Содержание к диссертации
Введение
1. Развитие математической модели нечеткой случайной величины для решения задач портфельного анализа 15
1.1. Определение нечеткой случайной величины 15
1.2. Определение числовых характеристик нечеткой случайной величины 25
1.3. Расчет числовых характеристик нечетких случайных величин в классах параметризованных распределений 28
1.4. Взвешенная сумма нечетких случайных величин 43
1.5. Выводы по первой главе диссертации 48
2. Постановки задач портфельного анализа в условиях нечетких случайных данных и методы их решения 49
2.1. Доходность портфеля в условиях нечетких случайных данных 49
2.2. Модели портфельного анализа в условиях нечетких случайных данных 50
2.2.1. Модель максимизации ожидаемого дохода при заданном уровне риска 51
2.2.2. Модель максимизации возможности (необходимости) достижения нечеткого уровня ожидаемой доходности при фиксированном уровне риска 53
2.2.3. Модель максимизации с заданной возможностью (необходимостью) ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска 62
2.2.4. Модель минимизации возможного риска при заданном уровне возможного дохода 69
2.3. Обобщение двумерного портфеля на случай нечетких случайных данных 72
2.4. Выводы по второй главе диссертации 76
3. Применение разработанных моделей и методов для обоснования инвестиционных решений 78
3.1. Технология интеллектуального анализа данных 78
3.2. Программный комплекс поддержки моделей портфельного анализа 85
3.3. Применение методов интеллектуального анализа данных для обработки «толерантных» временных рядов ...89
3.4. Модельные расчеты 115
3.4.1. Модельные расчеты по модели минимизации возможного риска при заданном уровне возможного дохода 115
3.4.2. Модельные расчеты по модели максимизации с заданной возможностью (необходимостью) ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска 122
3.5. Выводы по третьей главе диссертации 140
Заключение 142
Литература
- Определение числовых характеристик нечеткой случайной величины
- Взвешенная сумма нечетких случайных величин
- Модель максимизации ожидаемого дохода при заданном уровне риска
- Применение методов интеллектуального анализа данных для обработки «толерантных» временных рядов
Введение к работе
Актуальность
Классической моделью управления инвестиционным портфелем является модель Марковица. Модели портфельного анализа по Марковичу ориентированы на принятие инвестиционных решений в том случае, когда существуют временные ряды, по которым можно полностью оценить параметры модели: ковариационную матрицу и вектор ожидаемых доходностей. Однако в том случае, когда временные ряды по некоторым финансовым активам отсутствуют, применение классического подхода становится невозможным. В такой ситуации для оценки ожидаемых доходностей привлекаются эксперты. Как правило, информация, получаемая от них, содержит элементы нечеткости, и для ее адекватного представления используется теория возможностей и нечетких множеств. Моделью ожидаемой доходности в этом случае служит нечеткая величина. При таком подходе модальное значение нечеткой величины является аналогом ожидаемого значения доходности в модели по Марковичу, а коэффициент нечеткости характеризует риск при принятии решений. Такой подход к оптимизачии инвестичионного портфеля рассматривается в работах М. Inuiguchi, J. Ramik и М. Inuiguchi, Т. Tanino, а также других авторов. К примеру, модель портфеля минимального риска в этом случае может быть записана в виде
ш -» min,
yR ,yle[CT х)н0
, с x>z, eTx = \, x>0,
где ш - дополнительная уровневая переменная, h є (0,1],
[CTx]ho={y\KcTx(y)>h0}, лстх - возможностное распределение, с -
вектор модальных значений нечетких величин, представляющих доходности активов, z - приемлемый уровень доходности, с = (с,,с2,...,си) , х = {х],х2,...,хп) , = (1,1,...,1) .
В конечном итоге она редуцируется к задаче линейного программирования
(cR(h)r-cL(h)T)x->mm,
с x>z , етх = \, л:>0,
где cL(-) = (c]L (), c1L (),..., cnL О)7", cR () = (с, R (), c2R (),...,cnR (-))r,
ciL(h) = 'mt{q\TtCi(q)>h}, ciR(h) = sup{q\7TCi(q)>h}, с - вектор
модальных значений нечетких величин, представляющих доходности активов, z - приемлемый уровень доходности,
С = \С\,С2,...,Сп) , X — \Х^,Х2,...,Хп) , 0 = (1,1,...,1} .
В ряде случаев временные ряды носят более сложный характер. Элементы этих временных рядов представляют собой совокупности данных, имеющих толерантный вид (минимальная, максимальная цены продаж, средневзвешенное значение цены и др.). Прямое применение классического подхода здесь также невозможно. Как правило, для обработки временных рядов указанного типа используются методы интеллектуального
анализа данных, позволяющие получить статистические закономерности, необходимые для оценки параметров. Здесь адекватной моделью доходности финансового актива, как показано в [94], является нечеткая случайная переменная (величина). Она позволяет отразить стохастический и нечеткий (толерантный) вид имеющейся информации.
В работах И.А. Язенина развивается подход к оптимизации портфеля в том случае, когда моменты второго порядка нечеткой случайной величины являются нечеткими и определяются в соответствии результатами работы М.Ю. Хохлова и А.В. Язенина. Формула для определения дисперсии D{X) нечеткой случайной величины Х{со,у) как функции нечеткой величины Х0, согласно [47], имеет вид:
D(a)D(a)-cov2(a,a)
D{X) = D(a)
X і cov(a>")
D(a)
где a{co),
вероятностном пространстве (Q,B,P), являющиеся параметрами
сдвига и масштаба нечеткой случайной величины Х{со,у),
имеющей сдвиг-масштабное представление вида
Х(со,у) = а(б)) + а(б))Х0(у). Х0(у) есть нечеткая величина,
определенная на возможностном пространстве (Г,Р(Г),я-).
Модель оптимизации портфеля в таком случае может быть, к примеру, записана в виде
я{кр(ш,у) = тр(у)} -> max,
*
WP(n,r) = гр(у)}>я0,
і=\
Й7,,...,Й7Я >0,
где її - мера возможности, тр{у) - нечеткий уровень доходности, приемлемый для инвестора, гр(у) - возможный уровень риска, л0 є (0,1] - заданный уровень возможности, ші - доля / -го актива в
портфеле, Rp{tu,y) = E{Rp{m,0,y)} = Е&щЧ^У)) =І^А(г) -
ожидаемая доходность портфеля,
Vp(m,y) = E{(Rp{tn,co,y) - Rp(m,y))}2 - риск портфеля.
Приведенная задача сводится к следующей детерминированной х0 -> max,
x0A(v(.),
п п
к*1
/=1 kj=\
к*1
ПГ„...,С7„>0,
где /^, jum - функции распределения нечетких величин Rjiy),
тр{у); „(*„), %{п0), г;(щ), г+р{п0) - границы я0-уровневых
множеств нечетких величин cov(Rk,R,) и гр соответственно.
Другой способ определения моментов второго порядка предлагается в работе Y. Feng. В соответствии с ним моменты
второго порядка являются четкими величинами. Они рассчитываются согласно следующей формуле [72]:
Cov{X,Y) = U{Cov{X-{r),Y-{r)) + Cov{X+{r),Y\r)))dr,
1 о
где X~(r), X*(r), Y'(г), Y+(r) есть левые и правые границы г-уровневых множеств нечетких случайных величин X и Y.
В диссертации это подход развивается и распространяется на задачи портфельного анализа.
В конечном итоге применение аппарата теории возможностей и нечеткой случайной переменной позволяет обобщить классические модели портфельного анализа на случай информации с элементами неопределенности комбинированного типа. Это позволит строить более адекватные модели принятия инвестиционных решений и расширить круг решаемых задач на основе портфельной теории.
Ввиду изложенного выше тема диссертационной работы, направленная на разработку моделей и методов инвестиционных решений в условиях нечетких случайных данных, является актуальной.
Цель работы
Целью диссертационной работы является разработка
обобщенных возможностно-вероятностных моделей
портфельного анализа, ориентированных на принятие решений в условиях комбинированного вида неопределенности.
Основные задачи
Основными задачами диссертационного исследования являются следующие:
развитие модели нечеткой случайной переменной в случае, когда моменты второго порядка определяются как четкие величины;
разработка исчисления, позволяющего оценивать основные числовые характеристики нечеткой случайной величины: ожидаемое значение, коэффициенты ковариации и дисперсию;
построение обобщенных возможностно-вероятностных моделей оптимизации инвестиционного портфеля;
разработка методов оптимизации портфеля по построенным моделям;
обоснование методов интеллектуального анализа данных для оценки параметров возможностных распределений, характеризующих доходностей финансовых активов в рамках выбранной модели доходности.
Методы исследования
Для формализованного описания изучаемого класса задач
используется математический аппарат современной теории
возможностей, нечеткой случайной переменной, при
доказательстве соответствующих теорем используются методы
возможностной оптимизации, математического и
функционального анализа. Методологическую основу исследования составляют современная портфельная теория, методы оптимизации и принятия решений.
Теоретическая и практическая значимость работы
Полученные в диссертационном исследовании модели и методы принятия инвестиционных решений в условиях нечетких случайных данных дополняют современную теорию портфельного анализа. Разработанные методы оптимизации портфеля позволяют расширить класс решаемых практических задач в рамках инвестиционного анализа.
Внедрение результатов работы
Проведенные научные исследования поддержаны грантами РФФИ, проекты №02-01-01137 «Разработка моделей и методов оптимизации и принятия решений в условиях нечетких случайных данных и их применение к проблеме выбора оптимального портфеля инвестиций», №04-01-96720 «Разработка моделей и методов портфельного анализа и программной системы поддержки принятия решений». Результаты диссертации внедрены в учебный процесс на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета в качестве практической составляющей курса «Теория неопределенностей».
Апробация
Основные результаты исследования докладывались автором на международной научной конференции «Fuzzy Sets and Soft Computing in Economics and Finance-2004» (Санкт-Петербург), 11-m и 12-м Международных коллоквиумах (East West Fuzzy
Colloquium Zittau Fuzzy Colloquium 2004, East West Fuzzy Colloquium Zittau Fuzzy Colloquium 2005, Циттау, Германия), научно-практической конференции «Научные проблемы устойчивого развития Тверской области. Итоги региональных конкурсов 2004 года Российского фонда фундаментальных исследований и Российского гуманитарного научного фонда» (Тверь), международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005), всероссийской научной конференции «Нечеткие системы и мягкие вычисления-2006» (Тверь), на семинарах в Тверском государственном университете.
Структура работы и ее содержание
Диссертация состоит из введения, трех глав основного содержания, заключения, одного приложения и библиографии.
Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели исследования, проводится обзор литературы и краткое изложение основных положений и результатов диссертационной работы.
Первая глава состоит из четырех параграфов. В ней подготавливается и систематизируется необходимый математический аппарат теории возможностей, приводятся определения и теоремы, составляющие теоретическую основу рассматриваемых далее моделей портфельного анализа. Вводятся понятия мер неопределенности, нечетких величин и нечетких случайных величин, операций и отношений над ними, рассматриваются их свойства, проводится разработка
исчисления, позволяющего оценивать основные числовые характеристики нечетких случайных величин.
В первой главе диссертации доказывается ряд утверждений, дополняющих существующий математический аппарат и используемых в дальнейшем исследовании. Основной из них является следующая теорема по расчету дисперсии взвешенной суммы нечетких случайных величин.
Вторая глава диссертационного исследования состоит из трех параграфов, в ней вводится понятие доходности портфеля в условиях нечетких случайных данных, а также строятся обобщенные модели Марковича, позволяющие формализовать нечеткий критерий - ожидаемую доходность портфеля, и разрабатываются методы оптимизации по этим моделям.
Во второй главе диссертации построены следующие
обобщенные возмозможностно-вероятностные модели
портфельного анализа: модель максимизации ожидаемого дохода при заданном уровне риска, модель максимизации возможности (необходимости) достижения нечеткого уровня ожидаемой доходности при фиксированном уровне риска, Модель максимизации с заданной возможностью (необходимостью) ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска, модель минимизации возможного риска при заданном уровне возможного дохода.
Во второй главе диссертации также проведено (параграф 3) обобщение двумерного портфеля на случай нечетких случайных данных.
Третья глава диссертационного исследования, состоящая из четырех параграфов, посвящена вопросу применения
интеллектуального анализа данных для обработки информации, используемой при отработке и реализации моделей и методов оптимизации портфеля в условиях комбинированного вида неопределенности (нечеткого и случайного), а также разработке программного комплекса поддержки моделей портфельного анализа.
В третьей главе диссертации методы интеллектуального анализа данных применены для обработки информации с целью получения временных рядов для оценки параметров возможностных распределений в модели финансового актива, основанного на нечеткой случайной переменной.
В первом разделе главы (параграф 3.1) описывается технология интеллектуального анализа данных.
Во втором разделе главы (параграф 3.2) осуществляется описание разработанного программного комплекса поддержки моделей портфельного анализа, который представляет собой пакет функций, интегрированных в систему MS Excel.
В третьем разделе (параграф 3.3) технология интеллектуального анализа данных обобщена на случай нечетких случайных данных.
Отработка разработанной технологии интеллектуального анализа данных проводилась на моделях, разработанных в диссертационной работе.
В заключении диссертационной работы подводятся итоги диссертационного исследования и делаются основные выводы.
Определение числовых характеристик нечеткой случайной величины
Наиболее полезная информация, связанная с вещественными случайными величинами и нечеткими случайными величинами, выявляется при расчете моментов первого и второго порядков. Понятие ожидаемого значения нечеткой случайной величины было введено Пури и Ралеску [88]. В контексте принятия решений математическое ожидание играет решающую роль для объяснения случайной информации. Дисперсия используется для расчета разброса или рассеянности нечеткой случайной величины около ее ожидаемого значения, а ковариация или коэффициент корреляции (нормированная ковариация) служит мерой линейной независимости двух случайных величин, то есть мерой точности, с которой одна нечеткая величина может быть аппроксимирована линейной функцией другой.
Существует ряд подходов к определению моментов второго порядка нечетких случайных величин. В [47] разработано исчисление моментов второго порядка в том случае, когда они определяются как функции нечетких величин в соответствии классическими определениями дисперсии и коэффициентов ковариации и являются нечеткими. В диссертационном исследовании развивается другой подход к определению моментов второго порядка, в котором указанные числовые характеристики являются четкими [72].
Определяемые в соответствии с этим подходом дисперсия и ковариация нечетких случайных величин наследуют основные свойства вещественных случайных величин.
Итак, пусть мы имеем нечеткие случайные величины X, Y є L2, где L2 = {XIX -нечеткая случайная величина Е X \\] «}.
В соответствии с [72] введем определения ковариации и дисперсии нечетких случайных величин.
Определение 1.2.1. Ковариация нечетких случайных величин X и Y определяется следующим образом: і і Cov(XJ) = - j(Cov(X-(r)J-(r)) + Cov(X+(r),Y+(r)))dr. (1.2.1) 2 о Определение 1.2.2. Дисперсия нечеткой случайной величины X определяется следующим образом: D(X) = Cov(X,X). (1.2.2) Определение 1.2.3. Нормализованная ковариация, определяемая как называется коэффициентом корреляции нечетких случайных величин X и Y. Если p(X,Y) = 0, то нечеткие случайные величины X и Y являются некоррелированными. Дисперсия и ковариация нечетких случайных величин обладают свойствами, которые характеризуют вещественные случайные величины. Эти свойства представлены в следующей теореме [72].
Для практической работы важным является представление нечеткой случайной величины, позволяющее эксплицировать комбинированный вид неопределенности (нечеткий и случайный факторы). Удобным для приложений является представление ее с помощью сдвиг-масштабного семейства нечетких величин со случайными параметрами сдвига и масштаба [47]. В результате мы приходим к такому представлению: Х(со,у) = а(со) + а(а))Х0(у), где а(а ),а(а ) -случайные величины, определенные на вероятностном пространстве (Q,5,P), имеющие конечные моменты второго порядка, а Х0(у) -нечеткая величина, определенная на возможностном пространстве (Г,Р(Г),;г).
В работе основное внимание будет уделено несимметричным триангулярным нечетким случайным величинам и распределениям (L, R) -типа, которые моделируют нечеткий фактор.
Понятно, что при фиксированном со распределение принадлежит классу Тр{ {а ) + ](со), ((а) + г](со),т](а}), (со)). При данных значениях параметров фактически это трапецевидное распределение представляет несимметричную нечеткую триангулярную величину.
Для более наглядного представления дадим графическое изображение распределения рассматриваемой нечеткой случайной величины (рис.1.)
Нетрудно видеть, что в этом случае г -уровневое множество рассматриваемой нечеткой случайной величины может быть представлено следующим образом: [Xm Y = [И + г ф ), m + Лісо) + О - г) СИ], Vr є [0,1].
Найдем далее формулу для расчета математического ожидания нечеткой случайной величины, имеющей функцию распределения (1.3.1).
Взвешенная сумма нечетких случайных величин
В контексте рассматриваемой проблемы портфельного анализа необходимо иметь соответствующие результаты для определения дисперсии и ожидаемого значение взвешенной суммы нечетких случайных величин.
Итак, пусть имеем N несимметричных триангулярных нечетких случайных величин, ет, - некоторые веса, такие, что N щ=1. Будем рассматривать взвешенную сумму нечетких случайных величин: Х{ш,со,у) = щ-Х1{й),у) + ... + шы-Х„{со,у).
Найдем математическое ожидание Е{Х{ш,со,у)) и дисперсию D{X{m,co,y)) для данной взвешенной суммы. Лемма 1.4.1. Пусть X, {со, у) є Tptf, {со) + 77, {со), {со) + 7/, {со), 77, {со), С, {со)) ,i = \,...,N, N w,=l, ет, 0. Тогда математическое ожидание взвешенной суммы нечетких случайных величин исчисляется по формуле: Е[щ-Хх{(о,г) + ..лшы-Хи(б ,у)} = шгХ (г), (1.4.1) где Xt(y) имеет распределение вида (1.3.2). Доказательство. Рассчитаем математическое ожидание. На основании леммы 1.1.2. и определения 1.1.18: E\xnxXx{(o,y) + ... + wN -XN(a,y)] = = mxE(Xx(a,y)) + ... + mNE(XN(co,y)) = 2 ДО0, /=i где Xt(y) имеет распределение вида (1.3.2). Лемма доказана.
Лемма 1.4.2. Дисперсия взвешенной суммы нечетких случайных величин находится по формуле: D{ml-Xl+... + aN-XN) = Ym .D{Xi) + 2 j tvrmj-Cov{Xi,Xj){lA2) /=1 /=1 ;=(+! Доказательство. Найдем D{mx-Xx+... + mN-XN), используя свойства (3),(4) из теоремы 1.2.1.
Классические модели портфельного анализа по Марковичу ориентированы на принятие инвестиционных решений в том случае, когда существуют временные ряды, по которым полностью можно оценить параметры модели: ковариационную матрицу и вектор ожидаемых доходностей.
Необходимость принятия инвестиционных решений в том случае, когда доходности финансовых активов характеризуются толерантными временными рядами, требует соответствующего обобщения классического подхода. С этой целью во второй главе диссертационной работы строятся обобщенные модели Марковича и разрабатываются методы оптимизации портфеля по этим моделям.
Пусть ЙТ,-ДОЛЯ капитала, выделяемая на покупку ценных N бумаг /-го вида, такая что щ =1, щ 0, i = l,...,N.
Введем также нечеткие случайные величины XV...,XN, представляющие доходности финансовых активов: ,(-,): Qx Г- .
Тогда, на основании результатов первой главы, доходность портфеля может быть представлена нечеткой случайной величиной: Х(ш,а,у) = ЙГ, -Хх(о),у) + ... + &„ -XN{o),y). Ее математическое ожидание Е{Х{ш,со,у)) есть ожидаемая доходность портфеля.
Понятно, что при фиксированном w Е{Х{ш,со,у)) есть нечеткая величина, которую в дальнейшем будем обозначать dp{xu,y) = E{X{m,co,y)). (2.1)
Ее распределение может быть определено по формулам, полученным в первой главе диссертации. Ожидаемая доходность отдельного финансового актива есть di(y) = E{Xi(co,y)). Риск портфеля характеризуется дисперсией, либо среднеквадратичным отклонением соответствующей нечеткой случайной величины. В соответствии с рассматриваемым подходом эти характеристики являются функциями ЙТ. Обозначим их соответственно: rp( ) = D(X(ts,со,у)), ар(ш) = гр{ш).
Таким образом, мы видим, что ожидаемая доходность портфеля есть нечеткая величина. Поэтому нам необходимо провести обобщение моделей Марковича, дающее возможность производить «глубинную» обработку толерантных временных рядов для получения временных рядов, позволяющих оценить параметры распределений.
Перейдем к построению моделей портфельного анализа, позволяющих учитывать один из критериев принятия решений -ожидаемую доходность портфеля как нечеткую величину. Для этого нам необходимо привлечь соответствующие принципы принятия решения в условиях нечетких данных [94] и сформировать модели принятия решений.
Модель максимизации ожидаемого дохода при заданном уровне риска
Во второй главе диссертации в рамках возможностного подхода построены обобщенные модели Марковича, а также разработаны методы оптимизации портфеля по этим моделям, а именно:
1. Построены следующие модели: модель максимизации ожидаемого дохода при заданном уровне риска, модель максимизации возможности (необходимости) достижения нечеткого уровня ожидаемой доходности при фиксированном уровне риска, модель максимизации с заданной возможностью (необходимостью) ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска, модель минимизации возможного риска при заданном уровне возможного дохода.
2. Для всех разработанных моделей построены их четкие детерминированные аналоги: получены непрямые методы решения задач портфельного анализа.
3. Осуществлено обобщение двумерного портфеля на случай нечетких случайных данных, что позволяет сделать следующий вывод: при одном и том же уровне риска существует возможность получить более высокую ожидаемую доходность портфеля.
4. Анализ рис.2 позволяет сделать вывод, что при одном и том же уровне риска возможности инвестора представляют собой интервал, зависящий от уровня возможности, с которой выполняется ограничение по доходности.
5. Как было замечено на странице 75, в пределе, когда уровень возможности а- 1, мы приходим, фактически, к классической модели портфельного анализа по Марковицу [85].
В данной главе диссертации рассматривается применение результатов, полученных в первой и второй главах, для обоснования инвестиционных решений.
При формировании баз данных моделей портфельного анализа часто используется информация, предоставляемая аналитико-информационными центрами о биржевых характеристиках финансовых активов. Первичная информация, как правило, должна быть подвергнута обработке методами интеллектуального анализа данных. Эта технология анализа данных основана на статистических методах и служит для выявления заранее неизвестных закономерностей.
Интеллектуальный анализ данных распространен на практике для поддержки принятия стратегически важных финансовых важных решений, в том числе и на модели портфельного анализа.
В данной главе методы интеллектуального анализа данных применены для обработки информации с целью получения временных рядов для оценки параметров возможностных распределений в модели финансового актива, основанного на нечеткой случайной переменной.
При формировании баз данных для моделей портфельного анализа, как правило, используется информация, предоставляемая аналитико-информационными центрами о биржевых характеристиках финансовых активов. Эта первичная информация должна быть подвергнута обработке методами интеллектуального анализа данных. Воспользуемся методами интеллектуального анализа данных для отбора и обработки имеющейся информации в условиях, когда она содержит в себе элементы неопределенности нечеткого и вероятностного типов [5,51].
Технология анализа данных в базах данных или хранилищах данных (интеллектуальный анализ данных, добыча данных) основана на статистических методах и служит для выявления заранее неизвестных закономерностей.
Интеллектуальный анализ данных распространен на практике для поддержки принятия стратегически финансовых важных решений, в том числе и на модели портфельного анализа.
Область «добычи данных» представляет собой совокупность методов аналитической обработки больших массивов данных (часто связанных с деловой активностью или рыночными показателями) с целью выявить в них значимые закономерности и/или систематические связи между переменными, которые затем можно применить к новым совокупностям данных. Основная цель «добычи данных» - это прогноз. В нашем случае прогноз эта технология направлена на обеспечение прогноза ожидаемых доходностей актива. Предсказывающая добыча данных - наиболее общий тип «добычи данных», имеющий непосредственное коммерческое применение.
Применение методов интеллектуального анализа данных для обработки «толерантных» временных рядов
Используя модуль Портфельный анализ, получаем следующие параметры оптимального портфеля: ст =(Й7,,ЙТ2,ЙТ3) = (0,56;0;0,44), ожидаемая доходность портфеля Е, = 2,24, риск портфеля гр = 16,5. Зададим уровень возможного риска портфеля гр =17,5. Тогда задача может быть записана в виде 2,3266-йг, +1,8932-ш2 +2,1266-ст3 - тах, 18,7872 яг,2 +16,4763 ет2 +14,2192 ЙТ3 + + 2 14,6201 ЙГ, аг2 + 2-15,9259-щ-щ + 2-14,3079 ЙТ2 ЙТ3 = 17.5, +6X2+673= 1, Й7, 0, Й72 0, сг3 0.
Используя модуль Портфельный анализ, получаем следующие параметры оптимального портфеля: т = (яг,, Е72, йт3) = (0,76;0;0,24), ожидаемая доходность портфеля , = 2,28, риск портфеля гр =17,5.
Зададим уровень возможного риска портфеля гр =18,5. Тогда задача может быть записана в виде 2,3266-й7,+1,8932-й72+2,1266-гг73 - max, 18,7872 ш] +16,4763 ти] +14,2192 ш] + + 244,6201-й7,-ет2+2-15,9259-Й7,-Й7З+2-14,3079-Й72-Й7З =18.5, С7 + С72 + Й73 = 1, щ о, Е72 0, С73 0.
Используя модуль Портфельный анализ, реализованный в программном комплексе, получаем следующие параметры оптимального портфеля: ст = (ст,, С72, ггт3) = (0,95;0;0,05), ожидаемая доходность портфеля Е, = 2,32, риск портфеля гр = 18,5. Проведем расчеты в случае меры необходимости (r=V), модель имеет следующий вид: з ет,. -d;(l-x0)- max, /=i м 3 6 +С0У(#Л«),7Д ))+ СОУ(#Д ),СИ)+ СОУ(7,И,С,И)] + _ + Cov(rji(u)UJ(o})) +-Cov(T]i(co),tjj(co))+-Cov( lCj(co)) + +ІСОУ(7Д ) Д«))+ С0У(#Д ),4 /( ))+ С0У(7;И,СИ) + +lcov( H, H)] = o, о з /=І Й7, 0,/= 1,...,3.
В качестве исходной информации для модели будем использовать распределения доходностеи по трем ценным бумагам, полученные в разделе 3.3 (глава 3), зададим уровень необходимости лй = 0,5.
Согласно проведенным ранее расчетам значения ожидаемых доходностей рассматриваемых финансовых активов равны /f(l- o) = (i+7i0)-»7i0- o =(-4,4163 + 4,4051)-4,4051-0,5 = -2,2138; 2-(1-ж0) = (#2 +?720)-V20 - о =(-4,1516 + 3,9519)-3,9519-0,5 = -2,1757; rf3 (l- 0) = ( з +»7з) »7з о) = (-3,6713 + 3,8052)-3,8052-0,5 = -1,7687.
Согласно результатам, полученным в разделе 3.3 (глава 3), имеем следующую ковариационную матрицу С: 18,7872 14,6201 15,9259 С= 14,6201 16,4763 14,3079 15,9259 14,3079 14,2192,
Расчеты по модели будем проводить с использованием модуля Портфельный анализ разработанного программного комплекса для «необходимостной» модели. Зададим уровень возможного риска портфеля rp = 14,5. Тогда задача может быть записана в виде -2,2138-ет, +(-2,1757) й72 + (-1,7687)- - тах, 18,7872 т] +16,4763 ш\ +14,2192 ш] + + 2 14,6201 CTj ггг2 + 2 -15,9259 ггг, - ггт3 + 2 14,3079 ггт2 - ггт3 = 14.5, CTj + ггт2 + ггт3 = 1, ЙТ, 0, ст2 0, П73 0.
Используя модуль Портфельный анализ, реализованный в программном комплексе, для «необходимостной» модели получили следующие параметры оптимального портфеля: w" = (ex,, ЙТ2 , ст3) = (0,08;0;0,92), ожидаемая доходность портфеля Е. = -1,8, риск портфеля = 14,5. Зададим уровень возможного риска портфеля гр = 15,5. Тогда задача может быть записана в виде -2,2138-ег, + (-2,1757)-Й72+(-1,7687) ЙТ3 - max, 18,7872 w] +16,4763 w\ +14,2192 ЕТ32 + + 2 14,6201 cr, ет2 + 2 15,9259 cr3 + 2 14,3079 cr2 cr3 = 15.5, ИГ, + ЙТ2 + G73 = 1, 67, 0, Й72 0, ЙТ3 0. Используя модуль Портфельный анализ, получили следующие параметры оптимального портфеля: ег = (ег,, ят2, Ет3) = (0,34;0;0,66), ожидаемая доходность портфеля . = -1,92, риск портфеля гр = 15,5.
Зададим уровень возможного риска портфеля rp = 16,5.
Тогда задача может быть записана в виде - 2,2138 ст, + (-2,1757) сг2 + (-1,7687) щ - max, 18,7872 тп\ +16,4763 ш\ +14,2192 w] + + 2 14,6201 - ЕГ, вг2 + 2 -15,9259 - ,- +2-14,3079 ет2 тъ = 16.5, Й7, + СТ2 + С73 = 1, сг, 0, С72 0, сг3 0. Используя модуль Портфельный анализ, получили следующие параметры оптимального портфеля: vj = (ет,, ш2, С73) = (0,56;0;0,44), ожидаемая доходность портфеля Е. = -2,02, риск портфеля гр = 16,5.
