в области при х Н процессы теплопередачи описываются линейным уравнением теплопроводности (2.2). Если, решая аналитически задачу (2.2) в полупространстве с произвольными граничными условиями, на границе найти соотношение между функцией и ее производной по координате при х=Н, то это выражение и будет являться точным нижним граничным условием для исходной задачи (2.1). Это очевидно следует из условий стыковки (2.3).
Принимая во внимание, что многие задачи практической геокриологии, такие как прогнозирование температурных полей вокруг наземных и подземных резервуаров, заглубленных трубопроводов являются существенно двумерными, представляет очевидный интерес получение точного краевого условия и для этого случая.
Для двумерной постановки задачи остается такой же, как для одномерной задачи, меняется только сам путь нахождения нижнего граничного условия. Таким образом, рассмотрим следующую задачу: дТ ,д2Т д2Т, = fl(a?+ (2-20) со следующими начальными и граничными условиями:
Здесь ось Ох направлена перпендикулярно поверхности полупространства совпадающей, с плоскостью у=Н.
В двумерной постановке задачи при выводе точного краевого условия первым шагом является проведение двустороннего преобразования Лапласа [5] по переменной с параметром преобразования/):
Вывод точного выражения краевого условия для одномерного случая
Рассмотренная в первой главе общая постановка задачи промерзания-оттаивания оказывается грубой для тонкодисперсных грунтов, таких как песок, супесь, суглинки. Известно, что такие грунты характеризуются большим количеством связанной воды. Свободная влага в таких грунтах замерзает при температуре 0С, а связанная согласно кривой незамерзшей воды в некотором диапазоне отрицательных температур. В результате промерзающую породу можно разделить на три зоны: мерзлая, талая и зона фазовых переходов в которой наряду с незамерзшей водой имеются кристаллы льда. Границей раздела этой зоны с талым грунтом является нулевая изотерма, то есть подвижная граница раздела фаз, на которой замерзает вся свободная вода. Граница между мерзлой зоной и зоной фазовых переходов не такая четкая и определяется температурой, при которой заканчиваются все фазовые переходы. Соответственно для разных грунтов эта температура имеет свое значение. В зоне фазовых переходов превращения происходят с интенсивностью уменьшающейся с понижением температуры и определяемой кривой незамерзшей воды. В данном случае выделение тепла фазовых переходов эквивалентно наличию источников тепла непрерывно распределенных в этой зоне: 1(«)=кр, ьт (3.1) где к - удельная теплота фазового перехода, рг - плотность грунта, wm(T) -содержание незамерзшей воды.
С другой стороны между талой зоной и зоной фазовых переходов температура всегда постоянна и равна температуре начала фазовых переходов.
Здесь происходят фазовые превращения свободной воды. Тогда в выражении (1.1) под удельной теплотой фазовых переходов будет подразумеваться следующее выражение: 6/= 0- (0 (3.2) где w0 - начальная влажность грунта, Тт - температура начала замерзания грунта. Следовательно, в зоне фазовых переходов теплофизические параметры грунтов становятся зависящими от температуры, однако при переходе через границу раздела фаз меняются скачкообразно.
В результате задача промерзания-оттаивания в спектре температур становится нелинейной, в отличие от задачи Стефана, рассмотренной в первой главе, нелинейность которой определяется лишь условием на подвижной границе раздела фаз.
Таким образом, запишем математическую формулировку одномерной задачи промерзания-оттаивания в спектре температур:
Индексы 1 и 2 относятся к мерзлой и талой зонам соответственно, С -объемная теплоемкость грунта, X - теплопроводность грунта, cf - положение границы раздела талой и мерзлой зон, х - координата, t - время. На подвижной границе раздела между зоной талого грунта и зоной фазовых переходов выполняются следующие условия: T {t),t)=T2( t\t) = Tm (3.5) _kdT1{Xtt) им дх дх В выражении (3.6) Q, определяется согласно (3.2). =Qf f- (3.6) Начальные и граничные условия данной задачи можно записать в следующем виде:
Математическую формулировку задачи можно представить в более компактной форме, если ввести понятие эффективной теплоемкости:
Объединив теперь выражения (3.4) и (3.8) можно записать общую математическую постановку задачи промерзания-оттаивания в спектре температур:
В выражении (3.13) верхний знак относится к случаю промерзания, нижний оттаивания. Данная задача достаточно сложная и решается с помощью численного компьютерного моделирования.
Температурное поле грунта при нестационарных условиях теплообмена на поверхности в предположении, что все процессы таянья и кристаллизации происходят в заданном интервале температур от Т до 0 С, описывается уравнением теплопроводности: С(Т) = div(A(T)grad(T)) dt (3.14) где, Т - температура грунта, t - время, Я - коэффициент теплопроводности, С - эффективная теплоемкость. Зависимости Х(Т) и С(Т) определяются следующим образом:
Проверка корректности работы программного комплекса
Очевидно, что при малых значениях глубины расчетной области правомерность применения традиционного нижнего граничного условия вызывает сомнения, в то время как расчетная глубина сезонного оттаивания при использовании на нижней границе условия (3,46), практически не зависит от величины Н.
Проанализируем полученные результаты. При расчетах с использованием на нижней границе равенства нулю производной по координате получаем, что при увеличении нижней границы расчетной области, величина сезонного оттаивания стремится к некоторому значению, которое при дальнейшем увеличении области не меняется. Объяснить подобную зависимость можно следующим образом; так как на нижней границе задано условие равенства нулю производной функции по координате, следовательно, тепловой поток на нижней границе тоже равен нулю. Равенство нулю теплового потока с физической точки зрения означает наличие теплоизоляции на нижней границе. Теперь, если расчетная область небольшая, то по мере приближения к ее нижней границе теплового фронта, происходит как бы «накопление» тепла, следствием чего является завышенное значение величины сезонного слоя. С увеличением глубины расчетной области влияние фронта оттаивания уменьшается, так как с каждым увеличением он находится все дальше и дальше от нижней границы расчетной области, следствием чего оказывается практически полное отсутствие процесса накопления тепла.
В случае, когда на нижней границе задается точное аналитическое граничное условие, величина сезонного оттаивания практически не зависит от глубины расчетной области. Связано это с тем, что в аналитическом граничном условии присутствуют как производная функции на границе, так и сама функция. Как известно, зависимость на верхней границе между производной функции и функцией на границе есть ни что иное, как теплообмен (граничное условие третьего рода). В нашем случае, поскольку производная функции находится под интегралом, то соотношение (3.46) можно назвать как бы «интегральным граничным условием », описывающим процессы теплообмена на нижней границе рассматриваемой области. Следовательно, раз задан теплообмен, то часть тепла уходит через эту границу. За счет этого величина сезонного оттаивания вне зависимости от глубины расчетной области остается постоянной.
Проанализировав результаты, можно оценить границы применения традиционного и предлагаемого граничных условий. Предлагаемое граничное условие можно применять для расчетов для любых глубин расчетных областей. Главным ограничением является только факт того, что фронт оттаивания не должен приближаться к границе области очень близко, то есть если в начальный момент времени температура была отрицательной, то в течение всего расчета она должны быть отрицательной, чтобы не нарушались принципы, заложенные во второй главе для вывода точного аналитического граничного условия. Традиционное условие равенства нулю теплового потока на нижней границе рассматриваемой области можно применять только при больших глубинах расчетной области, чтобы не происходил процесс накопления тепла. А так перед началом расчета невозможно предугадать насколько фронт оттаивания будет далек от границы, то велик риск получить некорректные результаты при выборе глубины расчетной области.
При хозяйственном освоении северных территорий существенно повышаются требования к теплозащитным качествам применяемых материалов и разрабатываемым проектным решениям. Для проектирования обустройства нефтяных и газовых месторождений огромное значение имеет нахождение температурных полей вечномерзлых грунтов в основании зданий, резервуаров и других тепловыделяющих сооружений. Недостаток информации о температурном режиме грунта может привести к необоснованным проектным решениям. Отсюда следует увеличение точности расчетов.
Принимая во внимание, что многие задачи практической геокриологии, такие как прогнозирование температурных полей вокруг наземных и подземных резервуаров, заглубленных трубопроводов являются существенно двумерными, представляется интересным проведение сравнительного анализа результатов расчета с учетом традиционного граничного условия и с учетом точного аналитического двумерного нижнего граничного условия.
