Содержание к диссертации
Введение
1 Состояние вопроса математического моделирования процесса биологической очистки сточных вод 11
1.1 Основные этапы и сооружения биоочистки 11
1.2 Подходы к математическому описанию процесса биоочистки 14
1.3 -модели 19
1.4 Выводы по главе 1 24
2 Математическое моделирование процесса биологической очистки в аэротенках промежуточного типа 26
2.1 Описание процесса 26
2.2 Математическая модель процесса биоочистки 30
2.3 Параметрическая идентификация модели 38
2.4 Результаты 46
3 Оптимизация процесса биоочистки 47
3.1 Дискретное управление процессом биологической очистки в аэро-тенках промежуточного типа 47
3.1.1 Построение модели управления процессом биоочистки . 47
3.1.2 Результаты вычислительных экспериментов 51
3.2 Выбор оптимальной схемы кредитования в задаче инвестирования очистных сооружений 54
3.2.1 Модель модернизации очистных сооружений за счет кредитно-инвестиционных ресурсов 56
3.2.2 Результаты вычислительных экспериментов 61
3.3 Результаты 62
4 Математическое моделирование процесса биоочистки в аэротенках-смесителях 63
4.1 Задача оптимизации расхода кислорода 63
4.1.1 Инвариантное множество математической модели процесса биоочистки 63
4.1.2 Алгоритм оптимизации расхода кислорода 69
4.1.3 Результаты вычислительных экспериментов 76
4.2 Модель стабилизации процесса биоочистки 78
4.3 Результаты 83
Заключение 85
Список сокращений и условных обозначений 87
Литература 88
- Подходы к математическому описанию процесса биоочистки
- Математическая модель процесса биоочистки
- Модель модернизации очистных сооружений за счет кредитно-инвестиционных ресурсов
- Инвариантное множество математической модели процесса биоочистки
Введение к работе
Актуальность темы. Экологическая обстановка в регионе напрямую зависит от качества воды в региональных водных объектах. За последние десятилетия концентрации субстратов в сточных водах значительно увеличились. Существующие технологии не всегда могут обеспечить необходимую степень очистки сточных вод, в результате исследование процессов биологической очистки приобрело особенно важное значение. Формальное описание и создание математических моделей этих процессов в настоящее время стало необходимым элементом исследований.
Математическому моделированию процесса биоочистки и расчетом очистных сооружений посвящены работы Вавилина В. А., Васильева В. Б., Брагинского Л. Н., Жмур Н. С., Карюхиной Т. А., Яковлева С. В. и др. В конце 80-х гг. XX века была предложена математическая модель процесса биоочистки ASM1, ее авторы Хенце М. (Henze M.), Гуйер В. (Gujer W.), Мацуо Т. (Matsuo T.) и др. задали направление для большого количества дальнейших исследований, которые проводили Ванроллегем П. А. (Vanrolleghem P. A.), Дочейн Д. (Dochain D), Найтс К. Д. (Knightes C. D.), Чай К. (Chai Q.) и др. Проблема удаления соединений азота из городских и промышленных сточных вод путем нитрификации и денитрификации определила главное направление исследований последних десятилетий.
Большие финансовые затраты на процесс биоочистки обусловливают востребованность минимизации этих затрат. Таким образом, оптимизация процесса биологической очистки сточных вод представляет особый научный и практический интерес.
Степень разработанности. Многие существующие математические модели процесса биоочистки, например, предложенные Вавилиным В. А. и др., построены на основе уравнений материального баланса. Эти модели не учитывают насыщение микроорганизмов субстратом, кислородом и прочие факторы, влияющие на кинетику окислительных процессов. В тоже время ASM-модели в большей мере учитывают особенности процесса биоочистки, но являются настолько сложными (большая размерность и большое количество параметров), что их идентификация и исследование вызывают непреодолимые трудности.
При построении математических моделей необходимо чтобы, с одной стороны, они были достаточно простыми для исследования, а с другой стороны, являлись адекватными процессу биоочистки. В силу большого количества параметров нахождение их значений — не простая задача. За последнее время были предложены различные подходы для параметрической иденти-
фикации, причем значения параметров определялись экспериментально и с помощью математического моделирования. Часто на очистных сооружениях в силу малого количества экспериментальных данных применение этих подходов затруднено. В большинстве существующих работ с целью поддержания выходных модельных концентраций в допустимых границах и оптимизации процесса биоочистки предложены методы управления, которые заключаются в изменении скорости подачи активного ила или сточных вод. Введение такого типа управления не всегда возможно на существующих очистных сооружениях.
Цель и задачи. Целью диссертационной работы является развитие методов математического моделирования и разработка алгоритмов оптимизации процесса биологической очистки сточных вод. Достижение поставленной цели требует решения следующих задач:
– построение математической модели с переменной структурой процесса биоочистки сточных вод в аэротенках промежуточного типа, учитывающей особенности протекания процессов окисления аммония, органического субстрата и межвидовую конкуренцию микроорганизмов за кислород;
– разработка модификации численного метода и проведение серии вычислительных экспериментов для параметрической идентификации математических моделей процесса биоочистки;
– разработка алгоритмов оптимизации расхода кислорода в процессе биоочистки сточных вод в аэротенках промежуточного типа и аэротенках-смесителях;
– построение модели стабилизации процесса биоочистки в аэротенках-смесителях;
– разработка алгоритма нахождения оптимальной схемы кредитования в задаче инвестирования очистных сооружений;
– разработка комплекса проблемно-ориентированных программ.
Объект исследования — процесс биологической очистки сточных вод. Предмет исследования — математические модели, алгоритмы для их численного анализа и результаты вычислительных экспериментов. В работе использованы аналитические и качественные методы исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и параметрической идентификации.
Научная новизна работы. Для описания процесса биоочистки сточных вод в аэротенках промежуточного типа на основе компартментального подхода предложены две математические модели с переменной структурой, учитывающие динамику концентраций органического субстрата, аммония и двух
видов микроорганизмов. При этом для учета межвидовой конкуренции микроорганизмов активного ила за кислород в модели введены пороговые функции. В первой из этих моделей концентрация кислорода в каждом субком-партменте считается постоянной. Во второй — предложены уравнения динамики концентрации кислорода, что позволяет ввести в модель управление. Предложена модификация численного метода параметрической идентификации моделей. Предложен алгоритм минимизации расхода кислорода в процессе биоочистки при условии поддержания выходных концентраций субстратов в определенных границах.
Для описания процесса биоочистки сточных вод в аэротенках-смесителях предложена математическая модель, учитывающая динамику концентраций субстрата одного типа и микроорганизмов одного вида, найдено инвариантное множество динамической системы, задающей эту модель. Разработан алгоритм оптимизации расхода кислорода в аэротенках-смесителях.
Задача стабилизации процесса биоочистки в аэротенках-смесителях решена на основе подхода, предложенного Кирилловым А. Н. в работе1, и модели, предложенной в работе2 Григорьевой Е. В. (Grigorieva E. V.) и Хайло-вым Е. Н. (Khailov E. N.).
Предложены уравнения динамики стоимости основных производственных фондов и общей условной прибыли за период кредитования при модернизации очистных сооружений. Разработан алгоритм нахождения оптимальной схемы кредитования в задаче инвестирования очистных сооружений.
Теоретическая и практическая значимость работы. Настоящая работа будет способствовать развитию методов математического моделирования процессов биологической очистки сточных вод. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для прогнозирования и управления процессом очистки сточных вод в аэротенках-смесителях и аэротенках промежуточного типа, а также при выборе оптимальной схемы кредитования при модернизации очистных сооружений. Для реализации методов моделирования по теме диссертации разработан комплекс проблемно-ориентированных программ.
Положения, выносимые на защиту:
1. Метод математического моделирования процесса биоочистки сточных вод в аэротенках промежуточного типа, учитывающий кинетику про-1Кириллов А. Н. Задачи стабилизации экологических систем // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994. Т. 1, вып. 6. С. 883–892.
2Grigorieva E. V., Khailov E. N. Optimal control of a waste water cleaning plant // UAB Conference on Diferential Equations and Computational Simulations. Electronic Journal of Diferential Equations, Conf 19. USA. Eighth Mississippi State, 2010. P. 161–175. URL: .
текания процессов окисления аммония, органического субстрата и межвидовую конкуренцию микроорганизмов за кислород.
-
Алгоритмы решения задач оптимизации расхода кислорода в процессе биоочистки сточных вод в аэротенках промежуточного типа и аэротенках-смесителях.
-
Модификация численного метода параметрической идентификации, использующего функции чувствительности.
-
Модель стабилизации процесса биоочистки в аэротенках-смесителях.
-
Программный комплекс для решения оптимизационных задач процесса биоочистки на очистных сооружениях.
Связь работы с научными программами, темами. Основные результаты диссертации были получены в рамках выполнения исследований при финансовой поддержке Отделения математических наук РАН (проект по Программе № 3 «Идентификация и управление в нелинейных системах с переменной структурой и динамическими граничными условиями»), и Программы стратегического развития ПетрГУ в рамках реализации комплекса мероприятий по развитию научно-исследовательской деятельности.
Апробация работы. Диссертационное исследование проводилось при постоянном взаимодействии с сотрудниками Испытательной лаборатории контроля качества вод канализационных очистных сооружений г. Петрозаводска, что способствовало более адекватному описанию процесса биологической очистки сточных вод. Акт об использовании результатов кандидатской диссертационной работы приведен в приложении Г диссертации.
Результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на нижеследующих конференциях.
-
Вторая всероссийская молодежная научная конференция «Естественнонаучные основы теории и методов защиты окружающей среды», г. Санкт-Петербург, 23–24 апреля 2012 г.
-
Десятые международные Колмогоровские чтения, г. Ярославль, 15–18 мая 2012 г.
-
Тринадцатый всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, г. Петрозаводск, 2–9 июня 2012 г.
-
Международная конференция по вычислительным и информационным технологиям для наук об окружающей среде «CITES-2013», г. Петрозаводск, 1–5 сентября 2013 г.
-
Третья национальная научная конференция с международным участием «Математическое моделирование в экологии», г. Пущино, 21–25 октября 2013 г.
-
Сорок пятая международная научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость», г. Санкт-Петербург, 1–4 апреля 2014 г.
По материалам диссертации опубликовано семь работ, из них три статьи в журналах из «Перечня российских рецензируемых научных журналов» [1–3], одна статья в сборнике трудов конференции [4], тезисы трех докладов [5–7].
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был значительным. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Общий объем диссертации составляет 114 страниц. Список литературы включает 86 наименований.
Подходы к математическому описанию процесса биоочистки
Очистка сточных вод — сложный процесс, который, как правило, включает в себя несколько основных этапов: механическую, биологическую, химическую очистки, изъятие активного ила из очищенной воды и ее обеззараживание.
Целью механической очистки является удаление из воды различных типов твердых, нерастворимых субстратов. Для очистки от крупных загрязнителей стоки пропускают через решетки и сита. После этого на песколовках из сточных вод удаляются тяжелые минеральные примеси с размером частиц 0,25 – 1 мм, в первичных отстойниках задерживаются более мелкие взвеси, жироловками удаляется нефтяная пленка и прочие типы субстрата с поверхности воды. Принципы действия, анализируемые показатели и оценки эффективности этих сооружений приведены в работе Жмур Н. С. [11].
Химическая очистка наиболее часто используется для удаления фосфора из стоков. Процедура состоит в добавлении некоторого элемента, который вступает в реакцию с фосфором (алюминий, соли железа). В результате молекулы фосфора накапливаются в виде субстрата, который может быть удален путем седиментации. Таким же методом при подборе необходимых элементов можно удалять и другие типы субстратов из воды.
В настоящее время на большинстве очистных сооружений после предварительных этапов обработки начинается биологическая очистка, которая является основным методом удаления из городских и промышленных сточных вод органических веществ, соединений азота и фосфора. Для такого типа очистки в основном используются биофильтры, биологические пруды и аэротенки. Биологические пруды бывают стабилизационные (неаэрируемые) и аэрируемые. Их используют как для очистки, так и для доочистки сточных вод. В стабилизационных прудах первичный распад органических веществ происходит в донных (анаэробных) слоях, для верхних слоев (в которых присутствует растворенный кислород) характерна окончательная очистка. В аэрируемых биологических прудах процесс биоочистки происходит при непрерывной подаче воздуха.
Первые биофильтры появились в Англии в 1893 г., в России — в 1908 г. Бактерии в биофильтрах прикрепляются к твердому основанию, таким образом образуют плотный слой биопленки, через который пропускаются сточные воды. Формулы расчета характеристик процесса биоочистки в биофильтрах представлены в работе Яковлева С. В. и Карюхиной Т. А. [12].
В последние десятилетия для биоочистки активно начали применять аэро-тенки. В этих сооружениях поступающие сточные воды перемешиваются с активным илом, который окисляет содержащийся в них субстрат, при этом часть массы субстрата переходит в его биомассу. Сообщество живых микроорганизмов, населяющих активный ил, называют биоценозом. Кроме них в иле содержится субстрат, к которому крепятся микроорганизмы. Биоценоз может состоять из бактерий, простейших, грибов, водорослей и других организмов. В аэро-тенк подается воздух, за счет этого происходит перемешивание иловой смеси, состоящей из активного ила и сточных вод, насыщение ее кислородом. В работе Гудкова А. Г. [13] указано, что метод глубокой очистки с помощью активного ила в аэротенках появился в Англии, примерно, в 1914 г. В СССР развитие биологической очистки началось в 1922 г. Первая в нашей стране станция аэрофильтрации (Кожуховская) была введена в эксплуатацию в Москве в 1929–1933 гг. На этой станции для очистки использовались биофильтры, аэротенки и биологические пруды.
В зависимости от способа подачи и распределения воздуха различают аэро-тенки:
– с пневматической аэрацией, при которой воздух подается из воздуходувок и распределяется в иловой смеси при помощи специальных аэраторов; – с механической аэрацией, которая производится путем перемешивания иловой смеси механическими устройствами, что сопровождается интенсивным растворением в жидкости кислорода из атмосферного воздуха;
– с аэрацией смешанного типа.
По типу смешивания сточных вод и активного ила выделяют три типа аэро-тенков:
– смеситель, в котором сточные воды и циркулирующий активный ил равномерно распределяются по всему объему аэротенка, что обеспечивает их мгновенное перемешивание;
– вытеснитель, в котором сточные воды и активный ил впускаются сосредоточенно с одной торцевой стороны коридора аэротенка, а вытесняются также сосредоточенно с противоположной стороны коридора;
– промежуточного типа — коридорный аэротенк с рассредоточенной по его длине подачей сточных вод и со впуском активного ила в начало коридора.
В работе [12] сравниваются аэротенки с регенератором и без него: в системе с регенератором общая масса ила больше, возраст ила меньше, это обеспечивает большую степень очистки воды. Также в этой работе приведены сведения о сравнении аэротенков и окситенков, использующих для аэрации кислород вместо воздуха.
После биоочистки иловая смесь поступает во вторичные отстойники, в которых путем осаждения активный ил удаляется из очищенных сточных вод. Далее происходит обеззараживание воды, т. е. удаление из нее болезнетворных микроорганизмов.
Методы обеззараживания делятся на реагентные и безреагентные. Суть методов первого типа заключается в добавлении некоторого элемента, который разрушает клетки патогенных микроорганизмов. К таким методам относятся хлорирование, озонирование, бромирование, йодирование и обработка воды серебром. К безреагентным методам относятся: магнитная и термическая обработки, мембранные технологии, обеззараживание ультрафиолетом, ультразвуком, электрическими разрядами малой мощности, переменным электрическим током.
Наиболее распространенным способом обеззараживания является хлорирование, для чего применяют хлор, двуокись хлора, жидкий хлор и хлорную известь. Свободный хлор или его активные соединения разрушают ферментную систему микробной клетки. Обеззараживающее действие озона связано с раскислением молекулы озона и отдачей атома кислорода, в результате чего в воде появляется значительно более высокий окислительный потенциал, чем при хлорировании. Ультрафиолетовое обеззараживание воды заключается в поглощении лучей этого излучения нуклеиновыми кислотами живых клеток, вследствие чего клетки перестают размножаться.
Математическая модель процесса биоочистки
Учитывают протекание большого количества процессов, отслеживание результатов которых не всегда является возможным и необходимым. Часто на КОС возникает необходимость уменьшения концентрации аммония в очищенных сточных водах. В связи с этим появилась необходимость в составлении новой математической модели процесса биоочистки, учитывающей меньшее количество переменных и соответствующих им уравнений.
В качестве концентрации органического субстрата будем использовать значение БПКПОЛН1, которое можно рассматривать как эквивалент ХПК. В случае необходимости получения значения ХПК, в работе [68] предложена формула для получения его значения из БПКПОЛН.
Практика определения концентрации биомассы активного ила на российских КОС такова, что в значение X также входят концентрации отмерших клеток активного ила и субстрата, абсорбированного живыми клетками. Дальнейшие рассуждения основываются на двух предположениях. Первое предположение — абсорбированный субстрат через некоторое время преобразуется в биомассу активного ила. Второе — часть отмерших клеток удаляется вместе с избыточным активным илом после каждого прохождения иловой смесью аэро-тенка, что позволяет поддерживать соотношение отмерших и живых клеток активного ила на некотором уровне. Таким образом, экспериментальное значение X с достаточной точностью является концентрацией микроорганизмов.
Введем обозначения, в которых для простоты записи не будем использовать номера компартментов. Концентрации на входе и выходе из компартмента со-1Полное биохимическое потребление кислорода — количество кислорода, которое необходимо для аэробного биохимического окисления органических соединений под действием микроорганизмов. ответственно:
S Ss — легко биоразложимых органических веществ (г БПКполн/м3), лг#5 $ш — аммония (г NH4/м3),
Х ",Хя — гетеротрофных микроорганизмов (г гетеротрофов/м3), Х \ Х — автотрофных микроорганизмов (г автотрофов/м3), SQ,SO — растворенного кислорода (г Oг/м3). Параметры модели:
К — константа полунасыщения гетеротрофов легко биоразложимыми органическими веществами (г БПКполн/м3),
Кш — константа полунасыщения автотрофов аммонием (г NH4/м3), Ко:н — константа полунасыщения гетеротрофов кислородом (г Oг/м3), КО,А — константа полунасыщения автотрофов кислородом (г Oг/м3), Yя — константа перехода массы легко биоразложимого органического субстрата в биомассу гетеротрофов (г гетеротрофов/г БПКполн), Y — константа перехода массы аммония в биомассу автотрофов (г автотро фов/г NH4), Ън — скорость распада гетеротрофов (1/мин), Ь 4 — скорость распада автотрофов (1/мин), цн — максимальная скорость роста гетеротрофов (1/мин), [ХА — максимальная скорость роста автотрофов (1/мин). Заметим, что в общей биомассе активного ила гетеротрофов значительно больше, чем автотрофов. Гетеротрофные микроорганизмы преимущественно окисляют органический субстрат, обеспечивая за счет этого рост своей биомассы. При определении значения БПКполн учитывается расход кислорода на окисление всех органических веществ, в том числе тех, которые не будут окислены в аэротенке. В [6] авторами предложена пороговая функция, позволяющая описать переключение процесса окисления с органики на аммоний при достижении концентрацией Ss некоторого значения к + 6: flips) = 7 г- (2.5) 1 + Є bs В качестве значения к будем использовать значение БПКполн надиловой жидкости на выходе из аэротенка. Константа 5 0 — достаточно малая величина. Эта константа обеспечивает возможность уменьшения концентрации Ss до величи ны, которая чуть больше , что необходимо для непрерывности предлагаемой ниже математической модели (2.8)–(2.11). Значение = 10-3 при проведении компьютерных экспериментов оказалось вполне достаточным. Константа 106 обеспечивает близость функции 1(SS) к разрывной ступенчатой функции, при этом — достаточно малые положительные величины. Динамика концентрации Ss в первом компартменте представлена на соответствующем графике рисунка 2.3 (этот рисунок полчен при модеировании процесса биоочистки по данным, полученным в 2012 г.). Из работы [11] известно, что при наличии органических веществ активизируются гетеротрофные микроорганизмы, которые подавляют автотрофные микроорганизмы при конкуренции за кислород. В результате процесс нитрификации сначала в значительной мере затормаживается и начинает производится автотрофами по мере удаления органического субстрата (рисунок 2.3). Тогда введем функцию, отражающую этот факт: где Ka — это некоторая положительная константа. При увеличении значения отношения концентраций SNH/{SS - к) функция /2(Ss-, SJV#, Ка) Є {0,1) возрастает. Заметим, что если в начальный момент времени Ss = к, то для численных экспериментов используют значение Ss = к + 8, константа 8 определена выше. Активный ил входит в аэротенк в виде иловой смеси. Сточные воды входят в аэротенк и, перемешиваясь с иловой смесью, увеличивают объем последней. Пусть q — суммарный расход смеси активного ила и сточных вод, тогда время прохождения иловой смесью г-го субкомпартмента аэротенка находится следующим образом: Динамика концентраций в первом компартменте: а) легко биоразложимого органического субстрата, b) аммония, c) гетеротрофных микроорганизмов, d) автотрофных микроорганизмов Пороговые функции (2.5) и (2.6) будем обозначать f\() и /2 () соответственно. Используя уравнение динамики концентрации реагента (1.4), функцию Моно можно предложить динамическую систему, описывающую процесс биоочистки в компартменте, в которой для простоты записи не указаны номера компартмента: Для нахождения концентраций на выходе из каждого субкомпартмента производится численное интегрирование системы (2.8)–(2.11), результаты которого для z\ представлены на рисунке 2.3. Графики на этом рисунке отражают изменение концентраций двух типов субстратов и двух видов микроорганизмов во времени, причем характер изменения сохраняется для всех компартментов, которым на вход подаются сточные воды. Использование на оси абсцисс времени приемлемо, так как время является эквивалентом расстояния, на которое переместилась иловая смесь вдоль оси аэротенка.
Модель модернизации очистных сооружений за счет кредитно-инвестиционных ресурсов
В работе [4] авторы моделируют динамику производственных фондов и общей прибыли малого предприятия. Беря за основу эту работу, предлагается математическая модель модернизации очистных сооружений за счет государственных инвестиций и кредитных займов. Ремонт основных производственных фондов происходит постоянно за счет условной прибыли предприятия.
Моменты 1 и 2 разделяют период кредитования на три периода. Тогда динамика стоимости основных производственных фондов очистных сооружений описывается системой
Введем обозначение = ( - ) - . Проинтегрировав систему (3.7), получим выражения для нахождения стоимости фондов в любой момент времени (0, ]: В схеме с «кредитными каникулами» период кредитования моментами в1 и 02 разделяется на три части, поэтому введем обозначение Gi — условная прибыль за г-й период (і = 1,2,3), тогда общая условная прибыль предприятия задается функционалом Введем новое обозначение В таком случае При использовании схемы «воздушный шар» 2 = , динамику стоимости основных производственных фондов очистных сооружений описывает система из которой находится Выплата всей кредитной задолженности происходит в момент окончания периода кредитования. Функционал общей условной прибыли при такой схеме: Для схемы равномерного погашения кредита рассмотрим ситуацию, в которой вся необходимая сумма кредитных займов берется в начальный момент времени. Тогда 2 = 0, 0 = , (0) — величина кредитной выплаты находится по формуле (3.6), динамику стоимости основных из которой находится
Для нахождения момента времени 2, максимизирующего общую условную прибыль предприятия, на языке программирования «GNU Octave» написана программа, листинг которой приведен в приложении Б. Алгоритм этой программы состоит в том, что находятся общие прибыли для всех различных значений 2 и выбирается тот момент времени окончания «кредитных каникул», который максимизирует общую условную прибыль. Данная программа также создает график зависимости значения функционала общей условной прибыли от выбора момента 2. 3.2.2 Результаты вычислительных экспериментов
Рассмотрим очистные сооружения, требующие модернизации стоимостью В = 20 106 ден. ед. Государственные инвестиции в размере 16 106 ден. ед. поступают в течение ста дней (0\ = 100). Для получения еще 4 106 ден. ед. в период (0,#і] берутся кредиты в банке. Начальная стоимость основных производственных фондов очистных сооружений AQ = А(0) = 150 106 ден. ед. Удельная условная прибыль р = 0,2 (безразмерная величина), себестоимость очистки 7 = 0,16 (безразмерная величина), коэффициент фондоотдачи / = 0,0286 (безразмерная величина), коэффициент є = 0,6 (безразмерная величина). По кредиту начисляются сложные проценты по ставке 10,5 % годовых, поэтому в перерасчете на день величина г 2,9 10-4 (безразмерная величина). Период начисления процентов — один день. Период кредитования Т = 365 дней.
Для описанного случая на рисунке 3.2 отражена зависимость значения общей условной прибыли от значения $2. Наибольшую общую условную прибыль G = 27,4355 106 можно получить, если использовать схему с «кредитными каникулами», причем день их завершения 02 = 190. 3.3 Результаты
В данной главе для аэротенков промежуточного типа предложены уравнения динамики концентрации кислорода. В эти уравнения введено управление скоростью подачи кислорода. Предложен алгоритм минимизации расхода кислорода в процессе биоочистки при поддержании значений выходных концентраций субстратов в допустимых границах. Алгоритм заключается в выборе количества включенных воздуходувок.
Рассмотрена задача инвестирования очистных сооружений. Построена модель динамики стоимости основных производственных фондов очистных сооружений в период кредитования. Предложен функционал нахождения общей условной прибыли за весь период кредитования, и алгоритм, который путем нахождения момента окончания «кредитных каникул» позволяет выбрать оптимальную в смысле максимизации общей условной прибыли схему кредитования. Полученные выражения также позволяют находить стоимость основных производственных фондов и общую условную прибыль в любой момент времени, таким образом появляется возможность в реальном времени корректировать значения параметров, определяющих развитие предприятия.
Результаты данной главы были представлены на тринадцатом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Петрозаводск, 2–9 июня 2012 г.).
Инвариантное множество математической модели процесса биоочистки
Инвариантное множество математической модели процесса биоочистки
Рассмотрим процесс биоочистки, происходящий в аэротенках-смесителях. Возвратный активный ил к моменту подачи в аэротенк не всегда успевает окислить абсорбированный субстрат. В результате иловая смесь на входе в аэротенк может содержать небольшую концентрацию субстрата БЦ. Пусть Scv — концентрация субстрата в сточных водах. Тогда, естественно, БЦ SCV, обратное указывало бы на то, что биоочистка не нужна или не происходит.
Пусть в сточных водах содержится субстрат одного типа, характеризуемый значением БПКполн. Активный ил и сточные воды подаются в аэротенк, причем их входные концентрации рассчитываются по формулам где Xj/ — концентрация активного ила в иловой смеси на входе в аэротенк,
Vcv, Yu — расходы сточных вод и активного ила соответственно. Для описания динамики концентраций субстрата S = S(t) и активного ила X = Х() будем можно предложить систему b = СЛЬ — о) — —ЬиХ, где константа Q = 1/Т; Т — время биоочистки, находится по формуле (2.7) при условии, что весь аэротенк является одним компартментом; и = u(t) — удельная скорость подачи кислорода в аэротенк; 7 — удельная максимальная скорость роста микроорганизмов в расчете на один грамм кислорода и один грамм БПКполн субстрата; Y Є (0,1) — коэффициент перехода массы субстрата в биомассу микроорганизмов.
На очистных сооружениях, как правило, поддерживают соотношения концентраций Хш S n, что необходимо для очистки сточных вод за ограниченное время Т. В таком случае в начальный момент времени Х(0) S(0) и фазовая точка принадлежит открытому треугольнику О АН (рисунок 4.1).
Лемма 4.1. Если начальная точка фазовой траектории системы (4.1); (4.2) находится в открытом треугольнике ОАН, то она не пересекает прямую 1\ = {(X, S) : X = S}; то есть X(t) S(t) для \/t Є [О, Т].
Доказательство. Предположим, что фазовая траектория пересекает прямую /і в точке R. Тогда в этой точке угловой коэффициент вектора скорости фазовой траектории меньше углового коэффициента прямой /і, следовательно
Заметим, что S 0 в точке R. Действительно, если S 0 в точке Л, то в этой точке X 0 (рисунок 4.2). Последнее утверждение невозможно, поскольку по технологии процесса Хш S и, следовательно, X = Q(X n — S) + 7 S2 0. Следовательно, неравенство (4.3) равносильно неравенству
Рассмотрим управление, состоящее в том чтобы подавать кислород в аэро-тенк с удельной скоростью и для t Є [0, г] и с удельной скоростью и для t Є (г, Т], где г — некоторый момент времени. Вопрос ограниченности значений переменных системы (4.1), (4.2) при таком управлении раскрыт в нижеследующей теореме. Теорема 4.1. Открытый треугольник О АН является инвариантным множеством системы (4.1), (4.2) при \/и 0. Доказательство. Начальные концентрации субстрата и активного ила в аэро-тенке S(0) = So и Х(0) = Хо соответственно находятся экспериментально. Если и = 0, то система (4.1), (4.2) приобретают вид изменение концентраций показано на рисунке 4.3, на котором точка D — положение равновесия. Если и 0, то, умножив на Y уравнение (4.1) и прибавив его к (4.2), получим уравнение Тогда при t — оо фазовые траектории будут стремиться к прямой : Динамика концентраций системы (4.1), (4.2) при и = О Из леммы 4.1 следует, что фазовые траектории не пересекают прямую /і, пря мую S = 0 они не пересекают вследствие неотрицательности значений кон центраций. Тогда фазовые траектории находятся в треугольнике О АН (рису нок 4.1) для \/t Є [0,Т].
