Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор работ в области разработки аналитических методов решения краевых задач 9
2. Метод дополнительных граничных условий в нестационарных задачах теплопроводности 15
2.1. Неограниченная пластина (алгебраические координатные функции) 15
2.2. Тригонометрические координатные функции 24
2.3. Неограниченная пластина (граничные условия третьего рода) 32
2.4. Бесконечный цилиндр (граничные условия первого рода) 38
2.5. Бесконечный цилиндр (граничные условия третьего рода) 45
2.6. Шар (граничные условия первого рода) 51
2.7. Шар (граничные условия третьего рода) 55
2.8. Задачи теплопроводности при несимметричных граничных условиях третьего рода 60
2.9. Нестационарные обратные задачи теплопроводности 67
2.10. Метод дополнительных граничных условий в задачах
теплопроводности для многослойных конструкций 75
3. Совместное использование точных методов и ортогональных методов взвешенных невязок
3.1. Совместное использование интегрального преобразования Лапласа и ортогонального метода Бубнова-Галеркина 81
3.2. Приближенные решения нелинейных задач теплопроводности 85
3.3. Задачи теплопроводности с источниками теплоты (граничные условия 1 -го рода)... 88 3 А. Нелинейные задачи теплопроводности для многослойных конструкций 90
3.5. Совместное использование интегральных преобразований Лапласа и ортогонального метода Бубнова-Галеркина в задачах теплопроводности для многослойных конструкций 94
3.6. Разработка комплексов программ применительно к решению нелинейных задач теплопроводности, задач теплопроводности для многослойных конструкций численными методами 96
4. Аналитические решения задач нестационарного теплообмена при течении жидкостей в трубах и плоских каналах
4.1. Использование метода дополнительных граничных условий для расчета теплообмена в плоском канале при постоянной температуре стенки 100
4.2. Стержневое и ламинарное течение в плоскопараллельном канале 106
4.3. Расчет теплообмена с учетом теплоты трения 109
4.4. Температура стенки - линейная функция координаты, направленной вдоль течения потока 111
4.5. Расчет теплообмена при течении жидкости в многослойных плоских теплообменниках 112
4.6. Приближенное решение нестационарной задачи теплообмена для турбулентного потока жидкости 119
Основные выводы и результаты работы 124
Библиографический список
- Неограниченная пластина (алгебраические координатные функции)
- Бесконечный цилиндр (граничные условия первого рода)
- Приближенные решения нелинейных задач теплопроводности
- Стержневое и ламинарное течение в плоскопараллельном канале
Введение к работе
Актуальность проблемы.
Сущность методологии математического моделирования состоит в замене изучаемого явления его «образом» - математической моделью и в дальнейшем изучении ее аналитическими и численными методами. Оно сочетает в себе достоинства как теории, так и эксперимента. Изучение не самого явления, а его математической модели, дает возможность исследовать не только линейные, но и нелинейные явления, которые, как правило, не допускают какой-либо общей аналитической схемы и требуют каждый раз индивидуального подхода.
Одним из перспективных направлений математического моделирования задач теплопереноса является совместное использование точных (Фурье, интегральных преобразований и др.) и приближенных аналитических (вариационных, взвешенных невязок и др.) методов. Такой комплексный подход позволяет наилучшим образом использовать положительные стороны этих двух важнейших аппаратов прикладной математики, т.к. появляется возможность без проведения тонких и громоздких математических расчетов получать выражения, эквивалентные главной части точного решения, состоящего из бесконечного функционального ряда.
Особое место среди приближенных аналитических методов занимают методы взвешенных невязок (ортогональный метод Бубнова-Галеркина). Отличительной особенностью этих методов является их универсальность и простота реализации при достаточно высокой точности, возможность применения для решения задач, не связанных с вариационными принципами. Эти методы в конечном итоге приводят к решению систем алгебраических линейных уравнений и в дальнейшем к нахождению собственных чисел из алгебраического полинома. Такая алгебраизация задачи позволяет наиболее трудоемкую часть получения решения переложить на современные средства вычислительной техники. При всем этом окончательное решение является аналитическим в виде ряда с коэффициентами, экспоненциально стабилизирующимися во времени. ... Отличие этих методов от классических в том, что собственные числа в ортогональных методах взвешенных невязок находятся из выполнения основного дифференциального уравнения путем решения алгебраического полинома соответствующей степени (в зависимости от числа приближений). Граничные условия при этом выполняются точно путем решения системы алгебраических линейных уравнений. Таким образом, в методах взвешенных невязок точность получаемого решения зависит лишь от точности выполнения исходного дифференциального уравнения и эта точность будет зависеть от числа приближений. В классических методах заранее точно удовлетворяется исходное дифференциальное уравнение, а собственные числа находятся из граничных условий путем решения трансцендентных уравнений. Следовательно, точность решения здесь зависит от точности выполнения граничных условий, которая в свою очередь зависит от числа приближений. Отметим, что для одних и тех же задач (например, при несимметричных и неоднородных граничных условиях третьего рода) решение трансцендентного уравнения представляется значительно более сложной проблемой, чем решение соответствующей степени (по числу приближений) алгебраического полинома. Весьма важным является тот факт, что при использовании методов взвешенных невязок основное дифференциальное уравнение (Бесселя, Штурма-Лиувилля и др.) удовлетворяется путем составления его невязки и требования ортогональности невязки ко всем координатным (или собственным) функциям. В связи с чем эти методы могут быть применены к любым дифференциальным уравнениям независимо от вида дифференциального оператора краевой задачи.
Несмотря на очевидные преимущества методов взвешенных невязок, они пока еще недостаточно разработаны применительно к решению задач теплопроводности с переменными по координатам физическими свойствами среды, с переменными во времени граничными условиями и источниками теплоты, нелинейных задач теплопроводности, а также задач теплопроводности для многослойных конструкций.
Цель работы
Разработка аналитического метода решения краевых задач нестационарной теплопроводности на основе введения дополнительных граничных условий, получаемых из дифференциального уравнения краевой задачи путем его дифференцирования применительно к граничным точкам области
Методы исследования
В диссертации использованы следующие методы: разделение переменных (метод Фурье), ортогональный метод Бубнова-Галеркина, метод Л.В. Канторовича, метод интегральных преобразований Лапласа.
Научная новизна
1. Разработан новый подход к определению собственных чисел краевых задач Бесселя, Штурма-Лиувилля и др., основанный на интегрировании их невязки и требовании ортогональности невязки ко всем собственным функциям с последующим получением алгебраического полинома для нахождения собственных значений.
2. Показана необходимость введения дополнительных- граничных условий, связанная с появлением нового неизвестного параметра м (собственные числа) в результате разделения переменных в исходном дифференциальном уравнении, и разработан метод их получения, основанный на дифференцировании исходного уравнения и применении получаемых соотношений к граничным точкам краевой задачи.
3. Разработан аналитический метод решения обратных задач теплопроводности по идентификации физических свойств среды, граничных и начальных условий телеобмена, основанный на использовании аналитических решений, полученных на основе совместного использовании методов Фурье и ортогонального метода Бубнова-Галеркина.
4. Разработан комплекс программ применительно к решению линейных и нелинейных задач теплопроводности для многослойных конструкций численными методами.
Положения выносимые на защиту:
1. Результаты разработки нового подхода к определению собственных чисел краевых задач Бесселя, Штурма-Лиувилля и др., основанного на использовании ортогональных методов взвешенных невязок (метод Бубнова-Галеркина) и дополнительных граничных условий.
2. Результаты разработки метода получения дополнительных граничных условий, определяемых из исходного уравнения краевой задачи путем его дифференцирования применительно к граничным точкам рассматриваемой области.
3. Результаты разработки аналитического метода решения обратных задач теплопроводности, позволяющего идентифицировать физические свойства среды, граничные и начальные условия теплообмена на основе имеющегося аналитического (приближенного аналитического) решения краевой задачи.
4. Результаты разработки комплекса программ применительно к решению линейных и нелинейных задач теплопроводности для многослойных конструкций с использованием численных методов.
5. Результаты расчетов коэффициентов теплоотдачи в набивках вращающихся регенеративных воздухоподогревателей путем решения - обратной задачи теплопроводности на основе полученных в диссертации аналитических решений прямых задач.
Достоверность
Достоверность результатов подтверждается использованием математических моделей, адекватных реальным физическим процессам, протекающим в конкретных теплотехнических установках, а также сравнением полученных в диссертации результатов с точными аналитическими решениями, с результатами расчетов численными методами и с данными натурных экспериментов.
Практическая ценность работы
1. Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором на кафедре « Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» Самарского государственного технического университета. Исследования проводились по планам госбюджетной тематики Минвуза РФ № 551/02 «Разработка методов определения собственных значений в краевых задачах теплопроводности», а также по планам ниокровских работ ОАО «Самараэнерго» за 2002 - 2005 г.г. Научные и практические результаты использованы на Самарской ТЭЦ, Безымянской ТЭЦ, Тольяттинской ТЭЦ, Самарской ГРЭС, Новокуйбышевской ТЭЦ-2, ТЭЦ ВАЗа, в Самарских тепловых сетях, Ульяновских тепловых сетях, Тольяттинских тепловых сетях, Саратовских тепловых сетях, тепловых сетях от Балаковской ТЭЦ-4. Экономический эффект от внедрения, подтвержденный актами о внедрении, приведенными в приложениях диссертации, составляет 16080 000 рублей.
2. С использованием разработанных в диссертации методов путем решения обратной задачи теплопроводности найдены коэффициенты теплоотдачи в набивках регенеративных воздухоподогревателей Новокуйбышевской ТЭЦ-2 (акт о внедрении работы приведен в приложениях диссертации).
3. Результаты работы были использованы при разработке компьютерных моделей теплосети Самарской ТЭЦ, цирксистемы Новокуйбышевской ТЭЦ-2, теплосетей от Привокзальной отопительной котельной г. Самары (акты о внедрении приведены в приложениях диссертации).
Апробация работы
Основные результаты работы были доложены и обсуждены на Четвертой Международной конференции «Обратные задачи: идентификация проектирование и управление». Москва, МАИ. 2003; Пятом Минском Международном форуме по тепло- и массообмену. Минск. АНБ. 2004; Всероссийской науч.-тех. конференции «Математические моделирование и краевые задачи». 2004г.
Публикации
По результатам выполненных исследований опубликовано 20 научных работ, в том числе 6 статей в центральных академических изданиях, 5 статей в Вестнике Самарского государственного технического университета, а также напечатана одна монография и одно учебное пособие в соавторстве.
Структура и объем работы
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка используемой литературы, приложений: изложена на 129 страницах основного машинописного текста, содержит 41 рисунок, 10 таблиц. Список использованной литературы включает 93 наименования.
Неограниченная пластина (алгебраические координатные функции)
Рассмотрим методику определения собственных чисел, основанную на совместном использовании метода Фурье и методов взвешенных невязок. При таком подходе на первоначально принимаемое решение в виде простого алгебраического или тригонометрического полинома не накладывается никаких предварительных условий. Неизвестные коэффициенты решения определяются из выполнения основных и дополнительных граничных условий. Собственные числа находятся путём интегрирования невязки основного дифференциального уравнения либо из условия ортогональности невязки к собственной функции.
В качестве конкретного примера рассмотрим задачу теплопроводности для бесконечно - протяжённой пластины при граничных условиях первого рода d@(p,Fo) _d2e(p,Fo) dFo dp 2 , (Fo 0;0 p l) (2.1) 0(p,O) = 1; (2.2) de(0,Fo)/dp = 0; (2.3) 0(l,Fo) = O, (2.4) где (p,Fo) = (T-Тст)/(Т0-Тст) - относительная избыточная температура; Тст -температура пластины при р = 1; р = x/S - безразмерная координата; S - половина толщины пластины; Г0 - начальная температура; Fo = ат/5 — число Фурье; а - коэффициент температуропроводности; т - время. Следуя методу Фурье, решение задачи (2.1) - (2.4) принимается в виде (p,Fo) = p(FoW(p). (2.5) Подставляя (2.5) в (2.1), находим = -Х\ (PI{Fo)_ II{p) p(Fo) 4 (р) Отсюда получаем следующие два обыкновенных дифференциальных уравнения dcp{Fo)/dFo + X2(p{Fo) = 0; (2.6) d24 (p)/dp2 + Я2 (р) = 0, (2.7) где Я2 - некоторая постоянная. Решение уравнения (2.6), как известно, имеет вид (p(Fo) = Aexp(-A2Fo), , (2.8) где А - неизвестный коэффициент. Уравнение Штурма - Лиувилля (2.7) представим следующим образом Ч"Чр) + / (/ ) = 0, (2.9) где /л = Л2. Граничные условия для уравнения (2.9) согласно (2.3), (2.4) будут V7(0) = 0; (2.10) F(1) = 0. (2.11) Решение задачи (2.9) - (2.11) разыскивается в виде следующего ряда (//,pbc,JV,.(p), (2.12) (=0 где С;, (/ = 0,п) - неизвестные постоянные, определяемые из граничных условий задачи; Nt(p) = р — координатные функции (алгебраический или тригонометрический полином).
Если ограничиться, например, пятью членами ряда (2.12) (п = 4), то будем иметь пять неизвестных коэффициентов С,., (/ = 0,4), а граничных условий только два (2.10), (2.11). В связи с чем, необходимо добавить ещё три дополнительных граничных условия, которые находятся из условия (2.10) и из уравнения (2.9) путём выполнения уравнения (2.9), а также производных от него различного порядка в граничных точках р = 0 и р = 1. Такие дополнительные граничные условия будут иметь вид W(0) = const = 1; (2.13) Ч"7(1) = 0; (2.14) Ч"7/(0) = 0. (2.15)
Необходимость введения дополнительных граничных условий объясняется тем, что в уравнениях (2.6), (2.7) появляется новый неизвестный параметр ju, который находится из алгебраического полинома, получаемого в результате подстановки (2.12) в дифференциальное уравнение (2.9). В зависимости от числа членов ряда (2.12) вводится соответствующее число дополнительных граничных условий и в итоге получается соответствующее количество собственных чисел.
Подставляя (2.12) в (2.10), (2.11), (2.13) - (2.15), получим пять алгебраических линейных уравнений относительно пяти неизвестных Сг При этом каждое из неизвестных С0, Сх, С2 входит лишь в одно уравнение, из которого они легко определяются. Все эти уравнения получаются из граничных условий при р = 0 (условия (2.10), (2.13), (2.15)). Относительно неизвестных С3, С4 необходимо решить два взаимосвязанных алгебраических линейных уравнения. В итоге для всех искомых неизвестных постоянных будем иметь следующие значения С0=1; С1=0; С2=-1,2; С3=0; С4=0,2. Подставляя найденные значения С, в (2.12), получим Ч/(р) = 1-\,2р2+0,2р4. (2.16) Для определения первого собственного числа найдём интеграл взвешенной невязки уравнения (2.9), т.е. )[II(p) + M4>(p)}dp = 0.
Подставляя (2.16) в (2.17), относительно /л получим алгебраический полином первой степени, из которого находим /«, = 2,5.
Точное значение первого собственного числа рх = 2,46740110027 [49]. Для уточнения первого собственного числа составим невязку уравнения (2.9) и потребуем ортогональность невязки к функции (2.16), т.е.
Бесконечный цилиндр (граничные условия первого рода)
Рассмотренную в п. 2.1 - 2.3 методику определения собственных чисел краевой задачи Штурма - Лиувилля можно применить и к уравнению Бесселя, получающемуся после разделения переменных в уравнении теплопроводности для неограниченного цилиндра. Математическая постановка задачи при граничных условиях 1 -го рода в данном случае имеет вид m{P,Fo)J &{pFo)+LM(P,Fo). (Fo 0;0 p 1) (267) dFo dp р dp 0(/?,О) = 1; (2.68) (l,Fo) = 0; (2.69) = 0, (2.70) dp где Q = (Tcm)/(TQ cm) — относительная избыточная температура; Fo = ат/R2 -число Фурье; р = r/R - безразмерная координата; R - радиус цилиндра; Т0 - начальная температура; Тст — температура стенки; а — коэффициент температуропроводности, т — время; г - координата.
Следуя методу разделения переменных, решение задачи (2.67) - (2.70) разыскивается в виде (p,Fo) = (p(Fo)X(p). (2.71) Подставляя (2.71) в (2.67), получим d(p(Fo)/dFo + ju p(Fo) = 0; (2.72) Ш + 1 М + мХ(р) = 0. (2.73) dp р dp Решение уравнения (2.72), как известно, имеет вид (p(Fo) = A exp(-ju Fo). (2.74)
Решение уравнения Бесселя (2.73) разыскивается в виде следующего алгебраического полинома X(M,p) = ZCiNi(p), (2.75) ;=0 где С, - неизвестные коэффициенты; Nt (р) = р — координатные функции. Для нахождения коэффициентов С, к основным граничным условиям (2.69), (2.70), записанным для функции Х{р) в виде Х(1) = 0; (2.76) Xі(0) = 0, (2.77) вводятся дополнительные граничные условия, получаемые из условия (2.77) и дифференциального уравнения (2.73).
Дополнительные граничные условия получаются путём дифференцирования уравнения (2.73) по р применительно к точкам р = 0 и р — \. Непосредственно из уравнения (2.73) в точке р = 1 с учётом основного граничного условия (2.76) будем иметь следующее дополнительное граничное условие Х7/(1) + Х7(1) = 0. (2.78) В точке р = 0 уравнение (2.73) принимает вид Хц(0) + -Х!(0) + МХ(0) = 0. Р Раскрывая неопределённость во втором слагаемом по правилу Лопиталя и учитывая, что Х(0) = const = 1, получим Х"(0) + Х" (0) + // = 0. Отсюда получаем следующее дополнительное граничное условие Xй (0) = -///2. (2.79)
Дифференцируя уравнение (2.73) по р, в точке р-\ получим дополнительное граничное условие вида Хт (1) + X" (1)- Xі (1) + juX1 (1) = 0. (2.80) Ввиду того что в точке р = 1 задано известное для всего времени протекания процесса значение искомой функции (граничное условие 1-го рода), последующие дополнительные граничные условия будем получать лишь для точки р = 0. Для этого возьмём производную по р от уравнения (2.73) Хт(р) + -ХІІ(р)-\хІ(р) + рХІ(р) = 0. Р Р Раскрывая неопределённости по правилу Лопиталя в точке р = 0 и учитывая, что Xі (0) = 0, получим 1 (0) + 1 (0)- (0) = -1 (0) = 0. Отсюда можно записать дополнительное граничное условие вида Хя/(0) = 0. (2.81) Для получения следующего граничного условия продифференцируем уравнение (2.73) дважды по р Xlv{p) + ±-X"I{p)--\x"{p) + lTXI{p) + pX"{p) = 0. р р р Раскрывая неопределённости при р = 0 по правилу Лопиталя и учитывая, что X" (0) = - ju/2, получим X,V{0) + XIV{0)-XIV(0)+ XIV{0)- - = -XIV (0)-р2/2 = 0. 6 2 3 Отсюда получаем ещё одно дополнительное граничное условие Xlv (0) = 3///8. (2.82)
Аналогично путём взятия производных более высоких степеней от уравнения (2.73) и раскрытия неопределённостей по правилу Лопиталя можно получить какое угодно количество дополнительных граничных условий.
Приближенные решения нелинейных задач теплопроводности
Для получения приближенных решений нелинейных задач весьма полезным оказывается применение прямых методов (вариационных, взвешенных невязок и др.). Среди вариационных методов следует выделить метод Канторовича, позволяющий получать решения без предварительной линеаризации.
Найдем решение нелинейной задачи нестационарной теплопроводности для однородной неограниченной пластины при симметричных граничных условиях 1-го рода. Математическая постановка задачи в случае, когда коэффициент теплопроводности является линейной функцией температуры X (т) = X 0(l + ДГ), имеет вид (3.30) (3.31) (3.32) (3.33) (3.34) 8T(x,Fo) = d2T(x,Fo) р д \T FofT{x,Fo) dFo дх2 дх[_ дх Т(х,0) = Т0; dT{0,Fo) = 0; дх T{\,Fo) = Tx. Приближенное решение задачи (3.30)-(3.33) разыскивается в виде r( ,Fo) = +/(F0)(l-x2). Потребуем, чтобы искомое решение удовлетворяло не первоначальному урав нению (3.30), а осредненному KdT(x,Fo)dx = lr T(x1Fo)dx+ 0 \д_ I dFo І дх2 1дх T(x,Fo) dT(x,Fo) дх дх. (3.35) Подставляя (3.34) в (3.35), будем иметь \ -(г+щ)ЛРо). (3.36) Уравнение (3.36) является линейным обыкновенным дифференциальным уравнением. Разделяя переменные и интегрируя, получим f(Fo) = Сехр[- 3(1 + pTx)Fo\. (3.37) Для определения постоянной С используем начальное условие (3.31) \[TlQ+c(l-x2)]dx = 0. (3.38) о Отсюда С = 1,5(Г0-7;). Для относительной избыточной температуры будем иметь формулу {x,Fo)=T F = l,5exp[-3(l + / )Fo](l-x2). (3.39) А А При Р = 0 получаем выражение,! совпадающее с решением (4.63) линейной задачи в нулевом приближении. Найдем решение задачи в первом приближении. Требуя ортогональность невязки уравнения (3.35) к координатной функции (і - х2), получим J- = -2,5/[l + /?(A + 0,4/)]. Разделяя переменные и производя преобразования, приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению
Формула (3.55) полностью совпадает с решением задачи (3.46)-(3.49) в первом приближении, полученным в [225] путем совместного использования интегральных преобразований Лапласа и ортогонального метода Бубнова-Галеркина..
Анализируя полученное решение, можно заметить, что первое слагаемое представляет решение задачи теплопроводности при отсутствии источников теплоты. Отметим также, что при малых значениях Fo определяющее влияние на распределение температуры оказывает первый член соотношения (3.55), а при больших Fo — второй член, содержащий источник теплоты.
Изучение нелинейных процессов представляет большой практический интерес, так как подавляющее большинство процессов, протекающих в природе, нелинейны. Учет нелинейности значительно усложняет математическую, постановку задачи. Точные решения известны лишь для весьма малого круга наиболее простых задач, в связи с чем весьма актуальной является проблема получения хотя бы приближенных решений таких задач.
Для получения приближенных. аналитических решений нелинейных задач весьма полезным оказывается применение прямых методов (вариационных, взвешенных невязок). Среди этих методов особенно эффективным оказывается метод Канторовича [69], позволяющий получать их решения без предварительной линеаризации. Решение нелинейных задач теплопроводности для многослойных конструкций связано с трудностями определения координатных систем, удовлетворяющих условиям сопряжения. Применение способов построения координатных систем, рассмотренных выше, позволяет свести задачу для многослойной конструкции к решению обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций времени.
Стержневое и ламинарное течение в плоскопараллельном канале
Допустим, что жидкость заключена между двумя плоскими стенками, одна из которых движется относительно другой с некоторой постоянной скоростью а о (течение Куэтта [224]). Требуется найти распределение температуры в жидкости с учетом теплоты трения. Исследование таких задач необходимо при изучении гидродинамики и теплообмена в пограничном слое обтекаемых тел.
Математическая постановка задачи в данном случае имеет вид [224] где й)(у) -(OQ профиль скорости плоскопараллельного течения; h - ширина ка h нала; х - продольная координата (по направлению течения); у — поперечная координата; а - коэффициент температуропроводности; с - теплоемкость; р - плотность; Г0- температура на входе жидкости в канал; Т\,Т2- температуры жидкости у стенки (граничные условия 1-го рода).
Для нахождения постоянной интегрирования составляется невязка начального условия и требуется ортогональность невязки к координатной функции (р\{%). Формула для нее будет
Рассмотрим задачу теплообмена для жидкости, движущейся в круглой трубе, при линейном изменении температуры стенки от координаты z. Математическая постановка задачи на участке гидродинамически установившегося течения имеет вид
Для простоты изложения рассмотрим сначала двухслойный теплообменник. Пусть две различные жидкости движутся с одинаковой скоростью в плоскопараллельных каналах, разделенных тонкой перегородкой. Теплопроводностью стенок каналов и перегородки пренебрегаем. Течение жидкости ламинарное. Считаем, что на одной из внешних стенок теплообмен отсутствует, а на другой задано граничное условие 1-го рода. В зоне контакта двух сред выполняются условия сопряжения в виде равенства температур и тепловых потоков.
Верхняя строка формулы (4.73) совпадает с приближенным решением задачи (4.55)-(4.62) при равенстве нулю конвективных членов в уравнениях (4.55) и (4.56) (вторые члены в левой части этих уравнений), т.е. с решением нестационарной задачи теплопроводности для контакта двух тел.
В самом деле, если положить Тн1 = Тн2 = Тн, Я, = , а, = аг, то верхняя строка формулы (4.73) приводится к виду TXP,FO) = TC +и5(Гя -Гс)ехр(-2,5/) ). (4.74) Эта формула полностью совпадает с решением нестационарной задачи теплопроводности в первом приближении, полученным в работе [225]. Далее будет пока 115 зано, что нижняя строка формулы (4.73) полностью совпадает с решением соответствующей стационарной задачи.
Таким образом, для областей теплообменника, которых не достигло возмущение, вызванное начальной температурой жидкостей Т01 и Т02 на входах в каналы (при z = 0), теплообмен происходит как бы в неподвижной жидкости, т. е. перенос теплоты происходит только теплопроводностью.
Для областей теплообменника, подверженных влиянию температурных условий на входах в каналы (бывшие на входе в каналы жидкости достигли этих областей), теплообмен не зависит от начальных условий Тн1 и Тн2. Теплообмен в данном случае не зависит от времени и полностью определяется течением сред, т. е. задача становится стационарной с учетом конвективного переноса теплоты по оси z.
Последующие приближения выполняются отдельно для нестационарной и стационарной задач [106]. Для нахождения решения стационарной задачи используется метод Л. В. Канторовича. В системе уравнений (4.55)-(4.62) следует приравнять нулю впервые члены в левой части уравнений (4.55) и (4.56). Решение стационарной задачи, следуя методу Канторовича, разыскивается в виде TnXP,z) = Tc+±fk(z)cpkl(p): (4.75) k=l где и - число приближРезультаты расчетов по формулам (4.80) и (4.81) полностью совпадают. Для различных z они представлены на рис.4.4. , ,
Решение нестационарной задачи (в данном случае практически имеем нестационарную контактную задачу теплопроводности для двухслойной пластины) точно так же можно получить, заменяется fk{Fo), к = (і,и). Решение нестационарной задачи по методу Канторовича в первом приближении полностью совпадает с верхней формулой выражения (4.73). ений; q u (р) - координатные функции первого приближения -находятся по формулам (4.70) и (4.71). При турбулентном течении коэффициенты теплопроводности жидкости для отдельных ее слоев становятся различными. Например, в круглой трубе турбулентный поток принято разделять на три слоя: ламинарный гидродинамический пограничный слой (вязкий подслой), переходный слой, турбулентное ядро. Эквивалентные коэффициенты теплопроводности переходного слоя и турбулентного ядра определяются по формуле Яэ = Яи + Ят, где Ям - учитывает молекулярный перенос теплоты; Ят — перенос теплоты за счет турбулентных пульсаций. При известных величинах Яэ и аэ для переходного слоя используя метод Канторовича. Отличие лишь в том, что в выражении (7.43) fk(z) и турбулентного ядра расчет становится аналогичным соответствующему расчету для ламинарного течения с заменой в дифференциальных уравнениях энергии X и а на Яэ и аэ.
Таким образом, задача определения температурного состояния турбулентного потока жидкости приближенно может быть сведена к решению задачи, состоящей из трех слоев, имеющих различные тепло физические свойства и профили скоростей. При решении задачи принимаются следующие допущения: жидкость несжимаема; переносом теплоты теплопроводностью в направлении движения пренебрегается; внутренние источники теплоты в жидкости отсутствуют; теплота диссипации не учитывается; рассматривается участок гидродинамически установившегося течения. Математическая, постановка задачи включает три уравнения энергии соответственно для каждого из слоев жидкости. На оси трубы задается условие отсутствия теплообмена. Между слоями выполняются условия равенства температур и тепловых потоков.
