Содержание к диссертации
Введение
1. Методы решения дифференциальных уравнений в виде рядов. Краткий обзор 19
1.1. Метод специальных конструкций рядов для решения нелинейных уравнений с частными производными (подход А.Ф.Сидорова) 20
1.2. Операторный метод 26
1.3. Проекционные, вариационные и интегральные методы 32
2. Основы граничного метода 35
2.1. Основная идея метода 35
2.1.1. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных 35
2.1.2. Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных 40
2.2. Специальные системы алгебраических уравнений 45
2.3. Исследование СЛАУ 59
2.4. О некоторых рекуррентных соотношениях . 67
2.5. О высших порядках дифференциальных операторов 72
2.6. Высшие производные сложной функции 74
2.6.1. Сложная функция от одной переменной . 75
2.6.2. Сложная функция от двух переменных . 84
2.7. О методах улучшения скорости сходимости рядов 89
2.8. Дробное дифференцирование и граничный метод 94
Одномерные линейные задачи теории теплопроводности 98
3.1. Ограниченная область. Декартова система координат 98
3.2. О собственных функциях и собственных числах краевых задач 116
3.3. Полуограниченная область. Декартова система координат 121
3.4. Уточнение граничных условий на радиусе теплового влияния 127
3.5. Приближенные решения 133
3.6. Цилиндрическая система координат 141
Одномерные нелинейные задачи теории теплопроводности 153
4.1. Задачи с нелинейностью 1-го рода 153
4.2. Задачи с нелинейностью П-го рода 164
Задачи с подвижными границами 168
5.1. Однофазные задачи. Точные решения 169
5.2. Приближенные решения 178
5.3. Обратные задачи 187
5.4. Двухфазные задачи 195
Системы дифференциальных уравнений в частных производных 208
6.1. Линейные уравнения тепломассообмена 208
- Метод специальных конструкций рядов для решения нелинейных уравнений с частными производными (подход А.Ф.Сидорова)
- Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных
- Полуограниченная область. Декартова система координат
- Однофазные задачи. Точные решения
Введение к работе
Актуальность проблемы. Метод математического моделирования, как инструмент научного познания, сформулированный и развиваемый усилиями отечественных научных школ академиков А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, Н.Н. Янен-ко, Г.И. Марчука, Н.Н. Моисеева и А.Ф. Сидорова, представляет собой содержание триады "модель - алгоритм - программа", т. е. предполагает выполнение трех последовательных этапов исследования - построение математической модели, разработка вычислительных алгоритмов и программы их реализации на компьютере. Несмотря на многообразие всех физических и технических проблем, возникающих при решении научных и прикладных задач, их строгое математическое описание, если это возможно, сводится, как правило, к ограниченному числу классов дифференциальных уравнений, т.е. различные физические процессы допускают сходные математические описания. Так, нестационарные процессы диффузии, теплопроводности, фильтрации и т.д. описываются одним и тем же уравнением параболического типа (уравнением теплопроводности), стационарные процессы диффузии, теплопроводности, течения несжимаемой жидкости, электростатики и т.д. описываются уравнением эллиптического типа (уравнением Лапласа или Пуассона), малые колебания стержней, акустические и электромагнитные колебания и т.д. описываются уравнением гиперболического типа (волновым уравнением). Эти уравнения и их сочетания чаще всего и являются основой математической модели рассматриваемых физических явлений. В свою очередь,
6 Введение
Актуальность проблемы. Метод математического моделирования, как инструмент научного познания, сформулированный и развиваемый усилиями отечественных научных школ академиков А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, Н.Н. Янен-ко, Г.И. Марчука, Н.Н. Моисеева и А.Ф. Сидорова, представляет собой содержание триады "модель - алгоритм - программа", т. е. предполагает выполнение трех последовательных этапов исследования - построение математической модели, разработка вычислительных алгоритмов и программы их реализации на компьютере. Несмотря на многообразие всех физических и технических проблем, возникающих при решении научных и прикладных задач, их строгое математическое описание, если это возможно, сводится, как правило, к ограниченному числу классов дифференциальных уравнений, т.е. различные физические процессы допускают сходные математические описания. Так, нестационарные процессы диффузии, теплопроводности, фильтрации и т.д. описываются одним и тем же уравнением параболического типа (уравнением теплопроводности), стационарные процессы диффузии, теплопроводности, течения несжимаемой жидкости, электростатики и т.д. описываются уравнением эллиптического типа (уравнением Лапласа или Пуассона), малые колебания стержней, акустические и электромагнитные колебания и т.д. описываются уравнением гиперболического типа (волновым уравнением). Эти уравнения и их сочетания чаще всего и являются основой математической модели рассматриваемых физических явлений. В свою очередь,
разработка вычислительных алгоритмов тесно связана с разработкой общих методов решения дифференциальных уравнений в частных производных. Таковыми в основном являются аналитические методы (точные и приближенные) (Л.В. Канторович [64, 65], Б.Г. Галеркин [40], Г.А. Гринберг [47], А.А. Дородницын [55], Л.В. Овсянников [114, 115], А.А. Самарский, СП. Курдюмов, В.А. Галактионов [38, 39, 132, 133], В.Н. Монахов [109-111], М.А. Алексидзе [1], В.Д. Купрадзе [86, 87], А.Ф. Сидоров, Н.Н. Яненко, В.П. Шапеев [125, 146], А.Д. Полянин [120], В.П. Маслов [96], Э.М. Карташов [70, 71], Н.Х. Ибрагимов [230], С.С. Титов [156, 157], Ю.М. Григорьев [46], М.Ю. Филимонов [207], М. Танака [232], X. Фуджита [225], Ж. Филип [239] и др.), численные методы (А.Н.Тихонов, А.А.Самарский [122, 130-132], Г.И. Марчук [98, 99], Н.Н. Яненко [218-220], С.К. Годунов [41], Н.Н. Моисеев [107, 108], Ю.И. Шокин [216], А.Н. Коновалов [80, 219, 233], Ф.П. Васильев [29, 30], И.В. Фрязинов [212, 213], П.Н. Вабищевич [21-23], А.Ф. Воеводин [34, 35], В.И. Дро-бышевич [56-58], В.И. Васильев [24-28] и др.) и метод прямых (И.С. Березин [13], С.Г. Михлин [105, 106], О.А. Лисковец [91] и др.). Яркий пример удачного сочетания аналитических и численных методов моделирования нелинейной модели - нелинейная теплопроводность плюс нелинейное объемное энерговыделение - отражен в работах А.А. Самарского и его соратников СП. Курдюмова, В.А. Галактионова, А.П. Михайлова [38, 39, 133]. Следует отметить, что для каждой задачи математической физики (и даже в пределах одной задачи) имеется свой наиболее рациональный метод решения с точки зрения экономии времени, труда и достижения наибольшей точности. Преимущества (такие, как обозримость, бы-
строта достижения конечного численного результата и т.д.) и недостатки, причем очень существенные, (например, ограниченный круг применения) аналитических методов перед численными методами в достаточной мере описаны в различной литературе [70, 120, 146 и др.]. Тем не менее, остановимся на некоторых моментах преимущества аналитических методов решения дифференциальных уравнений в частных производных перед численными, отмеченными академиками А.Ф.Сидоровым, Н.Н. Яненко и их учениками [146, 156, 157]. Прежде всего они указали, что трудности проблемы аналитического представления решений привели к двум направлениям развития теории уравнений с частными производными. В первое вошли теоремы существования решений краевых задач или задач Копій. Однако даже при доказанных теоремах существования локальная структура решения большой частью остается неясной. Это затрудняет анализ необходимых для практики решений и их более глубокое осмысление. Ко второму относятся методы приближенного интегрирования, заключающиеся в построении цепочки моделей, для которых возможны эффективные аналитические или численные решения.
Вместе с тем, как правило [120, 146 и др.], численное решение позволяет получить конкретный ответ на конкретный вопрос, но не дает представления о структуре решения. Поэтому интерес к выделению классов аналитических решений возрос именно в связи с появлением большого численного материала расчетов, нуждающихся в интерпретации. Далее, точные решения дифференциальных уравнений служат прекрасными тестами для приближенных методов их интегри-
рования и дают представление о структуре общего решения. Как показывает практика решения задач на ЭВМ приближенными методами, наличие теста полезно не только при выборе приближенного метода, но и на других этапах технологической цепочки при решении задачи на ЭВМ. Оно помогает быстрее отладить программу, оценить погрешность результата и гарантирует его достоверность. Значение точных решений дифференциальных уравнений этим не исчерпывается. Их знание позволяет изучить свойства решений и глубже проникнуть в физику явлений, описываемых дифференциальными уравнениями [146]. Даже те частные точные решения дифференциальных уравнений, которые не имеют ясного физического смысла, могут быть использованы в качестве "тестовых" задач при проверке корректности и оценке точности различных численных, асимптотических и приближенных аналитических методов. Кроме того, допускающие точные решения модельные уравнения и задачи служат основой для разработки новых численных, асимптотических и приближенных методов, которые, в свою, очередь, позволяют исследовать уже более сложные задачи, например, тепло- и массопереноса, не имеющие точного аналитического решения [120]. Таким образом, каждое точное решение дифференциальных уравнений имеет большую ценность, во-первых, как точное описание реального процесса в рамках данной модели, во-вторых, как тест для апробации и сравнения различных численных методик, в-третьих, как теоретический факт, осмысление которого помогает совершенствовать используемые модели [156, 157].
Необходимо отметить еще одно не менее важное досто-
инство аналитических методов. Представление аналитического решения одной и той же задачи в различных эквивалентных функциональных формах (тождественных в смысле числа) имеет большую практическую ценность, так как позволяет варьировать решением в зависимости от постановки задачи. Например, представление решения тепловой задачи в форме ряда Фурье удобно для больших времен, а в виде формулы суммирования Пуассона более подходит для малых времен [70, 93].
Таким образом, разработка новых экономичных, простых и универсальных аналитических методов решения дифференциальных уравнений в частных производных, доступных не только инженерам, конструкторам, но и открытых для успешного применения методов математического моделирования, является весьма актуальной проблемой.
Основу данной диссертации составляют следующие научные отчеты по госбюджетным темам, выполненным в ОПМВТ ЯНЦ СО РАН и в НИИПМиИ при ЯГУ, ответственным исполнителем и научным руководителем которых был автор:
Разработка методов решения ОДУ и уравнений в частных производных. N гос. per. 78069293 , Фонды ОПМВТ ЯНЦ СО РАН, Якутск, 1983, 212 с.
Разработка граничного метода для решения прикладных задач математической физики. N гос. per. 01.87.0082046 , Фонды ОПМВТ СО РАН, Якутск, 1990, 195 с.
Разработка и применение математических методов в экологических системах. Фонды НИИПМиИ при ЯГУ, Якутск, 1995, 48 с.
4. Исследование и разработка задач для неклассических уравнений математической физики и прикладной экологии. Фонды НИИПМиИ при ЯГУ, Якутск, 2000, 107 с.
Цель работы заключается в разработке нового аналитического метода моделирования физических явлений, описы-вемых дифференциальными уравнениями в частных производных, и в построении математических моделей некоторых процессов тепло-массообмена, обусловленных освоением северных территорий, и их численной реализации.
В диссертации разрабатывается новый аналитический метод решения (в основном на примере решения задач теплопроводности) дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями, названный автором разработки граничным методом. Известно, что для получения точных аналитических решений линейного уравнения теплопроводности и вообще линейных дифференциальных уравнений в частных производных наиболее часто используются четыре основных классических метода: метод разделения переменных (метод Фурье), метод конечных интегральных преобразований (метод Гринберга), операционный метод (метод Лапласа) и, наконец, метод источников (метод функций Грина).
Метод Фурье (метод разделения переменных) - метод отыскания частных решений дифференциальных уравнений
(Lu)(x, у) = Ми - Nu = 0, х Є Я", у Є Rm, (1)
где M(N) - линейное дифференциальное выражение, содержащее производные только по переменным х(у), с коэффициентами, также зависящими только от х(у). Одно и то
же дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, целое семейство систем координат, в которых оно допускает разделение переменных, т.е. приводится к виду (1). Задача отыскания систем координат, допускающих разделение переменных, тесно связана с групповыми свойствами дифференциальных уравнений. Применение методов теории групп Ли позволяет описать все решения с разделенными переменными многих классических уравнений (Лапласа, Гельмголь-ца, Шредингера, волнового уравнения и др.). На этом пути получается также целый ряд соотношений из теории специальных функций. Метод разделения переменных был предложен для решения волнового уравнения Ж.Д' Аламбером (J.D'Alember, 1749), с достаточной полнотой метод был развит в начале 19 в. Ж. Фурье (J. Fourier) и в полной общности сформулирован М.В. Остроградским в 1828 [17, 103].
Метод интегральных преобразований представляет собой совокупность методов (классифицируемых по типу интегрального преобразования с конечными и бесконечными пределами) решения линейных дифференциальных уравнений при заданных краевых или начальных условиях, состоящих в переходе от данного уравнения к уравнению для интегрального преобразования искомой функции. Последнее уравнение может оказаться более простым. В случае конечных пределов интегрирования данный метод называется методом конечных интегральных преобразований или методом Гринберга. Работами Н.С. Кошлякова [82], Г.А. Гринберга [47], И. Снеддона [148], Г. Дейча [52] интегральные преобразования Фурье и Ханкеля распространены на конечную область исключаемых переменных. Г.А. Гринберг [47] разра-
ботал идею, предложенную Н.С. Котляковым [82] и обобщил этот метод для решения задач теплопроводности (диффузии) с подвижными границами [48-50], т.е. для репіения линейных дифференциальных уравнений с нелинейными граничными условиями. Именно это обстоятельство обусловило выделение метода Гринберга как самостоятельного метода. Для репіения полностью линейных задач наибольшее распространение получил операционный метод (метод Лапласа).
Метод Лапласа, преобразование Лапласа или операционный метод - метод отыскания частных решений дифференциальных уравнений в частных производных с помощью интеграла (преобразования) Лапласа:
fOO
' f(z)exp(-pz)dz. (2)
Многие интегралы вида (2) были рассмотрены П.Лапласом в 1812 г. [235].
Проблема обращения преобразования Лапласа, как задача отыскания решения f(x) интегрального уравнения первого рода (2), относится к классу некорректных задач и может быть решена, в частности, посредством регулирующего алгоритма. Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности, по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра [32, 52-54, 83, 222].
Метод функций Грина, метод источников - метод отыска-
ния решения дифференциальных уравнений в частных производных с помощью функции Грина. Функция Грина названа по имени Дж. Грина [229], впервые рассмотревшего один ее частный случай в своем исследовании по теории потенциала.
Функция Грина краевой задачи для линейного дифференциального уравнения - фундаментальное решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям. Начальные и граничные условия заменяются системой простейших источников, и задача решается для каждого простейшего источника. Полное решение исходной задачи получается в результате суммирования решений для элементарных источников [16, 112, 149]. Метод функции Грина и в настоящее время не потерял своей актуальности [45].
Более подробный обзор работ по приближенным методам решения дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями применительно к решению задач тепло-массообмена можно найти в работах [74, 75, 84].
Автор надеется, что предлагаемый здесь метод займет достойное место среди вышеупомянутых методов, более того, если эти методы принципиально не пригодны для точного решения нелинейных задач, то граничный метод применим не только для приближенного, но иногда и для точного решения нелинейных задач.
По исторически сложившейся традиции предлагаемый метод можно было бы назвать методом степенных рядов, однако автор склонен назвать его граничным методом. И вот почему: во-первых, в настоящее время степенные ряды применяются при решении дифференциальных уравнений в
частных производных в сочетании с другими методами, например, вариационными, и то при получении приближенных решений; во-вторых, основная идея предлагаемого метода основывается на предположении, что искомое решение удовлетворяет (естественно, в предельном смысле) исходному дифференциальному уравнению в граничных точках, что может быть определяющим при названии метода.
Метод степенных рядов применяется со времен Эйлера и является классическим методом решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). С его помощью был открыт ряд трансцендентных функций (специальных функций математической физики), чрезвычайно обогативших арсенал анализа. Но до настоящего времени попытка применения его к решению дифференциальных уравнений в частных производных (в смысле единого самостоятельного метода) не увенчалась успехом. Ключ к применению степенных рядов для решения уравнений в частных производных с краевыми условиями дает, по-нашему мнению, граничный метод. В рамках настоящей диссертации в основном рассматриваются вопросы формального характера, т.е. методологические аспекты применения граничного метода к решению различных уравнений математической физики, включая и системы уравнений. Теоретические вопросы общего характера типа: сходимость рядов, оценка скорости сходимости и ряд других, составляют отдельную тему. Таким образом, круг вопросов, связанных с граничным методом, образует новое перспективное направление в решении уравнений математической физики, ориентированных для изучения прикладных задач.
Работа состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы. Формулы имеют тройную нумерацию: первое число означает главу, второе — пункт, и третье — номер формулы внутри пункта. Теоремы, леммы, предложения, следствия, замечания, примеры, а также таблицы имеют сквозную нумерацию.
Первая глава содержит краткий обзор работ, в которых используются различные функциональные ряды для решения дифференциальных уравнений в частных производных.
Во второй главе излагаются основы нового аналитического метода решения дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями. Приводятся основная идея предлагаемого метода и его общая схема применения. Изучаются системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) специальных видов, которые необходимы при применении граничного метода, а также некоторые специальные рекуррентные соотношения. При решении задач с подвижными границами данным методом появляется необходимость неоднократного дифференцирования сложных функций. Приводятся формулы дифференцирования высших порядков сложных функций от одного и двух переменных.
Третья глава посвящается технике применения граничного метода для получения точного аналитического решения одномерных линейных задач теплопроводности. Изложение основано на примерах решений простых задач, всего приводятся более 10 примеров в зависимости от характера задач.
В четвертой главе даны приближенные аналитические решения нелинейных задач теории теплопроводности в зависимости от типа нелинейности - задач с нелинейностью
1-го рода, т.е. нелинейных из-за зависимости от температуры коэффициентов теплопроводности А(Т), удельной объемной теплоемкости С(Т), а также задач с нелинейностью П-го рода, т.е. нелинейных из-за нелинейной зависимости плотностей тепловых потоков q(T) от температуры.
Пятая глава посвящена вопросам аналитического решения граничным методом задач с подвижными границами. Задачи с подвижными границами имеют очень широкое практическое приложение в различных областях науки и техники. Выводятся точные решения однофазных задач, при этом подвижная граница (t) входит в решении как параметр. Для определения (<) предлагается 3 способа. Показано, что предлагаемый метод особенно удобен для решения так называемых обратных краевых задач с подвижными границами, например, задач стефановского типа. Подход, предложенный для решения однофазных задач, обобщается на двухфазные задачи. Предлагается два способа решения двухфазных задач: первый связан с вводом радиуса теплового влияния R(t) во второй зоне, а второй — с применением метода дробного дифференцирования.
В шестой главе отражаются особенности применения граничного метода для решения систем дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями на примере решения линейных и нелинейных задач тепло-и массопереноса.
В седьмой главе излагается схема применения граничного метода для решения неклассических задач математической физики, в частности, для решения параболического уравнения с переменным направлением времени. Найдены
точные аналитические решения для задач с коэффициентами sign(x) и х2п+1 при производной по времени.
Восьмая глава посвящена математическому моделированию конкретных физических процессов, связанных с технологией разработки месторождений минерального сырья. Изучена математическая модель размыва мерзлых горных пород с целью достижения эффективности диспергирования глинистых пород, содержащих полезное ископаемое, и максимальной скорости их оттаивания. Проведено математическое моделирование процесса течения ламинарного пограничного слоя вдоль поверхности магнитного шлюза.
Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность члену-корреспонденту РАН В.Н. Монахову, профессорам д.ф.-м.н. И.Е. Егорову, д.ф.-м.н. А.Г. Подгаеву, д.ф.-м.н. СВ. Попову, а также к.ф.-м.н. В.З. Борисову, к.ф.-м.н. В.Е. Федорову за полезные обсуждения и советы.
Основные результаты диссертации по разрабоке граничного метода изложены в монографии автора [202], а материалы главы 8 по применению граничного метода при математическом моделировании реальных процессов опубликованы в работах [129, 195-197, 223]. В совместных публикациях автору в основном принадлежат: математическая постановка задач, идеи решений, общее руководство, а соавторам - конкретные выкладки, расчеты и проведение экспериментальных работ.
Метод специальных конструкций рядов для решения нелинейных уравнений с частными производными (подход А.Ф.Сидорова)
Проблема обращения преобразования Лапласа, как задача отыскания решения f(x) интегрального уравнения первого рода (2), относится к классу некорректных задач и может быть решена, в частности, посредством регулирующего алгоритма. Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности, по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра [32, 52-54, 83, 222].
Метод функций Грина, метод источников - метод отыскания решения дифференциальных уравнений в частных производных с помощью функции Грина. Функция Грина названа по имени Дж. Грина [229], впервые рассмотревшего один ее частный случай в своем исследовании по теории потенциала.
Функция Грина краевой задачи для линейного дифференциального уравнения - фундаментальное решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям. Начальные и граничные условия заменяются системой простейших источников, и задача решается для каждого простейшего источника. Полное решение исходной задачи получается в результате суммирования решений для элементарных источников [16, 112, 149]. Метод функции Грина и в настоящее время не потерял своей актуальности [45].
Более подробный обзор работ по приближенным методам решения дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями применительно к решению задач тепло-массообмена можно найти в работах [74, 75, 84].
Автор надеется, что предлагаемый здесь метод займет достойное место среди вышеупомянутых методов, более того, если эти методы принципиально не пригодны для точного решения нелинейных задач, то граничный метод применим не только для приближенного, но иногда и для точного решения нелинейных задач.
По исторически сложившейся традиции предлагаемый метод можно было бы назвать методом степенных рядов, однако автор склонен назвать его граничным методом. И вот почему: во-первых, в настоящее время степенные ряды применяются при решении дифференциальных уравнений в частных производных в сочетании с другими методами, например, вариационными, и то при получении приближенных решений; во-вторых, основная идея предлагаемого метода основывается на предположении, что искомое решение удовлетворяет (естественно, в предельном смысле) исходному дифференциальному уравнению в граничных точках, что может быть определяющим при названии метода.
Метод степенных рядов применяется со времен Эйлера и является классическим методом решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). С его помощью был открыт ряд трансцендентных функций (специальных функций математической физики), чрезвычайно обогативших арсенал анализа. Но до настоящего времени попытка применения его к решению дифференциальных уравнений в частных производных (в смысле единого самостоятельного метода) не увенчалась успехом. Ключ к применению степенных рядов для решения уравнений в частных производных с краевыми условиями дает, по-нашему мнению, граничный метод. В рамках настоящей диссертации в основном рассматриваются вопросы формального характера, т.е. методологические аспекты применения граничного метода к решению различных уравнений математической физики, включая и системы уравнений. Теоретические вопросы общего характера типа: сходимость рядов, оценка скорости сходимости и ряд других, составляют отдельную тему. Таким образом, круг вопросов, связанных с граничным методом, образует новое перспективное направление в решении уравнений математической физики, ориентированных для изучения прикладных задач. Работа состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы. Формулы имеют тройную нумерацию: первое число означает главу, второе — пункт, и третье — номер формулы внутри пункта. Теоремы, леммы, предложения, следствия, замечания, примеры, а также таблицы имеют сквозную нумерацию.
Первая глава содержит краткий обзор работ, в которых используются различные функциональные ряды для решения дифференциальных уравнений в частных производных.
Во второй главе излагаются основы нового аналитического метода решения дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями. Приводятся основная идея предлагаемого метода и его общая схема применения. Изучаются системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) специальных видов, которые необходимы при применении граничного метода, а также некоторые специальные рекуррентные соотношения. При решении задач с подвижными границами данным методом появляется необходимость неоднократного дифференцирования сложных функций. Приводятся формулы дифференцирования высших порядков сложных функций от одного и двух переменных.
Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных
Цель работы заключается в разработке нового аналитического метода моделирования физических явлений, описы-вемых дифференциальными уравнениями в частных производных, и в построении математических моделей некоторых процессов тепло-массообмена, обусловленных освоением северных территорий, и их численной реализации.
В диссертации разрабатывается новый аналитический метод решения (в основном на примере решения задач теплопроводности) дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями, названный автором разработки граничным методом. Известно, что для получения точных аналитических решений линейного уравнения теплопроводности и вообще линейных дифференциальных уравнений в частных производных наиболее часто используются четыре основных классических метода: метод разделения переменных (метод Фурье), метод конечных интегральных преобразований (метод Гринберга), операционный метод (метод Лапласа) и, наконец, метод источников (метод функций Грина).
Метод Фурье (метод разделения переменных) - метод отыскания частных решений дифференциальных уравнений где M(N) - линейное дифференциальное выражение, содержащее производные только по переменным х(у), с коэффициентами, также зависящими только от х(у). Одно и то же дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, целое семейство систем координат, в которых оно допускает разделение переменных, т.е. приводится к виду (1). Задача отыскания систем координат, допускающих разделение переменных, тесно связана с групповыми свойствами дифференциальных уравнений. Применение методов теории групп Ли позволяет описать все решения с разделенными переменными многих классических уравнений (Лапласа, Гельмголь-ца, Шредингера, волнового уравнения и др.). На этом пути получается также целый ряд соотношений из теории специальных функций. Метод разделения переменных был предложен для решения волнового уравнения Ж.Д Аламбером (J.D Alember, 1749), с достаточной полнотой метод был развит в начале 19 в. Ж. Фурье (J. Fourier) и в полной общности сформулирован М.В. Остроградским в 1828 [17, 103].
Метод интегральных преобразований представляет собой совокупность методов (классифицируемых по типу интегрального преобразования с конечными и бесконечными пределами) решения линейных дифференциальных уравнений при заданных краевых или начальных условиях, состоящих в переходе от данного уравнения к уравнению для интегрального преобразования искомой функции. Последнее уравнение может оказаться более простым. В случае конечных пределов интегрирования данный метод называется методом конечных интегральных преобразований или методом Гринберга. Работами Н.С. Кошлякова [82], Г.А. Гринберга [47], И. Снеддона [148], Г. Дейча [52] интегральные преобразования Фурье и Ханкеля распространены на конечную область исключаемых переменных. Г.А. Гринберг [47] разработал идею, предложенную Н.С. Котляковым [82] и обобщил ЭТОТ метод для решения задач теплопроводности (диффузии) с подвижными границами [48-50], т.е. для репіения линейных дифференциальных уравнений с нелинейными граничными условиями. Именно это обстоятельство обусловило выделение метода Гринберга как самостоятельного метода. Для репіения полностью линейных задач наибольшее распространение получил операционный метод (метод Лапласа).
Метод Лапласа, преобразование Лапласа или операционный метод - метод отыскания частных решений дифференциальных уравнений в частных производных с помощью интеграла (преобразования) Лапласа: Многие интегралы вида (2) были рассмотрены П.Лапласом в 1812 г. [235].
Проблема обращения преобразования Лапласа, как задача отыскания решения f(x) интегрального уравнения первого рода (2), относится к классу некорректных задач и может быть решена, в частности, посредством регулирующего алгоритма. Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности, по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра [32, 52-54, 83, 222].
Полуограниченная область. Декартова система координат
Функция Грина краевой задачи для линейного дифференциального уравнения - фундаментальное решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям. Начальные и граничные условия заменяются системой простейших источников, и задача решается для каждого простейшего источника. Полное решение исходной задачи получается в результате суммирования решений для элементарных источников [16, 112, 149]. Метод функции Грина и в настоящее время не потерял своей актуальности [45].
Более подробный обзор работ по приближенным методам решения дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями применительно к решению задач тепло-массообмена можно найти в работах [74, 75, 84].
Автор надеется, что предлагаемый здесь метод займет достойное место среди вышеупомянутых методов, более того, если эти методы принципиально не пригодны для точного решения нелинейных задач, то граничный метод применим не только для приближенного, но иногда и для точного решения нелинейных задач.
По исторически сложившейся традиции предлагаемый метод можно было бы назвать методом степенных рядов, однако автор склонен назвать его граничным методом. И вот почему: во-первых, в настоящее время степенные ряды применяются при решении дифференциальных уравнений в частных производных в сочетании с другими методами, например, вариационными, и то при получении приближенных решений; во-вторых, основная идея предлагаемого метода основывается на предположении, что искомое решение удовлетворяет (естественно, в предельном смысле) исходному дифференциальному уравнению в граничных точках, что может быть определяющим при названии метода.
Метод степенных рядов применяется со времен Эйлера и является классическим методом решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). С его помощью был открыт ряд трансцендентных функций (специальных функций математической физики), чрезвычайно обогативших арсенал анализа. Но до настоящего времени попытка применения его к решению дифференциальных уравнений в частных производных (в смысле единого самостоятельного метода) не увенчалась успехом. Ключ к применению степенных рядов для решения уравнений в частных производных с краевыми условиями дает, по-нашему мнению, граничный метод. В рамках настоящей диссертации в основном рассматриваются вопросы формального характера, т.е. методологические аспекты применения граничного метода к решению различных уравнений математической физики, включая и системы уравнений. Теоретические вопросы общего характера типа: сходимость рядов, оценка скорости сходимости и ряд других, составляют отдельную тему. Таким образом, круг вопросов, связанных с граничным методом, образует новое перспективное направление в решении уравнений математической физики, ориентированных для изучения прикладных задач. Работа состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы. Формулы имеют тройную нумерацию: первое число означает главу, второе — пункт, и третье — номер формулы внутри пункта. Теоремы, леммы, предложения, следствия, замечания, примеры, а также таблицы имеют сквозную нумерацию.
Первая глава содержит краткий обзор работ, в которых используются различные функциональные ряды для решения дифференциальных уравнений в частных производных.
Во второй главе излагаются основы нового аналитического метода решения дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями. Приводятся основная идея предлагаемого метода и его общая схема применения. Изучаются системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) специальных видов, которые необходимы при применении граничного метода, а также некоторые специальные рекуррентные соотношения. При решении задач с подвижными границами данным методом появляется необходимость неоднократного дифференцирования сложных функций. Приводятся формулы дифференцирования высших порядков сложных функций от одного и двух переменных.
Третья глава посвящается технике применения граничного метода для получения точного аналитического решения одномерных линейных задач теплопроводности. Изложение основано на примерах решений простых задач, всего приводятся более 10 примеров в зависимости от характера задач.
Однофазные задачи. Точные решения
Еще О. Коши первым обратил внимание на замечательное свойство некоторых дифференциальных уравнений в частных производных, состоящее в том, что все их решения ана-литичны, в частности, этот факт он доказал для эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами [14, 15].
В 1890 году Пикар [14, 15], методом последовательных приближений, показал, что указанным свойством обладают все дифференциальные уравнения вида (2.1.1) при Л = С = 1, В = 0, q = 0 и аналитичных по переменным х, t коэффициентах D, Е, F. Для эллиптических уравнений более общего вида с аналитическими коэффициентами наличие данного свойства доказал С.Н.Бернштейн [15]. Он же указал, что таким же свойством обладают и параболические уравнения, решение которых аналитичны по пространственной координате х [15]. В современных исследованиях, в частности в работах [36, 59, 60, 116, 153, 214, 221, 238], рассматриваются, более общие уравнения, например, выраждающиеся эллиптические.
Вместе с тем, хорошо известно [72], что построение прямых итераций Пикара для обыкновенных дифференциальных уравнений приводит к построению решений в виде степенных рядов. Непосредственный перенос этих рассмотрений на уравнения в частных производных невозможен [156]. Постулируя разложимость решения аналитической системы дифференциальных уравнений с частными производными в степенной ряд, СВ. Ковалевская доказала теорему [73] (которая теперь носит ее имя и имя Коши) для уравнений типа Ковалевской (как теперь принято говорить [156]) для задачи Копій, используя метод мажорант для исследования сходимости получающихся рядов. Тот, кто хоть раз строил последовательные приближения методом прямых итераций при наличии нелинейностей аналитического типа интуитивно понимает необходимость привлечения алгебраического аппарата [2]. Удачное привлечение алгебраического формализма с введением понятия полиалгебр сделано в работах С.С. Титова [156, 157].
Теорема Коши-Ковалевской [73] предполагает использование мощного аппарата степенных рядов [44], а современная абстрактная ее форма - теорема Овсянникова-Трева-Ниренберга-Нишиды [114, 115, 236, 237, 241, 242] имеет дело со шкалами банаховых пространств [156]. В работах [156, 157] изложен новый метод исследования - комбинаторно-алгебраический анализ в полиалгебрах - для соединения подходов Л.В. Овсянникова, Нишиды и Трева в развитие работ А.Ф. Сидорова и его школы. Таким образом, поиск решения дифференциальных уравнений в частных производных в классе аналитических функций является вполне оправданным. Метод специальных конструкций рядов для решения нелинейных уравнений с частными производными (подход А.Ф.Сидорова). Данный подход предложен и развивается А.Ф.Сидоровым и его учениками [8-Ю, 31, 61, 78, 79, 81, 136-145, 156-162, 203-208, 224]. В этих работах в основном рассматриваются квазилинейные гиперболические уравнения, а их решения представляются в виде различных рядов: степенных [8-10, 61, 142-145], тригонометрических [158] или в наиболее общем виде, например, таких [31, 79, 136, 161]:
