Введение к работе
Актуальность работы. Развитие и совершенствование современных технических устройств и систем, снижение сроков их проектирования требует разработки эффективных методов математического моделирования этих устройств для анализа и оптимизации их характеристик
В течение двух последних десятилетий сформировался «классический» набор процедур, на котором базируется алгоритмическое обеспечение программ математического моделирования электрических цепей и систем. Он включает в себя неявные жестко-устойчивые методы алгебраизации обыкновенных дифференциальных уравнений, ньютоновские итерации для решения нелинейных алгебраических уравнений и "прямые" методы гауссовского типа для решения систем линейных уравнений Программы подобного типа позволяют проводить моделирование цепей, описываемых системами уравнений порядка нескольких тысяч, что не обеспечивает насущных потребностей при решении задач автоматизации проектирования и анализа технических устройств Несмотря на многочисленные и в целом небезуспешные попытки модернизации алгоритмического обеспечения, базирующего на «классическом» подходе, к настоящему времени не удалось существенно расширить'возможности программ автоматизированного анализа цепей, сделать их достаточно эффективными при моделировании таких компонентов как сверхбольшие интегральные схемы, а также при натурно-численном моделировании и моделировании систем, в которых учитываются процессы различной физической природы и их взаимосвязь между собой, будем их называть смешанными или междисциплинарными системами
Надежда на существенный прогресс в области схемного моделирования крупномасштабных электронных цепей возникла в начале 80-х годов с появлением программ, базирующихся на методах релаксации, позволяющих реализовать структурную декомпозицию анализируемой цепи, что отражено в работах Г. Крона, А Ньютона, А Санджиованни-Винцентелли, А. Рули и др По сравнению со своими предшественниками, программы этого типа позволили в 10-100 раз сократить затраты процессорного времени при обработке систем, насчитывающих до нескольких сотен уравнений и увеличить предельную размерность анализируемых систем на два порядка Кроме того, структурная декомпозиция модели дает возможность проводить независимую (последовательную или параллельную) обработку отдельных фрагментов, что открывает дополнительные возможности для реализации релаксационных методов на многопроцессорных системах, как показано в работах Дж Ортеги и К Ванга Бурное развитие сетевых технологий и построение систем кластеров с распределенной памятью способствует развитию методов структурной декомпозиции модели, распараллеливанию алгоритмов
Основным недостатком, сдерживающим широкое применение релаксационных методов, является их медленная сходимость, а также ограниченность класса цепей, в котором выполняются условия такой сходимости Попытки решения крайне актуальной задачи улучшения сходимости релаксационных методов в известных
работах Дж Уайта и А Санджиованни-Винцентелли сводятся к выбору оптимальной стратегии разбиения исходной модели на фрагменты и определения порядка обработки подсхем, минимизирующего число итераций Но такой подход существенно ограничен в своих возможностях, так как задача «подстраивается» под алгоритм, а не алгоритм под задачу В работах В Дмитриева-Здорова и Б Клаассена был впервые предложен иной подход, который заключался в построении нового класса модифицированных и многоуровневых релаксационных алгоритмов, использующих принцип переобуславливания итерационных матриц, что позволяло расширить область применимости релаксационных алгоритмов Идея переобуславливания матриц получила большое распространение в последние годы Благодаря развитию вычислительной техники, появился целый класс ускоренных итерационных методов, которые подробно изложены в работах Р. Баррета и Ю Саада
Одной из областей применения релаксационных методов является методология модульного рассмотрения задачи моделирования систем С одной стороны, модульный принцип построения современных устройств способствует тому, что можно выполнять их моделирование, учитывая такую особенность и существенно снизить трудоемкость временного анализа, с другой стороны, модульный подход позволяет реализовать цифро-аналоговое моделирование, сопрягать различные моделирующие программы между собой, а также с аппаратными моделями для совместного анализа отдельных частей системы в едином цикле моделирования. В рамках модульного подхода трудно найти альтернативу релаксационным методам, что делает крайне актуальными задачи прогноза устойчивости методов релаксации и разработки модифицированных релаксационных методов, устойчивость и сходимость которых можно будет гарантировать на этапе, предшествующем моделированию
Цель работы состоит в разработке и исследовании нового класса релаксационных алгоритмов со стабилизацией, что позволит значительно улучшить устойчивость/сходимость известных релаксационных методов математического моделирования цепей при прочих равных условиях и прогнозировать устойчивость метода на этапе формирования уравнений
Для достижения обозначенной цели решаются следующие задачи
Разработать и исследовать способы ускорения релаксационных процедур для сшивания решений систем линейных дифференциально-алгебраических уравнений, полученных в результате декомпозиции при математическом моделировании электрических цепей с недоступными блоками системной матрицы Такие задачи возникают в цепях, состоящих из многих блоков, часть из которых является «черными ящиками», для которых известны только отклики на заданные входные воздействия
Разработать методы повышения устойчивости (сходимости) релаксационных процедур математического моделирования цепей с фрагментарно представленной математической моделью Получить необходимые и достаточные условия устойчивости модифицированных релаксационных алгоритмов в терминах теории цепей
Получить необходимые и достаточные условия устойчивости математического моделирования на основе метода совместных релаксаций для анализа фрагментарно представленных математических моделей электрических цепей В частности, определить критическую задержку обмена данными между фрагментами декомпозированной цепи, при которой релаксационный процесс находится на грани устойчивости
Исследовать влияние релаксационного процесса на точность схемы численного дифференцирования, в частности получить оценки для локальных погрешностей релаксационных процедур и сравнить их с соответствующими оценками для прямых методов
В качестве методов исследования использовались методы теории цепей, численные методы и методы аппроксимации, матричное исчисление, функциональные ряды Тейлора
Научная новизна работы заключается в следующем
предложена новая разновидность релаксационных процедур - стабилизированный релаксационный метод, что позволило расширить область устойчивости, а в большинстве случаев и увеличить скорость сходимости релаксационного процесса при моделировании декомпозированных систем, представленных набором взаимосвязанных «черных ящиков»,
показана нецелесообразность использования схем численного дифференцирования высоких порядков при использовании релаксационных процедур,
предложен способ прогноза устойчивости метода совместных релаксаций, использующий в качестве исходных данных только положительно определенные матрицы расщепления произвольного вида;
сформулировано необходимое условие устойчивости метода совместных релаксаций, которое определяется через максимальную задержку обмена данными между блоками в декомпозированной системе Приводится ряд оценок допустимой (критической)задержки
Практическая значимость работы. Предложенный стабилизированный релаксационный метод для сшивания решений систем линейных дифференциально-алгебраических уравнений всегда устойчив и сходится к точному решению при любом положительном значении стабилизирующего параметра, что существенно увеличивает достоверность результатов, полученных с помощью релаксационных процедур С другой стороны, модификация релаксационного метода (его стабилизация) значительно расширили границы условий устойчивости релаксационного процесса
Изложенные в работе подходы расширяют условия применимости релаксационных методов, что существенно повышает их привлекательность при решении таких задач как моделирование смешанных систем и систем, содержащих реальный физический объект Обозначенные методы могут применяться для слабосвязанных систем, которые описываются блочной диагонально доминирующей матрицей большой размерности, и для анализа задач, описываемых дифференциальными уравнениями с задержкой (например, длинные линии) Еще одна важная область
применения - это сшивание современных промышленных пакетов моделирования, структура ядра которых является коммерческой тайной фирмы-производителя, но имеется интерфейс обмена данными между ядром и внешним программным окружением
Таким образом, разработана методология численного моделирования электрических цепей, состоящих из многих блоков, в том числе типа «черный ящик», основанная на модифицированной релаксационной процедуре (стабилизированный релаксационный метод) с повышенным запасом устойчивости и улучшенной сходимостью по сравнению с известными процедурами релаксационного типа
Апробация результатов работы
Основные результаты обсуждались на следующих конференциях
V, VI, VII Всероссийские научные конференции студентов и аспирантов техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления Таганрог, ТРТУ, 2000, 2002, 2004 г г , 5th IASTED International Conference Power and Energy Systems in Tampa, FL, November 19-22, 2001; 1-я Международная научно-практическая конференция Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы Новочеркасск, ЮРГТУ, ноябрь, 2001; 8-я Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов Радиоэлектроника, электротехника и энергетика Москва, МЭИ, март, 2002, Международная конференция "Информационные технологии в естественных, технических и гуманитарных науках", Таганрог ТРТУ, 2002, 2004 г г, Международная конференция "Моделирование как инструмент решения технических и гуманитарных задач", Таганрог ТРТУ, 2002, Международная научная конференция "Динамика процессов в природе, обществе и технике: информационные аспекты", Таганрог ТРТУ, 2003, Международный научно-практический семинар «Проблемы современной аналоговой микросхемотехники», Шахты ЮРГУЭС, 2003; Международная конференция «Цифровые методы и технологии», Таганрог ТРТУ, 2005 А также были представлены в виде доклада на семинарах в Институте алгоритмов и научных вычислений, Санкт-Августин, Германия и в Кельнском университете, Германия Обсуждались на научных семинарах кафедр Теоретических основ радиотехники и Высшей математики ТРТУ и на ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников ТРТУ, 2002-2006 г г
По теме диссертации опубликовано 16 работ, из них 3 в изданиях рекомендованных ВАК, 2 за рубежом, 8 тезисов докладов, остальные в местной печати
Личный вклад автора.
Все включенные в диссертацию результаты получены в основном лично соискателем, либо при его непосредственном участии
В работах, выполненных в соавторстве, участие автора состояло в постановке вычислительных экспериментов с привлечением релаксационных методов, адаптации релаксационного алгоритма к задаче (выбор стабилизирующих параметров), построении алгоритмов анализа и их реализация на ЭВМ
Внедрение результатов работы.
Основные результаты диссертационной работы нашли применение при выполнении госбюджетных работ № 11170, № 11055 на кафедре ТОР ТРТУ, в рамках международного проекта «Виртуальная моделирующая установка» (х/д 44001, 44002) Часть результатов была получена в Фраунгоферском институте алгоритмов и научных вычислений (Санкт-Августин, Германия) и использована в проектах по численному моделированию электрических цепей и задач электромагнитной совместимости Результаты работы используется в учебном курсе «Математические основы моделирования радиотехнических цепей и сигналов», а также в ряде лабораторных работ по курсу «Основы теории цепей»
Основные положения и результаты, выносимы на защиту.
Метод стабилизации класса релаксационных алгоритмов решения систем дифференциально-алгебраических уравнений с недоступными фрагментами системной матрицы
Выражения и соответствующие диаграммы, характеризующие область устойчивости стабилизированных релаксационных методов решения систем алгебраических уравнений (гарантированная устойчивость при любых положительных значениях стабилизирующих параметров) и систем дифференциально-алгебраических уравнений (необходимые и достаточные условия устойчивости)
3. Графики локальных погрешностей, характерных для стабилизированных релаксационных процедур
Метод совместных релаксаций для математического моделирования электрических цепей по частям, который является обобщением итерационного алгоритма «временной анализ» и позволяет выполнять моделирование в реальном времени, что актуально для задач, содержащих аппаратные модели
Методика и выражения оценки критической задержки как основного параметра, характеризующего устойчивость метода совместных релаксаций.
