Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор литературы 13
1.1 Вычислительный эксперимент 13
1.2 Общие сведения о подводном взрыве 15
1.3 Краткое описание предыдущих исследований 17
1.4 Возникновение волн при подводном взрыве 19
1.5 Применение подводных взрывов 20
1.6 Математические модели распространения нелинейных волн 21
1.7 Задача о сильном взрыве 27
1.8 Молекулярная модель 30
1.9 Выводы 32
2 Постановка задачи 33
2.1 Моделирование подводного взрыва 33
2.1.1 Моделирование окружения 33
2.1.2 Моделирование ВВ 34
2.2 Расчетная область. Расположение частиц 35
2.3 Граничные условия 36
2.4 Методика наблюдения динамики ударной волны 38
2.5 Алгоритм решения задачи 40
2.6 Цели и задачи 42
2.7 Выводы 42
3 Вычислительные аспекты 43
3.1 Метод молекулярной динамики 43
3.2 Потенциал Леннард-Джонса 43
3.3 Дискретизация уравнений движения . 47
3.3.1 Метод Верле 47
3.3.2 Метод Нордсика-Гира 49
3.4 Оптимизация вычислений 52
3.4.1 Метод связных ячеек 52
3.4.2 Обезразмеривание переменных в определяющих уравнениях 54
3.5 Распределение Максвелла-Больцмана 56
3.6 Масштабирование скорости 58 3.7 Точность метода молекулярной динамики 59
3.8 Выводы 61
4 Моделирование подводного взрыва 62
4.1 Калибровочные расчеты 62
4.1.1 Установление ТД равновесия 63
4.1.2 Калибровочный расчет 64
4.2 Моделирование подводного взрыва. Основные расчеты 67
4.2.1 Взрыв на мелкой воде. Начальный заряд 68
4.2.2 Взрыв на мелкой воде. Увеличенный заряд 73
4.2.3 Взрыв на глубокой воде. Начальный заряд 77
4.2.4 Взрыв на глубокой воде. Увеличенный заряд 82
4.3 Выводы 87
5 Исследование структуры ударной волны 89
5.1 Подход Кадомцева 91
5.2 Уравнение Кортевега-де Вриза на атомарном уровне. Солитон сжатия 93
5.2.1 Уравнение Кортевега-де Вриза и уравнение Шредингера 98
5.2.2 Связь с подводным взрывом 100
5.3 Выводы 102
Заключение 104
Литература 106
- Краткое описание предыдущих исследований
- Расчетная область. Расположение частиц
- Дискретизация уравнений движения
- Взрыв на мелкой воде. Увеличенный заряд
Введение к работе
Актуальность темы. Современную науку сейчас уже сложно представить без компьютерного моделирования, которое используется наряду с традиционными экспериментальными и теоретическими исследованиями. С его помощью могут быть даны ответы на вопросы, которые относятся к процессам, развивающимся в условиях, где не представляется возможным провести реальный эксперимент. Именно при решении сложных задач главной является степень применимости того или иного численного метода, вычислительного алгоритма, т. е. значение того, насколько точно они описывают изучаемую систему с учетом аппроксимации исходных дифференциальных уравнений, неточностей задания начального состояния и ошибок округления. К решению сложных, нетривиальных, задач проявляют интерес исследователи по всему миру, ставя перед собой цели по изучению самых разных проблем, применимости различных вычислительных методов и подходов к решению таких систем.
Одним из таких сложных процессов является подводный взрыв. Интерес к его исследованию изначально был вызван необходимостью решения широкого спектра технических задач, возникших в годы Второй мировой войны. Внимание, уделяемое данной проблеме в тот период времени, привело к интенсивному развитию представлений о характере взрывных движений. Было отмечено, что работа над проблемой механики взрыва послужила толчком к значительному прогрессу в смежных разделах прикладной математики и механики сплошных сред.
Учеными проводились исследования подводного взрыва, взрыва в грунтах; изучалось поведение металлов под действием продуктов детонации взрывчатых веществ; эти продукты создают для среды экстремальные условия в виде гигантских давлений (в сотни кбар) и температур (достигают нескольких тысяч градусов). Установлено, что при таких условиях многие твердые тела «забывают» о своих прочностных свойствах, жесткой кристаллической структуре и ведут себя по законам гидродинамики. В работах по данной тематике рассматриваются теоретические и экспериментальные методы исследования подводного взрыва, при этом задачи о поведении различных сред при взрывном нагружении, в основном, описывают в рамках существующих математических моделей. В исследованиях подводного взрыва условно выделяют три основных блока проблем:
Ударные волны, уравнения состояния и динамика полости с продуктами детонации (при этом предполагается, что рассматриваемая среда безгранична);
Поведение среды со свободными границами при взрывном нагружении, микронеоднородности в жидкости и растягивающие напряжения;
Течение жидкости с неизвестными свободными границами, высокоскоростные струйные течения при малозаглубленных подводных взрывах;
Все перечисленные выше направления связаны, прежде всего, с пониманием физики рассматриваемых явлений, поиском управляющих механизмов, разработкой экспериментальных методов исследования и созданием математических моделей, которые могли бы адекватно описывать эти высокоскоростные процессы. В.К. Кедринский в своей монографии («Гидродинамика взрыва: эксперимент и модели», 2000 г.) также отмечал, что “жидкость при взрывных нагрузках – все еще загадочная стихия” и ее часто сложно описать, просто выписав полную систему законов сохранения в виде дифференциальных уравнений и замыкающих ее различного рода определяющих соотношений. В данной работе представлена реализация моделирования явления подводного взрыва, путем создания для его расчета пакета уникальных вычислительных программ, в основе которых лежит метод молекулярной динамики. При этом важно отметить ряд неоспоримых преимуществ в пользу проведения численного эксперимента:
Во время проведения численного моделирования (эксперимента) на каждом этапе, есть возможность увидеть, что происходит в исследуемой системе, в любой момент времени, а так же динамически корректировать и изменять те или иные параметры системы;
Численное моделирование позволяет для рассматриваемой системы производить исследование во всем диапазоне параметров. При проведении реального эксперимента это практически неосуществимо;
Численное моделирование требует лишь только наличия компьютера, с установленными компиляторами и нужными библиотеками, поэтому оно гораздо дешевле проведения реального эксперимента. Единственным ограничивающим фактором является лишь только время расчета;
Метод, примененный в данной работе, является одним из современных подходов при компьютерном моделировании процессов в физике, химии, биологии, биохимии, биофизике. Основные идеи метода метода молекулярной динамики были впервые сформулированы в 1957 году Олдером и Вейнрайтом для твердых сфер и затем несколько лет спустя данный метод был рассмотрен ими уже более подробно. Под твердыми сферами при этом понимались изначально молекулы, нежели атомы. Затем Гибсоном, а также Рахманом это было проделано для систем атомов с непрерывными потенциалами межатомного взаимодействия Леннард-Джонса, Дебая и Борна-Майера. Так было положено начало изучению различных физических систем при помощи данного метода. В основе метода
лежит один из основных законов физики: система моделируется набором из
частиц с заданным законом взаимодействия (парные и многочастичные потенциалы), затем на каждом шаге моделирования численно интегрируется система уравнений движения. Результатом решения данной задачи являются значения координат и скоростей частиц в каждый момент времени. Далее, исходя из полученных значений, проводится расчет основных кинетических параметров системы: температуры, энергии, давления, коэффициентов переноса, корреляционных функций.
Ввиду продолжительной истории использования метода молекулярной динамики, не раз было отмечено, что результаты полученные с его помощью, хорошо согласуются с экспериментальными данными и аналитическими подходами, в тех случаях, где такое сопоставление представляется возможным провести. Даже несмотря на огромную разницу в масштабах схожих явлений, данный метод обладает определенной прогностической силой. При этом известно, что классические динамические системы многих частиц принадлежат к системам с сильной локальной неустойчивостью. Так же очевидно, что при проведении численного моделирования мы получаем результат с некоторой точностью и она связана с накоплением численных погрешностей. Эти факты до сих пор вызывают у некоторых скептиков вопрос о том, насколько результаты молекулярно-динамического моделирования адекватны реальному эксперименту, но как известно, не существует другого способа проверить это, кроме как непосредственно провести вычислительный эксперимент и дополнить базу знаний по этому вопросу. Исходя из этого, исследование свойств и фазовых траекторий системы многих частиц, используемых в методе молекулярной динамики, в зависимости от различных факторов (начальные, граничные условия) так же является немаловажной задачей.
По результатам исследований ряда проблем, возникающих при подводном взрыве, а так же образованию и распространению вследствие данного явления волн, следует отметить монографию 2000 года В.К. Кедринского и книгу 1995 года Б. Мехауте, как наиболее обстоятельные. В данных трудах рассматриваются созданные канонические теории и математические модели, которые могут представлять интерес для обширного круга исследователей, поскольку возникновение мощных подводных взрывов в непосредственной близости от побережий, морских баз, заливов может иметь серьезные последствия, а изучение волн, порожденных подводным взрывом, может оказаться полезным для понимания естественных явлений, имеющих место в океане. Также в последнее время встречаются статьи, в которых предлагается использовать технику нановзрывов в медицине, для направленной доставки химических веществ в клетку.
Одной из основных задач данной работы было создать программную реализацию моделирования подводного взрыва, в определенном приближении, кото-5
рая могла бы стать базовой площадкой к созданию и реализации более сложной физической системы, в которой был бы реализован весь потенциал метода молекулярной динамики. Важной целью было определение применимости данного метода к такому классу задач. При этом важно отметить полное отсутствие работ по данному направлению с использованием метода молекулярной динамики.
Целью данной работы является моделирование и исследование подводного взрыва методом молекулярной динамики. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
-
Разработать пакет программ для расчета подводного взрыва методом молекулярной динамики.
-
Разработать и применить модель и алгоритм расчета взрывчатого вещества, в рамках метода молекулярной динамики.
-
Исследовать возможности ускорения молекулярно - динамических расчетов за счет применения современных вычислительных средств и алгоритмов.
-
Исследовать динамику подводных возмущений системы многих взаимодействующих частиц.
-
Изучить распространение ударной волны, возникающей при подводном взрыве.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Пакет программ для моделирования подводного взрыва.
-
Алгоритм, позволяющий моделировать взрывчатое вещество.
-
Специально разработанная техника расчета радиальной плотности ударной волны, для анализа ее структуры.
-
Данные моделирования подводного взрыва, полученные методом молекулярной динамики.
-
Данные о динамике распространения ударной волны.
-
Анализ распада ударной волны на основе уравнения Кортевега-де Вриза – Бюргерса.
Научная новизна: Предложены и реализованы алгоритмы моделирования подводного взрыва методом молекулярной динамики и изучения динамики ударной волны. Автором впервые:
1. Выполнено оригинальное исследование процессов, возникающих при подводном взрыве молекулярной динамики.
-
Продемонстрированы визуальные картины моделирования подводного взрыва, полученные методом молекулярной динамики.
-
Разработана программа для моделирования подводного взрыва методом молекулярной динамики.
-
Разработан и реализован алгоритм, позволяющий моделировать взрывчатое вещество и не требующий задания его точной структуры.
-
Разработана и применена специальная техника, позволяющая проводить анализ динамики ударной волны при подводном взрыве.
-
Построены и проанализированы зависимости распространения радиальной плотности ударной волны в начальные моменты времени, демонстрирующие ее асимметричность.
-
Проанализирован распад ударной волны на основе уравнения Кортевега-де Вриза – Бюргерса.
Практическая значимость диссертационной работы определяется тем, что компьютерное моделирование данного процесса позволяет для рассматриваемой системы проводить исследование в различных диапазонах параметров. При проведении реального эксперимента это практически неосуществимо. Немаловажным является также исследование применимости метода молекулярно динамики к такому классу задач, в котором есть свободная поверхность раздела двух сред, в качестве естественной альтернативы методам вычислительной гидрогазодинамики и прямому методу Монте-Карло.
Созданная, в результате выполнения данной работы, программа позволяет на начальном этапе реализации задавать различные варианты исследуемой области, изменять форму, мощность и расположение заряда, с целью изучения динамики данного процесса в заданных условиях, а впоследствии и выяснения характера возмущений на поверхности воды, а также наблюдения за распространением ударной волны. Данная программа служит базовой площадкой, при помощи которой возможно создание и реализация более сложной физической системы для анализа различных ситуаций, связанных с взрывными процессами.
Достоверность изложенных в работе результатов контролировалась путем сравнения с имеющимися экспериментальными данными и результатами расчета динамического процесса, который развивается после подводного взрыва. Расчеты показывают поразительное сходство с известной эволюцией системы, а именно: распространение фронта ударной волны, формирование кратера, распад ударной волны при достижении границ свободной поверхности с последующим подъемом слоя воды над областью взрыва.
Апробация работы. Работа отмечена грантом правительства Санкт-Петербурга для студентов вузов, аспирантов и молодых ученых в 2011 году. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях: Конференция «XXXVIII Неделя науки СПбГПУ» (Санкт-Петербург, 2009), Конференция «XXXIX Неделя науки СПбГПУ» (Санкт-Петербург, 2010), Международная конференция «Junior Scientific Conference 2010» (Вена, Австрия, 2010), Международная конференция «14th International Workshop on New Approaches to High-Tech: Nano-Design, Technology, Computer Simulations (NDTCS-2011)» (Эспоо, Финляндия, 2011), Международная конференция «15th International Workshop on New Approaches to High-Tech: Nano-Design, Technology, Computer Simulations (NDTCS-2013)» (Минск, Белорусcия, 2013)
Личный вклад. При участии автора диссертационной работы были сформулированы и поставлены цели и задачи исследования. Автор лично разрабатывал комплекс программ для моделирования подводного взрыва, в которых были реализованы все представленные в диссертации алгоритмы, методы, а также применены оригинальные методики. При участии автора был проведен анализ полученных данных, приведено математическое описание явлений, наблюдаемых в результате проведенного численного эксперимента. Одним из определяющих также является вклад автора в создание научных работы, опубликованных по теме диссертации.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 печатных изданиях, 5 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 5 — в тезисах докладов.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, перечня основных результатов и выводов. Полный объем диссертации 113 страниц текста с 55 рисунками и 7 таблицами. Список литературы содержит 115 наименований.
Краткое описание предыдущих исследований
Достоверность изложенных в работе результатов контролировалась путем сравнения с имеющимися экспериментальными данными и результатами расчета динамического процесса, который развивается после подводного взрыва. Расчеты показывают поразительное сходство с известной эволюцией системы, а именно: распространение фронта ударной волны, формирование кратера, распад ударной волны при достижении границ свободной поверхности с последующим подъемом слоя воды над областью взрыва.
Апробация работы. Работа отмечена грантом правительства Санкт-Петербурга для студентов вузов, аспирантов и молодых ученых в 2011 году. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях:
Личный вклад. При участии автора диссертационной работы были сформулированы и поставлены цели и задачи исследования. Автор лично разрабатывал комплекс программ для моделирования подводного взрыва, в которых были реализованы все представленные в диссертации алгоритмы, методы, а также применены оригинальные методики. При участии автора был проведен анализ полученных данных, приведено математическое описание явлений, наблюдаемых в результате проведенного численного эксперимента. Одним из определяющих также является вклад автора в создание научных работы, опубликованных по теме диссертации.
Публикации. По результатам работы опубликовано 10 печатных работ. Основные результаты по теме диссертации изложены в пяти статьях, в журналах рекомендованных ВАК [42–46], а также в пяти тезисах докладов [47–51]. Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, перечня основных результатов и выводов. Полный объем диссертации составляет 113 страниц машинописного текста с 55 рисунками и 7 таблицами. Список литературы содержит 115 наименований.
Во введении кратко сформулированы основные цели и задачи диссертации, отмечены актуальность произведенной работы, а также ее теоретическая и практическая значимость. Дается обзор структуры разделов диссертации.
Первая глава носит обзорный характер и призвана представить общие сведения об исследуемом процессе, рассмотреть уже проведенные ранее экспериментальные и теоретические работы. Рассмотрены явления волн и ударные волны, происходящие при подводном взрыве. Кроме того, в данной главе приводятся выводы уравнения КдВ для плоских волн, характеризующего нелинейный характер их распространения. В данной главе отмечается математическая постановка задачи о сильном взрыве, и приводится вывод формул, характеризующих закон затухания ударной волны, зависящий от формы заряда. Делается вывод о применимости метода молекулярной динамики к такому классу задач, в сравнении с другими подходами к их решению.
Вторая глава посвящена постановке задачи. В ней сформулированы основные идеи методов, которые заложены в основу программной реализаций исследуемой системы. Предлагается оригинальный подход к моделированию взрывчатого вещества без усложнения моделирования. Описывается методика нахождения радиальной плотности частиц в исследуемой области, на начальном этапе моделирования. Дается поэтапный план выполнения работы и алгоритм реализации моделирования.
В третьей главе подробно излагаются вычислительные аспекты численного моделирования. Дается характеристика потенциала Леннард-Джонса, использованного в моделировании. Подробным образом описывается выбор схем дискретизации уравнений движения, таких как метод Верле и метод Нордсика-Гира. Также обсуждаются методы улучшения быстродействия.
Четвертая глава непосредственно посвящена результатам проведенного моделирования подводного взрыва и исследованию динамики ударной волны. В качестве основных представительных параметров приводятся визуальные картины моделирования, которые позволили судить о внешнем сходстве полученных данных с известными явлениями, возникающими при подводном взрыве, а также зависимости радиальной плотности частиц в зависимости от расстояния от эпицентра взрыва.
Расчетная область. Расположение частиц
С момента зарождения Максвеллом и Больцманом [65] основ молекулярной-кинетической теории прошло уже более ста тридцати лет. С тех пор достигнут значительный прогресс в обосновании и понимании уравнения Больцмана, создан математический аппарат для описания макроскопической гидрогазодинамики – континуальные уравнения Эйлера и Навье-Стокса, которые применяются в математическом моделировании многих природных явлений и задач [66–68]. Однако, при этом важно отметить, что ,например, описание течений вполне удовлетворительно может быть проведено в рамках континуальных уравнений лишь только в областях, где состояние близко к равновесному, т.е. характерные размеры и времена значительно больше кинетических, однако использование данных уравнений не корректно в областях внутри течения с большими градиентами газодинамических параметров. Известно также, что уравнения Навье — Стокса неточно описывают структуру ударной волны из-за сильной неравновесности статистического распределения молекул по энергиям в области резкого изменения параметров газа и д.р. [69,70]. Это относится также и к описанию кинетики физико-химических процессов во фронте ударной волны. В то же время практические потребности в науке и технике (военной, космической, авиационной, вакуумной, химической и т.д.) требуют решения все более сложных и зачастую нелинейных задач, вне областей применимости классической гидрогазодинамики.
Существуют различные подходы к описанию течений жидкости и газа [71, 72]. Исследуемую задачу можно описывать не только на макроскопическом [73], но и на микроскопическом уровне [74–77]. В отличие от рассмотрения среды как единого континуума, микроскопический молекулярный подход рассматривает корпускулярную структуру среды как миллиарды дискретных молекул и содержит информацию о положениях и скоростях каждой молекулы в любой момент времени. Континуальное описание справедливо до тех пор, пока физически малый объем содержит еще достаточное количество молекул для установления средних величин. И как уже отмечалось выше, уравнения Навье-Стокса не годятся в случае больших градиентов, когда определяемые ими масштабы длины становятся того же порядка, что и среднее расстояние проходимое молекулами между столкновениями(длина свободного пробега). [78, 79]. Отно шение длины свободного пробега , к характерному размеру , является числом Кнудсена (1.39).
Континуальный подход справедлив в том случае, когда число Кнудсена оказывается малым по сравнению с единицей. Именно поэтому, зачастую, наиболее адекватным методом расчета структуры ударной волны считается метод прямого статистического моделирования Монте-Карло. Однако, наряду с этим методом представляет интерес использовать не такой распространенный для решения такого класса задач, но не менее эффективный метод молекулярной динамики, в котором отсутствует проблема описания свободной поверхности на границе раздела двух сред. Наглядное сравнение всех этих подходов приведено в Табл. 1.
В связи с этим, актуальной проблемой является определение границ применимости континуальных уравнений и метода Монте-Карло и установление круга физических явлений, которые в целом могут быть удовлетворительно описаны этими моделями. Исходя из данной таблицы видно, что метод молекулярной динамики не имеет ограничений на границы применимости, в отличие от двух других подходов, однако при этом он также является наиболее затратным с вычислительной точки зрения. Поэтому, ввиду отсутствия каких либо ранее выполненных работ по данной тематике, определенный практический интерес представляет задача о применимости данного метода МД к описанию и решению такой комплексной и не простой задачи, как моделирование подводного взрыва.
Первая глава носит обзорный характер и представляет общие сведения об исследуемом процессе, кратко описывает проведенные ранее экспериментальные и теоретические работы. Рассмотрены явления волн и ударной волны, происходящих при подводном взрыве. Кроме того, в данной главе приводятся выводы определяющего уравнения КдВ для плоских волн, характеризующего нелинейный характер их распространения. В данной главе описана математическая постановка задачи о сильном взрыве, и приведен вывод формул, характеризующих закон затухания ударной волны, зависящий от формы заряда. Делается вывод о применимости метода молекулярной динамики к такому классу задач, в сравнении с другими подходами к ее решению.
Дискретизация уравнений движения
При применении того или иного численного метода для решения задачи компьютерного моделирования принципиально стоит вопрос о его точности. Он приобретает первостепенное значение, поскольку результаты моделирования приобретают силу экспериментального факта в тех случаях, когда моделируются системы, экспериментальное изучение которых затруднено или попросту невозможно. Данный вопрос подробно изучался в работах Нормана [103,104].
При использовании метода молекулярной динамики выделяют следующие причины появления систематических ошибок: Ошибки округления; Ошибки, связанные с использованием различных схем и алгоритмов численного интегрирования уравнений Ньютона; Ошибки, обусловленные конечным размером расчетной области и использованием периодических граничных условий; Корреляции, обусловленные конечным числом частиц в моделирующей системе;
Наличие ошибок округления – принципиальный фактор использования для моделирования компьютеров. Поскольку округление чисел происходит псевдослучайно, данный тип погрешности, которая вносится в расчет, делает движение системы в фазовом пространстве необратимым.
Учет конечной точности представления чисел компьютером необходимо учитывать при решении эволюционных задач, например, при расчете траекторий молекул. Ошибки, которые связаны с конечно-разностной аппроксимацией уравнений Ньютона, неизбежны и степень этих ошибок растет со временем. Поэтому основным критерием использования той или иной конечно-разностной схемы является прежде всего правильное определение доверительного временного интервала, в течение которого эти ошибки остаются достаточно малыми, чтобы существенно не влиять на качество расчета. Если это время равно , то ошибки определения динамических переменных на таких временах должны быть малыми. Поскольку при использовании конечно-разностных схем того или иного порядка ошибка вычисления динамических переменных пропорциональна шагу дискретизации, то этот шаг h должен быть таким, чтобы hk+lte « 1, где показатель к - порядок используемой схемы. На практике точность решения динамической задачи можно проверять по выполнению законов сохранения.
В методе молекулярной динамики, где при моделировании процессов применяются твердые сферы, погрешности расчета отсутствуют, и его поэтому можно использовать для определения точности тех или иных разностных аппроксимаций уравнения Ньютона.
В связи с тем, что расчетная область имеет конечную длину L, появляется еще один источник ошибок. В реальном газе или в жидкости возмущение, возникшее в некоторой точке, распространяется по всему объему, и затем затухает из-за диссипативных эффектов. Размеры расчетной ячейки обычно достаточно малы, и возмущение, возникшее в некоторой точке, спустя время порядка L/a может вновь достичь ее. Здесь а - скорость распространения возмущения, в газах и жидкостях - скорость звука. Таким образом, гарантированную точность можно ожидать (при прочих равных условиях) лишь на временах порядка t L/a.
Конечное число частиц N в моделирующей системе становится источником серьезных ошибок, в случае когда моделируемая система является большой(бе сконечной). Физической причиной появления таких ошибок является то, что в конечной системе развиваются корреляции, не характерные для моделируемой системы. Эти корреляции в общем случае плохо изучены.
Традиционный и самый простой способ проверки влияния конечного числа частиц на результаты расчета состоит в увеличении N и проверки степени влияния числа частиц на результат. Если результат с удовлетворительной точностью не изменяется, число частиц можно считать вполне достаточным для моделирования. К сожалению, во многих случаях этого не удается сделать, так как исследуются системы с максимально возможным для современных компьютеров N. Кроме того, всегда следует понимать, что если результат моделирования при увеличении числа частиц вдвое не изменился. это вовсе не означает, что он правильный. Именно поэтому необходимо изучение влияния конечных N.
В методе молекулярной динамики неточность возникает практически на каждом шаге по времени. Движение системы начинается с постоянной энергии E = const в момент времени to. Далее спустя время т необходимо реализовать столкновение. Для этого нужно определить заданные силы и определить соответствующую систему уравнений. При этом совершается некоторая ошибка, что фактически означает изменение начальных данных системы и ее переход на соседнюю, близкую фазовую траекторию. Кроме того, в процессе моделирования энергия системы также сохраняется с некоторой точностью. Это означает, что на каждом итерационном шаге или спустя несколько шагов происходит переход от системы с энергией Е = const к системе с энергией ЕІ = Е + AEi = const.
Таким образом, в фазовом пространстве система как бы движется вдоль многолистовой энергетической поверхности. При взаимодействии частиц система перескакивает на другой лист энергетической поверхности, отличающийся от предыдущего на величину AEi.
В силу случайных перескоков системы при каждом взаимодействии частиц ясно, что ее фазовая траектория необратима. Такая система будет демонстрировать диссипативное поведение даже в том случае, если она закрытая. В данном случае необратимость носит вероятностный характер, что как раз и соответствует современной формулировке второго закона термодинамики.
Взрыв на мелкой воде. Увеличенный заряд
До сих пор нет полной физической теории, описывающей количественно зарождение, развитие и затухание ударных волн. Существующие теории носят общий термодинамический характер (не зависят от конкретных деталей строения вещества на атомарном уровне), однако, в качестве исключения можно отметить книгу [105]. Тем не менее, если пытаться не только добиться описания общих свойств, но и также понять природу данного явления, то следует рассматривать частицы составляющие исходный объект наблюдения [106]. Но к сожалению, не существуют таких экспериментальных методов, которые могли бы дать такую информацию.
Первый шаг на пути исследования структуры ударной волны с использованием метода молекулярной динамики был сделан в [51]. Область распространения ударной волны была поделена на три сектора 0 - 30, 30 - 60, 60 - 90. Каждый сектор состоял из круговых слоев разной толщины. Для каждого подсектора радиальная плотность частиц рассчитывалась по формуле (2.3).
Из рисунков, представленных в главе 4, видно, что высота ударной волны уменьшается во всех секторах, тогда как ее ширина увеличивается. При более внимательном изучении результатов можно отметить несколько неожиданное явление. Форма ударной волны является асимметричной, при этом асимметрия возрастает со временем, внешне это проявляется в ее разделении, на несколько частей.
В классических книгах по нелинейным волнам [107–109] говориться о том, что простейшие нелинейные уравнения, описывающие движение кривой = () параллельно оси
Предполагается что уравнение Бюргерса характерно для систем, где доминирует диффузия (диссипативные системы), в то время как уравнение КдВ характерно для сред без диссипации энергии. Как правило, в механике структура ударных волн анализируется на основании уравненя Бюргерса. Уравнение КдВ используется для изучения уединенных волн, впервые обнаруженных Джоном Скоттом Расселом в 1834 году во время наблюдения за мелкими волнами в узком канале. Рассел установил свойства таких волн: постоянство скорости и распад относительно больших волн на несколько, движущихся с меньшей скоростью уединенных волн.
Молекулярная динамика заранее не знает свойств среды, в которой распространяется ударная волна; она только знает потенциал межчастичного взаимодействия и поэтому у данного метода нет приоритета с целью использования одного или другого уравнения (Бюргерса или КдВ). Поскольку результатом решения уравнения КдВ являются кноидальные и уединенные волны, уравнение КдВ не в состоянии обеспечить существование ударных волн [110]. Между тем, в реальных условиях всегда есть некоторое рассеивание (вязкость в жидкостях), но уравнение КдВ не принимает это во внимание. Из-за диссипации все волны будут затухать. Эта ситуация рассматривается в книге [111]. Б.Б. Кадомцев, известный обобщениями уравнения КдВ, для двумерных систем (уравнение Кадомцева-Петвиашвлли, 1970 г.) обсуждал последствия добавления нового члена в правую часть уравнения КдВ, с учетом вязкости. В этом случае уравнение выглядит следующим образом:
Это уравнение было проанализировано Мэем [112] и Джонсоном [113]. Первый рассматривал нелинейные гравитационные волны в тонком слое вязкой жидко сти, второй проанализировал нелинейное уравнение с учетом затухания и дисперсии. Оно известно как уравнение Кортевега-де Вриза-Бюргерса [110]. Добавление демпфирования делает возможным появление решений в форме ударных волн. В работе [111] приведены экспериментальные данные, иллюстрирующие такую возможность. По этой причине можно предположить, что ударные волны, наблюдаемые в главе 4, можно также описать с помощью уравнения Кортевега-де Вриза - Бюргерса. Возражая против этого предположения, можно сказать, что это одномерное уравнение, в то время как расчеты демонстрируют двумерный случай. Однако, процедура, разработанная для наблюдения за структурой ударной волны, по существу, уменьшает размерность до одномерной формы. По этой причине данное предположение можно считать разумным.
