Введение к работе
Актуальность темы. Современная эпоха характеризуется феноменом глобализации. Важнейшим аспектом процесса глобализации является развитие информационной индустрии. Можно говорить об информационных технологиях получения новых знаний, их накопления и использования. К информационным технологиям относят методологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.
Методы математического моделирования и вычислительного эксперимента как информационные технологии производства новых знаний получили в последнее время значительное развитие. Если следовать известной триаде А.А. Самарского “модель алгоритм программа”, то метод математического моделирования предполагает: изучение математических уравнений, описывающих объект исследования, постановку и проведение вычислительного эксперимента и программирование. Данные вычислительного эксперимента сравниваются с данными натурного эксперимента в том или ином смысле, при этом результаты моделирования прогнозируют результаты натурного эксперимента. Это можно отнести к прямому моделированию как к информационной технологии получения прогнозируемых, т.е. ожидаемых в результате измерений результатов. Однако можно говорить не только о прямом моделировании, в основе которого лежит идея прогноза в самом широком смысле слова, но и об обратном моделировании, как об исследовании объекта.
Обратное моделирование это исследовательский проект, в котором по результатам эксперимента, а не моделирования необходимо высказаться по поводу некоторого набора свойств объекта. В обратном моделировании исследователь ставит задачу наилучшего оценивания свойств объекта. Это исследовательская часть рассматриваемой информационной технологии получения новых знаний, а не практическая, сводимая к прогнозированию. В обратном моделировании результаты должны быть редуцированы к таким значениям характеристик объекта, которые свойственны невозмущенному экспериментом объекту исследования. Это условие положено в основу метода редукции, развиваемого в работах Ю.П. Пытьева. При обратном моделировании по данным измерительного эксперимента требуется высказаться о том, что непосредственно измерить нельзя, т.е. о том, что не наблюдаемо и это также относится к информационным технологиям получения новых знаний.
Зачастую как прямое, так и обратное моделирование трудно отделить одно от другого. Традиционно прямому моделированию отводилась главенствующая роль, т.к. прогноз выступал и выступает в качестве важнейшего, если не решающего аргумента в вопросах выбора модели среди ряда конкурирующих моделей, претендующих на описание того или иного объекта исследования.
Обратное моделирование, которое нацелено на изучение внутренних характеристик объекта, имеет непосредственное отношение к проблеме множественности, мультимодельности математических моделей, используемых для описания объекта. И для прямого, и для обратного математического моделирования на этапе верификации модели готовится один или несколько тестовых вычислительных и измерительных экспериментов. Полученные результаты сравниваются в рамках выбранной или приемлемой точности, что дает возможность оценить или скорректировать структуру и параметры модели. Когда этап верификации модели завершен, определяются условия для проведения нового эксперимента и по результатам моделирования прогнозируется, какой должен быть результат. Для обратного моделирования на этапе отбора моделей из потенциального множества характерны процедуры структурной и параметрической идентификации.
В части сравнения результатов вычислительного и измерительного экспериментов исследователь формулирует критерий “приемлемого качества” прогнозирования и оценивания, например, в терминах “удовлетворительно — неудовлетворительно”. В этом случае модель в результате проведенных тестов вычисления и измерения: прогнозирует измеренное значение “удовлетворительно — неудовлетворительно”, оценивает модель “удовлетворительно — неудовлетворительно”. При прямом вычислительном эксперименте прогнозируется измеренное значение. При обратном вычислительном эксперименте оцениваются характеристики исследуемого объекта. В той мере, в какой согласуются результаты (выводы, следствия, прогнозы, оценки) модели и измерительного эксперимента, считается, что исходная математическая модель адекватна поставленной цели исследования. Именно в связке “модель адекватна цели исследования” кроется потенциал множественной генерации моделей объекта исследования.
В этой связи сформулируем одну из важнейших в настоящее время проблем метода, концепции моделирования — проблему мультимодельности, множественности моделей, используемых для описания объекта исследования. Эта проблема проявляется в том, что модели продолжают создаваться. Прямое и обратное моделирование в том виде, как оно сформулировано, слишком слабое ограничение, чтобы остановить производство все новых и новых моделей или, наоборот, объяснить, почему они не появляются более в тех или иных областях. Это означает, что ни прямое, ни обратное моделирование непосредственно не касаются вопросов производства новых моделей.
В диссертации возможности рассматриваемого подхода иллюстрируются на ряде примеров математического моделирования: элементов морфогенеза, электромагнитного коллектора, конечного кристалла и турбулентности. Все четыре математические модели объединены с точки зрения нового подхода к методу математического моделирования, т.е. описывается специфическая для данной предметной области множественность моделей, формулируется перечень общих и частных целей моделирования, адекватность которым обеспечивает развиваемая модель. Предложенные модели исследованы так же, как математические объекты, в каждой из моделей использованы численные методы, для каждой из них разработаны соответствующие алгоритмы и комплексы программ.
Целью диссертации явилась разработка нового подхода к методу математического моделирования в части проблемы мультимодельности, которая истолковывается с точки зрения адекватности моделей целям исследования. Заявленная цель достигалась в виде следующих этапов:
обосновать новый подход к методу математического моделирования в связи с проблемой мультимодельности, рассматривая эту множественность с точки зрения разнообразия общих и частных целей исследования;
продемонстрировать применение нового подхода к методу математического моделирования на ряде актуальных примеров.
В рамках развиваемого подхода к методу математического моделирования одним из важнейших требований выступает адекватность построенной модели цели исследования, а точнее определенному перечню целей. К этому перечню целей могут быть отнесены такие традиционные цели, как прогнозирование и оценивание при прямом и обратном моделировании, а также цель построения комплекса моделей. Комплекс моделей, если его удается сформулировать для некоторой предметной области, позволяет решить проблему мультимодельности.
В каждой из четырех первых глав диссертации построена оригинальная математическая модель. Все модели относятся к различным предметным областям. Проблема мультимодельности особенно остро проявила себя при математическом моделировании элементов морфогенеза (формообразования) в главе I и турбулентности в главе IV. Моделирование пространственно-временной динамики элементов растущей формы, например, растения или животного вызывала и вызывает особый интерес в математической биологии. Для данной области характерен огромный модельный полиморфизм, который так и не удалось охватить с помощью подходящего комплекса моделей. При построении конкретной модели выбор был сделан в пользу подхода типа “растущий континуум”, который, как представляется, наиболее адекватен описанию процессов формообразования в биологии.
Иная ситуация сложилась при математическом моделировании турбулентного движения жидкости. В данной области, несмотря на огромный уже имеющейся модельный арсенал, удалось сформулировать нечто общее, характерное для большинства моделей. Имеющиеся модели турбулентности были проанализированы с точки зрения представления сплошной турбулизованной среды в виде ансамбля дискретных жидких объектов. Уточнение конструкционных особенностей дискретного объекта турбулентности явилось тем общим, что связывает самые разнообразные модели турбулентности, т.е. данное конструкционное уточнение выступает в качестве комплекса моделей турбулентности. В этой связи сделан выбор в пользу построения многомасштабной математической модель турбулентного движения сплошной среды, которая, представляется, наиболее адекватной процессам описания турбулентной жидкости.
В каждой из четырех моделей диссертации был осуществлен вывод конструктивных систем уравнений, т.е. таких систем, которые допускают проведение подходящего вычислительного эксперимента. В главах I, IV получены одномерные системы уравнений в частных производных, которые описывают динамику отдельной регенерирующей растущей ткани и движение турбулентной жидкости в трубе. В главах II, III приготовлены конструктивные системы обыкновенных дифференциальных уравнений для описания электромагнитного коллектора, состоящего из множества ректенн (комбинация диода и приемной антенны) и термогеометрической динамики конечного кристаллического образца.
Подтверждение конструктивности построенных систем уравнений потребовало во всех четырех главах разработать подходящие численные методы и комплексы программ. Все эти мероприятия позволили, в конечном счете, осуществить, как прямое, так и в некоторых случаях обратное моделирование.
Методы исследования. Декларируется общая для всех предложенных моделей цель: уравнения математической модели должны допускать преобразование в конструктивную форму, допускающую вычислительный эксперимент. В модели морфогенеза (глава I) уравнения становятся вполне конструктивными после перехода к одномерному случаю. В модели электромагнитного коллектора (глава II) уравнения допускают вычислительный эксперимент после специального включения диода в электрическую цепь. В модели термогеометрической динамики конечного кристаллического образца (глава III) пройден длинный путь теоретических выкладок прежде, чем удалось преобразовать уравнения к форме, допускающей численное описание обратимых и необратимых фазовых переходов. Наконец, в многомасштабной модели турбулентности (глава IV) от статистического описания ансамбля дискретных жидких объектов к уравнениям в частных производных гидродинамического типа и далее уже к конструктивным уравнениям, описывающим движение турбулентной жидкости в трубе.
Согласно развиваемым представлениям о методе математического моделирования, результаты вычислительного эксперимента рассматриваются в качестве прогноза при прямом математическом моделировании, сравниваясь в том или ином смысле с данными натурного эксперимента. При обратном математическом моделировании производится оценивание характеристик объекта по известным экспериментальным данным. Прямое и отчасти обратное моделирование наиболее отчетливо проявились на примере построения моделей термогеометрической динамики кристалла (глава III) и турбулентности (глава IV), где, в частности, удалось добиться неплохого согласия с экспериментальными данными. На этапе как прямого, так и обратного математического моделирования разрабатываются различного рода численные методы, алгоритмы и программы.
Выведены и численно изучены системы уравнений в частных производных для описания элементов морфогенеза (глава I). Для численных расчетов использовались полностью неявные конечноразностные схемы в совокупности с методом простой итерации. Была обеспечена аппроксимация исходных нелинейных уравнений в частных производных и устойчивость соответствующих разностных схем. Наличие свойства регенерации в одномерной задаче было обосновано полуаналитическим способом (методом усреднения) и путем прямых численных расчетов.
На базе законов Кирхгофа выведена система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений для описания динамики токов в коллекторе (глава II). Специальное включение диода в электротехническую схему коллектора позволило осуществить численное решение искомой системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
В модели термогеометрической динамики конечного кристаллического образца (глава III) вычислительная задача свелась к поиску локального минимума функции потенциальной энергии с некоторыми добавками в зависимости от параметра температуры. Был разработан специальный алгоритм поиска локальных минимумов, основанный на полностью неявных схемах расчетов с итерациями, автоматической регулировкой шага интегрирования на каждом временном слое, последующей проверкой малости нормы градиента и положительности всех собственных значений якобиана правой части системы дифференциальных уравнений.
В модели турбулентного движения (глава IV) жидкость представлялась в виде ансамбля разномасштабных дискретных жидких объектов. Для описания ансамбля выведено кинетическое уравнение, подобное уравнению Больцмана. Кинетическое уравнение решено с помощью методов Чепмена-Энскога и Грэда. Получена замкнутая система уравнений в частных производных для описания как ламинарных, так и турбулентных течений. В части решения системы уравнений, описывающей движение турбулентной жидкости в трубе, уравнение масштабов турбулентности оказалось некорректным. Математической формой некорректности оказался член антидиффузионного типа. Некорректность была преодолена путем разделения переменных в функции масштабов с последующим интегрированием по пространству. Для численного поиска стационарных решений полученной интегро-дифференциальной системы уравнений в частных производных был разработан вычислительный алгоритм, основанный на использовании полностью неявных схем расчета с итерациями и автоматической регулировкой шага интегрирования на каждом временном слое.
Алгоритмы и комплексы программ применительно к каждой из четырех первых глав диссертации получили следующие наименования: MORPHOGENESIS, COLLECTOR, CRYSTAL и TURBULENCE.
Научная новизна. При разработке и обосновании нового подхода к методу математического моделирования становится актуальной априорная формулировка следующего перечня общих целей моделирования. При построении модели должны быть обеспечены такие позиции, как конструктивность модели, прогнозирование в рамках прямого и оценивание в рамках обратного моделирования. Кроме того необходимо иметь в виду проблему предметной мультимодельности, которая может быть решена в рамках разработки некоторого комплекса моделей или иначе некоторой метамодели. Комплекс моделей позволил бы взглянуть на имеющуюся предметную множественность моделей с единой позиции. Любая вновь производимая модель, или набор уже имеющихся моделей должны быть переосмыслены с точки зрения комплекса моделей, если таковой имеется. Если же комплекс моделей отсутствует, что, как правило, и имеет место, то его необходимо в том или ином смысле построить, сформулировать. Именно под этим углом зрения должны строиться отдельные математические модели в конкретных предметных областях.
В четырех первых главах диссертации построены математические модели из разных предметных областей. Все четыре модели выступают в качестве иллюстрации развиваемого подхода к методу математического моделирования. Это выражается в том, что каждая из моделей должна быть адекватна перечисленному выше перечню общих целей, а также ряду специфических целей, характерных для конкретной предметной области.
В главе I рассматриваемый подход к методу математического моделирования был применен к задаче описания динамики биологической формы или к проблеме морфогенеза. В данной предметной области, несмотря на огромный модельный полиморфизм, комплекс моделей обнаружить и построить не удалось. Были сформулированы следующие цели моделирования: описать динамику отдельной достаточно простой с точки зрения геометрии ткани в рамках подхода “растущий континуум” и смоделировать регенерацию ткани. Для реализации данного перечня целей была предложена и изучена новая математическая модель формообразования (морфогенеза). Уравнения модели радикально отличается от дискретных моделей на основе конечных автоматов или порождающих грамматик. В отличие от моделей, использующих уравнения в частных производных, данная модель учитывает наличие границы растущей ткани и ставит задачу обеспечения свойства регенерации. Впервые исследовано уравнение в частных производных в тензорной форме, описывающее рост трехмерной ткани с границей. Граница при этом может быть как угодно сложно устроенной и меняться со временем. Впервые изучены уравнения, описывающие баланс некоторого вещества в пределах растущей ткани. Разработан новый алгоритм численного решения данных уравнений в одномерном случае. Построен комплекс программ MORPHOGENESIS, описывающий рост одномерной, регенерирующей ткани.
В главе II построена математическая модель коллектора электромагнитной энергии, который представляется в виде композиции множества ректенн и предназначен для преобразования различного рода шумов и электромагнитного “смога” в электрическую энергию. Данная предметная область имеет немалый модельный полиморфизм. Попытки описания ректенны, т.е. диода в совокупности с антенной, как приемника электромагнитного поля предпринимались еще с середины прошлого века. Только в последнее время в связи с успехами микроэлектроники и нанотехнологий цели данного проекта приобрели отчетливое содержание. В итоге была построена и изучена новая математическая модель коллектора. Вычислительная сложность данной задачи связана со специальным включением в цепь колебательного контура ректенны нелинейного устройства — диода и последующей композиции ректенн в решетку. Для решения уравнений модели был разработан новый алгоритм и комплекс программ COLLECTOR, который позволил провести вычислительный эксперимент и дать оценку КПД проектируемого устройства.
В главе III построена и изучена математическая модель термогеометрической динамики конечного кристаллического образца. Данная предметная область обладает заметным модельным многообразием. Среди явных конкурентов выступают модели, основанные на идеях симметрии расположения атомов в кристалле. После анализа имеющихся моделей была поставлена следующая цель: построить математическую модель термической реконструкции конечного кристалла без использования свойств симметрии, но с учетом геометрии дальнего порядка и, кроме того, смоделировать отношение термостата с конечным кристаллом. В результате уравнения молекулярной динамики впервые преобразованы к форме описания ансамбля атомов образца в конфигурационном пространстве в зависимости от параметра температуры. Сформулирован алгоритм построения всей цепочки многочастичных вкладов в потенциал, представленный в виде разложения Борна-Оппенгеймера, по априорно заданной геометрии кристаллической решетки. Разработаны новые численные алгоритмы и программный комплекс CRYSTAL для расчета термической реконструкции поверхности ряда металлов. Сравнение выводов вычислительного и натурного экспериментов по термической реконструкции поверхности платины и вольфрама оказалось удовлетворительным.
В главе IV построена математическая модель турбулентности. Для описания феномена турбулентности характерен огромный модельный полиморфизм. Множественность моделей турбулентности истолкована с точки зрения множественного толкования дискретного жидкого объекта турбулентной жидкости. Данное толкование выступает в качестве комплекса моделей. Разработана новая многомасштабная математическая модель турбулентного движения сплошной среды, т.е. модель в которой описываются дискретные жидкие объекты различных масштабов. Этапы построения многомасштабной модели включали следующие шаги. Был выведен из уравнений невязкой несжимаемой жидкости и впервые изучен бинарный потенциал, описывающий взаимодействие пары помеченных точек турбулизованной жидкости. Для данного потенциала в рамках решения задачи двух тел обнаружена особенность ветвящегося типа. На базе данного потенциала построен ансамбль разномасштабных дискретных частиц сплошной турбулентной среды. Для описания ансамбля дискретных частиц выведено кинетическое уравнение по типу уравнения Больцмана. Получена новая система многомасштабных уравнений гидродинамического типа, пригодная, как для описания ламинарных, так и турбулентных течений. В части масштабов полученная система уравнений оказалась некорректной, что потребовало использование соответствующего подхода по решению некорректно поставленных задач. Из исходной системы уравнений получена новая нелинейная многомасштабная система уравнений для описания движения турбулизованной жидкости в трубе. Разработан новый численный алгоритм решения данной системы интегро-дифференциальных уравнений в частных производных, построен комплекс программ TURBULENCE. Сравнение результатов численных расчетов движения турбулентной жидкости в трубе с экспериментальными данными оказалось удовлетворительным.
Комплексы программ MORPHOGENESIS, COLLECTOR, CRYSTAL и TURBULENCE, построенные применительно к каждой из первых четырех глав диссертации, находятся в приложенном к диссертации CD-диске в папке “Программное приложение”. Все коды программ написаны в среде MATLAB.
Разработка и обоснование нового подхода к методу математического моделирования в части проблемы мультимодельности нашло свое выражение в формулировке оригинальных определений математического моделирования и математической модели фрагмента предметной области, а также адекватности модели цели исследования в части прямого и обратного моделирования, которые вынесены в главу V диссертации.
Практическая ценность развиваемого подхода к методу математического моделирования выражается в его универсальности, применимости к самым разнообразным предметным областям. Примеры использования предложенного подхода к методу математического моделирования апробированы на ряде предметных областей из математической биологии, энергетики, кристаллографии и турбулентности.
Результаты построения математической модели морфогенеза в главе I представляют интерес для биологии развития в части задачи пространственно-временного описания индивидуального развития или онтогенеза. Для описания элемента формы выведены уравнения в частных производных с подвижной границей. Практическую ценность представляют собой разностные схемы и комплекс программ MORPHOGENESIS по решению одномерных уравнений в частных производных. Результаты решения одномерных уравнений модели доказали наличие свойства регенерации отдельного элемента формы.
Результаты математического моделирования электромагнитного коллектора в главе II имеют непосредственную практическую ценность для энергетики, поскольку направлены на разработку устройства, которое, согласно замыслу, позволит преобразовать энергию, которую можно отнести к категории шума или электромагнитного “смога”, в электрическую энергию. Предложенная математическая модель коллектора, а также программный комплекс COLLECTOR позволили сформулировать и подсчитать КПД устройства. Возможность априорного подсчета КПД устройства позволяет оптимизировать конструкцию коллектора в части подбора наиболее подходящей топологии ансамбля ректенн в коллекторе.
Результаты математического моделирования термогеометрической динамики конечного кристаллического образца в главе III имеют практическую ценность в задачах химического катализа при изучении термической реконструкции поверхности металлов, термических конформационных и фазовых переходов. Практическую ценность представляет также комплекс программ CRYSTAL, позволивший получить результаты моделирования реконструкции поверхности платины и вольфрама, при этом сравнение вычислительного и натурного экспериментов оказалось удовлетворительным.
Результаты построения многомасштабной математической модели турбулентного движения жидкости в главе IV представляют практическую ценность в двух аспектах. Во-первых, удалось осмыслить множественность уже имеющихся моделей турбулентности с помощью комплекса моделей, который связывается с многообразием интерпретаций дискретного жидкого объекта турбулентной жидкости. Во-вторых, выведены уравнения в частных производных для описания как турбулентных, так и ламинарных течений. Практическую ценность представляет собой комплекс программ TURBULENCE для численного решения нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих движение жидкости в трубе. Сравнение результатов вычислительного и натурного экспериментов по движению жидкости в трубе оказалось удовлетворительным.
Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в 27 печатных работах [1 — 27], включая один обзор [11], две монографии [1, 13] и курс лекций [2] для студентов старших курсов. Основные положения, выводы и материалы диссертации опубликованы в монографии [1] и в курсе лекций [2].
По теме диссертации были сделаны доклады: в МГУ им. М.В. Ломоносова (семинар Ю.М. Романовского, 1978); на годовой конференции ВЦ АН СССР в г. Пущино, 1978; в Институте биологии развития им. Н.К. Кольцова (семинар А.И. Зотина, 1980); на VII Всесоюзной школе по математическому моделированию сложных биологических систем, 1980; на ряде семинаров в Гидрометцентре СССР в течение 1980 — 1989 гг.; на Всесоюзной школе по теоретической физике (Калининград, 1989); на кафедре “Вычислительных методов” и в лаборатории математического моделирования в физике ф-та ВМ и К МГУ, 1989 — 2001 гг.; в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН (семинар Г.Г. Малинецкого, 1996, 1997); на семинаре “Синергетика” (под руководством О.П. Иванова, МГУ, 2001, 2003); на семинаре “Синергетика” (под руководством Ю.Л. Климонтовича, физ. ф-т МГУ, 2001); на семинарах кафедры “Компьютерных методов физики” физического факультета МГУ, 2002; на научной конференции “Ломоносовские чтения” (сер. физики, МГУ, апрель 2003). На международной конференции “Mathematical Modeling and Computational Physics 2011”, Star Lesn, High Tatra Mountains, Slovakia (July 4–8, 2011). С 2002 г. и по 2012 г. на физфаке МГУ читается спецкурс “Метод и искусство математического моделирования”.
Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, пять глав, заключение, список цитируемой литературы, а также комплексы программ, помещенные в приложенном к диссертации CD-диске. Первые четыре главы содержат введение, тематические параграфы и заключение. В последней, пятой главе диссертации в исторической ретроспективе обсуждается метод математического моделирования и феномен мультимодельности. Объем диссертации 165 страниц формата А4, 62 рисунка, 241 наименований цитируемой литературы.
Личный вклад автора в проведенное исследование. Большинство постановок проблем, предложение и исследование математических моделей, проведение соответствующих вычислительных экспериментов, а также построение всех комплексов программ MORPHOGENESIS, COLLECTOR, CRYSTAL и TURBULENCE проводилось автором самостоятельно. В процессе предложения и построения математических моделей в рамках тех или иных научных дискуссий участвовали многие исследователи из различных учреждений. Всем им мне хотелось бы выразить глубокую признательность.
