Содержание к диссертации
Введение
1. Основные положения теории идентифицируемости 14
1.1. Обзор литературы по проблеме идентифицируемости 14
1.2. Основные определения 20
1.3. Два метода анализа структурной идентифицируемости 25
1.3.1. Метод преобразования подобия 25
1.3.2. Метод модальных матриц 30
1.4. Основные задачи диссертационной работы 34
2. Условия ранга для глобальной идентифицируемости и методы их проверки 37
2.1. Исследование глобальной идентифицируемости структур общего вида.37
2.1.1. Условие ранга для глобальной идентифицируемости 37
2.1.2. Алгоритм формирования систем уравнений для нахождения решений задачи идентифицируемости на основе условия ранга 40
2.2. Проверка глобальной идентифицируемости структур с линейными ограничениями на параметры 48
2.2.1. Необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости, требующее только проверки совместности системы уравнений 48
2.2.2. Алгоритм нахождения ограничений, при которых матрица глобальной идентифицируемости имеет неполный столбцовый ранг 51
2.3. Алгоритм приведения прямоугольной матрицы к верхнему блочно-треугольному виду 53
2.4. Выводы по главе 58
3. Исследование идентифицируемости с использованием сепараторов параметрического пространства 60
3.1. Определение сепараторов 63
3.2. Критерий истинности сепаратора 71
3.3. Примеры анализа глобальной идентифицируемости модельных структур с помощью сепараторов 78
3.4. Элиминирование неидентифицируемости с помощью истинных сепараторов 81
3.4.1. Использование истинных сепараторов как ограничений структуры модели 81
3.4.2. Нахождение оценок параметров внутри областей, ограниченных истинными сепараторами 82
3.5. Выводы по главе 82
4. Анализ дискриминируемости конкурирующих модельных структур 84
4.1. Условие ранга для проверки структурной различимости 85
4.1.1. Условие ранга для структур общего вида 85
4.1.2. Условие ранга для структур с числовыми матрицами управления и наблюдения 88
4.1.3. Алгоритм проверки условия ранга 90
4.1.4. Примеры анализа дискриминируемости структур с помощью условия ранга 93
4.2. Модификация метода преобразования подобия для дискриминируемости 100
4.3. Выводы по главе 107
5. Практическое применение предложенных алгоритмов анализа глобальной идентифицируемости на примерах ... 108
реальных динамических систем 108
5.1. Модели технических систем 108
5.1.1. Система чтения информации с диска 108
5.1.2. Система управления электроприводом 112
5.1.3. Модель В-метаболизма аполипопротеина человека 115
5.1.4. 8-камерная модель 118
5.2. Описание программного обеспечения для анализа глобальной идентифицируемости 120
5.3. Выводы по главе 122
Заключение 123
Список использованных источников 125
Приложение 137
- Два метода анализа структурной идентифицируемости
- Проверка глобальной идентифицируемости структур с линейными ограничениями на параметры
- Примеры анализа глобальной идентифицируемости модельных структур с помощью сепараторов
- Модификация метода преобразования подобия для дискриминируемости
Введение к работе
Наиболее распространенным способом построения математических моделей является параметрическая идентификация, которая обычно состоит из двух этапов. На первом этапе производится выбор структуры модели исходя из имеющейся априорной информации: физических, химических, биологических и т.п. законов. Структура содержит неизвестные параметры и фактически описывает множество моделей - каждому конкретному значению параметров соответствует некоторая модель из множества. На втором этапе осуществляется нахождение оптимальной модели из множества моделей, функция отклика которой наиболее близка к реально измеренной. Существенной проблемой на этом этапе может стать неидентифицируемость параметров структуры, означающая по сути неединственность выбора оптимальной модели из множества моделей. Неидентифицируемость параметров может быть вызвана различными причинами. Во-первых, причинами, относящимися непосредственно к процедуре оценивания параметров модели, например, недостаточной точностью экспериментальных данных, неудачно выбранным планом эксперимента, неэффективностью метода нахождения оценок. Во-вторых, отсутствием согласия между сложностью структуры и количеством информации, которую можно извлечь из эксперимента. В этом случае имеет место так называемая структурная (априорная) неидентифицируемость. Исследованию проблемы структурной идентифицируемости и посвящена настоящая работа.
Особенно актуальна проблема структурной идентифицируемости для динамических моделей в пространстве состояний. Именно в этом классе моделей наиболее велика доля неидентифицируемых структур. В то же время известные методы анализа идентифицируемости для динамических структур пригодны лишь в случае небольшой размерности (не более 6) вектора состояния. Причиной этого является необходимость применения для анализа идентифицируемости структур вычислений в символьном виде, поскольку на данном этапе кон-
кретные значения параметров (оценки) неизвестны, и анализ должен проводится для всех точек параметрического пространства одновременно.
Различают два вида идентифицируемости модельных структур. Наиболее благоприятным для исследователя является случай глобально идентифицируемой структуры, когда взаимно однозначное соответствие между вектором параметров и функцией отклика модели существует на всем параметрическом пространстве. Если же взаимно однозначное соответствие между вектором параметров и функцией отклика имеет место только в некоторой подобласти параметрического пространства, то структуру называют локально идентифицируемой. В случае неидентифицируемой {локально неидентифицируемой) структуры каждому значению функции отклика соответствует континуальное множество точек параметрического пространства.
Анализ локальной и глобальной идентифицируемости - это различные по уровню сложности задачи. Обычно для анализа идентифицируемости строятся уравнения неразличимости, отражающие условие неразличимости откликов двух различных точек параметрического пространства. Для проверки локальной идентифицируемости достаточно вычислить ранг матрицы Якоби уравнений неразличимости, в то время как для проверки глобальной идентифицируемости данные уравнения необходимо решить. В зависимости от используемого подхода меняется степень нелинейности уравнений неразличимости и количество неизвестных, но, как правило, для структур, размерность которых больше 6-7, эти уравнения не удается решить даже с помощью современных систем символьных вычислений, таких как Maple, Mathematica, Reduce. Здесь сказывается присущий символьным преобразованиям эффект «комбинаторного взрыва», когда с каждым шагом преобразований размер символьного выражения увеличивается экспоненциально. Таким образом, анализ глобальной идентифицируемости модельных структур размерности больше 6 с помощью известных методов зачастую невыполнимая задача.
С учетом вышесказанного, решение проблемы анализа глобальной идентифицируемости для структур большой размерности возможно только лишь путем упрощения уравнений неразличимости или же разработкой подхода, не требующего решения уравнений. С этой точки зрения чрезвычайно удобны уравнения, полученные с помощью метода преобразования подобия, они имеют строго определенную билинейную структуру, не зависящую от размерности модели. В то же время данные уравнения (уравнения подобия) содержат слишком большое число неизвестных, которое растет экспоненциально с ростом размерности модели. Устранение этого недостатка позволило бы расширить границы применимости метода преобразования подобия.
Оригинальный подход для анализа глобальной идентифицируемости был предложен в 1985 году Ж. Делфоржем и коллегами. Этот подход не требует решения системы уравнений и основывается на идее нахождения истинных сепараторов - гиперповерхностей параметрического пространства, разделяющих различные решения задачи идентифицируемости. Ж. Делфорж выдвинул ряд до сих пор не доказанных гипотез об определении истинных сепараторов для частного случая камерных моделей. Данные гипотезы были получены на основе метода модальных матриц, который во многом схож с методом преобразования подобия. Определение истинных сепараторов с помощью метода преобразования подобия, который применим для более широкого класса моделей, по сравнению с методом модальных матриц, позволило бы решить проблему анализа глобальной идентифицируемости моделей больших размерностей.
Очень тесно с проблемой идентифицируемости связана проблема проверки дискриминируемости (различимости) конкурирующих модельных структур. Дискриминируемость двух различных модельных структур должна быть установлена до этапа дискриминации моделей и по сути означает принципиальную различимость модельных структур по отклику. Только в случае дискриминируемости двух структур процедура дискриминации моделей имеет смысл. Если
модельные структуры неразличимы друг от друга по входу-выходу, то любая попытка дискриминации между ними будет бессмысленной. Методы проверки идентифицируемости и дискриминируемости основаны на общих принципах и потому очень схожи, а значит, имеют схожие недостатки. Поэтому разработка методов проверки дискриминируемости для моделей больших размерностей также весьма актуальна.
Все вышесказанное позволяет сформулировать цель данной диссертационной работы. Целью работы является разработка методов и алгоритмов для анализа глобальной идентифицируемости и дискриминируемости линейных моделей в пространстве состояний, эффективных также и в случае моделей больших размерностей. В рамках поставленной цели выделим три основные задачи. Во-первых, это разработка алгоритмов для упрощения системы уравнений подобия: уменьшения количества уравнений и неизвестных. Во-вторых, разработка на базе метода преобразования подобия способа нахождения истинных сепараторов параметрического пространства. В-третьих, разработка эффективных условий проверки дискриминируемости конкурирующих модельных структур.
Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории систем, теории идентификации, линейной и компьютерной алгебры.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Предложено условие ранга для проверки глобальной идентифицируемости структур общего вида, а также эффективный алгоритм для нахождения параметрических ограничений, удовлетворяющих условию ранга. Предложен алгоритм нахождения параметрических ограничений, при которых матрица глобальной идентифицируемости имеет неполный столбцовый ранг.
Предложен алгоритм для приведения прямоугольной матрицы к верхнему блочно-треугольному виду с минимальными размерами диагональных
блоков. Такое преобразование прямоугольной матрицы чрезвычайно важно для повышения эффективности предложенных методов проверки глобальной идентифицируемости в случае структур больших размерностей.
Введено понятие истинного сепаратора параметрического пространства и доказаны его основные свойства. Доказана теорема об определении максимального количества решений задачи идентифицируемости на основе истинных сепараторов. Доказан критерий истинности сепараторов, требующий только лишь вычисления ранга матрицы Якоби системы уравнений подобия.
Предложено условие ранга для проверки дискриминируемости конкурирующих модельных структур общего вида. Для структур с числовыми матрицами управления и наблюдения уменьшена размерность матрицы, фигурирующей в условии ранга. Разработан алгоритм нахождения параметрических ограничений, удовлетворяющих условию ранга для дискриминируемости. Алгоритм основан на факторизации различных ненулевых определителей подматриц матрицы, фигурирующей в условии ранга.
Разработано программное обеспечение в среде пакета символьных вычислений Maple для анализа глобальной идентифицируемости и дискриминируемости динамических моделей.
На защиту выносятся:
Условие ранга для проверки глобальной идентифицируемости структур общего вида и алгоритм, основанный на данном условии, для формирования систем уравнений, содержащих решения задачи идентифицируемости.
Алгоритм приведения прямоугольной матрицы, имеющей полный столбцовый ранг, к верхнему блочно-треугольному виду с минимальными размерами диагональных блоков.
Алгоритм нахождения сепараторов для структур с линейными ограничениями на параметры.
Условие глобальной идентифицируемости, основанное на истинных сепараторах, и критерий истинности сепараторов.
Условие ранга для анализа дискриминируемости структур общего вида и структур с линейными ограничениями на параметры, а также алгоритм проверки данного условия.
Программное обеспечение для анализа глобальной идентифицируемости и дискриминируемости динамических моделей.
Практическая ценность и реализация результатов исследования. Разработанные в диссертации методы и алгоритмы могут найти применение при анализе глобальной идентифицируемости и дискриминируемости линейных динамических моделей в пространстве состояний. Такими моделями могут быть описаны, в частности, системы автоматического управления, различные физические, химические, биологические и т.п. явления.
С использованием разработанных методов и алгоритмов была исследована глобальная идентифицируемость моделей системы чтения информации с жесткого диска компьютера, системы управления электроприводом и биомедицинских камерных систем.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались:
на V Международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 2000 г.);
на V Российско-Корейском международном симпозиуме «Научные основы высоких технологий» KORUS-2001 (Томск, 2001 г.);
на XIV, XV Международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-14, ММТТ-15 (Смоленск, 2001 г.; Тамбов, 2002 г.);
на II Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'03 (Москва, 2003 г.).
Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 8 печатных работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников из ПО наименований. Объем работы составляет 139 страниц машинописного текста, включая 4 рисунка.
Краткое содержание работы.
В первой главе проводится исследование современного состояния проблемы идентифицируемости и формулируются цели диссертационной работы.
В разделе 1.1 дается обзор отечественной и зарубежной литературы по проблеме идентифицируемости. Анализируются достоинства и недостатки существующих методов и определяются задачи, требующие решения. В разделе 1.2 вводятся основные определения теории идентифицируемости и осуществляется постановка задачи. В разделе 1.3 описываются два наиболее эффективных подхода к анализу идентифицируемости, метод преобразования подобия и метод модальных матриц, на которые мы будем опираться во время своего исследования. Результаты главы подводятся в разделе 1.4, где перечисляются основные задачи диссертационной работы и намечаются способы их решения.
Во второй главе рассматриваются условия глобальной идентифицируемости, полученные с использованием метода преобразования подобия.
В разделе 2.1 предлагается условие ранга для проверки глобальной идентифицируемости структур общего вида. Условие ранга выводится на основе уравнений подобия, получаемых с помощью метода преобразования подобия. Также предлагается алгоритм для проверки данного условия. В разделе 2.2 доказывается необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости для структур с линейными ограничениями на параметры и предлагается алгоритм нахождения параметрических ограничений, при которых матрица ранга имеет неполный столбцовый ранг. В разделе 2.3 рассматривается алгоритм
приведения прямоугольной матрицы, имеющей полный столбцовый ранг, к верхнему блочно-треугольному виду с минимальными размерами диагональных блоков. Этот алгоритм крайне важен для повышения эффективности предложенных условий в случае анализа моделей больших размерностей. В разделе 2.4 сформулированы выводы по главе.
В третьей главе рассматривается метод анализа глобальной идентифицируемости структур с линейными ограничениями на параметры с использованием сепараторов параметрического пространства.
В разделе 3.1 вводится понятие истинных и ложных сепараторов параметрического пространства, доказываются их основные свойства и приводится условие глобальной идентифицируемости, основанное на истинных сепараторах. Также доказывается теорема об определении на основе истинных сепараторов максимального количества решений задачи параметрической идентификации. В разделе 3.2 формулируется и доказывается критерий истинности сепараторов. В разделе 3.3 рассматриваются примеры анализа глобальной идентифицируемости различных структур с использованием сепараторов. В разделе 3.4 рассматривается два способа элиминирования глобальной неидентифицируемости с помощью истинных сепараторов. В разделе 3.5 изложены выводы по главе.
В четвертой главе рассматривается проблема анализа дискриминируемости модельных структур.
В разделе 4.1 предлагается условие ранга для дискриминируемости структур общего вида и структур с линейными ограничениями на параметры. Как и в случае глобальной идентифицируемости данное условие выводится на основе уравнений подобия. Также предлагается алгоритм для проверки условия ранга, использующий факторизацию различных определителей подматриц матрицы ранга. В разделе 4.2 рассматривается пример проверки дискриминируемости структур с помощью подхода, предложенного в разделе 2.1 для глобальной идентифицируемости. В разделе 4.3 приводятся выводы по главе.
В пятой главе проводится анализ глобальной идентифицируемости различных динамических систем, имеющих практическое значение, с помощью предложенных в работе методов.
В разделе 5.1 производится анализ глобальной идентифицируемости моделей систем автоматического управления, показывается, как от физических параметров модели перейти к системным параметрам. Также в данном разделе исследуется глобальная идентифицируемость биомедицинской камерной модели. На примере данных моделей убедительно показывается эффективность предложенных методов в сравнении с методом преобразования подобия. В разделе 5.2 описывается программное обеспечение по анализу глобальной идентифицируемости и дискриминируемости. В разделе 5.3 приведены выводы по главе.
В заключении сформулированы основные результаты. В приложении
представлены акты о внедрении результатов работы.
Автор приносит глубокую благодарность научному руководителю к.т.н., доценту Авдеенко Т.В., оказавшей огромное влияние на формирование темы исследования и помогавшей в течение всей работы над диссертацией ценными советами и консультациями, а также д.т.н., профессору ІГорскому В.Г. за постоянную поддержку и помощь при написании диссертации.
Два метода анализа структурной идентифицируемости
Параметр, не являющийся СЛИ, называется структурно локально неидентифицируемым (СЛНИ). Параметр, не являющийся СГИ, называется структурно глобально неидентифицируемым (СГНИ). СГНИ параметр вполне может оказаться СЛИ, а СЛНИ параметр является также и СГНИ. Определение 1.5. Модель называется СЛИ (СГИ), если все ее параметры вь і = \ р являются СЛИ (СГИ). Определение 1.6. Модель называется СЛНИ (СГНИ), если хотя бы один из ее параметров является СЛНИ (СГНИ). Вышеприведенные определения выражаются в терминах множеств неразличимости, однако они могут быть интерпретированы и по-другому. Модель является СЛИ, если почти для любого в є Q существует взаимно-однозначное соответствие между точками в ее открытой окрестности v(6) и откликом j]{9 ,t,u). Модель является СГИ, если существует взаимно-однозначное соответствие между точками в параметрического множества О. и откликом 7](в ,t,u). Взаимно-однозначное соответствие между в и откликом 7]{в ,t,u) обозначает, что отображение в = rj(6 ,t,u) является обратимым, т.е. в 3 ri{6 ,tyu). Структурная локальная (глобальная) неидентифицируемость обусловлена тем, что отклик модели нечувствителен к непрерывным (дискретным) вариациям параметров или, по-другому, отклик модели инвариантен относительно непрерывных (дискретных) преобразований параметров. Подчеркнем, что в данной работе мы изучаем свойства именно структуры М, а не какой-либо конкретной модели М(в), имеющей определенное числовое значение вектора параметров в. Свойство является структурным тогда, когда оно имеет место почти для любого в е Q за исключением, возможно, точек множеств меры нуль [80]. Таким образом, допускается, что структурное свойство может не выполняться в какой-либо отдельной изолированной точке параметрического множества или гиперповерхности. Именно этим обусловлен тот факт, что анализ любых структурных свойств модели проводится обычно аналитически в символьном виде. Конечно, можно выбрать произвольную точку параметрического множества, в этой точке произвести проверку структурного свойства и результат этой проверки с вероятностью единица будет иметь место почти для всех точек параметрического множества. Однако, во-первых, этот подход, естественно, дает менее устойчивые результаты, не говоря уже о том, что полученные результаты зависят от ошибок округления. Во-вторых, в этом случае мы получим только ответ на вопрос, имеет место структурное свойство модели или нет. Но при этом мы не получим никакой дополнительной информации о том, почему данное структурное свойство не выполняется. Следовательно, у нас не будет возможности изменить структуру модели так, чтобы проверяемое свойство имело бы место.
Среди других примеров структурных свойств можно назвать структурную дискриминируемость, структурную управляемость и структурную наблюдаемость. Свойство структурной дискриминируемости мы определим в главе 4. Свойства структурной управляемости и структурной наблюдаемости являются обобщениями классических понятий управляемости и наблюдаемости в теории систем [94].
Определение 1.7. Структура М является управляемой (наблюдаемой), если почти для любого в є Q за исключением, возможно, множеств меры нуль модель М(в) является управляемой (наблюдаемой).
В данной диссертации предлагаются методы исследования идентифицируемости, применимые только для управляемых и наблюдаемых структур. Для проверки наблюдаемости и управляемости структур мы использовали известный критерий Калмана [80].
В данном разделе мы рассмотрим два метода анализа структурной идентифицируемости линейных динамических моделей - метод преобразования подобия и метод модальных матриц, являющихся наиболее эффективными в вычислительном плане по сравнению с остальными известными методами. В частности эффективность данных методов сравнивалась с эффективностью метода преобразования Лапласа и метода параметров Маркова. Оба рассматриваемых здесь подхода обладают схожими чертами, хотя и базируются на совершенно различных принципах.
В основу этого метода положен принцип генерирования эквивалентных моделей. Пусть модель (1.1) структурно управляема и структурно наблюдаема, тогда все управляемые и наблюдаемые системы, имеющие такую же функцию отклика при заданном управлении, связаны линейным преобразование подобия х =Тх, где Т - невырожденная матрица размерности п х п, не зависящая от вектора состояния д:. Запишем модель, эквивалентную модели (1.1) и имеющую такую же структуру:
Проверка глобальной идентифицируемости структур с линейными ограничениями на параметры
Предположим, что в разложении (2.11) имеется L l множителей вида fl(6 ,0), являющихся функциями как от 0 , так и от 0. Перепишем систему уравнений подобия (2.2) как S(0 ,9) = 0. Докажем следующее утверждение, дающее необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости. Теорема 2.1. Для того чтобы модель (2.1) с ограничениями (2.10), удовлетворяющая условиям управляемости, наблюдаемости и локальной идентифицируемости, была СГИ, необходимо и достаточно, чтобы для любого / (1 / Z,) система уравнений где //(0 ,0) —множитель разложения (2.11), была несовместной. Доказательство. Необходимость. Пусть модель является СГИ. Предположим, что для некоторого / система уравнений (2.12) является совместной. Очевидно, что множество решений системы (2.12) является подмножеством множества решений системы (2.2). В то же время тождественное решение (0 = 0, Т = /„), не является решением системы (2.12), так как в противном случае имело бы место равенство fi(9,6) = 0, следствием которого является тождество противоречащее предположению о локальной идентифицируемости модели. Таким образом, система уравнений (2.2) имеет как минимум два решения: тождественное решение и решение, общее с решением совместной системы (2.12), что свидетельствует о глобальной неидентифицируемости модели. Полученное противоречие доказывает, что предположение о совместности системы (2.12) было неверным, следовательно, все системы уравнений вида (2.12) несовместны. Достаточность. Объединение множеств решений всех систем уравнений вида (2.12) и тождественного решения (9 =9,Т = 1п) составляет множество решений системы (2.2). Предположим, что все системы вида (2.12) несовместны. В этом случае система (2.2) имеет только тождественное решение, следовательно, модель является СГИ. Приведем пример для иллюстрации применения данной теоремы при анализе глобальной идентифицируемости.
Пример 2.2. Пример заимствован из [24]. Рассмотрим камерную структуру, имеющую следующие системные матрицы: Вектор неизвестных параметров 9 = (яц,Я21 а12»а32 а1з) Поскольку параметры содержатся только в матрице состояния А, то вместо матрицы ТХ (9 ,9) в разложении (2.11) можно использовать матрицу с гораздо меньшей размерностью y/R (9 ,9) (см. раздел 1.3.1). Матрица линейных ограничений на параметры имеет вид: Запишем матрицу y/R (9 ,9): Система уравнений (2.13) совместна, следовательно, модель является СГНИ. Для применения теоремы 2.1 необходимо находить ограничения вида /(в ,6) = 0 при которых матрица ТХ {в ,в) имеет неполный столбцовый ранг. Прямая факторизация определителя det[(rX (в ,#)) ТХ {в ,6)] применима только в самых простейших случаях, поскольку в случае моделей больших размерностей вычислить данный определитель и разложить его на множители не всегда возможно. Предложим эффективный алгоритм нахождения множителей f{0 ,6) определителя Ае\\(ТХ ) ТХ ]. Пусть матрица ТХ имеет размерность pxq. Запишем определитель в виде суммы, используя формулу Бине-Коши [97]: Таким образом, некоторое выражение f{9 ,в) будет являться множителем det[(rX ) ГХ ] тогда, когда оно будет являться множителем всех определителей, стоящих под знаком суммы в (2.14). Выделим некоторую невырожденною подматрицу К размерности qxq в матрице ГХ и с помощью перестановок строк и столбцов приведем ее к верхнему блочно-треугольному виду с невырожденными квадратными подматрицами Кц, і = \,г на главной диагонали: При выборе подматрицы К необходимо использовать алгоритм, который будет описан в разделе 2.3, для того чтобы размерности диагональных блоков Кц,і = \,г были минимальными. Это чрезвычайно важно для эффективности этого метода. Определитель матрицы К будет иметь вид: Разложив каждый определитель det(A"/7), 1 / г на множители, в итоге получим разложение определителя матрицы К на множители: Множители е,(# ) и gj(6) выражения (2.15) не будем принимать во внимание. Рассмотрим некоторый множитель //(# ,6), зависящий как от в , так йот . Пусть этому множителю соответствует подматрица К Попытаемся заменить в матрице К некоторые строки, соответствующие подматрице К:.-, на другие строки матрицы ТХ , не принадлежащие матрице К, так чтобы сохранить блочно-треугольную структуру и вместе с тем, чтобы у новой матрицы не имелось бы множителей fi(9 ,в) в определителе. Если это удалось сделать, то fl(0 ,0) не будет являться искомым множителем. В противном случае сгенерируем числовые значения 0N, QN для векторов в , в, удовлетворяющие ограничению fi{0N,6jq) = 0. Если ранг матрицы ТХ (eN,6N) будет меньше количества столбцов, то fi(0 ,в) есть искомый множитель, иначе _/}(? ,в) не является множителем определителя (2.14) и мы его не учитываем.
Примеры анализа глобальной идентифицируемости модельных структур с помощью сепараторов
Пусть f(0,0) = 0 - истинный сепаратор. Наложим на структуру М дополнительное ограничение, соответствующее истинному сепаратору /(0, #) = 0, и обозначим новую структуру Mr. Предположим, что структура Mr является управляемой и наблюдаемой, тогда согласно теореме 3.3 структура Mr будет локально идентифицируемой и, вследствие второй части теоремы 3.1, задача идентифицируемости для структуры Му будет иметь меньшее количество решений, поскольку на истинном сепараторе два различных решения для структуры М «сливаются» в одно. Следовательно, используя истинный сепаратор как дополнительное ограничение на структуру модели, мы тем самым увеличиваем степень идентифицируемости структуры. Подчеркнем, что использовать этот способ можно только тогда, когда структура Mr является управляемой и наблюдаемой. Приведем пример применения этого способа элиминирования неидентифицируемости.
Пример 3.5. (продолжение примера 3.3) Как мы уже показали, сепаратор /(0,0) = 6 + 12 + 32+ 21=0 является истинным. Наложим это дополни тельное ограничение на структуру модели произведя в матрице состояния замену ац = -ayi -Яз2 а21- Новая структура М f, имеющая следующие систем ные матрицы: является уже глобально идентифицируемой.
Другой способ элиминирования неидентифицируемости следует непосредственно из теоремы 3.2. Поскольку каждая область параметрического пространства, ограниченная истинными сепараторами, содержит только одно решение задачи идентифицируемости, то в пределах этой области структура является глобально идентифицируемой. Отсюда следует, что на этапе нахождения оценок параметров можно производить их поиск, в пределах только какой-либо одной области, ограниченной истинными сепараторами. Выбор области, так же как и точки начального приближения, следует производить, используя дополнительную априорную информацию о наблюдаемом явлении. Для поиска оценок параметров в пределах одной области можно использовать, например, метод штрафных функций. Этот способ хорош тем, что для своего применения он не требует никакого изменения структуры модели или схемы эксперимента.
Перечислим основные результаты, полученные в третьей главе. 1. Для линейных структур с линейными ограничениями на параметры определены понятия ложных и истинных сепараторов параметрического пространства. Сформулирована и доказана теорема о том, что истинные сепараторы делят параметрическое пространство на области, содержащие различные решения задачи параметрической идентификации. Доказано условие глобальной идентифицируемости, использующее сепараторы, и теорема об определении максимального количества решений задачи идентификации. 2. Знание истинных сепараторов позволяет легко сделать выводы об идентифицируемости структуры. Однако способ их нахождения с помощью проверки совместности системы уравнений, вытекающий из определения истинного сепаратора, чрезвычайно неэффективен и часто неосуществим. Поэтому было доказано необходимое и достаточное условие истинности сепаратора, для проверки которого достаточно вычислить ранг матрицы Якоби системы уравнений подобия. Это резко расширяет границы применимости метода и позволяет производить анализ идентифицируемости для очень больших моделей. 3. Были обоснованы два способа элиминирования глобальной неидентифицируемости исследуемой структуры с помощью истинных сепараторов. Это выгодно отличает подход с использованием сепараторов от других методов анализа идентифицируемости, которые позволяют лишь установить факт идентифицируемости или неидентифицируемости структуры и не дают никаких инструментов для устранения неидентифицируемости.
Модификация метода преобразования подобия для дискриминируемости
Структуры отличаются только тем, что в структуре М балансовое ограничение (сумма элементов столбца равна нулю) наложено на 4-й столбец матрицы состояния, а в структуре М на 3-й столбец матрицы состояния. Векторы параметров вив включают в себя только элементы матриц состояния: вт={ап Легко проверить, что структуры М и М являются управляемыми и наблюдаемыми. Поскольку матрицы управления и наблюдения обеих структур не содержат параметров, то для получения системы уравнений неразличимости вида (4.6) можно использовать выражение (4.16).
Вследствие того, что В = В , С = С в качестве матрицы преобразований Р можно выбрать единичную матрицу. Вычислим матрицу где матрица W и вектор h определяются формулами (4.17) и (4.18) соответственно. Матрица К имеет размерность 25x13, уменьшим размерность матрицы К, вычеркнув строки, имеющие единственный ненулевой простой элемент, и соответствующие этим простым элементам столбцы. В результате получим матрицу К размерности 16x4. Матрица К содержит 4 диагональных блока, вектору h в матрице К соответствует последний столбец. Согласно утверждению 2.1 для нахождения решений исходной системы уравнений необходимо отыскать ограничения, при которых матрица К имеет неполный столбцовый ранг и при этом столбец, соответствующий вектору h, линейно зависит от остальных столбцов. Очевидно, что для выполнения условий утверждения 2.1 последний диагональный блок должен быть приравнен к нулю, таким образом, мы получаем три первых ограничения. Можно значительно упростить матрицу К , отняв от 4-го столбца первые три столбца, в результате, с учетом ограничения Кщ = 0, получаем Далее, приравняв к нулю сложный элемент а22 «22 в 13-й строке, приходим к матрице с тремя диагональными блоками. Третий диагональный блок не является треугольным и для того, чтобы привести его к треугольному виду, сделаем один шаг Гауссовского исключения с ведущим простым элементом Вычеркнем также последние нулевые строки и в результате матрица К приобретает вид: и опять же вычеркнув две последние нулевые строки, получаем матрицу А , имеющую два диагональных блока:
Диагональный блок К22 матрицы К не имеет треугольной формы, для того, чтобы привести его к треугольному виду сделаем шаг Гауссовского исключения с ведущим простым элементом з25 в 10-й строке. Исключив из полученной матрицы столбец с ведущим элементом, который является линейно независимым, и последнюю нулевую строку, получаем матрицу
