Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Математическая модель теплового взрыва, основные алгоритмы и результаты численных экспериментов 16
1 Классическая модель теплового взрыва 16
1.1 Численный метод для задачи (1.9)-(1.12) 21
2 Модель реакции горения с заданным законом выгорания 36
Глава II. Ограниченные на всей оси решения полудискретных моделей горения и численные методы их отыскания. 38
3 Линейные уравнения невысокого фиксированного по рядка 38
3.1 Теорема существования решения и оценки производных 38
3.2 Доказательства и вспомогательные результаты 40
3.3 Численные алгоритмы и оценки погрешности 52
4 Нелинейные уравнения невысокого фиксированного по рядка. 71
4.1 Теорема существования решения и оценки производных 71
4.2 Численные алгоритмы и оценки погрешностей . 74
5 Линейные уравнения высокого порядка 81
5.1 Теорема существования и оценки производных 81
5.2 Численные алгоритмы и оценки погрешности 101 6 Нелинейные уравнения высокого порядка 102
6.1 Теорема существования решения и оценки производных 102
6.2 Численные алгоритмы и оценки погрешности 106
Глава III. Ограниченные на всей оси решения параболических модельных задач горения и численные методы их отыскания 106
7 Линейная параболическая задача 106
7.1 Теорема существования решения и оценки производных к 106
7.2 Численные алгоритмы и оценки погрешности 114
8 Нелинейная параболическая задача 117
8.1 Теорема существования решения и оценки производных 117
8.2 Численные алгоритмы и оценки погрешности 120
Заключение
- Численный метод для задачи (1.9)-(1.12)
- Доказательства и вспомогательные результаты
- Теорема существования и оценки производных
- Численные алгоритмы и оценки погрешности
Введение к работе
, Настоящая работа посвящена численным методам решения некото-
рых классов некорректных сингулярно возмущенных задач для си-
«^ стем обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных
и их приложениям к численному моделированию критических режи-
* мов теплового взрыва. Прикладное значение математической теории
теплового взрыва чрезвычайно велико для повышения эффективности энергетической системы, проектирования реакторов, двигателей внутреннего сгорания, моделей лазеров, механики полимеров и многих других задач и областей науки. Основы этой теории были заложены в трудах Н.Н.Семенова, Д.А. Франк-Каменецкого, Я.Б. Зельдовича, Г.И. Баренблатта, О. М. Тодеса, П. В. Мелентьева, А. Г. Мержанова и др. [52],[61],[33] ,[59]. Основная задача математической теории теплового взрыва заключается в исследовании динамики процесса горения при заданных размерах реакционного сосуда, теплофизических и кинетических характеристиках реагирующего вещества, коэффициенте теплоотдачи. Для классической модели теплового взрыва важнейшие
^ характеристики, определяющие тип реакции, отражает некоторый па-
раметр, значение которого определяется начальным состоянием хими-
'v ческой системы. В зависимости от значения этого параметра ироис-
4 ходит либо переход реакции к медленному режиму, что ведет к зату-
ханию реакции, либо реакция переходит в режим самоускорения, что
'п приводит к взрыву. При этом переход от медленного режима к взрыв-
ному происходит в чрезвычайно узком промежутке изменения этого параметра. Для некоторого значения данного параметра, которое называется критическим, реакция идет в течение длительного времени, не срываясь в режим взрыва и не переходя в медленный режим выгорания. Соответствующий режим будем называть критическим.
Задачи определения критических значений параметров и моделирования критических режимов для различных форм реакторов и являются главными в рамках исследования моделей. Отметим, что в работах упомянутых выше авторов исследовалась, в основном, стационарная модель теплового взрыва, в рамках которой можно получить лишь приближенные решения, не учитывающие выгорание реагирую-
1 шений в окрестности предела самовоспламенения.
v; Математическое исследование нестационарной модели проводилось
с помощью асимптотических методов. Асимптотическим методам в этой области посвящены труды В.Ф. Бутузова, Г.Н. Горелова, Е.Ф.
Мищенко, Ю.Н. Митропольского, Н.Х. Розова, В.А. Соболева, В.В. Стрыгина, Е.А. Щепакиной [17],[19]-[20], [26], [47], [73], [53]-[56], [27], [80], [81], [46], [86]-[88]. В частности, В.А. Соболевым было замечено, что критические режимы теплового взрыва описываются медленными устойчиво-неустойчивыми и неустойчивыми интегральными многообразиями. Однако получить асимптотические разложения в явном виде удается далеко не всегда (исследуется, в основном сосредоточенная модель, не учитывающая неравномерности протекания реакции по объему реакционного сосуда), в связи с чем актуальной является задача численного отыскания интегральных многообразий. Но эта задача также весьма трудна, так как искомое интегральное многообразие неустойчиво как в прямом (), так и в обратном (—t) времени. Это некорректная сингулярно возмущенная задача, и классические численные методы оказываются непригодными для ее решения.
Математическая теория некорректных задач является важной частью современной математики. Ее становление связано с именами А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, Г.И.Марчука, С.Г.Крейна, J. Lions'a [57], [58], [40], [44], [38], [39], [41], их многочисленных учеников и последователей [63], [48]-[50], [23]-[25], [2], [8]. Существенно менее развиты математические методы для некорректных сингулярно возмущенных задач. При этом наличие малого параметра часто создает принципиальные дополнительные трудности, так как, например, при переходе к быстрому времени, в котором задача не будет сингулярной, решение надо искать на асимптотически большом промежутке времени. Но тогда известные методы решения (J.Lions), для которых ограниченность временного промежутка принципиальна, становятся неприменимыми.
В последние десятилетия интенсивно развивалась теория численных методов для сингулярно возмущенных задач. Разностным методам для сингулярно возмущенных задач посвящены работы Н.С. Ба-хвалова, A.M. Ильина, В.Б. Андреева, И.П. Боглаева, А.И. Задорина, К.В. Емельянова, В.Н. Игнатьева, В.Д. Лисейкина, Г.И. Шишкина, Н.Н. Яненко, Е. Gartland'a, P. Hemker'a, D. Herceg'a, J.J.H. Miller'a, O'Riordan'a, К. Surla, M. Stynes'a, R. Vulanovic'a [1], [15], [16], [28], [84], [29], [30], [42], [43], [64]-[69], [97], [96], [98]. Методы конечных элементов изучались в работах Б.М. Багаева [3]-[6], Б.М. Багаева и В.В. Шайдурова [7], И.А.Блатова [10], [11], И.А.Блатова и В.В.Стрыгина [12], И.П. Боглаева [13] -[14], P. Hemker, P.P.N, de Groen [83],[82], Gartland E. [77], [79], J.J.H.Miller'a, O'Riordan'a, M. Stynes'a, [45], [91]-[95], W.Scymchak'a, I.Babushka'a [90], A.H.Schatz'a, L.B.Wahlbin'a [89]) и схемы на адаптирующихся к погранслою сетках ( U. Asher'a,R.
Weiss'a, К. Ringhover'a [70]-[72], [85], E. Gartland'a [78], J.E.Flaherty [76]). Однако подавляющее большинство этих работ относится к корректным задачам в ограниченных областях. Отметим работы А.И. Задорина [31], [32] о сингулярных задачах на полубесконечном интервале которые, однако, также относятся к корректно поставленным задачам.
Отметим, что важным промежуточным звеном решения данной задачи является задача приближенного отыскания ограниченных на всей оси решений, рассматриваемых как частный случай медленных интегральных многообразий, сингулярно возмущенных уравнений и систем в условно устойчивом случае, содержащая в себе основные теоретические и вычислительные трудности исследования основной проблемы. В диссертации детально исследуется именно эта задача. Для сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для линейных и квазилинейных сингулярно возмущенных параболических уравнений доказываются теоремы существования и априорные оценки ограниченных решений и производных, их дискретные аналоги для разностных схем, оценки погрешности, сформулированы вычислительные алгоритмы, и доказаны теоремы сходимости. Отметим, что для рассматриваемых дифференциальных задач теоремы существования ограниченных решений вытекают из результатов работ [46], [62], однако в диссертации эти результаты получены вместе с равномерными по порядку системы оценками производных, необходимыми для обоснования численных методов. Аналоги этих теорем для дискретных систем и оценки близости являются абсолютно новыми. В [22] (см. также библиографию в [22]) рассматривались многообразия дискретных систем, но там не изучался условно устойчивый случай и системы высокого порядка, естественным образом возникающие при частичной дискретизации параболических задач.
В связи с этим целями настоящей работы являются
Разработка устойчивых численных методов и алгоритмов отыскания медленных интегральных многообразий сингулярно возмущенных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений и параболических задач.
Создание комплекса программ и проведение численных экспериментов для нахождения критических режимов теплового взрыва и определения критических значений управляющего параметра, соответствующих этим режимам.
Построение строгой математической теории этих методов в частном случае задачи отыскания ограниченных на всей оси решений сингулярно возмущенных параболических уравнений и систем обыкновен-
ных дифференциальных уравнений в условно устойчивом случае.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Во введении обосновывается актуальность темы дана краткая историческая справка по рассматриваемым вопросам, приводится краткое содержание работы.
Перейдем к изложению основных результатов диссертации по главам. Вначале введем обозначения, є обозначает малый положительный параметр. Символ [а] обозначает целую часть вещественного числа a. Z — множество целых чисел. Символ \х\ означает модуль числа или максимальную по модулю компоненту вектора. Пусть га — натуральное число. Запись || х \\= m^^iYl'iLi \хг\2У^2 означает евклидову норму вектора х Є Rm. loo = {z = {zn},n Є Z} — пространство ограниченных числовых последовательностей zn Є R с нормой || z ||оо= sup|zn|. Тем же символом || х 11^= max \хп\ будем обозна-
neZ пф,т]
чать соответствующую норму вектора в Rm. Символом || х ||* будем обозначать некоторую не зависящую от є норму вектора в Rm, которая определяется по-разному для разных приложений. Если А —
v* квадратная т х m-матрица, то запись || А || обозначает спектральную
норму матрицы, а || А Цоо, || А ||* — операторную норму А в простран-
** стве Rm с соответствующей нормой. С (О) — пространство ограничен-
ч ных на Q непрерывных функций с нормой || и ||с(«)— SUP || uif) ||-
Пространство [C(R)]m с нормой || х \\с,2= sup || x(t) || будем обозна-
'"' ' ten.
чать [C(R)]72, а то же пространство с нормой || х ||с,оо= sup || x{t) Ц^
обозначим [С(Я)]. Символом С будем обозначать константы (вообще говоря, различные), не зависящие от е. Иногда для таких констант будем применять обозначения Сі, С2, . Если для некоторой величины 7 имеют место оценки І7І < С|/3|, то будем писать 7 = С(/3), а если О < Сі|/3| < І7І < С2|/?|, то 7 = 0*((3). Символом / будем обозначать единичную матрицу или тождественный оператор. Для векторов или матриц запись А < В означает, что а^ < Ь^ (щ < Ь,-) для всех элементов. Запись А < О (А > 0) означает, что а^ < 0 (а„ > 0) для
, всех элементов. Символ diag{a,i, а2, , ат} обозначает диагональную
га х m-матрицу с элементами а* на главной диагонали. Символом
^ жгі ~ х(г(п+1))~д будем обозначать разностную аппроксимацию пер-
^ xnt1—ХП-
* вой производной на сетке с шагом т, а через х",+1 = тЛ т т'г, г > 1
— соответствующие аппроксимации высших производных. Разностные аналоги частных производных д1їдїр функций двух переменных обо-
значим W(r,i;,p)- Константы С» будем считать не зависящими также и от т. Символ n!fc=pw* обозначает произведение чисел ир, ир+1, ,ws,
ЄСЛИ р < S, Произведение 'UJ-JdWJ^j ' " j wp\ если 5 < р — 1, и число,
равное единице, если s = р — 1.
Численный метод для задачи (1.9)-(1.12)
Схема (1.17)-(1.21) написана для случая плоскопараллельного реактора (п = 0). Для других форм реактора (п = 1, n = 2) в (1.17)-(1.21) добавляется разностная аппроксимация первой производной -7 по формуле центральных разностей [51].
Решение сеточной задачи (1.17)-(1.21) находится по явным формулам. Однако, как отмечалось выше, данная схема является абсолютно неустойчивой, что подтверждается численными экспериментами. Поэтому модифицируем расчетную схему (1.17)-(1.21) в соответствии с 3-б.
Введем обозначения. Пусть U = {и = {щ, —т г m}, u_m = ит = 0} - пространство четных сеточных функций, определенных на равномерном с шагом h = 1/т разбиении отрезка [—1,1], V = {v = {и{, -т і га}, л_т = г _т+ь vm = vm}. Пусть А - линейный оператор в пространстве /, определяемый формулами (A6)j = -i-1 , -m + 1 j m - 1, I - единичный оператор. Обозначим через г і \ і 57Г(І + т) л о о 1 es = {el, -m з m\.e{ = sin , s = 1,3, ,2ra — 1 2m ортогональный базис Фурье из собственных векторов оператора А в U, а через fs = {//, -m j m}, fi = cos —, s = 0,1, , m - 1 ортогональный базис Фурье из собственных векторов оператора А в V. Пусть Ei = spanfa], Е2 = span{e3, , e2m-i}, Fi = spanlfr}, F2 = span{f2, , /m_2} - линейные оболочки соответствующих групп векторов. Обозначим через Pi,P2 ортопроекторы на Ei,E2, а через Qi,Q2 ортопроекторы на Fi,F2 соответственно. Все рассматриваемые на [0,1] вектор-функции мы будем считать продолженными четным образом на [—1,0].
Зафиксируем натуральное 1\. Пусть 9 - вектор с компонентами (1.21), fj - вектор с компонентами (1.21). Положим N = e,?iN = f), zN = в, ZN = fj. Рассмотрим для I = 0,1, последовательности векторов (верхний индекс обозначает индекс вектора, а не степень) У -Ц = вМ-1,уП = Р, ((/- А(т(п+1)))уя+1 1-- /(уп+1 l + JJ+Pa -1 n = N-l-l,N-l-2---,N-l-lu (1.22) YN-U = fjN-l yn,l = gi((/ _ ll yn+U + Tf(yn+Ut y»+l )) + Q2f,N \ P Є n=zN -1-І, N-l-2- ,N-l-lu (1.23) zN-i-ia = yn-i-Ы Zn+U = (I + \LA)zn 1 + -f(zn \ Zn 1), о є є n = N-l- h, N -I- h + 1, ,N-l- 2, (1.24) N-l = zN-l,l (1 25) ZN-i-iui = yn-W! Zn+i,i = (7 + lLA(m))Z pe -rf(zn l,Zn 1), (1.26) n = N - I - lu N - I - h + 1, - , N - I - 2, где f(u,v) - вектор-функция с компонентами fj(u,v) = UjeVj.
Численная реализация формул (1.22)-(1.27) (в частности, вычисление значений проекторов Pi,p2,Qi,Q2) осуществляется с помощью дискретного быстрого преобразования Фурье (д.б.п.ф.).
Назовем алгоритмом Л1 численную реализацию формул (1.22)-(1.27) до тех пор, пока выполняется условие max 9f l 0, нару —m j m шение которого означает возврат к моменту начала реакции (0 = 0). Алгоритм Л1 позволяет решить задачу (1.17)-(1.21) при фиксированном значении параметра 5. Для отыскания критического значения 5 , соответствующего переходному режиму, применим алгоритм, который назовем алгоритмом Л2. Он состоит в следующем.
1. Выбираем начальное приближение параметра 5 = 60 и вспомогательного параметра к = к0 0.
2. Если выполнено неравенство к, TOL, где TOL - заданная точность, то прекращаем вычисления.
3. Для данного о реализуем алгоритм А1.
4. Если в момент окончания работы алгоритма А1 выполняется неравенство max rjf l 1, (maxTyf- 1), то находим новое зна 0 j m J 0 j m J чение параметра 5 из условий 1/5 := 1/6 + к (1/6 :== 1/6 — к,) и переходим к шагу 2.
5. Если в момент окончания работы алгоритма А1 выполняется неравенство max fi l 1 (maxfff" 1), то полагаем к := АС/2, 0 j m J V0 j m J находим новое значение параметра 6 из условий 1/6 := 1/5 — к (1/5 := 1/6 + к) и переходим к шагу 2.
Замечание 4. Приведенный алгоритм позволяет находить критическое значение параметра с высокой точностью, так как, согласно результатам вычислительного эксперимента, функция fjN l очень мало отличается от константы в момент времени, когда алгоритм А1 заканчивает работу.
Доказательства и вспомогательные результаты
Из определения V(n,l), (3.18) следует, что матричная функция U(n,l) = (тг И п,/). """1 ) и будет искомой. Теорема доказана.
Доказательство теоремы 2. Определим последовательность векторов хп формулами (3.7). С учетом предположения А2 и оценок (3.6) имеем +О0 SUP Хп оо - J2 II U(n S) llcoll fi s) \\„ С, Г s=—oo то есть для данной последовательности векторов справедливы оценки (3.8). Тогда непосредственной подстановкой можно убедиться, что последовательность (3.7) является ограниченным на всей оси решением системы (3.5). Докажем его единственность. В случае, если матрица A(i) диагональна, однородная система (3.5) имеет фундаментальную матрицу U (к) = (ііад{щ(к), и2{к), , ит(к)}, где щ(к) = Пп=о(1 е( «(тп)))- Столбцы этой матрицы образуют фундаментальную систему решений однородной системы (3.5), любая нетривиальная линейная комбинация которой неограничена при п Є {—оо,+оо}. Значит, в случае диагональной матрицы, ограниченное решение единственно. В общем случае заметим, что после приведения неоднородной системы к квазидиагоналыюму виду, аналогичному (3.17), в силу уже установленной единственности для диагональной матрицы, получим, что задача отыскания ограниченного решения эквивалентна разностному уравнению вида (3.18), единственность решения которого аналогично доказательству теоремы 1 вытекает из принципа сжатия.
Доказательство оценок (3.8) для разностных производных х"{ проведем по индукции аналогично доказательству оценок (3.3) из леммы 2 с заменой обычных производных разностными и функции Грина дифференциальной задачи разностной функцией Грина.
Перепишем (3.5) в виде ехптЛ = А(тп)хп + /(тп). (3.19) ж"д -ограниченная на всей оси последовательность в силу (3.19). Находя разностную производную от обеих частей (3.19), используя формулу (unvn)Tii = uxvn+x \-unv 1, ([51],с. 28), получим систему относительно "д вида Ф"і)г,і = А(тп)хптЛ + (А(тп))тЛхп+1 + (/(т))тД, единственное ограниченное на всей оси решение которой имеет вид +оо і = \ Е и(п,з)((А(тз))тЛх + (Дт5))гд), S — — 0O где (A(rs))T(1 = A{rs) + 0(т) и (Дт5))гд) = f{rs) + 0{т). В силу А1, А2 и доказанной выше оценки для последовательности хп +оо sup хптЛ \\м -sup У] U(n,s) їй ( А(тз)+ neZ Є nZ — s=—oo +0(r) lull xs 11«, + f(Ts) + o(r) U) a
Таким образом база индукции доказана. Предположим, что оценки (3.8) верны для г = j. Докажем их справедливость для г = j + 1. гс - -последовательность, ограниченная на всей оси константой у, в силу предположения индукции и дифференцирования в силу уравнения. Находя разностную производную от обеих частей (3.19) j + 1 раз, получим выражение Ф";+2) = (A(rn)xn)Tj+1 + (/(rn))T)i+1. Используя указанную выше формулу разностного дифференцирования произведения, запишем (А(тп)хп)Тіі+і в виде (A(m)xn)rJ+1 = (A(rn))xnTj+1 + Ф(п), (3.20) Ф(п) = фДп), где Ф,(п) = (А(тп))т 7х%), (3.21) п,п = n,n + j + l,s = l,j + l,s = 0,j, H = n(s),n = n(s),s = s(s),s = s(s). (Л(гп))Гі5- = Л(5 (гп) + 0(т). В силу Al и предположения индукции II Ф(п) U 2 С С.
Подставляя (Л( n)xn)Ttj+i в выражение, написанное выше, получим систему ехпт4+2 = А(тп)а +1 + Ф(п) + (/(rn))rJ+1, где (/(rn))rj+i = / +1)(тп) + 0(т). Данная система имеет единственное ограниченное на всей оси решение xnTJ+l = \Y -oaи(п,р)(Ф(п) + (/(тр))Гіі+і). В силу А2 и оценки Ф +00 sup i;J+1 оо 7sup J2 II u(n P) II- (II ф(п) II- + neZ Є neZ """ p=—oo + II (/(Tp))rj+1 Hoc) С Теорема доказана.
Доказательство теоремы 3. Подставим функцию (3.16) в задачу (3.5). Тогда в силу (3.1),(3.5) для векторов г" = х(тп) — х11 будем иметь rn+1 = (/ 4- jA)rn + e(x"tl — х(тп)). Поскольку последовательность г" ограничена по норме, то отсюда получаем, что rn = 2i l0OU(nJ)e(x l — х(тп)). Но из оценок (3.3) при г = 2 следует, что Ж,(т(п + і))-Мтп)_,Дтп) = is(f ») _Xs(rn) = S(tf))T СГі откуда вытекает следующая оценка ад - ж(тп) оо Ст. (3.22) Из последних двух формул следует справедливость теоремы. Теорема доказана. Лемма 3. Имеют место оценки II А()хт,к 11оо С, А(тп)хптк , С, 1 к кг - 1, (3.23) где С не зависит от п.
Доказательство вытекает из теоремы 2 и равномерной ограниченности матричной функции A(t). Лемма 4. Пусть В = {6,- } - р х ;р-матрица с неотрицательными элементами, причем все ее собственные значения удовлетворяют неравенствам \Xj(B)\ l-f, (3.24) для некоторого /І 0. Пусть для некоторых констант Сі 0, v 0 последовательность р-векторов с неотрицательными элементами Уо,Уъ -- ,2/п, удовлетворяет неравенствам уп \\ d(l - /л)п \\ у0 +и. Тогда найдутся такие константы С2, Сз, С4, зависящие только от р, С\ и не зависящие от /І, Ї/, ЧТО ДЛЯ последовательности векторов с неотрицательными компонентами zQ, zi, , удовлетворяющих условиям zn+i Bzn + уп, z0 = уо, (3.25) справедливы оценки Сз(1-С2/іГи0+С4-. (3.26)
Доказательство. Используя (3.25) и неотрицательность элементов матрицы и векторов докажем по индукции, что zn BnzQ-{ T,Vo ВзУп-з-і Если п = 0, то z0 ZQ - неравенство верное. Предположим, что для номера п неравенство выполняется и докажем, что оно верно для индекса п + 1.
Теорема существования и оценки производных
Пусть U(t,) = diag{ui(t ),u2(t, ), ,um(t,)} — диагональная матрица с диагональными элементами (5.2), являющаяся функцией Грина задачи отыскания ограниченного на всей оси решения системы с диагональной матрицей, получающейся из (5.7) отбрасыванием слагаемого с матрицей F. Рассмотрим при фиксированном Є R интегральное уравнение -і /4-00 W(t, 0 = U(t, О + - / J7(t, T)EF(T)W(T, t)dr (5.8) относительно неизвестной т х т матричной функции W(t,).
Покажем, что абсолютно интегрируемое на всей оси решение уравнения (5.8), если оно существует, является функцией Грина задачи (5.7), то есть удовлетворяет условию 1 леммы 6.
Обозначим через Х(,)-решение задачи eX = A(t)X + eFW(t,t). Тогда в силу того, что матрица U(t, ) является функцией Грина задачи еу = A(t)y имеем dW дії д 1 Г+ос -eF(t)W(t, 0 + є-(- J U{t, s)eF(s)W(s, )ds) -A{t)- / U(t, s)eF(s)W(s, )ds = Є J-oo = -eF(t)W(t, 0 + ejX(t, 0 - A(t)X(t, 0 = 0 и W{t + 0,t)-W(t-0,t) = U{t + 0,t)-U(t-0,t)+ +1 / {jj(t + 0, s) - I7(t - 0, s)eF(s)W(s, t)ds = L Є J-oo
Пусть Сг — некоторая положительная константа. Введем в рассмотрение полное метрическое пространство м = {w = {w(t, 0 = u(t, о + K(t, О), t, є я,} mxm-матричнозначных функций, для которых элементы &,-;-(, ) матриц K(t, ) удовлетворяют неравенствам 1М )1 (1 + _.)гехрф- ) с метрикой Л d(W, V) = sup (W(t, 0 - V(t, 0) exp(f\t - ) .
Используя предложения 1 и 2 и определения матриц U(t,) покажем, что найдется такое е0 0, что при є Є (0,Єо] оператор в правой части (5.8) переводит М в себя и является в нем сжимающим, и, значит, имеет там единственный неподвижный элемент W. Пусть W Є М. AW = U(t, 0 + - [ U{t, T)SF{T)W{T, )dr = Є J-oo В силу (5.2) для элементов матрици U(t, ) справедлива оценка Wi(t,t)\ exp(- (l + Ct )\t\). / +оо (и(і,т)Г(г)\(т,0) т\ = оо /+оо щ т){Р{т){и{1,т) + К(т ))}.Лт\ /1 + /2, оо где / +оо ____ и ,т) (т)щ(т,) 1т\, оо /+оо m _ " ( , т)Х (т) у(т,0 т. 00 1=1 Тогда М ,т)-М .О-М »т-)Ж- п ,. -П2 / ехр(-- (1+ оо Vі "т" I 3\) J -оо Є +Ci2)\t - т) ехр(- (1 + С?)\т - «) А- (1 + f_j)2g(j, і, t, fl, где +оо Є J-oo є Пусть t . Тогда f ехр(-—(1 + Ci2)\t - т\) exp(- r - \)dr = J-oo Є Є Л0(Сг2 + 2) є1 s,/- г2 ехр(- г-) ехр(- -). / exp(- (l + Ci2)\t - r) exp(- r - )dr = exp(- - 1) Ґ ехр(- Сг2(т - t))dr e p(- i - ЄІ). є Л є г є r+оо \ \ / exp(- (l + Ci2)\t - т\) ехр(- т - t\)dr = Jt є є ехр(- (Сг2 + 1) - ) ехр(- - ). А0(Сг 2 + 2) v є v УІ Ъ/ - і2 к є Тогда sAi,t,) 4«p(- t-C) И (1 + г — j\)2i2 є (1 + г —.7І)г 2є / +оо m /»+оо \ i«i( ,r)iEi/«(T)ife(r OidTi / ЄХР(-Т(1+ 00 j=1 ./-00 В силу предложения 2 с 0 / Л 1 Г1 Г+ \ 3 с, і 0 . г\ Сё , AQ І - (1 + І _ jjp ,І,t,«) (Щі—рї -P(--i - І\). Таким образом ГУ Л IMU)l (IT -p(- -«l) Докажем сжатие. / +0О t/(i,r)F(r)( (T,0- 2(i,0)-со ехрАі-ДОт sup W(i,0-W2(t,0)exp(bt-e) / +0 л л tR где +0O U(t, r)F(r) ехр(-- Іт-ЄІ) exp( i- )rfr = д.да, W2), oo ZS le U(t, r)F(r) яр(--іг - «I) exp(t - )dr teR і,+0 OO Є Л Г" "00 ехр(Л-СІ)вир/ U( ,T)F(T)dr t,ZR J-oo expAt - C) sup / exp(- t - r) H exp(- - Z\)dr teR J-oo Є ZS CexpAt - ) sup Г exp(- i - т) exp(- - t\)dr te t,ZR J-oo Є 2є CexpAi-)supS( M,0 Cexp(t-e)eexp(- t-?) = C l в силу малости е. Сжатие доказано.
Таким образом найдется такое Єо 0, что при є Є (0, є0] оператор в правой части (5.8) имеет в М единственный неподвижный элемент W. Но тогда матричная функция G{t,t) = B{t)W{t,ti)B-\t) и будет искомой. Лемма доказана. Теорема 10. В предположениях В1-ВЗ задача (3.1) имеет един ственное ограниченное на всей оси решения x(t), для которого спра ведливы оценки _ II A(t)x(t) Ь С /( ) с,2, (5.9) II x(t) \\с,оо С /« с 2 (5.10) II ж(0(0 коо С, 0 t An, (5.11) где константа С не зависит от га, є, f.
Доказательство. Определим вектор-функцию x(t) формулой x(t) = l ГС(І,О/(Є№, ./—оо где (7(, ) — функция Грина из леммы 6. Тогда из леммы б следует, что x(t) является ограниченным на всей оси решением системы (3.1). Докажем его единственность. Заметим, что задача об отыскании х(t) эквивалентна задаче об отыскании ограниченного решения y(t) неоднородной системы, соответствующей однородной системы (5.7).
Если в (5.7) отбросить член eF(t), то получим систему с диагональной матрицей, для которой соответствующая однородная система имеет фундаментальную матрицу U(t) = diag{ui(t), u2(t), , um(t)}, где pt \ і \ Ui(t) = exp( / ——)ds, 1 і т. Jo є
Столбцы этой матрицы образуют фундаментальную систему решений однородной системы, любая нетривиальная линейная комбинация которой неограничена при t Є {—оо,+оо}. Значит, в случае диагональной матрицы, ограниченное решение единственно. В общем случае для неоднородной системы (5.7) заметим, что в силу уже установленной единственности для диагональной матрицы, получим, что задача отыскания ограниченного решения эквивалентна интегральному уравнению вида y{t) = g(t) + - / U(t, s)sF(s)y(s)ds, единственность решения которого аналогично доказательству леммы 6 вытекает из принципа сжатия.
Численные алгоритмы и оценки погрешности
Доказательство теоремы 22 аналогично доказательству теоремы 16.
Поставим задачу численного отыскания равномерно ограниченного при t Є R решения задачи (8.1). Разобьем ось времени равномерной сеткой 0 = т0 Ті Ті с шагом г = О (eh2). Заменим неизвестную функцыю u(t, ) неизвестной сеточной функцией {ulj}]L-mj гДе верхний индекс / обозначает номер временного слоя, а нижний индекс j - дискретную пространственную координату. Заменим дифференциальную задачу (8.1) полностью дискретной задачей є Т = Pi?1 6. «}) + — Г — (8-8) u.m(t) = um(t) = 0. (8.9) Через и1 Є М будем обозначать сеточные функции вида и1 = {ulj, —га j га}, являющиеся следами функции и при фиксированном значении I.
Теорема 24. Найдутся такие єй 0,7о 0, что при є (0, є0], f То/72 задача (8.8)-(8.9) имеет в некоторой (/ "-окрестности и0 — {ujyj Є Z},uJ = UO(TI,J) единственное ограниченное при / Є (—oo,-f-oo),j Є [—m,ra] решение и = {Ц}- Для него справедливы оценки вида (7.17), (7.18).
Доказательство аналогично доказательству аналога теоремы 7, приведенному в теореме 14. Перепишем задачу (8.8)-(8.9) в виде Sl.+1 -8і 8і - 28і + 8і z — = j l h2 j+1 + W 6) + Ф , ) + %"( . , (8-Ю) где 8і = и1 — и\ II r(rl,e с(л/) С(єт + h2), Q(l,u) - Q(l,v) \\с{м) (8.11) n{u,v) \\u-v C(M), /i(u,v) - 0 при и c(M)- 0, v с(л/)- 0. Задача об отыскании ограниченного решения (8.10) эквивалентна разностному уравнению +00 8п = I ]Г Щп, s)Q{s, 8s) + R{rn, є), (8.12) s=—оо где Щтп,є) = X s= -oo (n s)r(T5 :) пРичем в силу оценок (7.19) R(rn,e) оо г(тп,є) 2 г(тп,бг) оо Сє\ Из оценки (7.19) следует, что при достаточно малых є 0 оператор (8.12) будет сжимающим в метрическом пространстве М = {8 = {8п Є Rm, п Є Z} : sup neZ o n oo Сіє} с метрикой p(8,8) = sup 8n — 8n oo для достаточно боль neZ шой Сі. Доказательство сжатия полностью повторяет доказательство сжатия в аналоге теоремы 7, приведенном в теореме 14.
Доказательство оценок (7.17), (7.18) аналогично доказательству соответствующих оценок в теореме 17 с той разницей, что вместо теоремы 10 используется теорема 11, а вместо обычного дифференцирования по t - разностное дифференцирование. Теорема доказана.
Численные алгоритмы и оценки погрешности.
Рассмотрим численный метод отыскания ограниченного решения задачи (8.3)-(8.4). Аналогично (4.17)-(4.19), (7.22)-(7.24) получим следующий алгоритм. уМ-Ц = uN-lf yn,l = pi((/ _ LD)yn+l,l _ lp(r(n + 1)} уп+и)) + p2-N-lt п = N - I - 1, N - I - 2 . , N - I - 1и (8.13) zN-i-h,i = yN-i-k, zn+i,i = ріУ"- -М + р2((і + 1п)гп + -р(тп,,гп ))1 О о п = N - I - 1Ъ N - I - h + 1, - - , N - I - 2, (8.14) uN-l-l = zN-l-l,l (8Л5) Алгоритм (8.13)-(8.15) для задачи (8.3)-(8.4) это алгоритм (4.17)-(4.19) для задачи (4.3) при га»1с заменой х на и. Пусть т,1 Пусть (2т — 1) х (2т — 1)-матрица A(t) определяется равенством {Ait)u). = Ui-1 2 + U +1+pu(t,(j,u)uj.
Проверим, что выполнены условия С1-СЗ п.6. Условие С1 выполнено в силу условия F1 ( при этом выполнение условия ВЗ вытекает из сеточных аналогов теорем вложения [51]). Условие С2 следует из F2. Условие В4 следует из предположения j Ch2 и оценки А C/h2. Условие В5 при к = 0 следует из (7.15) и оценок (5.18) для решения задачи (7.15)-(7.16), а при к 0 получается по индукции разностным дифференцированием (7.15). Неравенство из условия СЗ также следует из сеточных теорем вложения. Таким образом для задачи (8.3), (8.4) справедлив аналог теоремы 15.
Теорема 25. Пусть выполнены условия F1,F2 условия теоремы 20 (включая условие СХС — СчС 0) для нормы «= т 1. Тогда найдутся такие константы г0 Є (0,1], є0 0, C5l С6, С7, С8,7о 0, fi0 0, что при 2 ТТЛ тЄ(0,То],єє(0,го]: То, h = [С5], UN - uN \\т 1 ц0 справедливы оценки (7.29), (7.30) в норме = mii. Заключение
Таким образом в диссертации получены следующие основные результаты.
I. Для линейных и нелинейных сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений фиксированного невы сокого порядка в условно устойчивом случае доказаны равномерные по малому параметру оценки производных ограниченных на всей оси решений.
II. Для линейных и нелинейных сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка в условно устойчивом случае, возникающих при частичной дискретиза ции параболических задач, доказаны теоремы существования и един ственности ограниченных на всей оси решений и равномерные по ма лому параметру и порядку системы оценки этих решений и их произ водных.
III. Для линейных и нелинейных сингулярно возмущенных пара болических уравнений доказаны теоремы существования и единстве ности ограниченных на всей оси решений вместе с равномерными по малому параметру оценками этих решений и их производных.
IY. Рассмотрены разностные дискретизации задач из п.п. I—III, для которых доказаны полные аналоги всех названных в I—III результатов.
Y. Доказаны оценки близости решений дифференциальных и разностных задач.
YI. Предложены устойчивые численные алгоритмы приближенного отыскания решений разностных задач, и доказаны оценки погрешности приближений, получаемых в этих алгоритмах.
VIL Предложен математически строго обоснованный численный алгоритм моделирования реакции горения с заданным законом выгорания реагирующего вещества.
YIII. Алгоритмы из п.п. III-IY распространены на задачи отыскания критических значений параметра и критических режимов теплового взрыва в рамках классической модели.
IX. Написан комплекс программ, реализующий данные алгоритмы, и проведены численные эксперименты по отысканию критических режимов и критических значений параметра, результаты которых хорошо согласуются с известными классическими данными в тех случаях, когда эти данные могут быть получены аналитическими методами.
