Содержание к диссертации
Введение
1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 11
2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ СОПРЯЖЕННОЙ НЕОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 18
2.1. Постановка задачи 18
2.2. Вариационная формулировка задачи 20
2.2.1. Построение прямого функционала 20
2.2.2. Построение встречного функционала 34
2.3. Требования к аппроксимации допустимых функции
альтернативных функционалов 45
2.3.1. Допустимые функции прямого функционала 45
2.3.2. Допустимые функции встречного функционала 48
2.4. Оценка точности численного решения 50
2.4.1. Определение среднеквадратической погрешности 50
2.4.2. Определение двусторонней оценки собственных значений оператора задачи 57
3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ СОПРЯЖЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 64
3.1. Постановка задачи 64
3.2. Вариационная формулировка задачи 66
3.2.1. Построение прямого функционала 66
3.2.2. Построение встречного функционала 78
3.3. Требования к аппроксимации допустимых функций альтернативных функционалов 87
3.3.1. Допустимые функции прямого функционала 87
3.3.2. Допустимые функции встречного функционала 89
3.4. Оценка точности численного решения 90
3.4.1. Определение среднеквадратической погрешности 90
3.4.2. Определение нижней границы первого собственного значения оператора задачи 95
4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 100
4.1. Однородное ребро , 100
4.1.1. Постановка задачи 100
4.1.2. Вариационная формулировка задачи 101
4.1.3. Аналитическое решение 102
4.1.4. Численное решение 106
4.1.5. Результаты компьютерного моделирования 106
4.2. Неоднородный стержень 112
4.2.1. Постановка задачи 112
4.2.2. Вариационная формулировка задачи 113
4.2.3. Аналитическое решение 114
4.2.4. Численное решение 119
4.2.5. Результаты компьютерного моделирования 119
4.3. Оболочка камеры сгорания двигателя 126
4.3.1. Случай идеального контакта между внутренней и наружной стенкой 126
4.3.1.1. Постановка задачи 126
4.3.1.2. Вариационная формулировка задачи 129
4.3.1.3. Применение метода конечных элементов 133
4.3.1.4. Определение разности значений функционалов 138
4.3.1.5. Результаты компьютерного моделирования 142
4.3.2. Случай неидеального контакта между внутренней и наружной стенкой 153
4.3.2.1. Постановка задачи 153
4.3.2.2. Вариационная формулировка задачи 155
4.3.2.3. Результаты компьютерного моделирования 156
РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 164
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 166
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОВЕДЕННЫХ
ИССЛЕДОВАНИЙ К НЕСВЯЗНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕРМОУПРУГОСТИ .,172
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 198
- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
- Постановка задачи
- Вариационная формулировка задачи
- Однородное ребро
Введение к работе
Актуальность работы. Проблема достоверности определения температурного состояния элементов конструкции является в современной технике одной из важнейших. От успешного ее решения зависят возможности повышения надежности, эффективности и ресурса работы энергетических установок и теплонапряженных узлов различных машин и агрегатов.
Нахождению точного аналитического решения задач по определению температурного состояния посвящена обширная литература, но нахождение точного аналитического решения, как правило связано с большими, а иногда с непреодолимыми трудностями. С прикладной же точки зрения наряду с аналитическим решением не меньшее значение имеет получение приближенного численного решения. Причем приближенные методы с инженерной точки зрения считаются приемлемыми, если при разумных затратах труда и времени дают не только необходимую информацию о значениях искомых функций, но и обеспечивают оценку достоверности этой информации.
В последнее время при разработке и сравнительном анализе методов решения задач теплопроводности указанному требованию уделяется определенное внимание, однако эти вопросы еще не получили достаточного освещения. В данной работе предпринята попытка положить в основу изложения методов расчета инженерный подход, предусматривающий возможность оценки достоверности получаемой информации о температурном состоянии конструкции.
Данная работа посвящена построению вариационной постановки сопряженных задач для тел различной структуры и нахождению среднеквадратиче-ской погрешности численного решения таких сопряженных задач. Показано, что вариационная формулировка сопряженных задач теплопроводности не только дает возможность эффективно использовать приближенные методы для расчета температурного поля в твердом теле, но и содержит в себе объективный интегральный критерий точности получаемого приближенного решения. В работе представлено применение метода конечных элементов для численного решения сопряженных задач стационарной теплопроводности и оценки погрешности этого решения, а также разработан метод нахождения нижней границы первого собственного значения операторов рассматриваемых задач, которая необходима для нахождения среднеквадратической погрешности.
Цель работы состоит в разработке численных алгоритмов для математического моделирования температурного состояния стационарных сопряженных задач теплопроводности и определению оценки погрешности полученного приближенного решения.
Поставленная цель достигается на основе решения следующих задач: - построение двойственной вариационной формулировки сопряженных Задач стационарной теплопроводности;
разработка методики определения среднеквадратической погрешности численного решения сопряженных стационарных задач теплопроводности;
разработка методики определения двусторонних оценок собственных значений положительно определенного оператора с положительно определенным весом.
Научная новизна. Разработана методика определения среднеквадратической погрешности численного решения сопряженных стационарных задач теплопроводности, а также методика определения двусторонних оценок собственных значений положительно определенного оператора с положительно определенным весом. Методами математического моделирования изучено влияние густоты сетки конечно элементной модели на погрешность численного решения стационарных сопряженных задач теплопроводности.
Получена двойственная вариационная формулировка для сопряженной стационарной нелинейной задачи теплопроводности в теле, состоящем из N однородных частей, в каждой из которых коэффициент теплопроводности материала зависит от распределения температуры в теле.
Достоверность результатов основана на использовании современных методов математического моделирования и классических положений теории теплопроводности, строгости применяемых математических методов, а также на совпадении полученных численных результатов с известными аналитиче-. скими решениями.
Практическая значимость. Материалы диссертации могут быть использованы в разработках НИИ и КБ, ведущих исследования в области создания, расчетов, анализа работоспособности и применения конструкций, подверженных интенсивным тепловым воздействиям.
На защиту выносятся следующие положения:
двойственная вариационная формулировка сопряженной задачи стационарной теплопроводности в теле, состоящем из JV однородных частей, в каждой из которых коэффициент теплопроводности материала зависит от распределения температуры в теле;
методика определения двусторонних оценок собственных значений положительно определенного оператора с положительно определенным весом;
методика определения среднеквадратической погрешности численного решения сопряженных нелинейных стационарных задач теплопроводности;
результаты математического моделирования температурного состояния те-плонапряженных конструкций.
Апробация. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены на XIV Школе-семинаре молодых-ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева в г. Рыбинске в 2003г.; Научно-методической конференции, посвященной 40-летию НУК ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2004г.; XV Школе-семинаре молодых-ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева в г.
Калуге в 2005г.; международной научной конференции «Ракетно-космическая техника: фундаментальные и прикладные программы механики», посвященной 90-летию Феодосьева В.И. в г. Москве в 2006г.; научных конференциях студентов и аспирантов МГТУ им. Н.Э. Баумана и научных семинарах кафедры «Прикладная математика» в 2003 — 2006г.
Публикации. Основное содержание работы изложены в статьях и тезисах выступлений на конференции [1—6].
Методы решения стационарных задач теплопроводности
Методы решения стационарных задач теплопроводности ло общим признакам можно разделить на:
точные аналитические,
приближенные аналитические,
численные методы.
Аналитические методы позволяют получить функциональные зависимости для распределения температуры и проанализировать влияние различных факторов на температурное состояние тела. Численные методы дают значения температурного поля в некотором заданном наборе точек тела. К таким методам стоит отнести и методы моделирования температурного состояния, основанные на математической аналогии процессов теплопроводности с некоторыми другими физическими явлениями, например, с процессом распространения зарядов в электрических цепях [16, 35]. Однако, с одной стороны, результаты численного решения задачи теплопроводности можно аппроксимировать [4, 29, 43] для дальнейшего использования аналитические зависимости, а с другой, полученное аналитическое решение, можно представить в виде набора значений температуры в некотором множестве точек тела. Поэтому деление методов на аналитические и численные является, строго говоря, условным, особенно, если в процессе решения задачи теплопроводности устанавливается аналитическая зависимость температурного поля тела от координат, а коэффициенты этой зависимости представлены в числовом виде.
Далее кратко рассмотрим методы решения задач теплопроводности, характерные для различных вариантов их математической формулировки. Многомерное стационарное распределение температуры Т(м) в
точках М объема тела V описывается дифференциальным уравнением второго порядка эллиптического типа где Х(М,Т) -коэффициенттеплопроводности материала; qv(M,T) -объемная плотность мощности энерговыделения.
Уравнения этого типа наиболее детально изучены в математической физике [45, 63], когда коэффициент теплопроводности X не зависит от распределения температуры в объеме тела, а граничные условия выражаются линейной комбинацией температуры и ее градиента на поверхности тела. В этом случае может быть получено точное аналитическое решение уравнения (1.1). Если же в теле действуют внутренние источники теплоты, объемная мощность которых qv является функцией температуры, то эта функция должна быть линейной. Данное требование можно удовлетворить путем линеаризации нелинейного уравнения (l.l). В самом простом случае в функции Х(М,Т) заменяют переменный аргумент Т значением некоторой постоянной определяющей температуры. Выбор этого значения должен базироваться на предварительном качественном анализе, который учитывает характер ожидаемого температурного поля в теле и поведении функции Х(М,Т) в диапазоне возможного изменения температуры.
Постановка задачи
Рассмотрим процесс стационарной теплопроводности в неоднородном теле (рис. 2.1), состоящем из N разнородных контактирующих между собой частей объемами V,-, і -1, N. В каждой из этих частей распределение температуры ТДМ,-) описывается дифференциальным уравнением в котором коэффициент теплопроводности ХІ(МІ) зависит от положения точки Mj в объеме V;, а объемная плотность мощности энерговыделения является, кроме того, еще и функцией температуры.
Пусть поверхность F/ каждой из частей неоднородного тела содержит: участок F], , на котором заданы нелинейные граничные условия вида участок F2i-, на котором задано распределение температуры и контактные участки Fsi, на которых заданы условия теплообмена с тонкой промежуточной прослойкой, имеющей одинаковую по своей толщине температуру Ts (Рх), известные функции координат точки Pt и температуры 7}(7/) в этой точке; fSi (Pj, Tj {Pj), 7 (Ps)) - известные функции координат точки Pj и температур 7)(//) и TS(PS) в этой точке; /цІРЇ) - известные функции координат точки
К формулировке задачи теплопроводности для неоднородного тела
В промежуточной прослойке могут действовать источники теплоты с поверхностной мощностью энерговыделения qs(Ps Ts)} так что в любой точке Ps прослойки, разделяющей части неоднородного тела .
Здесь знак пересечения П говорит о том, что точки Р{, Р}- и Ps принадлежат одновременно поверхностям Fsi и sj контактирующих частей с номерами і и j. В дальнейшем все участки контактных поверхностей будем обозначать Fs, а точки Pi и Pj будем считать совпадающими с соответствующей точкой Ps, хотя значения температур Т Щ), Т;\РА и T4[PS) в общем случае не будут совпадать между собой.
Таким образом, совокупность уравнений вида (2.і) для всех частей неоднородного тела в сочетании с граничными условиями (2.2)-(2,5) составляют математическую формулировку сопряженной задачи стационарной теплопроводности тела, состоящего из N неоднородных частей.
Вариационная формулировка задачи
Рассмотрим процесс стационарной теплопроводности в теле (рис. 2.1), состоящем из N однородных контактирующих между собой частей объемами V/; i = l,N. В каждой из этих частей распределение температуры Т( ІМ-І) описывается дифференциальным уравнением в котором коэффициент теплопроводности ХД2]) не зависит явным образом от положения точки Mj в объеме V;, но зависит от распределения температуры 7), а объемная плотность мощности энерговыделения кроме того, является еще и явной функцией положения ТОЧКИ Mj в объеме Vj.
Пусть поверхность Fj каждой из частей тела, как и в предыдущем случае (см. главу 2), содержит:
участок F];-, на котором заданы нелинейные граничные условия вида участок F2p на котором задано распределение температуры
и контактные участки Fi;-, на которых заданы условия теплообмена с тонкой промежуточной прослойкой, имеющей одинаковую по своей толщине температуру 7 (/ ), единичные векторы внешней нормали к известные функции координат точки Pt и температуры 7}{/}) в этой точке; fSf{Pi,Tj{Pj),Ts[Ps)) - известные функции координат точки Pf и температур Ti(Pj) и TS(PS) в этой точке; /гД- О известные функции координат точки
Pi Также будем предполагать, что в тонкой промежуточной прослойке действуют источники теплоты с поверхностной мощностью энерговыделения qs(Ps,Ts), так что в любой точке Ps прослойки, разделяющей части тела с номерами і и j (і, j = 1,JV), должно выполнятся условие теплового баланса
Здесь знак пересечения П говорит о том, что точки Ph Pj и Ps принадлежат одновременно поверхностям Vsi и s: контактирующих частей с номерами / и j. В дальнейшем все участки контактных поверхностей будем обозначать Fs, а точки Pt и Р: будем считать совпадающими с соответствующей точкой Ts, хотя значения температур Т Щ), Т:\РЛ и TS(PS) в общем случае не будут совпадать между собой.
Таким образом, совокупность уравнений вида (З.і) для всех частей тела в сочетании с граничными условиями (3.2)-(3.5) составляют математическую формулировку сопряженной нелинейной задачи стационарной теплопроводности тела, состоящего из iV однородных частей.
Однородное ребро
Рассмотрим двумерное прямое ребро высотой L и толщиной 5 = 2/г (рис. 4.1) с заданной температурой основания Г0 и идеально теплоизолированным торцом. На боковой поверхности происходит конвективный теплообмен с постоянным коэффициентом теплообмена ас со средой, имеющей температуру Тс. В силу симметрии ребра относительно оси достаточно рассмотреть его половину и в случае постоянности коэффициента теплопроводности X можем записать следующую математическую формулировку для определения температурного состояния двумерного прямого ребра.
