Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние проблемы идентификации и управления дискретными билинейными системами 12
1.1. Проблема математического описания дискретных билинейных объектов управления 12
1.2. Связь билинейных окрестностных моделей с симметричными и смешанными окрестностными моделями 16
1.3. Методы идентификации систем управления 17
1.4. Методы синтеза алгоритмов управления 23
1.5. Постановка задач исследования 27
Выводы 30
2. Разработка алгоритмов идентификации дискретных билинейных окрестностных систем 31
2.1.Постановка задачи параметрической идентификации дискретных билинейных окрестностных систем 31
2.2. Разработка алгоритмов линеаризации билинейных систем 32
2.2.1. Билинейные стационарные системы 32
2.2.2. Билинейные нестационарные системы 36
2.2.3. Билинейные окрестностные системы 39
2.2.4. Алгоритм преобразования билинейных ///-аргументных окрестностных систем в линейные 2/// -аргументные 42
2.2.5. Алгоритм преобразования билинейных /?/-аргументных
окрестностных систем в линейные (//) +//2)-аргументные системы 43
2.3. Координатные формы билинейных окрестностных систем 43
2.4. Разработка алгоритмов параметрической идентификации билинейных систем 51
2.5. Разработка адаптивных алгоритмов идентификации билинейных окрестностных систем 59
2.6. Адаптивный алгоритм идентификации нелинейных окрестностных дискретных систем 63
Выводы 65
3. Синтез алгоритмов смешанного управления билинейными окрестностными системами 66
3.1. Постановка задачи смешанного управления билинейными окрестностными системами 66
3.2. Алгоритм смешанного управления билинейными окрестностными системами 67
3.3. Алгоритм оптимального смешанного управления 73
3.4. Алгоритм квазиоптимального смешанного управления билинейными окрестностными системами 76
3.5. Пример смешанной идентификации и смешанного управления билинейными окрестностными системами 77
Выводы 82
4. Разработка математических моделей и алгоритмов управления цеха очистки сточных вод 83
4.1. Примеры билинейного моделирования системы из двух узлов 83
4.2. Разработка моделей сложного промышленного объекта - цеха очистки сточных вод 85
4.2.1. Описание цеха очистки сточных вод как объекта управления 85
4.2.2. Информативность переменных состояния и управления 87
4.3. Модели оценки качества очистки сточных вод в системе автоматизированной диагностики 89
4.3.1. Статические и динамические модели процесса очистки сточных вод 89
4.3.2. Синтез окрестностных моделей и смешанное управление цехом очистки сточных вод 92
4.3.3. Применение адаптивного подхода к построению модели процесса очистки сточных вод 96
4.4. Управление аэрационными сооружениями на основе окрестностных моделей с учётом энергозатрат 97
4.4.1. Описание работы и выбор существенных параметров работы аэротенка 98
4.4.2. Классические и окрестностные модели аэротенка 99
4.4.3. Квазиоптимальное смешанное управление аэротенком 101
4.4.4. Сравнение классических, линейных окрестностных и билинейных окрестностных моделей аэротенка 103
4.4.5. Адаптивные модели управления работой аэротенка 107
4.5. Прогнозирование свойств материалов с помощью распределенных окрестностных моделей ПО
Выводы 113
Заключение 114
Список использованных источников
- Методы идентификации систем управления
- Разработка алгоритмов линеаризации билинейных систем
- Алгоритм смешанного управления билинейными окрестностными системами
- Разработка моделей сложного промышленного объекта - цеха очистки сточных вод
Введение к работе
Актуальность работы. При разработке моделей сложных пространственно-распределенных нелинейных систем возникает проблема выбора адекватной структуры математической модели. Проблема моделирования и управления такими объектами связана с распределенностью системы и наличием нелинейных связей между подсистемами.
Ранее были введены симметричные линейные окрестностные модели, обобщающие как классические линейные дискретные модели, так и многоразмерностные, дискретно-аргументные и др. Симметричные модели обеспечивают гибкость при описании структуры и характера связей по состоянию и входу сложного объекта и допускают неоднозначность трактовки характера переменных.
Однако линейный характер этих моделей не учитывает всей сложности реальных связей между подсистемами.
Простейшим видом нелинейных систем, непосредственно обобщающих линейные, являются билинейные системы, допускающие в простом варианте наличие произведения состояния на управление и линейные члены с состоянием и управлением, а в более общем случае -наличие также всех квадратичных слагаемых.
В связи с этим, актуальной является разработка нового класса билинейных окрестностных систем, обобщающих классические и окрестностные линейные и классические нелинейные дискретные системы, допускающих нелинейный характер связей между узлами распределенной системы, а также разработка методов идентификации и управления для этого нового класса моделей.
Тематика диссертационной работы связана с научными направлениями ЛГТУ «Исследование и разработка методов и алгоритмов прикладной математики для идентификации технологических и сопровождающих процессов» и «Современные сложные системы управления».
Объектом исследования выбрано отделение аэротенков и цех очистки сточных вод АО «НЛМК».
Предметом исследования являются билинейные окрестностные системы.
Целью работы является разработка нового класса билинейных окрестностных моделей многомерных систем, обобщающих классические линейные дискретные, линейные окрестностные, классические билинейные дискретные и обеспечивающих адекватное задание структуры нелинейных связей по состоянию и входу между узлами пространственно-распределенной системы с аргументом произвольной природы и размерности, разработка методов идентификации, управления и оптимального управления для таких моделей, проверка работоспособности и эффективности предлагаемого подхода на примере сложного нелинейного промышленного объекта - цеха очистки сточных вод АО «НЛМК» и отделения аэротенков.
Основные задачи. В соответствии с указанной целью работы поставлены следующие задачи исследования: разработка целостной методологии идентификации и смешанного управления окрестностными билинейными системами. Для этого необходимо:
исследование разработанного нового класса билинейных
окрестностных моделей, обобщающих классические линейные
дискретные и линейные окрестностные модели и классические
дискретные билинейные;
разработка методики и вычислительных алгоритмов линеаризации
билинейных окрестностных систем;
разработка методики и вычислительных алгоритмов, в том числе
адаптивных, параметрической идентификации для синтезируемых
окрестностных моделей;
разработка методики и вычислительных алгоритмов смешанного
управления, позволяющих получить значения входных
воздействий и состояний системы при задании части переменных;
7 построение билинейных окрестностных моделей отделения аэротенков и цеха очистки сточных вод АО «НЛМК»; получение оптимальных значений показателей работы цеха очистки сточных вод;
программная реализация разработанных моделей и методов в виде пакета функциональных программных модулей. Методы исследования основаны на использовании математической теории систем, системного анализа, вычислительной математики, теории управления, теории нелинейных моделей.
Обоснованность и достоверность. Обоснованность предложенной концепции билинейных окрестностных систем определяется тем, что она опирается на всесторонний анализ существующей методологии дискретных линейных и нелинейных систем.
Обоснованность разработанного математического обеспечения подтверждается тем, что оно опирается на развитые и дополненные в работе алгебраические основы дискретной математики, основы теории параметрической и адаптивной идентификации, теории графов, математической статистики.
Проведенные в достаточном объеме вычислительные эксперименты, практическая реализация разработанных алгоритмов в производственных условиях, сравнительный анализ результатов с производственными данными и экспертными оценками специалистов, положительные результаты использования разработанных теоретических положений программного обеспечения в научных исследованиях и учебном процессе подтверждают достоверность результатов диссертации.
Научная новизна. В работе получены и выносятся на защиту следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:
Разработан и исследован новый класс окрестностных билинейных динамических систем, предлагающих описание с помощью конечных
8 носителей нелинейной структуры связей между узлами по состоянию и входу;
Разработан алгоритм тензорной линеаризации билинейных систем;
Разработаны и исследованы координатные формы билинейных окрестностных систем;
Решена задача параметрической идентификации и разработаны адаптивные алгоритмы идентификации окрестностных систем, сформулирован квадратичный критерий идентификации;
Для систем, описываемых билинейными окрестностными моделями,
поставлены задачи управления и оптимального управления. Предложена
постановка задачи смешанного управления билинейными окрестностными
системами. В данной постановке задаются часть компонентов векторов
V состояний или входов в узлах системы и необходимо определить
недостающие (незаданные, неопределенные) компоненты векторов
состояний и входов;
Разработаны методы формирования блочных матриц коэффициентов и векторов свободных членов в соответствии с принятой структурой составных векторов переменных и их разделением на состояния и входы, реализующие предложенный подход в рамках единого алгоритма для задач идентификации и смешанного управления билинейными окрестностными системами;
Предложена методика двухуровнего управления распределенными системами, в которой классические модели могут связывать параметры в пределах одного узла (или укрупненного узла), а основной моделью является билинейная окрестностная.
Практическая значимость. Разработанные методы позволяют синтезировать адекватные объекту сложной структуры модели и эффективные алгоритмы управления ими.
Предлагаемые математические модели и методы реализованы в виде комплекса программных продуктов, которые могут использоваться в качестве функциональных модулей при решении задач исследования,
9 моделирования и управления промышленными объектами. Результаты расчетов для реальных промышленных объектов высокой сложности подтверждают правомерность принципов, положенных в основу разработанных подходов.
Предлагаемые методы могут быть использованы при моделировании и управлении сложными промышленными объектами, в частности при управлении крупными предприятиями или подразделениями, сетями компьютеров, телефонными линиями связи и т.п. Эффект от использования предложенных моделей и методов тем больше, чем сложнее структура связей моделируемого объекта, и, следовательно, сложнее осуществление моделирования и управления традиционными методами.
Апробация работы. Результаты исследований были представлены и обсуждены:
на международных конференциях - «Инновационные процессы в высшей школе» (Краснодар, 2001), «Современные сложные системы управления» (Липецк, 2002), «Компьютерное моделирование 2002» (Санкт-Петербург, 2002), «Современные проблемы информатизации в технике и технологиях» (Воронеж, 2002), «Водохозяйственный комплекс и экология гидросферы в регионах России» (Пенза, 2002), «Современные методы в теории краевых задач («Понтрягинские чтения-ХШ»)» (Воронеж, 2002), «Проблемы непрерывного образования: проектирование, направление, функционирование» (Липецк, 2003); «Идентификация систем и задачи управления»,81СРК.О'03 (Москва, 2003); «Идентификация систем и задачи управления» , SICPRO'04 (Москва, 2004); «Идентификация систем и задачи управления», SICPRO'05 (Москва, 2005); "Interactive Systems And Technologies: The Problems of Human-Computer Interaction" (Ульяновск, 2005);
на всероссийских научно-практических конференциях - «Вопросы практической экологии» (Пенза, 2002), «Инновационные процессы в высшей школе и проблемы совершенствования подготовки специалистов» (Липецк,
2002), на всероссийской научно-технической конференции «Электроэнергетика, энергосберегающие технологии» (Липецк, 2004);
на региональных конференциях - на II научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Наша общая окружающая среда» (Липецк, 2001), «Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве» (Воронеж, 2002), на III научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Наша общая окружающая среда» (Липецк, 2002), на V научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Наша общая окружающая среда» (Липецк, 2004);
а также на научных семинарах кафедр и отделов ряда институтов и организаций.
Публикации. Основные научные положения диссертации опубликованы в 45 научных статьях.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, перечня библиографических источников из 109 наименований и содержит 127 страниц машинописного текста, 11 рисунков, 4 таблицы и приложения на 7 страницах.
Содержание работы.
В первой главе анализируется состояние проблем идентификации и управления линейными и нелинейными дискретными системами; дано обоснование разработки класса билинейных окрестностных моделей, развивающих и расширяющих известные классы окрестностных линейных и классических билинейных моделей; поставлена задача параметрической идентификации и смешанного управления применительно к билинейным окрестностным системам, разработки модели ЦОСВ, критерия качества работы объекта и определения оптимальных режимов работы объекта.
Вторая глава содержит постановку задачи параметрической идентификации дискретных билинейных окрестностных моделей; введен квадратичный критерий идентификации; разработаны алгоритмы
11 линеаризации билинейных окрестностных систем; разработан алгоритм параметрической идентификации билинейных окрестностных систем; предложен адаптивный алгоритм идентификации билинейных окрестностных систем.
В третьей главе рассмотрена постановка задачи смешанного управления билинейными окрестностными системами, разработаны алгоритмы смешанного управления, оптимального смешанного управления и допустимого смешанного управления билинейными окрестностными системами.
В четвертой главе приведено описание цеха очистки сточных вод как объекта управления; оценена информативность переменных состояния и управления цеха очистки сточных вод (ЦОСВ); разработана методология двухуровнего управления распределенными системами, в которой классические модели могут связывать параметры в пределах одного узла (или укрупненного узла), а основной моделью является билинейная окрестностная; синтезированы математические модели оценки качества очистки сточных вод; построены линейная и билинейная окрестностные модели ЦОСВ; решена задача смешанного управления для цеха очистки сточных вод; синтезированы модели управления аэрационными сооружениями на основе классических и окрестностных моделей с учётом энергозатрат на примере отделения аэротенков; предложен комбинированный критерий качества, учитывающий смешанный характер управления; разработан алгоритм оптимального смешанного управления аэротенком; проведено сравнение линейных и нелинейных классических, линейных и билинейных окрестностных моделей пространственно-распределенных систем; получены оптимальные значения технико-экономических показателей работы ЦОСВ; предложено применение окрестностных систем для моделирования характеристик полимербетона.
В заключении формулируются научные и практические результаты диссертационного исследования.
12 1. СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫМИ БИЛИНЕЙНЫМИ
СИСТЕМАМИ
В данной главе рассмотрено состояние проблемы идентификации и управления классическими дискретными билинейными системами [105]. Обоснована необходимость разработки моделей, развивающих и расширяющих классы линейных окрестностных и дискретных билинейных моделей. Введен новый класс дискретных окрестностных билинейных моделей. Для таких систем предложена постановка задачи параметрической идентификации и новая постановка задачи управления, обобщающие известные.
1.1. Проблема математического описания дискретных билинейных
объектов управления
В работах [9,10,20] введен класс дискретных окрестностных
линейных моделей, названных симметричными, обобщающих известные
линейные дискретные сосредоточенные (1.1) и распределенные
динамические системы (1.2)
x[t + l] = A-x[t]+B-v[l], х[0] = х^
y[l] = C-x[t] + D-v[t], / = 0,1,2..., ^ * ;
x[s + l] = A- x[s] + В v[.v], 40] = jc0
y[s] = C-x[s] + D-v[s], .s = 0,l,2...,7\ u'z;
где x[t] - вектор переменных состояния; v[/] - вектор входных
(управляющих) воздействий; y[t] -вектор выходных переменных; A,B,C,D
- матрицы параметров, s - координата в дискретном (клеточном) пространстве S.
Модели (1.1) и (1.2.), а также ряд других дискретных моделей [20,39] не позволяют адекватно моделировать сложные дискретные системы, имеющие многочисленные, произвольной структуры связи между
подсистемами с аргументом произвольной природы и размерности.
Обобщением названных моделей является симметричная линейная
окрестностная модель [20,39]
ТП[о,а]х[а] = 1Е[в,/?М/?], (1.3)
аеОх[а] /?еОуН
где v[a]eRm, x[a]eRn — вход и состояние в узле С1 системы, Е[а,а]е Rcxm,
Сі[а,/3]єіїс*" —матрицы-параметры, Од-[я],Оу[я] - окрестность узла а по
состоянию и входному воздействию соответственно;
а,а,/ЗєА,А = {а\,...,ам} - конечное множество значений дискретного аргумента системы, \А\= N .
Дальнейшим развитием симметричной модели, учитывающим выходы системы, является смешанная модель, имеющая вид [20]
1Е[а,*Ма]+ LQ[tf,№[/?]+ ЦГ[а,ГЫг] = 0, (1.4)
аєо,[а) /3<=Ох[а\ уеоу[а]
где v[a]eRm, x[a]sRn, y[a]eRcI — вход, состояние и выход в узле а; Е[а,а]є Rcxm, Q[a,a]eRcx", r[a,y]eRcx(l — постоянные матрицы-параметры; 0vM>0xM>0y[a] — окрестности по входу, состоянию и выходу; a,a,j3,yeA, А = {а\,а2^'-^ы\ ~ множество значений аргумента смешанной системы, \А\ = N.
Так как реальные процессы в большинстве случаев носят нелинейный характер, то оправданным является рассмотрение нелинейных моделей, обеспечивающих более адекватное описание объекта. Общий вид нелинейной модели следующий:
где х- состояние; v- вход; у - выход.
В соответствии с [59], любая аналитическая причинная система представима в виде ряда Вольтерра
Я«]=1 1Л/[«,'«ь-,/«/]П4'«г] (1-5)
1=0 *=1 г=\
14 или в дискретном варианте
y[t] = h0+ ІЛі[г]и[/-г]+ I T.h2[Ti,T2Mt-TiMt-T2] + -
г = 0 г,=0г2=0
t t n
+ I 1Л/|[г1,...,г7|]П"['-^] + — , ^-6)
r,=0 r„=0 /=1
где функции /*i[r],/j2[ri,r2],."A,[ri,...,rw] - ядра Вольтерра,
и может быть приближена его конечным отрезком, в частности, классической билинейной системой. Поэтому нелинейные системы могут быть приближены с той или иной степенью точности дискретными билинейными системами. В свою очередь, обобщением классических дискретных билинейных систем являются дискретные билинейные окрестностные системы.
Таким образом, наиболее простым классом нелинейных систем, моделирующим различную структуру связей между подсистемами с аргументом произвольной природы и размерности, являются дискретные билинейные окрестностные системы.
В работе предложены модели билинейных дискретных окрестностных
систем [11-16] вида
/ г
I 1>/[я,а]и,-[а]+ I Zwi[a,a,j3]iii[a]-n[^] = 0. (1.7)
i=\ аОи.[а] i-\ аеОи.[а]
РеО;, [а]
Здесь Ои.[а],Оу.[а] окрестности по uhYi элемента
a, aeA = {ai,...,a^}, ui,yieU,Wi[a,a'\,wi[a,a,P]{i = \,r)- некоторые
матрицы. В частности, можно положить в качестве и = х,у = v.
В качестве примера «окрестностного» определения, предшествующего основным определениям из [10,20], напомним определение марковского случайного поля из [20] в используемых далее обозначениях.
Пусть А- носитель - конечное или счетное множество значений системного аргумента, не наделенное какой-либо структурой, кроме
15 используемой далее окрестностной структуры; пусть а,Ь,... элементы из А;
пусть х[а]- состояние элемента а; пусть T,S,...- подмножества множества А; пусть х[Т] -совокупность состояний элементов множества Т. Состояниями элементов аєА являются случайные величины, так что {х[а],аеА}- случайное поле. Предполагается заданным согласованное семейство конечномерных распределений его вероятностей, из которого, в частности, могут быть найдены условные вероятности Р(х[а]/ х[А\а]).Это случайное поле называется О-марковским, если для каждого аеА существует конечное множество 0(a)
такое, что условные вероятности Р(х[а]/х[А\а]) = Р(х[а]/ х[0(а)]) зависят лишь от х[а] и *[/>]при be0(a). В [126] наряду с 0(a) используется и понятие расширенной окрестности 0[a] = 0(a)\J {а}.
Для окрестностных структур вводится [17] "расстояние в шагах из окрестностей" между подмножествами N(a) В,СеА: для любого В
строится цепочка [b]q а[в\ с..с[#]/ расширенных окрестностей В ранга
0,1,...,/,...в виде
[В]0 = В,[В\= U N[b\[B]l+] = ВД = \\N[b\l = \,2...,
ЬєВ ЬеЩ,
после чего полагается
г{В,С)=г<^[в]/Г\[с]і=0,О<1<г,[в]гГ)[с]г*0.
Системы, заданные на таких множествах, являются существенно нестационарными [20].
Несомненным достоинством окрестностных систем является возможность адекватного моделирования сложных дискретных систем, имеющих многочисленные, произвольной структуры связи между подсистемами с аргументом произвольной природы и размерности.
В данной работе по аналогии с линейным случаем [20] ставятся задачи идентификации и смешанного управления:
1) задача параметрической идентификации билинейных окрестностных
систем, в которой по известным Vj,iij необходимо найти матрицы -
параметры Wj[a,a],Wj[a,a,J3](i = \,г) при дополнительных условиях -
некоторые из матриц Wj[a,a],Wj[a,a,/3](i = \,г) известны, некоторые Wj[а, а] = 0, ц>і[а, а, /?] = 0.
2) задача смешанного управления для билинейных окрестностных систем,
состоящая в нахождении неизвестных компонент состояния и
управления по известной их части.
Исследование окрестностных систем и окрестностных моделей, как линейных, так и нелинейных, проводилось в различных направлениях [10, 20, 39]. Одно из направлений связано с преобразованиями билинейных одноаргументных систем в линейные двухаргументные с использованием тензорных произведений. Основы таких преобразований заложены в [104] (см. также [5]) для случая билинейных стационарных ID-систем и линейных однородных 2D-систем и распространены на нестационарный (неоднородный) случай в [10] (см. [7-21], [33-36], [39], [77-100], [108]). Достоинством такой тензорной линеаризации является то, что, в отличие от других распространенных подходов к линеаризации (например, тейлоровой или интерполяционной), она не является приближенной и позволяет сводить исследование специальных классов нелинейных систем - билинейных, ..., т -линейных - и общих нелинейных систем, представленных рядами Вольтерра [5, 20, 59] по этим специальным нелинейным системам, к исследованию их линейных, но многоразмерностных образов.
1.2. Связь билинейных окрестностных моделей с симметричными и смешанными окрсстностнымп моделями
Дискретная билинейная окрестностная система (1.7) обобщает известные модели дискретных систем, симметричные и смешанные системы [20, 39] и относится к классу простейших нелинейных систем.
Полагая в (1.7) Wj[a,a,fi] = 0,Wi[a,a] = Q[a,a],W2[a,j3] = Z[a,j3], их[а] = х[а],иг[р] = \\р] получаем симметричную окрестностную систему. Если же полагаем
\v.[a,a,fl] = 0,и\[а,а] = Q[a,a],w2[a,fl] = z[a,/}],w3[a,y] = Ца,у], щ[а] = x[a],u2[j3) = \{/ї],и3[у] = }[/],
то получаем смешанную систему вида (1.4).
В работе [20] было показано, что смешанная система обобщает сингулярные линейные модели, линейные сингулярные двумерные системы, линейные комбинационные цепи, линейные стационарные дискретно-временные динамические системы, одномерные однонаправленные линейные итеративные цепи, одномерные двунаправленные линейные итеративные цепи, модель Форназини-Маркезини, модель Россера и т.д.
Так как билинейные окрестностные системы обобщают симметричные, то отсюда следует, что эти системы обобщают все названные классы линейных дискретных систем.
1.3. Методы идентификации систем управления
В данном разделе рассмотрим постановку задачи идентификации для линейных и нелинейных систем, методы ее решения и исследуем возможность их применения к идентификации дискретных билинейных окрестностных систем.
Термин «идентификация» появился в 60-х годах XX века. К настоящему времени теории и методам идентификации посвящено большое число работ в отечественной и зарубежной литературе, и в этом направлении разработаны свои принципы, подходы и методы [29, 30, 56, 67, 69, 101].
Под идентификацией в широком смысле понимается «получение или уточнение по экспериментальным данным модели реального объекта (процесса), выраженной в тех или иных терминах (описанной на том или ином языке)» [69]. Идентификацией динамической системы (процесса)
18 называется получение или уточнение по экспериментальным данным математической модели этой системы или процесса, выраженной посредством того или иного математического аппарата [69].
Идентификацией по [30] является «определение параметров и структуры математической модели, обеспечивающих наилучшее совпадение выходных координат модели и процесса при одинаковых входных воздействиях».
Классификация задач идентификации может осуществляться по целому ряду признаков: идентифицируемый объект или процесс; класс модели, в терминах которой осуществляется идентификация; условия наблюдения и возбуждающие процесс воздействия и т.д. [69].
По Эйкхоффу [101], задача идентификации формулируется следующим образом: по результатам наблюдений над входными и выходными переменными системы должна быть построена оптимальная в некотором смысле модель, т.е. формализованное представление этой системы. Отсюда видна преемственность между задачей идентификации и общей схемой установления закономерностей по результатам наблюдений.
В зависимости от априорной информации об объекте управления различают задачи идентификации в узком и широком смысле [101]. Задача идентификации в узком смысле состоит в оценивании параметров и состояния системы по результатам наблюдений над входными и выходными переменными, полученными в условиях функционирования объекта. При этом известна структура системы и задан класс моделей, к которому данный объект относится. Априорная информация об объекте достаточно велика.
Априорная информация об объекте при идентификации в широком смысле отсутствует или очень бедная, поэтому приходится предварительно решать большое число дополнительных задач [101]: выбор структуры системы и задание класса моделей, оценивание степени стационарности и линейности объекта и действующих переменных, оценивание степени и
19 формы влияния входных переменных на выходные, выбор информативных переменных и другие.
В [109] идентификацией называется "определение по входу и выходу системы из определенного класса систем, которой испытываемая система эквивалентна". Следуя данной формулировке, необходимо определить класс систем, класс входных сигналов и понятие "эквивалентности". Эквивалентность часто понимается в смысле какого-либо критерия ошибки или функции потерь, являющейся функционалом от выхода объекта и выхода модели Е = Е{у,Ум).
Процедура идентификации включает следующие три этапа [20]:
Выбор структуры модели на основании имеющейся априорной информации об исследуемом процессе и некоторых эвристических соображений.
Выбор критерия близости объекта и модели, основанный на специфике задачи.
Определение параметров модели, оптимальных с точки зрения выбранного критерия близости.
Поскольку задача идентификации сводится, как упомянуто выше, к определению структуры модели объекта и восстановлению ее параметров, в качестве основы для классификации задач и методов идентификации обычно выбирают степень предварительной изученности объекта.
По наличию априорной информации все объекты могут быть разделены на следующие группы [30]:
1) объекты, для которых описывающие их уравнения известны вплоть
до приблизительных значений коэффициентов;
объекты, для которых описывающие их уравнения известны, а численные значения коэффициентов неизвестны;
объекты, для которых конкретный вид уравнения и численные значения параметров неизвестны, но имеется некоторая априорная
20 информация (например, объект линеен, и переходные процессы в нем носят монотонный характер; объект содержит гладкие нелинейности и т.д.);
4) объекты, относительно которых отсутствуют какие-либо априорные сведения («черный ящик»).
При этом провести четкую границу между любой парой смежных групп довольно затруднительно.
Для объектов первой группы при известной структуре уравнения задача идентификации часто сводится к уточнению начальных значений параметров и отслеживанию их с помощью адаптивных моделей [29, 50, 101].
Для объектов второй группы процесс идентификации представляет собой восстановление неизвестных параметров модели известной структуры.
Структура модели у объектов третьей группы выбирается на основании имеющейся априорной информации и может быть уточнена в процессе проведения эксперимента, после чего решается задача восстановления параметров.
Таким образом, все методы идентификации объектов первых трех групп, как правило, являются параметрическими, т.е. сводятся к определению параметров заранее известной или выбранной из каких-либо соображений модели.
На практике часто встречаются случаи, являющиеся переходными между третьей и четвертой группами, когда, вследствие недостатка априорной информации об объекте, идентификация осуществляется на основе прямых методов, т.е. определяются дискретные значения динамических характеристик в конечном числе точек путем подачи пробных сигналов специальной формы (активный эксперимент) или решаются соответствующие уравнения статистической динамики (пассивный эксперимент).
Применение прямых методов идентификации целесообразно также для объектов типа "черный ящик". Для этих объектов возможна также
параметризация на основе принятия какой-либо гипотезы, проверяемой в процессе эксперимента. Данная ситуация распространена чаще всего.
Введенные дискретные билинейные окрестностные модели по наличию априорной информации можно отнести к промежуточному типу между первым и вторым пунктом данной классификации. Структура и уравнение данной модели (1.7) считаются известными, а некоторые коэффициенты матриц-параметров н>;- могут быть заданными.
В подходе, согласно Гропу [29], методы идентификации связаны с классификацией систем. Во-первых, различают линейные и нелинейные системы, причем линейные системы легче идентифицировать, поскольку они обладают свойствами суперпозиции. Во-вторых, различают системы стационарные и нестационарные (к последним относятся системы с изменяющимися во времени параметрами). В-третьих, системы делят на дискретные и непрерывные. В-четвертых, различают методы идентификации для систем с одним или несколькими входными воздействиями. Это деление целесообразно ввиду того, что методы идентификации значительно упрощаются, если на систему подается одновременно лишь одно входное воздействие. Пятый вариант классификации предусматривает возможность идентификации детерминированных или стохастических процессов. Шестой вариант - классификация методов идентификации в зависимости от наличия априорной информации о системе.
Другая классификация методов идентификации осуществляется по следующим признакам [20, 39]:
1) по способу представления характеристик объекта:
-во временной области;
-в частотной области;
2) по методу проведения эксперимента на объекте:
-активные;
-пассивные;
22 -смешанные, при которых на объект подаются специальные пробные сигналы малой интенсивности, не нарушающие его нормальной работы;
по принятому критерию подобия объекта и модели;
по методам восстановления неизвестных параметров объекта: -неитерационные (метод наименьших квадратов, корреляционный
анализ и т.д.);
-итерационные (методы теории статистических решений, стохастической аппроксимации и т.д.);
5) по наличию сравнения полученного математического описания с
объектом:
-разомкнутые;
-замкнутые.
В основу перечисленных способов классификации положена по существу степень сложности идентификации. Методы идентификации, для которых требуется меньше априорной информации, обладают меньшей точностью и большей скоростью сходимости при большей математической сложности и времени вычислений по сравнению с методами, использующими больший объем априорной информации. Аналогично методы, применяемые к нелинейным или нестационарным процессам, более сложны и зачастую менее точны, чем методы идентификации, рассчитанные на линейные стационарные процессы [20]. Отчасти по этой причине в работе рассмотрен также метод тензорной линеаризации полилинейной системы.
Среди статистических методов идентификации следует выделить метод наименьших квадратов, связанный с использованием квадратического
критерия ошибки «^ = ^^0^0)-.)^/О))2, где п- размерность выхода
модели объекта.
Понятно, что ни один из упомянутых многочисленных методов идентификации не годится для идентификации всех видов систем. Каждый из них имеет свою область или области применения.
23 Из приведенного обзора методов идентификации [30, 69, 101] следует, что введенный в разделе 1.1 данной главы класс дискретных билинейных окрестностных моделей требует разработки методов параметрической идентификации при частичном задании коэффициентов модели. Эти методы основаны на кронекеровской линеаризации и сведении билинейных моделей к двухаргументным или применении адаптивных методов. Указанные методы описаны в главах 2, 3.
1.4. Методы синтеза алгоритмов управления
В данном разделе рассмотрим известные постановки и алгоритмы задач управления.
Процессы, происходящие в исследуемом объекте, протекают различным образом в зависимости от конкретного воздействия на них управляющей стороны. При этом естественным является стремление выбрать оптимальное управляющее воздействие, т.е. наилучшее по сравнению со всеми другими возможными способами управления [3].
Аналогично, в соответствии со [56], управление состоит в том, чтобы, оказывая на объект воздействие, изменять протекающие в нем процессы для достижения определенной цели.
Постановки задач управления можно разделить на две большие группы: прямые и обратные задачи. Основными можно назвать две из них: прямая задача и задача управления как важнейшая из обратных задач. В прямой задаче по известным входам v[a] и начальному состоянию х[0] определяются неизвестные состояния системы х[а] и ее выходы у[а], где а є А- аргумент системы. В задаче управления по заданным состояниям х[а] и выходам у[а] определяется необходимое управление - входы v[a].
В обратной задаче регулирования [56] требуется выбрать такое управление v[a], которое реализует близость основных координат состояния объекта к заданным .*>[#].
24 Важнейшая обратная задача управления, задача отыскания оптимальных управлений, формулируется следующим образом [45, 69]. В начальный момент времени /=/q положение системы в пространстве состояний определяется вектором x[(q] = Xq. Требуется найти такие управления щ,..., ит, которые переводят систему в точку *[*]] = *i, при этом на траектории движения должно реализоваться наименьшее возможное значение функционала
В современной теории оптимального управления разработаны различные процедуры решения сформулированной задачи на основе принципа максимума, динамического программирования, метода функций Ляпунова, классического вариационного исчисления [69]. В результате применения этих методов отыскиваются оптимальные управляющие функции и траектории движений, на которых реализуются экстремальные значения оптимизируемых функционалов.
При адаптивном управлении [56, 69] представляющем собой обратную задачу определения управления и[а] в условиях априорной неопределенности описания объекта, параметры системы заранее неизвестны или изменяются в процессе работы системы.
Частным случаем постановок задач регулирования является задача стабилизации, в которой требуется обеспечение постоянства координат состояния системы.
Стабилизация билинейных систем на плоскости посредством
постоянных релейных управлений рассмотрена в [51, 52]. Для билинейной
системы со скалярным управлением
х = Ах + иВх, (1.9)
где ueR,xeR2; матрицы А и В постоянные, подбирается такое управление п, при котором точка х = 0 представляет собой асимптотически устойчивое положение равновесия системы во всей плоскости. При этом, для
двумерных систем типа (1.9) со скалярным выходом у показано, что задача
наблюдения (т.е. задача восстановления фазового вектора х) может быть сведена к задаче наблюдения для системы с вырожденной матрицей билинейности (т.е. rank В = \). Для таких систем построены асимптотические наблюдатели, а на их основе синтезированы алгоритмы стабилизации двумерных систем по выходу.
В литературе рассматриваются вопросы управляемости систем. Система называется вполне управляемой, если она может быть переведена из произвольного начального состояния Xq eR'1,Xq ^оо в произвольное
заданное конечное состояние xj є R'l,Xf ^со за конечное время с помощью
допустимого управления [101].
Для управляемости [3] линейных стационарных систем вида
x(t) = Ax(t) + Bu(l),xeR»,iieR'", (1.10)
где Апт и Втхт- постоянные матрицы, необходимо и достаточно, чтобы
ранг матрицы К = (В,АВ,А2В,...,А1,~^В) был равен и (размерности вектора
х).
Для управляемости системы (1.10) при наличии ограничений
\и(1)\<С,С>0 необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости
был равен // и, кроме того, чтобы все собственные значения матрицы А лежали на мнимой оси.
Для управляемости линейных нестационарных систем x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) достаточно, чтобы нашлась точка на [lQ,l], в которой
ранг матрицы К = (К^,...,Кп) равен л; здесь
K](() = B(0,Ki(t) = A(l)Ki_l(t)-^^-. (1.11)
Теория управляемости нелинейных систем разработана не достаточно полно.
Задача управляемости в окрестности заданной траектории Xq(i),
получаемой при заданном u = u(t), может быть приведена к задаче управляемости линейной нестационарной системы путем линеаризации [50].
Для нелинейных систем с дискретным временем, описываемых уравнением *[& + !] = /[*[&],*/[/:],/:], задачи управляемости в принципе приводятся к задачам разрешимости функциональных уравнений [69].
В работе [102] исследуются вопросы управляемости однородных и неоднородных дискретных билинейных систем.
Дискретная билинейная система определяется разностным уравнением вида:
хк+]=(А + икВ)хк+сик,к = 0,\,2,..., (1.12)
где х^ eR"- состояние системы в момент к, ак є/^- управление в момент
, ceR'1- ненулевой вектор, А"х",Впт- действительные постоянные матрицы и ранг [В + с\ = \.
Показано, что для однородной управляемой билинейной системы
xk+l=(A+iikB)xk,k = 0,\,2,..., (1.13)
матрица Г(А,с)=[с,Л,...,А"~]с] является неособенной.
Если неоднородная билинейная система (1.12) является управляемой в R",to Г(А,с) будет неособенной матрицей.
К необходимым условиям полной управляемости билинейных систем можно отнести следующие.
1.Существуют значения управления іґи и' такие, что действительные части собственных значений матрицы системы, соответственно, положительны и отрицательны, и такие, что равновесные состояния хе(и+)>хе(гг)содержатся в связных компонентах равновесного множества.
2. Для любого х из равновесного множества с равновесным управлением ие(х)еи, таким, что f(x,ue(x)) = Q, существует VєR'"такое,
что g не лежит ни в каком инвариантном пространстве размерности не более чем (п-\), матрицы К, где
т
E = A+Znk(x)Bk (1.15)
к=\
т пі
g = Cv-Zvi[Bi(A+ ZukBk)-lCu]. (1.16)
/=1 к=\
Однако, по мнению Молера [105], практическое применение этого критерия к общим билинейным системам представляется весьма затруднительным.
Переменная структура билинейных систем позволяет им быть более управляемыми, чем линейные системы, что как раз часто и требуется от более точной модели. Молер [105] показывает, что линейная система не является вполне управляемой при ограниченном управлении, также и не каждая билинейная система вполне управляема.
В работе [20] рассмотрен метод смешанного управления для линейных симметричных окрестностных систем, позволяющий определять неизвестные координаты управления и состояния по известной их части.
Рассмотренные в данном разделе методы управления нелинейными дискретными распределенными и сосредоточенными объектами показывают, что для введенных в разделе 1.1. дискретных билинейных окрестностных моделей необходима разработка новых алгоритмов управления. Данные алгоритмы приведены в главе 3.
1.5. Постановка задач исследования
В предыдущих разделах данной главы введены дискретные билинейные окрестностные системы как обобщение симметричных смешанных линейных дискретных систем и как простейший класс нелинейных дискретных систем. Обсуждены возможные методы идентификации и управления такими системами. Отмечено, что
28 дискретные билинейные окрестностные системы обеспечивают произвольную структуру связей между подсистемами с аргументом произвольной природы и размерности, а также позволяют более адекватно моделировать сложные дискретные системы по сравнению с линейными системами. Примером систем со сложной окрестиостнои структурой и нелинейными связями между подсистемами могут служить объекты металлургического производства и объекты предприятий по очистке сточных вод, в частности, цех очистки сточных вод (ЦОСВ).
Современные очистные сооружения, предназначенные для очистки городских сточных вод, состоящих из хозяйственно-бытовых и промышленных стоков, являются сложными, многостадийными, распределёнными системами. В свете возрастающих технико-экономических и экологических требований актуальными для данных систем являются задачи определения параметров тех узлов, для которых измерение является дорогим и затруднительным, определение параметров входного и промежуточных участков по заданным инструкцией параметрам выхода из системы (норма на сброс в реку), определение параметров промежуточных участков по заданным экспертами (инструкцией) значениям параметров на входе и выходе из системы.
Сооружения системы включают в себя подсистемы механической, биологической очистки, обеззараживания и обработки осадка. Механическая очистка представлена решётками, песколовками, усреднителями, первичными отстойниками; биологическая - аэротенками, вторичными отстойниками; обеззараживание - контактными резервуарами; обработка осадков - илоуплотнителями, иловыми площадками, цехом механического обезвоживания. В наиболее простом варианте, допускающем измерение параметров, систему рассматривают как совокупность четырёх узлов, именуемых «вход на очистные сооружения», «после усреднения», «после механической очистки», «сброс в реку».
Наличие большого числа факторов, влияющих на результаты очистки сточных вод, приводят к тому, что в настоящее время решение задач по управлению работой ЦОСВ базируется на опыте и интуиции квалифицированных работников. Отсутствие инструмента для анализа и синтеза управленческих решений, выдаче оптимальных режимов работы производственных подразделений ЦОСВ приводят к снижению качества очистки сточных вод и, в конечном итоге, к экономическим потерям предприятия, загрязнению окружающей среды.
В рамках действующей системы решения задач планирования, анализа и управления технико-экономическими показателями работы ЦОСВ задачу управления показателями позволяет решить создание математических моделей цеха в целом и отдельных подразделений, разработка автоматизированной системы управления работой ЦОСВ.
Можно дать следующую формулировку задачи данной работы: для введенного класса дискретных окрестностных билинейных систем разработать методы идентификации, методы синтеза смешанного управления, получить билинейную окрестностную модель и оптимальные значения технико-экономических показателей ЦОСВ.
В соответствии с приведенной формулировкой задачи в диссертационной работе поставлены следующие задачи исследования:
1) разработать алгоритмы тензорной линеаризации,
параметрической и адаптивной идентификации билинейных
окрестностных моделей;
разработать способ оценки степени неопределенности априорной информации в задачах идентификации билинейных окрестностных систем.
разработать алгоритм смешанного управления для данного класса моделей;
4) критерий качества оптимального смешанного управления для
билинейных окрестностных систем;
5) разработать метод квазиоптимального смешанного управления
для билинейных окрестностных систем;
построить билинейные окрестностные модели отделения аэротенков и цеха очистки сточных вод АО «НЛМК»;
получить оптимальные значения технико-экономических показателей цеха очистки сточных вод.
Выводы
В данной главе
Введен новый класс дискретных билинейных окрестностных систем управления;
Показано, что введенные классы систем развивают классы линейных окрестностных и классических дискретных билинейных систем;
Проведен обзор известных методов идентификации, поставлена задача тензорной линеаризации, смешанной параметрической и адаптивной идентификации для введенных классов систем и предложен метод ее решения;
Проведен обзор известных методов управления, поставлена задача смешанного управления для введенных классов систем и предложен метод ее решения;
На основе рассмотренного материала поставлены дальнейшие задачи: разработать соответствующие алгоритмы идентификации, смешанного управления; для конкретного объекта (ЦОСВ) разработать конкретные модели, критерий качества работы объекта и определить оптимальные режимы работы объекта.
2. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИСКРЕТНЫХ БИЛИНЕЙНЫХ ОКРЕСТНОСТНЫХ СИСТЕМ
В главе 1 проведен обзор моделей дискретных симметричных, смешанных, классических билинейных систем и в их развитие введена дискретная билинейная окрестностная модель. В данной главе поставлена задача параметрической идентификации билинейных окрестностных систем, предложены методы и получены алгоритмы тензорной линеаризации, смешанной параметрической и адаптивной идентификации билинейных окрестностных систем.
2.1.Постановка задачи параметрической идентификации дискретных билинейных окрестностных систем
В данном разделе сформулируем задачу параметрической идентификации для билинейных окрестностных систем и критерий идентификации.
В соответствии с (1.7), предложенная в данной работе дискретная билинейная окрестностная система описывается уравнением
/ г
I Y.Wj[a,a]iij[a]+ І І^Дя, а,/?]//,[#] ^[/71 = 0. (2.1)
/=1 аеОи [a] /=1 ae()tl [а]
рео;, [а]
Здесь Ои.[а],Оу.[а] окрестности по lh*Yi элемента
a,aeA = {ai,...,a^} - множество значений аргумента билинейной
окрестностной системы, \A\ = N;uj,yj eU,Wj[a,a],Wj[a,a,/3](i = \,r)-
некоторые матрицы.
Пусть для билинейной системы, заданной моделью (2.1) полностью определен набор всех и {[а] є IVі і во всех N узлах билинейной системы. Тогда, необходимо знание {щ+...+пг)-И компонент сигналов.
В случае, если г^[а] = и[а]єRm,m2M = х[а]єRn необходимо знание (m + n)-N компонент сигналов.
Требуется найти элементы матриц-параметров Wj[a,a], Wj[a,a,j3] для
всех узлов системы, описываемой моделью (2.1).
Потребуем, чтобы часть элементов матриц-параметров была задана экспертами. Это требование позволит ограничить число решений данной задачи.
В качестве критерия идентификации рассмотрим следующий квадратичный критерий
где deg„. ,deg„ -степени вершины а (число соседей) по
преобразованиям щ, уг
Потребуем минимальности значения критерия.
2.2. Разработка алгоритмов линеаризации билинейных систем
Для разработки алгоритмов идентификации билинейных систем рассмотрим теоретическое обоснование преобразования билинейных систем в двухаргументные линейные системы [7-18].
2.2.1. Билинейные стационарные системы
Билинейные системы являются простейшими нелинейными системами, наиболее близкими к линейным [5, 20, 104]. С другой стороны, двумерные системы являются простейшими распределёнными системами, наиболее близкими к сосредоточенным. Между этими классами систем существует важная взаимосвязь, для описания которой удобно ввести ряд понятий, знакомство с которыми полезно и само по себе.
Пусть К - некоторое числовое поле, U - К -линейное пространство, состоящее из всех К -злачных функций, заданных на множестве целых чисел Z и имеющих ограниченный слева носитель, так что для любой ие(/ существует tueZ такое, что u[t] = 0 при t
называется К - билинейным, если для каждого фиксированного їй єіі
33 отображения U->U':м-> f(u,u\),U->/':г/-> f(ii\,u) являются АГ-
линейными. Билинейное отображение f:UxlI->U называется каузальным, если из z/j[/] = 0 при t
/{щ,и211-\]=/(щ,й2Ъ\ ui[t]=Ui[t-\]. (2.3)
Пусть Lcs{u) обозначает множество, состоящее из всех билинейных казуальных стационарных отображений f:UxU—*U. С обычными
операциями над его элементами пространство LcS{U) является К -
линейным пространством. Каждый элемент из ^сл(^) может рассматриваться как отображение отклика (отображение "вход-выход") некоторой внешне-билинейной каузальной стационарной дискретно-временной системы.
Пусть теперь V+ обозначает К -линейное пространство функций
v:ZxZ—»/Г таких, что v[/],/2] = 0, при /]<0 или t2<0. С использованием
этих понятий непосредственно устанавливается следующее представление билинейных отображений:
для каждого feL^s(U) существует единственный элемент weV+, называемый ядром отображения /, такой что для любых ii\,u2 eU
/(иі,и2Х']= I 14->Ь>-'2Ы>1ЬЫ, (2.4)
/j =—oo /2 =—oo
наоборот, каждое ядро weV+ определяет некоторое отображение
/,,. eLcS(u) задаваемое формулой (2.4).
С использованием понятия тензорного произведения функций и образованных ими пространств каждый элемент из L%{u) может быть расширен до линейного отображения. Рассмотрим это подробнее [15, 18].
Пусть V - К -линейное пространство, состоящее из всех АГ-значных
функций v, заданных на ZxZ и таких, что v[/,.y] = 0 при t
Следует отметить, что введенное выше пространство У+ является линейным
подпространством V. Для заданных ii\,u>i^U тензорное произведение,
обозначаемое гі\ ii2, определяется как элемент из V по формуле:
{uxu2)[t,s]^ux[t}u2[sl (2.5)
Иначе говоря, тензорное произведение сигналов определяет
Методы идентификации систем управления
В работах [9,10,20] введен класс дискретных окрестностных линейных моделей, названных симметричными, обобщающих известные линейные дискретные сосредоточенные (1.1) и распределенные динамические системы (1.2) x[t + l] = A-x[t]+B-v[l], х[0] = х y[l] = C-x[t] + D-v[t], / = 0,1,2..., ; x[s + l] = A- x[s] + В v[.v], 40] = jc0 y[s] = C-x[s] + D-v[s], .s = 0,l,2...,7\ u z; где x[t] - вектор переменных состояния; v[/] - вектор входных (управляющих) воздействий; y[t] -вектор выходных переменных; A,B,C,D - матрицы параметров, s - координата в дискретном (клеточном) пространстве S.
Модели (1.1) и (1.2.), а также ряд других дискретных моделей [20,39] не позволяют адекватно моделировать сложные дискретные системы, имеющие многочисленные, произвольной структуры связи между подсистемами с аргументом произвольной природы и размерности. Обобщением названных моделей является симметричная линейная окрестностная модель [20,39] ТП[о,а]х[а] = 1Е[в,/?М/?], (1.3) аеОх[а] /?еОуН где v[a]eRm, x[a]eRn — вход и состояние в узле С1 системы, Е[а,а]е Rcxm, Сі[а,/3]єіїс " —матрицы-параметры, Од-[я],Оу[я] - окрестность узла а по состоянию и входному воздействию соответственно; а,а,/ЗєА,А = {а\,...,ам} - конечное множество значений дискретного аргумента системы, \А\= N .
Дальнейшим развитием симметричной модели, учитывающим выходы системы, является смешанная модель, имеющая вид [20] 1Е[а, Ма]+ LQ[tf,№[/?]+ ЦГ[а,ГЫг] = 0, (1.4) аєо,[а) /3 =Ох[а\ уеоу[а] где v[a]eRm, x[a]sRn, y[a]eRcI — вход, состояние и выход в узле а; Е[а,а]є Rcxm, Q[a,a]eRcx", r[a,y]eRcx(l — постоянные матрицы-параметры; 0vM 0xM 0y[a] — окрестности по входу, состоянию и выходу; a,a,j3,yeA, А = {а\,а2 - ы\ множество значений аргумента смешанной системы, \А\ = N.
Так как реальные процессы в большинстве случаев носят нелинейный характер, то оправданным является рассмотрение нелинейных моделей, обеспечивающих более адекватное описание объекта. Общий вид нелинейной модели следующий: I (x,v,y)=0, где х- состояние; v- вход; у - выход.
В соответствии с [59], любая аналитическая причинная система представима в виде ряда Вольтерра Я«]=1 1Л/[«, «ь-,/«/]П4 «г] (1-5) 1=0 =1 г=\ или в дискретном варианте y[t] = h0+ ІЛі[г]и[/-г]+ I T.h2[Ti,T2MtiMt2] + г = 0 г,=0г2=0 t t n + I 1Л/[г1,...,г7]П"[ - ] + — , -6) r,=0 r„=0 /=1 где функции / i[r],/j2[ri,r2],."A,[ri,...,rw] - ядра Вольтерра, и может быть приближена его конечным отрезком, в частности, классической билинейной системой. Поэтому нелинейные системы могут быть приближены с той или иной степенью точности дискретными билинейными системами. В свою очередь, обобщением классических дискретных билинейных систем являются дискретные билинейные окрестностные системы.
Таким образом, наиболее простым классом нелинейных систем, моделирующим различную структуру связей между подсистемами с аргументом произвольной природы и размерности, являются дискретные билинейные окрестностные системы.
В работе предложены модели билинейных дискретных окрестностных систем [11-16] вида / г I 1 /[я,а]и,-[а]+ I Zwi[a,a,j3]iii[a]-n[ ] = 0. (1.7) i=\ аОи.[а] i-\ аеОи.[а] РеО;, [а] Здесь Ои.[а],Оу.[а] окрестности по uhYi элемента a, aeA = {ai,...,a }, ui,yieU,Wi[a,a \,wi[a,a,P]{i = \,r)- некоторые матрицы. В частности, можно положить в качестве и = х,у = v.
В качестве примера «окрестностного» определения, предшествующего основным определениям из [10,20], напомним определение марковского случайного поля из [20] в используемых далее обозначениях.
Пусть А- носитель - конечное или счетное множество значений системного аргумента, не наделенное какой-либо структурой, кроме используемой далее окрестностной структуры; пусть а,Ь,... элементы из А; пусть х[а]- состояние элемента а; пусть T,S,...- подмножества множества А; пусть х[Т] -совокупность состояний элементов множества Т. Состояниями элементов аєА являются случайные величины, так что {х[а],аеА}- случайное поле. Предполагается заданным согласованное семейство конечномерных распределений его вероятностей, из которого, в частности, могут быть найдены условные вероятности Р(х[а]/ х[А\а]).Это случайное поле называется О-марковским, если для каждого аеА существует конечное множество 0(a) zA\a- окрестность элемента а такое, что условные вероятности Р(х[а]/х[А\а]) = Р(х[а]/ х[0(а)]) зависят лишь от х[а] и [/ ]при be0(a). В [126] наряду с 0(a) используется и понятие расширенной окрестности 0[a] = 0(a)\J {а}.
Разработка алгоритмов линеаризации билинейных систем
Билинейные системы являются простейшими нелинейными системами, наиболее близкими к линейным [5, 20, 104]. С другой стороны, двумерные системы являются простейшими распределёнными системами, наиболее близкими к сосредоточенным. Между этими классами систем существует важная взаимосвязь, для описания которой удобно ввести ряд понятий, знакомство с которыми полезно и само по себе. Пусть К - некоторое числовое поле, U - К -линейное пространство, состоящее из всех К -злачных функций, заданных на множестве целых чисел Z и имеющих ограниченный слева носитель, так что для любой ие(/ существует tueZ такое, что u[t] = 0 при t tu. Отображение /:(/х(/-»/ называется К - билинейным, если для каждого фиксированного їй єіі отображения U- U :м- f(u,u\),U- / :г/- f(ii\,u) являются АГ линейными. Билинейное отображение f:UxlI- U называется каузальным, если из z/j[/] = 0 при t t\ следует f(u,ii\)[t] = f(ii\,u) = Q при t t\. Билинейное отображение называется стационарным или инвариантным относительно временного сдвига, если для любых iti,ii2 U выполняется соотношение: /{щ,и211-\]=/(щ,й2Ъ\ ui[t]=Ui[t-\]. (2.3)
Пусть Lcs{u) обозначает множество, состоящее из всех билинейных казуальных стационарных отображений f:UxU— U. С обычными операциями над его элементами пространство LcS{U) является К линейным пространством. Каждый элемент из сл( ) может рассматриваться как отображение отклика (отображение "вход-выход") некоторой внешне-билинейной каузальной стационарной дискретно-временной системы.
Пусть теперь V+ обозначает К -линейное пространство функций v:ZxZ—»/Г таких, что v[/],/2] = 0, при /] 0 или t2 0. С использованием этих понятий непосредственно устанавливается следующее представление билинейных отображений: для каждого feL s(U) существует единственный элемент weV+, называемый ядром отображения /, такой что для любых ii\,u2 eU /(иі,и2Х ]= I 14- Ь - 2Ы 1ЬЫ, (2.4) /j =—oo /2 =—oo наоборот, каждое ядро weV+ определяет некоторое отображение /,,. eLcS(u) задаваемое формулой (2.4).
С использованием понятия тензорного произведения функций и образованных ими пространств каждый элемент из L%{u) может быть расширен до линейного отображения. Рассмотрим это подробнее [15, 18]. Пусть V - К -линейное пространство, состоящее из всех АГ-значных функций v, заданных на ZxZ и таких, что v[/,.y] = 0 при t tv или s sv. Следует отметить, что введенное выше пространство У+ является линейным подпространством V. Для заданных ii\,u i U тензорное произведение, обозначаемое гі\ ii2, определяется как элемент из V по формуле: {uxu2)[t,s] ux[t}u2[sl (2.5) Иначе говоря, тензорное произведение сигналов определяет разделимый или сепарабельный сигнал, зависящий от двух переменных; тензорное произведение пространства U на себя, обозначаемое через U U, есть линейное подпространство V, порождённое всеми элементами вида щіі2- Иначе говоря, любой элемент veUU может быть записан в форме: г v= w/ уі для некоторых и j,у J zU . /=1 Теперь любое билинейное отображение fel%s{u) может быть расширено до линейного отображения f:UU— U, задаваемого по формуле: (г \ г f Z«i У і = If (и і ,Уі hi ,Гі є U (2.6) U=l J /=l Из представления (2.3) билинейных отображений следует такое представление нового отображения /: /нМ[/]= І iwt-/b/-/2]v[/b/2], (2.7) /[ =-оо/2 =-оо где v - произвольный элемент из U U. Отсюда следует, что билинейное отображение fw или его линейное расширение /,,. могут быть проинтерпретированы в терминах отклика линейных двумерных систем. Чтобы это установить, рассмотрим сначала общее представление линейных двумерных отображений в том же контексте, в котором ранее были рассмотрены билинейные (но одномерные, как теперь целесообразно добавить) отображения.
Пусть g:V V - АГ-линейное отображение; так как V состоит из функций, заданных на ZxZ, то можно говорить о g как о линейном двумерном, отображении. Отображение g:V- V каузально, если из v[/,.y] = 0 при t tv или s sv следует g(v)[t,s] = 0 при t tv или s sv. Отображение g однородно (аналог стационарности), или инвариантно относительно плоскостного сдвига, если для любого veV g{v)[l-\,s-]] = g(v)[t,s], где V[/,A ] = v[/ — 1,л — 1J. С обычными операциями множество LCs(V) всех линейных каузальных однородных отображений g:V—»К является К-линейньш пространством. Каждый элемент geLcs(v) может рассматриваться как отображение отклика (отображение "вход-выход") некоторой линейной каузальной однородной двумерной дискретной системы. С использованием этих понятий непосредственно устанавливается следующее представление двумерных отображений: для каждого gєLcs(v)существует единственный элемент weV+, называемый весовой функцией отображения g, такой, что для любого veV МЫ= І 2 [ - Ь -.УІ№,.У,], (2.8) наоборот, каждая весовая функция weV+ определяет некоторое отображение gn,, задаваемое формулой (2.8). Заметим, что функция w равна g(l), где / - двумерный единичный импульс, т.е. l[t,s] = \ при / = .у = 0 и /[/,.У] = 0 при других /,.у. Сопоставляя представления (2.4) и (2.8), заключаем, что справедливо соотношение
Алгоритм смешанного управления билинейными окрестностными системами
В первой главе (1.7) рассматриваются билинейные окрестностные системы г г I I Wi[a,a]Ui[a]+ I Ищ[а,а,р]щ\а\уАР] = Ъ- (3.1) /=1 аеО [а] /=1 аеО [а] Здесь Ои,[а],Ог.[а] окрестности по Щ- ЇІ элемента а,аеЛ = {а\,...,а } - множество значений аргумента билинейной окрестностной системы, Л = #; iij,yjeU,Wj[a,a],Wj[a,a,p](i = \,r) некоторые матрицы.
Рассмотрим [21, 39, 87] две различные постановки задачи смешанного управления для билинейных окрестностных систем (3.58).
В первой постановке предполагаем, что в системе (3.58) во всех узлах аєА заданы либо векторы входных воздействий, либо векторы состояний.
Количество узлов с заданными входами v[cij],i = \J равно /. Количество узлов с заданными состояниями x[Uj],i = \,f. Имеем, l + f = N - количеству узлов. Необходимо определить / неизвестных векторов входа v[cij]J = \,f и / векторов состояния x[cij ],/ = 1,/ .
Во второй постановке предполагается, что в узлах системы заданы часть координат входа v[kj,kfj] и часть координат состояния [/,-,/ ]. Здесь kfj j- ая известная координата входа в узле / , а № j- ая известная координата состояния в узле /. KczA,K = {k},...,ki},\k\ = l,l z)(\,...Jff,\L\ = f -множества, содержащие номера узлов системы, в которых заданы часть компонентов входа и состояния системы соответственно; к? = +,..,. ) / = U, j = Ц, // m,Lf = ,..-,)/ = і,/; j = \,f j,fi n - множества, содержащие номера известных компонент входа и состояния в вершинах kjjj.
Во второй постановке требуется определить неизвестные компоненты входа в узлах v[Kj,Kn],i = \,l,j = \,m-lj из множества К, неизвестные компоненты состояния в узлах x[lj,ljj],i = \,f,j = \,n-fj из множества L, полностью неизвестные векторы входа и состояния в узлах K,L, дополняемых К, L до множества А .
Рассмотрим краткое описание алгоритма смешанного управления билинейными окрестностными системами. Билинейную окрестностную систему Zwx[a,a]x[a]+ 2 v[flr,/7]v[/?]+ І\Щху[а,сс,р\?[р,\]х[а} + ... аеОх[а] Р Оущ aeOx[a]/3eOv[a] + wmxv[a,a,/l]v[j3,m]4a]] = 0 (3.2) можно рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений относительно элементов векторов состояний х, входных воздействий V и их произведений xv вида CU = 0. (3.3) Матрицы С,U имеют вид C=[WX Wv Wpxv],U = X V XV
(3.4) где Wx є R cNxN", Wv є RcNxNm wpxv є RcN N{n+m) -блочные матрицы коэффициентов, составленных из матриц wx,wv,wxv соответственно, полученных на этапе идентификации, X є RNn, V є RNm, XV є RN(n+m). векторы, состоящие из всех компонент векторов СОСТОЯНИЙ X, входных воздействий v и их произведений XV . C = [Wx[as] Wv[as] Wpxv[as]] (3.5) где s = \,N, или (3.6) С = Сх[а{] Cv[ax] Cpxv[aY] Сх[а2] Cv[a2] Cpxv[a2] Cx[aN] Cv[aN] Cpxv[aN] Порядок матрицы CeRcNx\.(t»+»)N+2mnN] Пусть 0х є flcxc"degx 7/ QV Є j cxcmdegvai QXV Є cxc/;/7;degxa,degv 7,- Clj Clj Clj нулевые матрицы. Тогда блоки матрицы С, соответствующие неизвестным элементам векторов x[as ] в узле as принимают вид [ 1 0 ...0 ,, . -, 0 ...0 ]. (3.7)
Блоки матрицы С, соответствующие неизвестным элементам векторов v[as] вузле as, принимают вид C vk,] = t0; ...0 Cx\as,PaJ-Cx{as,Pas4es a -0 ,1 (3.8)
Блоки матрицы С, соответствующие неизвестным элементам векторов х[а\ ]v[a\ ] в узле а\, принимают вид С pxv [а\] = Iе pxv [аьааі,\ » аь J .. [ai, bdegxar bdegva,lC2 -C]- (3-9) Для произвольного узла as имеем
Разработка моделей сложного промышленного объекта - цеха очистки сточных вод
В целях выявления существенных технологических факторов процесса очистки сточных вод, наиболее сильно влияющих на выходные показатели (прозрачность и взвешенные вещества), были определены коэффициенты корреляции между параметрами состояния и указанными выходными показателями.
Анализ показывает, что по значению коэффициента корреляции (г 0.6) существенными параметрами по влиянию на выходы являются: по прозрачности азот аммонийный, г = -0.79; азот нитратов, г = 0.825; фосфор фосфатов, г = 0.772; по взвешенным веществам: азот аммонийный, г = 0.611; ХПК мг 0,2/л, г = 0.819; БПК5 мг 0,2/л, г = 0.722; сульфаты мг/л, г = 0.674; железо мг/л, г = 0.91; медь мг/л, г = 0.771; фенолы мг/л, г = 0.618. Приведем некоторые модели зависимости выходных параметров от существенных факторов. Модель взвешенных веществ: V[2] = -10.14 + 0.86410] + 0.62412]-2.45JC[13] + 6.44JC[14] + 612.3416], (4.1) где х[10] — содержание азота аммонийного, х[12] — азота нитратов, х[13] - фосфора фосфатов, х[14]—ХПК мг 0,2/л, х[16]- БПК5 мг 0,2/л, 420] железа, х[23] - меди, v[2]-взвешенные вещества мг/л, v[l]- прозрачность, см.
Приведенные выше модели, полученные по классическим методикам, связывают параметры в пределах одного узла, в данном случае «сброс в реку». Разработка более общих и точных моделей оценки качества очистки сточных вод в системе автоматизированной диагностики требует учета сложной структуры системы, в частности, всех названных узлов. При этом в свете возрастающих экологических требований актуальными для данных систем становятся задачи определения параметров тех узлов, для которых измерение является дорогим и затруднительным, определение параметров входного и промежуточных участков по заданным инструкцией параметрам » выхода из системы (норма на сброс в реку), определение параметров промежуточных участков по заданным экспертами (инструкцией) значениям параметров на входе и выходе из системы [20, 33-36, 83, 84].
Рассмотрим в данном пункте реализацию методики построения линейной и билинейных окрестностной модели на примере сложного распределенного объекта - цеха очистки сточных вод «АО НЛМК».
Для решения указанных выше задач при выборе линейной структуры модели наиболее приспособленной является симметричная модель и метод смешанного управления [20, 33].
Симметричная модель имеет вид Zwx[a,a]x[a]= Twv[a,/3]v[j3], (4.8) аеОх[а] p Ov[a] где v[a]eRm,x[a]eRn — вход, состояние и выход в узле системы а; wv[a,a]e Rcxm , wx[a,a] є Rcxn -постоянные матрицы-параметры; Оv[a],Ox[a]-окрестности по входу, состоянию соответственно (вообще тоъоря,Ог[а]фОх[а]\/аеА);а,а,13еА, А = {а\,...,а } - множество значений аргумента системы, Ы = М
В свете сказанного решение задачи смешанного управления позволяет определить неизвестные компоненты входов v и состояний х по известной их части v и х .
Было проведено несколько вариантов расчётов, с идентификацией модели и смешанным управлением в каждом из них. Результаты расчётов показали, что полезным является, как отмечено выше, введение фиктивного пятого опорного узла «цеха в целом», связанного со всеми другими подсистемами ЦОСВ, т.е. узла, компонентами которого являются средние значения 4 названных узлов системы. При этом при определении текущих параметров 2-го и 3-го узлов («после усреднения» и после «механической очистки») по параметрам входа и выхода из системы (данные инструкции) по результатам моделирования с учётом данных предыдущего года погрешность составила 4%, а по данным текущего года - менее 1%. Аналогичные результаты получены при решении других поставленных выше задач. Была проведена смешанная идентификация системы по заданным первому и четвёртому узлам в предположении о 10% и 30-40% снижении значений во втором и третьем узлах соответственно по отношению к входу. Остановимся подробнее на процедуре идентификации.
