Содержание к диссертации
Введение
1 Физико-математические модели, в которых встречается нелинейное уравнение теплопроводности 16
1.1 Распространение тепла с помощью механизма лучистой теплопроводности 16
1.2 Фильтрация газа в пористой среде при линейном законе сопротивления 20
1.3 Математическая модель распространения выбросов отрицательной плавучести 24
1.4 Течение крови в мелких кровеносных сосудах 30
1.5 Гравитационный режим течения грунтовых вод 32
1.6 Выводы по первому разделу 38
2 Аналитическое решение задач нелинейной теплопровод ности при мгновенном точечном источнике 39
2.1 Распространение плоской тепловой волны при мгновенном точечном источнике 39
2.2 Аналитическое решение осесимметричной задачи нелинейной теплопроводности при мгновенном точечном источнике 46
2.3 Решение сферически—симметричной задачи нелинейной теплопроводности для мгновенного точечного источника 50
2.4 Выводы по второму разделу 55
Приближенные решения задач нелинейной теплопровод ности при заданной температуре в виде степенной функ ции в начале координат 56
3.1 Автомодельные переменные, используемые для решения задач нелинейной теплопроводности при заданной температуре в начале координат 56
3.2 Решение краевой задачи о распространении тепла на полубесконечной прямой при заданной температуре на границе 59
3.3 Приближенные решения цилиндрически—симметричной задачи нелинейной теплопроводности при заданной температуре в начале координат 67
3.4 Приближенные решения задачи о теплопроводности при заданной температуре в начале координат (сферически-симметричный случай) 70
3.5 Выводы по третьему разделу 73
Приближенные решения задачи нелинейной теплопро водности при заданном потоке в начале координат 74
4.1 Автомодельные переменные, используемые для поиска приближенного решения при заданном потоке в начале координат 74
4.2 Метод поиска приближенных решений задач нелинейной теплопроводности и некоторые точные решения 77
4.3 Приближенные решения плоской задачи о распространении тепла при заданном потоке на границе 81
4.4 Приближенные решения цилиндрически—симметричной задачи нелинейной теплопроводности при заданном потоке в начале координат 86
4.5 Приближенные решения задачи о теплопроводности при заданном потоке в начале координат для сферически — симметричного случая 89
4.6 Выводы по четвертому разделу 93
5 Численное моделирование двумерной задачи о движении газа в пористой среде из резервуара и сравнение с авто модельными решениями 94
5.1 „Инженерные" формулы для прогнозирования фильтрации газа в пористой среде 94
5.2 Постановка задачи о фильтрации газа из резервуара 102
5.3 Разностная схема и алгоритм решения задачи о фильтрации газа из подземного резервуара 104
5.4 Результаты численного моделирования двумерной задачи фильтрации газа в пористой среде и сравнение с приближенными решениями одномерной задачи 108
5.5 Выводы по пятому разделу 111
Заключение
- Фильтрация газа в пористой среде при линейном законе сопротивления
- Решение сферически—симметричной задачи нелинейной теплопроводности для мгновенного точечного источника
- Решение краевой задачи о распространении тепла на полубесконечной прямой при заданной температуре на границе
- Приближенные решения плоской задачи о распространении тепла при заданном потоке на границе
Введение к работе
Объектом исследования диссертационной работы являются задачи нелинейной теплопроводности и их применение для математического моделирования процессов, встречающихся в физике и в природе.
Актуальность работы.
Нелинейные параболические уравнения второго порядка служат основой многих математических моделей, используемых в физике, механике, биологии, химии и экологии. Например, нелинейное уравнение теплопроводности при определенных условиях описывает процессы электронной и ионной теплопроводности в плазме, адиабатической фильтрации газов и жидкостей в пористых средах, течения крови в мелких кровеносных сосудах, распространения выбросов отрицательной плавучести, диффузии нейтронов и альфа-частиц в реакторных материалах, химической кинетики и биологической активности.
Использование основных законов сохранения (энергии, массы, числа частиц и т.д.) при математическом моделировании различных физических процессов нередко приводит к одним и тем же нелинейным уравнениям параболического типа. Среди уравнений указанного типа особенно часто встречается нелинейное уравнение теплопроводности. Его универсальный характер дает основание утверждать, что изучение краевых задач для нелинейного уравнения теплопроводности остается до настоящего времени актуальной темой исследования.
Нелинейное уравнение теплопроводности является обобщением хорошо известного линейного уравнения теплопроводности, изучение которого входит в обязательную университетскую программу курса математической физики. Главное отличие нелинейного уравнения теплопроводности от линейного заключается в том, что коэффициент теплопроводности в нелинейном уравнении зависит от температуры. Поэтому для решений нелинейного уравнения не выполняется принцип суперпозиции и многие методы решения задач математической физики, в частности, метод Фурье и метод функций Грина, становятся неприменимыми.
(
Исследованию процессов нелинейной теплопроводности и фильтрации газа и жидкости в пористой среде посвящены работы отечественных ученых Я.Б. Зельдовича, Г.И. Баренблатта, Т.Я. Кочиной, О.А. Олейник, А.С. Калашникова, А.С. Компанейца, С.Н. Кружко-ва, СП. Курдюмова, О.А. Ладыженской, А.П. Михайлова, В.Н. Николаевского, А.А. Самарского, И.М. Соболя, В.Е. Трощиева и многих других.
Нелинейные процессы теплопроводности впервые изучались в работе Я.Б. Зельдовича и А.С. Компанейца1. Авторами рассмотрен процесс распространения тепла с помощью механизма лучистой теплопроводности из мгновенного точечного источника для плоской задачи. Решение этой задачи получено в аналитическом виде.
В той же работе было установлено, что скорость распространения тепла для процессов нелинейной теплопроводности является конечной, в отличие от задач, описываемых линейным уравнением теплопроводности. Я.Б. Зельдович и А.С. Компанеец показали, что решения ряда нелинейных задач теплопроводности являются обобщенными и допускают существование разрывов производных на фронте тепловой волны.
В работах Т.Я. Кочиной2 и Г.И. Баренблатта с соавторами3 показано, что некоторые процессы фильтрации газа и жидкости в пористой среде описываются уравнением, аналогичным нелинейному уравнению теплопроводности.
В работе В.Ш. Шагапова и Г.Р. Галиаскаровой4 установлено, что процесс распространения и накопления выбросов отрицательной плавучести на горизонтальной поверхности с учетом сопротивления флоры и земной поверхности в ряде случаев может описываться уравне-
1 Зельдович Я. Б., Компанеец А. С. К теории распространения тепла при теплопроводности,
зависящей от температуры // Сборник посвященный 70 — летию академика А.Ф. Иоффе. — М.:
Из - во АН СССР, 1950. - С. 61 - 71.
2 Полубаринова-Кочина П. Я. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении, встреча
ющемся в теории фильтрации // Доклади АН СССР. — 1948. — Т. 63, № 6. — С. 623-627.
3Баренб.гатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. — М.: Недра, 1972. — 288 с.
4Шагапов В. Ш., Галиаскарова Г. Р. О динамике накопления атмосферных выбросов отрицательной плавучести в безветренную погоду // ИФЖ. — 2002. — Т. 75, № 2. — С. 22-27.
ниєм нелинейной теплопроводности.
О.А. Олейник и А.С. Калашников доказали теоремы существования и единственности решения задачи Коши и решений краевых задач для уравнений параболического типа, а также сформулировали теоремы сравнения, на основании которых с помощью автомодельных решений получили условия конечной скорости распространения температурных волн.
А.А. Самарский и И.М. Соболь5 в 1963 году с помощью численного моделирования задач нелинейной теплопроводности показали существование „остановившейся" температурной волны, не проникающей из горячей среды в холодную. В дальнейшем явление локализации тепла исследовалось в целом ряде работ СП. Курдюмова и его учеников.
Ряд автомодельных решений задач газовой динамики и нелинейной теплопроводности представлен в учебнике П.П. Волосевича, Е.И. Ле-ванова6.
Однако, несмотря на многочисленные исследования процессов нелинейной теплопроводности, аналитические решения ряда задач нелинейной теплопроводности до настоящего времени не найдены и, в частности, до сих пор не получены точные решения целого ряда краевых задач, описываемых нелинейным уравнением теплопроводности.
Целью диссертационной работы является построение приближенных решений одномерных краевых задач нелинейной теплопроводности и применение этих решений для прогнозирования зон фильтрации газов из подземной полости.
Методы исследования. В диссертационной работе использовано сочетание аналитических и численных методов исследования. При формулировке математических моделей использованы законы сохранения. Построение приближенных аналитических решений проводилось в среде аналитических вычислений МАРЬЕ с использованием автомо-
5 Самарский Л. А , Соболь И. М. Примеры численного расчета температурных волн // Ж. вичисл. машем, и махаем, физ.— 1963. —Vol. 3, No. 4.— P. 703-719.
6Волосевич П. П., Лееанов Е. И. Автомодельные решения задач газовой динамики и телло-переноса. — М.: Изд-во МФТИ, 1997. — 240 с.
дельных переменных. При построении интегральных кривых для дифференциальных уравнений использовался метод Рунге—Кутта четвертого порядка. Для численного решения двумерных задач использовался метод переменных направлений с итерациями по коэффициенту теплопроводности.
В диссертационной работе решены следующие задачи:
предложен метод построения приближенных решений первой и второй краевых задач нелинейной теплопроводности при степенной и экспоненциальной зависимостях от времени температуры в начале координат и при нулевом начальном условии;
получены приближенные решения одномерных задач (плоской, цилиндрически—симметричной и сферически—симметричной) нелинейной теплопроводности при температуре, заданной в начале координат в виде степенной и экспоненциальной функций и при нулевой начальной температуре среды;
получены приближенные решения одномерных задач (плоской, цилиндрически—симметричной и сферически—симметричной) нелинейной теплопроводности при заданном потоке энергии в начале координат в виде степенной и экспоненциальной функций и при нулевой начальной температуре среды;
получены формулы, описывающие положение и скорость фронта тепловой волны в одномерных (плоской, цилиндрически-симметричной и сферически—симметричной) задачах нелинейной теплопроводности при заданной температуре в начале координат (степенная и экспоненциальная функции) и при заданном потоке (степенная и экспоненциальная функции) для нулевой начальной температуры среды;
получены „инженерные" формулы для описания решений краевых задач нелинейной теплопроводности;
проведено численное моделирование двумерной задачи фильтра
ции газа в пористой среде из цилиндрического резервуара, а так
же сравнение результатов численного моделирования с получен
ными приближенными решениями задач нелинейной теплопро
водности.
Научная новизна работы.
Предложен метод построения приближенных решений краевой задачи нелинейной теплопроводности;
Впервые получены приближенные решения плоской, цилиндрически—симметричной и сферически—симметричной задач нелинейной теплопроводности при нулевой начальной температуре и при заданной температуре в начале координат в виде степенной и экспоненциальной функций от времени;
Впервые получены приближенные решения плоской, цилиндрически—симметричной и сферически—симметричной задач нелинейной теплопроводности при заданном потоке в начале координат в виде степенной функции от времени и при нулевом начальном условии;
Определены положение и скорость фронта тепловой волны при заданной температуре в начале координат (плоский и цилиндрически—симметричный случай) и при заданном потоке (плоский, цилиндрически—симметричный и сферически—симметричный случай);
Показана возможность применения автомодельных решений для оценки параметров газа при его фильтрации в пористой среде из подземного резервуара.
Обоснованность и достоверность результатов работы определяется выбором математических моделей, основанных на законах сохранения, а также подтверждается сравнением полученных приближенных
решений с результатами численного моделирования процессов, описываемых уравнением нелинейной теплопроводности.
Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:
на XXXII международной летней школе-конференции «Advanced problems in Mechanics "АРМ'2004 », Санкт-Петербург, Россия, 24 июня — 1 июля 2004 года;
на XXXIII международной летней школе-конференции «Advanced problems in Mechanics"APM'2005 », Санкт-Петербург, Россия, 28 июня — 5 июля 2005 года;
на XIII международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2006» на секции Механико-математического факультета, Москва, Россия, 12 - 15 апреля 2006 года;
на Научных Сессиях МИФИ в 2003, 2004, 2005, 2006, 2007 и 2008 годах;
на семинаре кафедры прикладной математики МИФИ „Современные проблемы математики" в 2005, 2006, 2007 и 2008 годах;
Практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе приближенные решения задач нелинейной теплопроводности могут быть использованы для прогнозирования зон загрязнения окружающей среды аэрозольными выбросами и для оценки положения фронта газа при его фильтрации в пористой среде. Полученные решения также могут быть использованы для тестирования программных комплексов, моделирующих процессы нелинейной теплопроводности и фильтрации газа в пористой среде.
На защиту выносятся:
приближенные решения краевых задач нелинейной теплопроводности (плоской, цилиндрически—симметричной и сферически-симметричной) при заданной температуре на границе в виде степенной и экспоненциальной функций и при нулевой начальной температуре;
приближенные решения краевых задач нелинейной теплопроводности (плоской, цилиндрически—симметричной и сферически-симметричной) при заданном потоке тепла в виде степенной и экспоненциальной зависимостей от времени на границе и при нулевой начальной температуре;
формулы, описывающие зависимость от времени координаты фронта тепловой волны для случаев плоской, цилиндрически-симметричной и сферически—симметричной задач нелинейной теплопроводности при нулевом начальном условии и при степенной и экспоненциальной зависимостях температуры от времени в начале координат;
формулы для прогнозирования зависимости давления газа от координаты в случае его одномерной (плоской и цилиндрически-симметричной) фильтрации в пористой среде при заданной концентрации газа в начале координат и при нулевом давлении газа в начальный момент времени;
результаты численного моделирования двумерной задачи фильтрации газа в пористой среде из цилиндрического источника и их сравнение с приближенными решениями задач нелинейной теплопроводности;
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, двух приложений, списка литературы. Диссертация содержит 143 машинописных страницы и 23 рисунок. В список литературы включено 117 наименований.
Фильтрация газа в пористой среде при линейном законе сопротивления
Для описания процессов теплопроводности уравнение (1.5) дополняется начальными и граничными условиями. В начальный момент времени задается распределение температуры в среде. На границах рассматриваемой области задается температура (граничное условие первого рода) или поток тепла (граничное условие второго рода) или, в общем случае, граничное условие третьего рода.
При высоких температурах (порядка тысячи градусов Кельвина) перенос тепла осуществляется за счет механизма электронной или лучистой теплопроводности. Существенное отличие электронной теплопроводности от процесса молекулярной теплопроводности заключается в том, что коэффициент теплопроводности зависит от температуры, и уравнение теплопроводности становится нелинейным.
В случае механизма лучистой теплопроводности поток тепла опреде ляется выражением [22]: 5 = -v(c/P) = -3V(-J М где Up = - плотность энергии равновесного излучения, а I — россе ландов пробег фотонов. Перенос излучения имеет характер теплопроводности, если плотность энергии излучения в каждой точке среды близка к равновесной. Это возможно, когда размер нагретой области значительно превышает длину пробега излучения (см. [22]).
Поток энергии можно представить в виде (1.2), если определить коэффициент лучистой теплопроводности выражением: lcdUp lQaTH 1Л oN Коэффициент лучистой теплопроводности зависит от температуры как за счет пропорциональности теплоемкости излучения С% = dUp/dT Т3, так и за счет зависимости от температуры длина пробега излучения I.
В случае нелинейной теплопроводности энергия распространяется со скоростью большей, чем скорость звука в веществе [22], и, следовательно, давление в веществе не успевает выровняться за характерное время процесса теплопроводности, и тепло может распространяться по неподвижному веществу.
Рассмотрим распространение тепла с помощью механизма лучистой теплопроводности в неподвижной среде, плотность которой не изменяется. В этом случае уравнение баланса энергии имеет вид уравнения (1.3), но в нем, вместо теплоемкости при постоянном давлении (Ср), следует использовать теплоемкость при постоянном объеме(Су). При этом предполагается, что плотностью энергии излучения Up можно пренебречь по сравнению с плотностью энергии вещества ре{Т). В случае, если Су не зависит от температуры, из (1.3) получим уравнение ВТ — = V(XVr) + g (1.9) аналогичное уравнению (1.5). Коэффициент лучистой температуропроводности х равен -&-!& (110) Длину пробега квантов приближенно можно считать степенной функцией температуры, поскольку плотность среды считается постоянной: 1 = АТт: т 0. (1.11) В полностью ионизированном газе, где механизм излучения и поглощения света чисто тормозной, т = . В случае многократной ионизации га 1,5 — 2,5. Подставляя (1.11) в (1.8) получаем зависимость коэффициента теплопроводности в виде: х = ВТп, Б = , п = га + 3. (1.12) о При этом, температуропроводность выражается формулой Х = аТп, а = -г. (1-13) рСу Таким образом уравнение нелинейной теплопроводности принимает вид = aV (ТпVT) + q. (1.14)
Рассмотрим область многократной ионизации. При высоких температурах удельная теплоемкость и внутренняя энергия газа в области многократной ионизации аппроксимируются степенными функциами от температуры [22]: ftp є = аТк+\ Cv = = a{k + l)Tk. (1.15)
В этом случае уравнение теплопроводности можно также привести к виду (1.14). Для этого вместо температуры вводится новая функцию, равная внутренней энергии единицы объема E = apTk+l. (1.16) Учитывая зависимости (1.15) и (1.16), получаем уравнение дЕ dt = cV{EmVE) + Q, (1.17) где m = ——-, с=- —— jr, Q = qpCv. (1.18) Таким образом, в случае степенной зависимости теплоемкости от температуры уравнение также приводится к нелинейному уравнению теплопроводности (1.14), относительно внутренней энергии Е.
Покажем, что уравнение нелинейной теплопроводности возникает при описании фильтрации газа в пористой среде.
Рассмотрим некоторый объем среды Vo с пустотами, связанными между собой. Примером такой среды может быть засыпка из сферических шариков или тел какой либо другой формы. Такую среду можно охарактеризовать величиной пористости є = V -1, где V - объем всех пустот в объеме Vo
Решение сферически—симметричной задачи нелинейной теплопроводности для мгновенного точечного источника
Рассмотрим сферически—симметричную задачу. Пусть в начальный момент времени t — 0 в точке г = 0 выделилась энергия є. В последующие моменты времени энергия распространяется по пространству.
Это распространение описывается уравнением нелинейной теплопроводности, записанным с учетом сферической системы координат
Здесь T(r, t) — температура среды, г — координата, t — время, п — показатель степени (п 0), который характеризует лучистую теплопроводность и х — коэффициент, характеризующий тепловой поток. Распределение температуры в пространстве удовлетворяет закону сохранения энергии /ОО / 4тгг2№ = Е, (2.61) где Е = — для удельной теплоемкости при постоянном давлении и Е = — в случае процесса при постоянном удельном объеме. рСу
Решение задачи (2.60), (2.61) при п = 0 хорошо известно [5,88]. Оно выражается через функцию Грина для уравнения теплопроводности, записанного в сферических координатах и имеет вид: ТР 2 T(r,t) = 5-е-Ь. (2.62) Рассмотрим случай нелинейной теплопроводности (п 0). Решение уравнения (2.60) будем искать, используя автомодельные переменные [67,68,98,99] Вх T(x,t)=Atmf(9), 61 = —, (2.63) где А,В,т,р- параметры, которые находятся после подстановки в исходные уравнения и в граничные условия.
Параметры А,В,т,р для задачи (2.60), (2.61) имеют вид А 3 2 1 п J\ = ft 3n+2 j5/a+2, В = К 3n+2J5; 37г+2 3 1 (2-64) Зп + 2 Зп + 2 Подставляя (2.63) в уравнение (2.60) и используя дифференцирование по автомодельной переменной в виде дТ 0 df дТ , ч__ df получим обыкновенное дифференциальное уравнение +2 1 И)+(Зп+2Ф"1+4+v -а (2-бб) Решение этого уравнения должно удовлетворять условиям, согласующимся с физической постановкой задачи: Т(г = со, t) = 0 и =0 = 0 (в силу сферической симметрии задачи). Из этих условий следует /(в = оо) = 0, = 0. (2.67) 6=0 Для функции f(9), закон сохранения, эквивалентный (2.61), имеет вид лоо / 47r92f(9)d9 = 1. (2.68) Jo Найдем решение задачи (2.66), (2.67), (2.68). Умножив (2.66) на #2, имеем 3" + 2 1 ( 2 "1) + + Ъ1Л + efo + = - (2 69) и интегрируя (2.69), получаем (Зп + 2) (в2Г ) + /№ = Сь (2-70) где С\ - константа интегрирования. Из условия на производную функции f(9) (2.67), получаем Сі = 0. Интегрируя еще раз по 9, получим Заметим, что /(0) = С2П. Из (2.67) и (2.70) следует, что функция f(9) обращается в ноль не при 9 — оо, а при некотором конечном 9 = а Ф со. Предполагая Сг = 2(зп+2) пеРепишем ФРМУЛУ (2.70) в виде = fe(3 ) 2- 2)"- (272)
Решение вида (2.72) справедливо в области 0 в а. При 9 а полагаем также, как и выше f(9) = 0. Решение уравнения (2.66) с учетом (2.68) имеет вид п (а2-в2)п, в а, f{&)={ \2(Зп + 2)У v - (2.73) О, 9 а, где а - постоянная интегрирования. Значение а находится из уравнения сохранения (2.61). Интегрируя (2.73), получаем роо га / 4тг92/(в)(16 = / 4тг02f{p)dB = 1. (2.74) Jo Jo Вычисляя интеграл (2.74), имеем Зп+2 2n-W Г" (і + \) тп () Зп + 2 Г"( + ±) (2.75) где Г — гамма—функция [100]. Так как а является границей автомодельной переменной при распространении тепла, то движение фронта тепловой волны X/ выражается формулой Xf{t) = а(кЕП) . (2.76) Решение задачи (2.60), (2.61) удобно представить в виде T{x,t) = Tc{t)\l- \ , (2.77) где Xf(t) — координата теплового фронта распространения тепла зависит от времени и определяется по формулам (2.75), (2.76), здесь Tc(t) — температура в плоскости х = 0, которая выражается через среднюю (по объему) температуру в волне где — средняя по объему температура в момент времени, когда радиус фронта волны равен Xf.
Хорошо известно, что в задачах линейной теплопроводности тепло мгновенно распространяется во всем пространстве и асимптотически стремится к нулю по экспоненциальному закону.
В отличие от задач линейной теплопроводности во всех трех рассмотренных выше случаях для задач нелинейной теплопроводности при мгновенном точечном источнике скорость распространения тепла является конечной.
Исходя из полученных решений можно предположить, что и для ряда краевых задач нелинейной теплопроводности скорость распространения тепла является конечной. В третьем и четвертом разделах диссертации это предположение будет использовано для построения приближенных решений первой и второй краевых задач нелинейной теплопроводности на полубесконечном пространстве. 2.4 Выводы по второму разделу
Основные результаты по второму разделу следующие: 1. Рассмотрены задачи распространения тепла из точечного источника в плоском, цилиндрически—симметричном и сферически-симметричном случаях для уравнения нелинейной теплопроводности; 2. Подтверждено, что скорость распространения тепла, при его распространении из точечного источника, во всех трех случаях является конечной величиной; 3. Даны формулы для скорости распространения тепла в случае нелинейной теплопроводности из точечного источника в плоском, цилиндрически-симметричном и сферически-симметричных случаях; 4. Получены предельные переходы при п — 0 в решениях задач нелинейной теплопроводности для плоского, осе-симметричного и сферически—симметричного случая; 5. Сделано предположение, что для решений краевых задач в случае нелинейной теплопроводности, скорость распространения тепла будет также конечной;
Решение краевой задачи о распространении тепла на полубесконечной прямой при заданной температуре на границе
Во втором разделе показано, что скорость распространения тепла в задачах нелинейной теплопроводности при мгновенном точечном источнике является конечной. Можно предположить, что и для целого ряда краевых задач нелинейной теплопроводности скорость распространения тепла также является конечной. В данном разделе построены приближенные решения первой краевой задачи для нелинейного уравнения теплопроводности при заданной температуре на границе в виде степенной функции.
Рассмотрим процесс распространения тепла в полубесконечном пространстве с помощью механизма электронной и лучистой теплопроводности при заданной температуре в начале координат. Нелинейное уравнение теплопроводности, описывающее это явление имеет вид
Здесь u(r, t) — температура среды, г — координата, t — время, п — показатель степени (п 0), который характеризует лучистую теплопроводность и х — коэффициент, характеризующий тепловой поток, ь = 0,1,2 характеризует симметрию задачи. При v = 0 имеем плоскую задачу, при v — 1 — цилиндрически-симметричную и при v = 2 — сферически-симметричную задачу соответственно. Пусть при г = 0 задана температура, зависящая от времени по степенному закону u(r = 0,t) = u0tk} 0. (3.2) Предполагаем, что в начальный момент времени температура в среде равна нулю u(r,t = 0) = 0, г 0. (3.3) Уравнение (3.1) и условия (3.2), (3.3) допускают группу преобразований растяжения [68,89,90] и, следовательно, задача (3.1) — (3.3) является автомодельной.
Впервые задача (3.1) — (3.3) сформулирована в [21]. Позже эта задача интенсивно изучалась. Обзор результатов, относящихся к задаче (3.1) — (3.3), можно найти в книге [65]. Обобщенное решение задачи (3.1) — (3.3) существует, единственно и финитно [65]. Если использовать разностные схемы [55], то получить численное решение этой задачи в настоящее время не составляет существенных трудностей. Однако представляет интерес построить приближенное решение задачи (3.1) — (3.3).
Сделаем в (3.1) замену и = г/», (3.4) тогда подставляя (3.4) в уравнение (3.1), получим дифференциальное уравнение KV Не, vt = —vvr + xvvrr И гс, г 0, t 0. (3.5) г п Начальное условие для дифференциального уравнения (3.5) находится из (3.2) и запишется в виде (3.6) u(r,i = 0) = 0, г 0. Граничное условие для дифференциального уравнения (3.5) выражается, как и прежде, степенной функцией v(r = 0,t) = v0 , 0, (3.7) ,п ГДЄ VQ = Щ. Задача (3.5) — (3.6) допускает группу преобразований растяжения по переменным х, t и v [89,93,98] и, поэтому, решение этой задачи можно искать, используя автомодельные переменные [21,22,68,101-103]. Решение задачи (3.5) — (3.6) ищем в виде v(r:t) = Atmf(e), Є = . (3.8) Подставляя (3.8) в уравнение (3.5) и полагая р = ±1, яАВ = 1, (3.9) получаем уравнение ffee + fe + -JU + Щ -efe - m/ = 0. (3.10) пи I Подставляя (3.8) в граничное условие (3.7) и учитывая, что т = пк, (З.П) А = г , (3.12) приходим к граничному условию для (3.10) в виде /(0 = О) = 1. Второе граничное условие для уравнения (3.10) находим из начального условия (3.6) f{6 - оо) = 0. Постоянные А, В, т в (3.8) находим из (3.9), (3.11) и (3.12) А = г?о, В = , m = п&. Учитывая выражения (3.9), (3.11) и (3.12), имеем следующую задачу одномерной нелинейной теплопроводности при заданной температуре в начале координат: ffee + -/! + // + V} 0fe - m„/ = 0, (3.13) По л f{0 = 0) = 1, /(0 - со) = 0. (3.14) Задача нелинейной теплопроводности сведена к краевой задаче (3.13) — (3.14) для обыкновенного дифференциального уравнения. Найдем приближенные решения краевой задачи (3.13) — (3.14) при тф —\. Для определенности будем полагать т — 1. 3.2 Решение краевой задачи о распространении тепла на полубесконечной прямой при заданной температуре на границе Для случая v = 0 задача (3.13) — (3.14) принимает вид: //ю +-/I + 0/в - т/= 0, т = пк, (3.15) /(0 = О) = 1, (3.16) f{9 - оо) = 0. (3.17) Поскольку в задачах нелинейной теплопроводности при нулевом начальном условии скорость распространения тепла, в отличие от линейной теплопроводности, является конечной, то это предположение соот ветствует тому, что существует координата 9 = а такая, что /( = ) = о, ! о. (3.18) Решение краевой задачи в этом случае становится обобщенным. Оно соответствует скачку первой производной функции /(#) в точке 9 — а и позволяет искать решение краевой задачи (3.15) — (3.17) в виде ряда
Поскольку /(а) = 0, то /?о = 0. После подстановки (3.20) в (3.10) уравнение приводится к системе линейных алгебраических уравнений. Для ее решения использовалась система аналитических вычислений МАРЬЕ. Первые пять коэффициентов разложения (3.19) имеют вид:
А = -осп (га -f 1), (га — 1)п 4 71+1 (h 1 га (га — 1) (гага + га + 2т) 12(га + 1)2о; (1 + 2га)(га + 1) га(га - 1) (гага + га + 2га) P4(0 m n) fa = 48 а2 (га + I)3 (1 + 2 га) (га + I)2 (3 га + 1) А = _1 га(га - 1) (гага + га + 2га) P5(0 m n) 240 а3 (3 га + 1) (га + I)3 (1 + 2 га)2 (га + I)4 (1 + 4 га) Здесь использованы обозначения (3.21) Р, (0,m,n) гага — га + 7га — 3, ,2 2 3_2 R (0,m,n) 303 nmr + 82 mf 4-102 nW -f- 317 nW - 204 rfm -238 ш - 70 m - 48 rfm + 12 + 7 n2 - 6 n3 + 31 n.
Значение координаты а, в которой функция f{9) обращается в нуль, находится из граничного условия при в = 0. Обозначая f{6 = 0) = = a2 G(m, п), находим значение а из уравнения a2G(m,n) = 1. (3.22) В таблице 3.1 представлены значения параметров а и га для различных значений к при п = 1 и при п = 4/3.
Приближенные решения плоской задачи о распространении тепла при заданном потоке на границе
Аналитическое решение задачи (5.35) — (5.37) представляется затруднительным. Для численного решения задачи используем продольно-поперечную разностную схему [12,112-115].
Шаблон разностной схемы которую используем для численного решения задачи (5.35) — (5.37) представлен на рис. 5.6. Ведем разностную сетку с целыми узлами по координате, целыми и 104 i-hj ,J—1 r+1 r+f Рис. 5.6. Шаблон разностной схемы полуцелыми узлами по времени (5.38) г{ = ihr (і = 1,1), Zj = jhz (j = 1, J) , tm = mr (m = 0, 1, 2, ...), где /ir — шаг сетки по радиальной координате, hz — шаг сетки в осесим-метричном направлении, г — шаг по времени.
Определим сеточную функцию (сеточный аналог плотности газа) Щ,3 — Pyii Zji "ij (5.39) Продольно-поперечная разностная схема, соответствующая уравнению (5.32) имеет вид (С1 - «ІЗ) г ihl у/г(г + l)Ki+y (щ - u/5) (5.40) 1_ KiJ+h (UJ+1 - Uf,) - Кцг (tig - ) 105 І «ф Чі ) щ [У/ЦІ + і)кі+у ( t5 - ?" ) (5.41) + K где К(г,2;)=йП(Гг, ); (5.42) КІ;Ц = к кі+у = x (v n+i, ), gj + gj+A : 2 У Zj-i + г, К{_у = К(у/г{г{-1,г,), г? Кгі_г =К (5.43) Устойчивость продольно-поперечной схемы можно исследовать методом гармоник [18,55,114,116,117]. Множители роста гармоники на первом и втором полушаге по времени могут быть различными, поэтому рассмотрим wjjj = ехр (ІГІР + izjq),
Из разностной схемы (5.40), (5.41) следует, что при переходе с целого на полуцелый слой каждая пространственная разность вычисляется с погрешностью 0(т + /г2), на второй половине слоя ошибка аппроксимации по времени компенсируется, и суммарная погрешность локальной аппроксимации разностной схемы имеет второй порядок точности по координате и времени 0(т2 + /і2 -Ь /г2).
Вычисление разностного решения на (m -f 1) слое осуществляется следующим образом. Вычисление на полуцелом слое (т+1/2) проводится с помощью уравнения (5.40). Уравнение позволяет найти и- 2 по неявной схеме в радиальном направлении и по явной схеме в направлении оси OZ. При любом фиксированном индексе j уравнение (5.40) является линейную системой алгебраических уравнений (отрюсительно неизвестной 2) с трехдиа m+i тональной матрицей. Значения и{ 2 вычисляются с помощью прогонки по индексу г (т.е. в радиальном направлении) для каждого j.
Используя уравнение(5.41) можно найти и 1 по неявной схеме в направлении оси OZ и по явной схеме в радиальном направлении. При любом фиксированном индексе і уравнение (5.41) — является линейной системой алгебраических уравнений (относительно неизвестной и 1) с трехдиагональной матрицей. На целом шаге значения и 1 также вычисляются с помощью прогонки по индексу j (т.е. по направлению OZ) для каждого г.
Для уточнения коэффициента нелинейной диффузии Kij использовались итерации. При первой итерации йп(г{, Zj) — uj, далее использованы un(ri, Zj) полученные в результате решения уравнений (5.40), (5.41). Хорошая точность достигается уже при 3-4 итерациях. двумерной задачи фильтрации газа в пористой среде и сравнение с приближенными решениями одномерной задачи Результаты численного моделирования фильтрации газа из подземной полости представлены на рис. 5.7 — 5.8. На рис. 5.7 — 5.8 представлены линии уровня для безразмерного давления газа в пористой среде для безразмерного времени t — 1; 2; 3; 4.
Из постановки задач следует, что в направлении оси OZ и в радиальном направлении линии уровня и поле скоростей соответствуют плоской и цилиндрически симметричной задачам нелинейной теплопроводности.
В этой связи полученные выше приближенные формулы для описания фильтрации газа и нелинейной теплопроводности можно использовать для оценок поля скоростей и давления газа в пористой среде. (а) представлено сравнение значений давления газа вдоль оси OZ. Сплошная линия соответствует результатам численного моделирования в моменты времени = 0,5;1;1,5;2;2,5;3;3,5;4. Кружочками обозначены значения давления газа, рассчитанные по по приближенной формуле (3 43) в радиальном направлении. Сплошная приближенное формуле (3 36). Из рисунка следует, что имеется хорошее согласие между данными полученными численно и решениями полученными по формуле (3.36) (б) иллюстрирует сравнение результатов численного моделирования с приближенными решениями, полученными линия также соответствует результатам численного моделирования в моменты времени t — 0,1; 0, 5; 1; 1,5. Кружочками отмечены значения давления газа, рассчитанные по приближенной формуле (3.43). Из рисунка видно, что профили давления газа полученные численно удовлетворительно согласуются со значениями давления рассчитанными по приближенной формуле (3 43).
Таким образом, видно, что приближенные формулы, полученные в результате выполнения диссертационной работы, могут быть использованы при оценки характеристик двумерных задач нелинейной теплопроводности.
