Разработка методов исследования структурной идентифицируемости моделей в пространстве состояний Авдеенко Татьяна Владимировна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Анализ состояния проблемы идентифицируемости . 23

1.1. Историческая Справка 23

1.2. Основные понятия теории идентифицируемости 30

1.3. Основные принципы анализа идентифицируемости 34

1.4. Связь анализа идентифицируемости с планированием и обработкой экспериментов 38

1.5. Методы исследования идентифицируемости линейных динамических моделей в пространстве состояний 41

1.5.1. Метод преобразования Лапласа 42

1.5.2. Метод матриц Маркова 43

1.5.3. Метод модальных матриц 44

1.5.4. Метод преобразования подобия 50

1.6. Основные задачи диссертационной работы 54

Глава 2 . Условия ранга и порядка для локальной и глобальной идентифицируемости 58

2.1.0 Выборе параметризации 58

2.2. Пределы эмпирической информации при оценивании системных параметров. Априорные ограничения 64

2.3. Условия идентифицируемости системных параметров модельной структуры общего вида 69

2.3.1. Вывод условий идентифицируемости 69

2.3.2 Процедура анализа идентифицируемости с использованием условий ранга и порядка 78

2.3.3. Пример анализа идентифицируемости с использованием условий ранга и порядка 81

2.4. Условия ранга и порядка для некоторых классов модельных структур 84

2.4.1. Класс модельных структур с произвольными числовыми матрицами управления и наблюдения 85

2.4.2. Класс модельных структур со стандартными параметризованными матрицами управления и наблюдения 94

2.4.2.1. Вывод условий ранга и порядка 94

2.4.2.2. Дополнительные необходимые условия идентифицируемости 102

2.4.2.3. Примеры анализа идентифицируемости 106

2.4.3. Класс модельных структур со стандартными числовыми матрицами

управления и наблюдения 109

2.5. Связь между рассмотренными классами модельных структур и соответствующими условиями идентифицируемости 115

2.6. Выводы по главе 118

Глава 3 . Анализ локально неидентифицируемых моделей. Элиминирование локальной неидентифицируемости 120

3.1. Построение и решение системы детерминирующих уравнений для поиска пфдло 121

3.1.1. Определение общего вида системы детерминирующих уравнений для поиска ПФДЛО 122

3.1.2. Вычисление СЛНИ-матриц для основных классов модельных структур 127

3.1.2.1. СЛНИ-матрица для модельных структур общего вида .' 127

3.1.2.2. СЛНИ-матрица для модельных структур с произвольными числовыми матрицами управления и наблюдения 129

3.1.2.3. СЛНИ-матрица для модельных структур со стандартными параметризованными матрицами управления и наблюдения 132

3.1.2.4. СЛНИ-матрица для модельных структур со стандартными числовыми матрицами управления и наблюдения 135

3.1.3. Переход от СЛНИ-матрицы системных параметров к СЛНИ-матрице

физических параметров 136

3.1.4. Решение системы детерминирующих уравнений 137

3.1.5. Примеры анализа локальной идентифицируемости и построения базиса ПФДЛО для моделей неполного ранга 146

3.2. Элиминирование локальной неидентифицируемости 155

3.2.1. Объединение модельных структур как способ элиминирования локальной неидентифицируемости „ 157

3.2.2. Элиминирование локальной неидентифицируемости с помощью дополнительных ограничений 165

3.2.3. Пример анализа идентифицируемости и элиминирования локальной неидентифицируемости 169

3.3. Выводы по ГЛАВЕ 174

Глава 4 . Анализ глобальной идентифицируемости и дискриминируемости модельных структур 176

4.1. Анализ глобальной идентифицируемости 178

4.1.1. Необходимые и достаточные условия глобальной идентифицируемости 178

4.1.2. Примеры использования необходимого и достаточного условия глобальной идентифицируемости 181

4.1.3. Алгоритм построения равенств, для которых СГИ-матрица имеет неполный ранг 185

4.2. Нахождение сепараторов параметрического пространства 193

4.3. Анализ дискриминируемости конкурирующих модельных структур 203

4.3.1. Необходимые и достаточные условия дискриминируемости двух конкурирующих модельных структур 204

4.3.2. Примеры анализа дискриминируемости 210

4.4. Выводы по ГЛАВЕ 212

Глава 5. Условия идентифицируемости для моделей камерного типа 214

5.1. Линейные камерные мо ДЕЛИ и их свойств A : 216

5.1.1. Математическое описание моделей камерного типа 217

5.1.2. Применение условий идентифицируемости для анализа базовых модельных структур камерного типа 224

5.1.2.1. Цепная модель 225

5.1.2.1. Звездная модель 230

5.2. Условия идентифицируемости для модельной структуры с балансовыми ограничениями 235

5.3. Классификация исключающих ограничений на матрицу состояния по их влиянию на идентифицируемость 243

5.4. Выводы по главе 260

Глава 6. Практическое применение и исследование эффективности разработанного подхода 262

6.1. Практическое применение разработанного подхода 263

6.1.1. Объединенная схема анализа идентифицируемости модельной структуры и элиминирования неидентифицируемости 263

6.1.2. Анализ идентифицируемости моделей технических систем 267

6.1.2.1. Система стабилизации летательного аппарата 267

6.1.2.2. Класс модельных структур с матрицей состояния в форме Фробениуса 273

6.2. Анализ эффективности разработанного подхода 276

6.2.1. Исследование структурной идентифицируемости некоторых кинетических моделей 276

6.2.2. Сравнение эффективности различных подходов на примере моделей звездного и цепного типа 286

6.3. Электронный каталог сведений по анализу структрурных свойств

моделей камерного типа 288

6.3.1. Структура и содержание каталога 289

6.3.2. Сводная таблица результатов анализа каталога 297

б

6.4. Выводы по главе 300

Заключение 302

Список использованных источников 306

Приложение

• Процедура анализа идентифицируемости с использованием условий ранга и порядка
• Построение и решение системы детерминирующих уравнений для поиска пфдло
• Необходимые и достаточные условия глобальной идентифицируемости
• Применение условий идентифицируемости для анализа базовых модельных структур камерного типа

Введение к работе

С начала семидесятых годов за рубежом и в нашей стране стало развиваться новое научное направление, связанное с построением теоретических моделей по экспериментальным данным - анализ идентифицируемости моделей. Подобные модели обычно формируются на основе известных законов или теоретических представлений о механизме функционирования исследуемой системы. В силу этого они имеют фиксированную структуру, определенную с точностью до неизвестных параметров, подлежащих отысканию из эксперимента. Задачи, связанные с их определением, называют обратными задачами математического моделирования.

Характерная особенность обратных задач состоит в том, что их решение нередко оказывается неединственным. Это один из признаков, по которым такие задачи относят к некорректным задачам. Неединственность решения может быть связана не с малым объемом экспериментальных данных или неудачным выбором точек плана эксперимента. Причина может быть более принципиальной. Неоднозначность оценок параметров может быть обусловлена отсутствием согласия между сложностью модели и числом содержащихся в ней параметров, с одной стороны, и ограниченностью информации о параметрах, которую можно извлечь из эксперимента, с другой стороны. В такой ситуации увеличение объема выборки и «рациональное» размещение точек в факторном пространстве делу не помогут.

Как выявить возможность возникновения такой ситуации априори? Какими последствиями это грозит исследователю и как, в частности, может сказаться на оцениваемых параметрах модели? Что необходимо делать в подобных случаях? На эти и другие вопросы дает ответ методология анализа априорной идентифицируемости параметров математических моделей, решению современных проблем которой посвящена настоящая диссертация.

Пик интереса исследователей к развитию теории структурной идентифицируемости динамических моделей пришелся на 80-е годы прошлого столетия.

К началу 90-х годов было разработано множество методов и подходов к исследованию идентифицируемости линейных и нелинейных моделей в пространстве состояний. Сложилось мнение, что основы теории полностью разработаны (во всяком случае, для линейных систем). Невозможность получения результата исследования моделей сравнительно больших размерностей объяснялась несовершенством вычислительной техники. Создалась иллюзия, что стоит увеличить мощность компьютера, и все проблемы будут решены.

Однако ускоренное развитие вычислительной техники в последнее десятилетие не устранило препятствий, возникающих на пути разработчиков моделей в пространстве состояний. Причина заключается в том, что анализ структурной идентифицируемости требует вычислений в символьном виде, так как предполагает исследование одновременно во всех точках параметрического пространства (на этапе построения модельной структуры числовые значения параметров неизвестны). Существующие на сегодняшний день методы проверки идентифицируемости даже для линейных систем требуют очень громоздких символьных вычислений, с которыми не справляются современные, версии систем компьютерной алгебры, установленные на современных мощных компьютерах. К тому же, разнообразие подходов и методов создает проблему выбора. В литературе по этому поводу приводятся расплывчатые рекомендации, что если один из методов не приводит к решению, нужно попробовать другой.

В то же время, существуют методы, которые, по сравнению с другими, генерируют менее сложные аналитические формулы. К последним относится метод преобразования подобия. Идея данного метода основывается на поиске преобразований, связывающих все эквивалентные модели (т.е. модели с одинаковой структурой и одинаковым входо-выходным поведением). Однако в том виде, в котором данный метод существует, он имеет ряд недостатков, не позволяющих полностью использовать его преимущества.

Во-первых, использование метода не предусматривает разделения на анализ локальной идентифицируемости и анализ глобальной идентифицируемости, и в любом случае предполагает решение системы алгебраических уравнений (системы уравнений подобия). Получается, что если решение системы уравнений подобия не может быть найдено, то мы не можем ответить на вопрос не только о глобальной, но и о локальной идентифицируемости модели. Известно, однако, что анализ локальной идентифицируемости может быть выполнен гораздо более простыми способами (например, вычислением ранга матрицы Яко би).

Во-вторых, неизвестными в системе уравнений подобия являются не только элементы вектора неизвестных параметров (как в других методах), но и элементы матрицы преобразований подобия. Таким образом, мы получаем систему уравнений достаточно простого вида (билинейные уравнения) с очень большим числом неизвестных, что не слишком благоприятно для ее решения общеизвестным методом компьютерной алгебры для решения алгебраических систем - методом базисов Гребнера.

Если бы результатом исследования являлся только односложный ответ на вопрос, идентифицируема модельная структура или нет, то особого смысла в использовании символьных вычислений, значительно усложняющих анализ, не было бы. В этом случае можно было бы случайным образом выбрать точку в параметрическом пространстве, выполнить анализ в этой точке и с вероятностью 1 сделать вывод об идентифицируемости модельной структуры во всем параметрическом пространстве. Использование символьных вычислений особенно полезно тогда, когда в случае неидентифицируемости мы имеем возможность получить некоторую качественную информацию, которую можно использовать для элиминирования неидентифицируемости - преобразования исходной модельной структуры к идентифицируемой. Отметим, что метод преобразования подобия в том виде, в котором он был предложен ранее, не предоставлял подобной возможности (кроме аналитического вида и числа решений задачи параметрической идентификации). Все вышесказанное позволяет сформулировать цель данной диссертационной работы. Целью работы является создание комплексного подхода к построению идентифицируемых модельных структур в пространстве состояний, обеспечивающего исследователя эффективными методами анализа структурной идентифицируемости, а также способами преобразования неидентифицируемых модельных структур к идентифицируемым.

Для достижения поставленной цели чрезвычайно актуальными являются три задачи. Первая заключается в разработке таких критериев (условий) идентифицируемости, проверка которых требует наименее громоздких аналитических вычислений. Решение данной задачи базируется на использовании метода преобразования подобия. Вторая задача состоит в разработке специализированных методов и алгоритмов компьютерной алгебры, эффективных при проверке предложенных критериев идентифицируемости, так как встроенные в компьютерные системы алгоритмы ориентированы на самый широкий класс матриц и нелинейных алгебраических систем уравнений, и поэтому не всегда эффективны (а часто и не всегда применимы) в конкретных условиях. Третья задача заключается в разработке способов элиминирования локальной и глобальной неидентифицируемости модельных структур.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории систем, теории идентификации, теории неявных функций, линейной и компьютерной алгебры.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Установлены пределы эмпирической информации при идентификации системных параметров естественно параметризованной модельной структуры. Предложен наиболее удобный для формулировки условий идентифицируемости способ введения априорной информации в виде системы линейных ограничений на системные параметры.

2. Доказаны теоремы, дающие необходимое и достаточное условие локальной идентифицируемости и достаточное условие глобальной идентифици 11 руемости (условия ранга для локальной и глобальной идентифицируемости) системных параметров модельной структуры общего вида.

3. Выделены три подкласса модельных структур, являющихся подмножествами исходного общего класса и широко используемых в практических приложениях. При этом удалось существенно понизить размерность матриц идентифицируемости, и тем самым упростить проведение анализа в символьном виде. Для каждого из классов получены условия порядка - неравенства, задающие минимально необходимое для обеспечения идентифицируемости число ограничений на системные параметры.

4. Для четырех классов модельных структур получен общий вид системы детерминирующих уравнений для поиска параметрических функций, допускающих локальное оценивание (ПФДЛО), на основе которого может быть сделан вывод о локальной идентифицируемости отдельных параметров модели неполного ранга. Предложены методы элиминирования локальной неидентифицируемости, не требующие вычисления базиса ПФДЛО.

5. Доказано необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости, являющееся результатом дальнейшего развития условия ранга, являющегося лишь достаточным. Разработан эффективный алгоритм компьютерной алгебры проверки условия ранга (достаточного условия) для глобальной идентифицируемости. Результатом работы алгоритма является множество соотношений, для которых достаточное условие глобальной идентифицируемости не выполняется.

6. Разработан метод нахождения истинных сепараторов — гиперповерхностей, разделяющих параметрическое пространство на непересекающиеся множества, каждое из которых содержит одно и только одно решение задачи параметрической идентификации, на основе СГИ-матрицы. Предложены способы использования истинных сепараторов для элиминирования глобальной неидентифицируемости. 7. Разработано необходимое и достоточное условие дискриминируемое™ конкурирующих модельных структур с числовыми матрицами управления и наблюдения,

8. С использованием разработанного подхода доказано, что полностью замкнутые цепные модели являются глобально идентифицируемыми для любой размерности, а полностью замкнутые звездные модели являются лишь локально идентифицируемыми для любой размерности модели. Для моделей звездного типа получена зависимость числа решений задачи параметрической идентификации от размерности модели.

9. Для моделей камерного типа, допускающих только балансовые ограничения, разработаны необходимые и достаточные условия идентифицируемости, которые ввиду простоты их использования были названы условиями порядка. Произведена классификация исключающих ограничений. По степени влияния на идентифицируемость модельной структуры исключающие ограничения отнесены к одной из четырех групп. Получены условия независимости ограничений внутри каждой из групп. Для моделей с исключающими ограничениями сформулированы уточненные условия порядка, задающие минимально необходимое для обеспечения идентифицируемости количество ограничений, не являющихся исключающими. 

10. Построен электронный каталог сведений об управляемости, наблюдаемости и идентифицируемости трехкамерных моделей со стандартными числовыми матрицами управления и наблюдения. Предложенная иерархическая структура каталога позволяет быстро найти информацию о требуемой модельной структуре.

На защиту выносятся:

1. Условия ранга для локальной и глобальной идентифицируемости модельных структур четырех классов: моделей в пространстве состояний общего вида, моделей со стандартными параметризованными матрицами управления и наблюдения, моделей с произвольными числовыми матрицами управления и наблюдения, моделей со стандартными числовыми матрицами управления и наблюдения.

2. Условия порядка (необходимые условия идентифицируемости) для трех последних из перечисленных в п.1 классов модельных структур, а также для модельных структур, допускающих исключающие ограничения на элементы матрицы состояния.

3. Метод построения системы детерминирующих уравнений для поиска параметрических функций, допускающих локальное оценивание, применительно к моделям неполного ранга. Методы элиминирования локальной неидентифицируемости.

4. Необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости модельных структур общего вида. Алгоритм проверки достаточного условия глобальной идентифицируемости (вычисления соотношений, для которых это условие не выполняется).

5. Метод анализа глобальной идентифицируемости, базирующийся на построении истинных сепараторов параметрического пространства. Способы элиминирования глобальной неидентифицируемости с испольльзованием истинных сепараторов.

5. Необходимое и достаточное условие дискриминируемости модельных структур и разработанный на его основе метод анализа дискриминируемости.

6. Условия идентифицируемости модельных структур камерного типа с исключающими и балансовыми ограничениями на элементы матрицы состояния.

7. Электронный каталог сведений об управляемости, наблюдаемости и идентифицируемости трехкамерных модельных структур.

Практическая ценность и реализация результатов исследования. Разработанный в диссертации подход может найти применение при моделировании технических, физических, химических, биологических и пр. явлений и процессов, везде, где используются модели в пространстве состояний. Разработанные в рамках подхода методы, алгоритмы и комплекс программ позволяют наиболее эффективным и целенаправленным способом построить идентифицируемую модельную структуру, удовлетворяющую необходимым априорным ограничениям. Использование программного обеспечения, реализующего разработанный подход, позволяет исследовать структурные свойства моделей существенно больших размерностей (анализ локальной идентифицируемости удается проводить для моделей размерности 20-25, анализ глобальной — для моделей размерности до 10)

С использованием разработанного подхода была исследована идентифицируемость моделей технических систем: системы стабилизации летательного аппарата и класса систем, в которых матрицей состояния является матрица Фробениуса (системы стабилизации летательного аппарата по тангажу, системы управления перегрузкой летательного аппарата, различных следящих систем: с гибкой и жесткой обратной связью, с асинхронным двухфазным двигателем и т.п.). Получены условия, при которых модельные структуры являются глобально идентифицируемыми. В диссертации проведен анализ идентифицируемости ряда практически значимых кинетических (химическая кинетика и фармакокинетика) модельных структур и предложены способы элиминирования локальной или глобальной неидевтифицируемости. Построен каталог сведений о структурных свойствах моделей камерного типа. Эффективность подхода наглядно подтверждается сравнением с другими наиболее широко известными методами по таким двум критериям, как время счета и принципиальная возможность получения результатов в символьном виде.

Разработанные алгоритмы и программы, а также каталог структурных свойств камерных моделей, вошли в комплекс математического моделирования камерных фармакокинетических моделей, разрабатываемый в Государственном НИИ Органической Химии и Технологии (г. Москва). Результаты проведенных Исследований используются соискателем в курсах лекций «Методы идентификации систем» и «Математические методы планирования эксперимента», читаемых для магистрантов факультета прикладной математики и информатики Новосибирского государственного технического университета, а также при выполнении дипломных проектов и при подготовке кадров высшей квалификации (руководство аспирантами).

Диссертационная работа выполнялась в рамках тематического плана по заданию МО РФ на 1999-2001 гт. «Моделирование стохастических статических и динамических объектов на основе наблюдений» (НГТУ Л .3.99), на 2002-2005 гг. «Математическое моделирование многофакторных объектов на основе наблюдений» (НГТУ. 1.1.02), а также являлась частью исследований по федеральной целевой программе «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки» 1997-2001 гг.

Проведение диссертационных исследований было поддержано грантом МО РФ по фундаментальным исследованиям на 2001-2002 гг. «Разработка методов анализа идентифицируемости и дискриминируемое™ модельных структур в пространстве состояний» (научный руководитель Авдеенко Т.В., шифр гранта Е00-2.0-9).

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, симпозиумах и конгрессах: III Всесоюзная конференция «Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов» (Гродно, 1988 г.); VI Всесоюзная школа-семинар «Применение математических методов для описания и изучения физико-химических равновесий» (Новосибирск, 1989); IX Всесоюзная конференция «Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях» (Москва, 1989 г.); Международная конференция «Нестационарные процессы в катализе» (Новосибирск, 1990 г.); II, IV и V Международные конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 1994 г., 1998 г., 2000 г.); Российско-Корейские Международные Симпозиумы "Научные основы высоких технологий" KORUS 99, KORUS 2000, KORUS 2001 (Новосибирск, 1999 г.; Ульсан, Корея, 2000 г.; Томск, 2001 г.); Международный Конгресс по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000 г.); XIII, XIV, XV Международные научные конференции "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-13, ММПЧ4, ММТТ-15 (Санкт-Петербург, 2000 г.; Смоленск, 2001 г.; Тамбов, 2002 г.); 15 Всемирный Конгресс IF АС (Барселона, Испания, 2002 г.); II Международная Конференция "Идентификация систем и задачи управления" SICPRO 03 (Москва, 2003).

Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в ведущих рецензируемых журналах из перечня ВАК, а также в трудах международных конференций, симпозиумов и конгрессов. Всего по результатам диссертации опубликовано более 40 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованных источников из 182 наименований. Объем работы составляет 322 страницы основного текста, включает 23 рисунка, 2 таблицы. В приложении приведено описание программного обеспечения, а также документы, свидетельствующие о практической реализации результатов исследований и разработок автора.

Краткое содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель и задачи исследования, определена научная новизна и практическая ценность работы, дана общая характеристика полученных результатов.

Глава 1. Анализ состояния проблемы идентифицируемости. Цель данной главы состоит в том, чтобы дать представление о современном состоянии теории идентифицируемости, обосновать поставленную цель исследования и сформулировать основные задачи диссертационной работы.

Глава включает шесть разделов. В разделе 1.1 дается историческая справка о развитии теории идентифицируемости за рубежом и в нашей стране. Выделяются проблемы, возникшие на современном этапе развития теории. В разделе 1.2 излагаются основные понятия теории идентифицируемости, определяются основные типы идентифицируемости (локальная, глобальная, априорная, апостериорная, структурная). В разделе 1.3 выделяются три принципа, на которых базируется большинство известных методов анализа идентифицируемости. В разделе 1.4 устанавливается связь анализа идентифицируемости с планированием и обработкой экспериментов.

В разделе 1.5 рассмотрены четыре основных наиболее часто используемых метода анализа локальной и глобальной идентифицируемости линейных динамических моделей в пространстве состояний и проведен их сравнительный анализ. В результате обоснован выбор метода преобразования подобия в качестве основы построенного в диссертации подхода к анализу идентифицируемости и дискриминируемости модельных структур в пространстве состояний- Конечным результатом данной главы являются сформулированные в разделе 1.6 основные задачи диссертационной работы.

Глава 2. Условия ранга и порядка для локальной и глобальной идентифицируемости. Данная глава посвящена разработке условий идентифицируемости модельной структуры. Предложенные условия составляют базис подхода, разработанного в диссертации.

В разделе 2.1 проводится обоснование выбора естественной параметризации, при которой неизвестными параметрами являются элементы системных матриц. В разделе 2.2 определены пределы эмпирической информации при выборе естественной параметризации, предложен способ задания системы ограничений, удобный для введения в систему уравнений подобия и последующей разработки условий идентифицируемости. В разделе 2.3 формулируются и доказываются условия идентифицируемости для модельных структур общего вида (условия ранга): необходимое и достаточное условие локальной идентифицируемости и достаточное условие глобальной идентифицируемости. Приводится процедура анализа идентифицируемости с использованием условий ранга. Применение процедуры иллюстрируется примером анализа идентифицируемости одной модели химической кинетики.

В разделе 2.4 мы определили три класса модельных структур, являющихся подмножествами общего множества, для которого построены условия идентифицируемости в разделе 2.3. Учитывая ограничения, присущие каждому из рассматриваемых классов, удалось существенно снизить размерность матриц локальной и глобальной идентифицируемости по сравнению с общим случаем, и, следовательно, получить условия идентифицируемости более простого вида. Как следствие, для каждого из рассмотренных классов были получены условия порядка - неравенства, задающие минимально необходимое число ограничений, которые могут оказаться весьма полезными на этапе первоначального формирования идентифицируемой модельной структуры. 

В разделе 2.5 анализируется связь между рассмотренными в разделах 2.3 и 2.4 классами модельных структур, приводится последовательная процедура использования разработанных условий для анализа идентифицируемости. В разделе 2.6 сформулированы выводы по главе.

Глава 3. Анализ локально неидентифицируемых моделей. Элиминирование локальной неидентифицируемости. Данная глава посвящена разработке методов, которые направлены на дальнейшую работу с теми моделями, которые после проверки условия ранга оказываются локально неидентифицируемыми (модели неполного ранга).

В разделе ЗЛ предлагаются способы построения в рамках разрабатываемого подхода системы детерминирующих уравнений для нахождения числа и вида локально идентифицируемых параметрических функций, анализа идентифицируемости отдельных параметров для моделей неполного ранга. Данная система строится на основе анализа линейных связей между столбцами матрицы, ранг которой определяется при проверке условия локальной идентифицируемости. Для каждого класса моделей, введенных во второй главе, разработана соответствующая процедура формирования системы детерминирующих урав \9

нений. Рассмотрены примеры построения базиса локально идентифицируемых параметрических функций.

Техника построения системы детерминирующих уравнений для поиска ПФДЛО легла в основу разработки методов элиминирования локальной неидентифицируемости, рассмотренных в разделе 3.2. Предлагается два способа целенаправленного элиминирования локальной не идентифицируем ости: объединение модельных структур и добавление ограничений на системные параметры. Доказываются условия идентифицируемости модельной структуры, модифицированной с использованием этих методов. Раздел 3.3 содержит выводы по главе.

Глава 4. Анализ глобальной идентифицируемости и дискриминируемости модельных структур. В разделе 4.1 доказывается необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости, являющееся результатом дальнейшего развития условия ранга (достаточного условия), предложенного во второй главе. В соответствии с этим условием анализ глобальной идентифицируемости сводится к поиску всех соотношений, для которых не выполняется достаточное условие, и последующей проверке совместности систем уравнений, полученных в результате дополнения исходной системы уравнений подобия каждым из множества найденных соотношений. Описывается алгоритм поиска вышеупомянутых соотношений.

В разделе 4.2 вводится понятие сепараторов параметрического пространства. Обосновывается и уточняется гипотеза, задающая необходимое и достаточное условие истинности сепараторов. Использование данной гипотезы во многих случаях открывает перспективную возможность анализа глобальной идентифицируемости модельных структур на основе матрицы локальной идентифицируемости, что существенно сокращает сложность необходимых символьных вычислений (по сравнению с использованием матрицы глобальной идентифицируемости). В разделе 4.3 разрабатываемый в диссертации подход распространен для решения проблемы анализа дискриминирующих модельных структур. Доказано условие неразличимости, позволяющее построить эффективный алгоритм анализа дискриминируемости. В разделе 4.4 приводятся выводы по главе.

Глава 5. Условия идентифицируемости для моделей камерного типа. Данная глава посвящена разработке условий идентифицируемости для моделей специального вида, широко используемых на практике.

В разделе 5.1 рассматривается математическое описание моделей камерного типа. С использованием подхода, разработанного в предыдущих главах диссертации, произведен анализ идентифицируемости модельных структур цепного и звездного типа, являющихся основой построения более сложных камерных структур.

В разделе 5.2 рассматривается предельный случай, когда на элементы матрицы состояния наложены лишь балансовые ограничения. Для этого случая разрабротаны необходимые и достаточные условия идентифицируемости модели с балансовыми ограничениями, не требующие проведения символьных вычислений (условия порядка).

В разделе 5.3 проводится классификация исключающих ограничений. Все исключающие ограничения разделены на четыре группы по их влиянию на идентифицируемость модели, проанализирована независимость ограничений в каждой из групп. Разработаны условия идентифицируемости для модельной структуры, содержащей в числе прочих исключающие ограничения. В разделе 5.4 приводятся выводы по главе.

Глава 6. Практическое применение и исследование эффективности разработанного подхода. В разделе 6.1 приведена объединенная схема, отражающая основные этапы практической реализации разработанного в диссертации подхода к анализу локальной и глобальной идентифицируемости. Здесь же описаны возможности разработанного программного обеспечения. С использо 21

ванием разработанного программного обеспечения исследована идентифицируемость системы стабилизации летательного аппарата при различных откликах. В результате получены условия на физические параметры, при которых модель становится глобально идентифицируемой. Кроме того, получены условия идентифицируемости для класса моделей с матрицей состояний в форме Фробениуса, широко используемых в технических системах.

В разделе 6.2 исследуется эффективность предложенного в диссертации подхода к анализу структурной идентифицируемости. Для ряда моделей приведены результаты анализа с использованием трех методов: метода матриц Маркова, метода преобразования Лапласа и авторского подхода. Приведена таблица сравнения методов по времени счета и принципиальной возможности получения результатов. На примере камерных модельных структур цепного и звездного типа доказана эффективность предлагаемого метода для моделей больших размерностей. Для каждого из трех сравниваемых методов мы определили максимальную размерность модели заданного вида, для которой возможно получение результатов с использованием системы аналитических вычислений Maple.

В разделе 6.3 описывается построенный в диссертации электронный каталог сведений о структурных свойствах трехкамерных моделей: управляемости, наблюдаемости, идентифицируемости. Предложена иерархическая структура каталога, позволяющая избавиться от дублирования симметричных моделей и проводить оперативный поиск нужных моделей. Построены сводные таблицы результатов анализа трехкамерных моделей, позволяющие наглядно проиллюстрировать тенденции изменения структурных свойств модельной структуры при изменении некоторых характеристик.

В заключении сформулированы основные результаты исследования. В приложении представлены сведения о разработанном программном обеспечении и акты о внедрении результатов работы.

Автор приносит глубокую благодарность научному консультанту д.т.н., профессору Горскому В.Г., который на начальном этапе оказал огромное влияниеє на формирование темы исследования, а впоследствии проявлял большое внимание к работе, помогал ценными советами и консультациями, аспиранту Каргину С.А., совместно с которым был получен ряд результатов по глобальной идентифицируемости, дискриминируемости, разработано программное обеспечение. Хочется также поблагодарить родителей и семью за моральную поддержку, которая оказывалась на протяжении всей работы.  

Процедура анализа идентифицируемости с использованием условий ранга и порядка

Суммируя все, изложенное ранее, можно предложить следующую процедуру исследования идентифицируемости системных параметров модельной структуры в пространстве состояний.

Если сформировано множество независимых ограничений на системные параметры, то первоначально нужно проверить условие порядка. Если число ограничений меньше минимально необходимого количества, то сразу можно сделать вывод о локальной неидентифицируемости модельной структуры. Заметим однако, что условие (2.27) далеко от достаточного.

Если условие порядка выполняется, то следующим этапом является проверка условия ранга для СЛИ. Для его проверки необходимо вычислить ранг матрицы ТХ в (2.26). Заметим, что элементы этой матрицы есть функции элементов вектора независимых системных параметров р. Так как на этапе апри 79

орного анализа идентифицируемости оцениваемые параметры неизвестны, то естественно использовать вычисления в символьном виде. В настоящее время имеется много разнообразных программных средств для выполнения символьных вычислений (Mathcad, MAPLE, Mathematica и др.) со встроенными функциями, к числу которых принадлежит функция вычисления ранга матрицы, заданной в символьном виде. Для проверки условия (2.26) локальной идентифицируемости можно воспользоваться одной из таких встроенных процедур. Отметим однако, что символьные вычисления часто приводят к комбинаторному взрыву, когда лавинообразно возрастает сложность преобразуемых выражений и соответственно увеличивается потребность в вычислительных ресурсах. Следствием такого комбинаторного взрыва является невозможность продолжать вычисления. Именно поэтому символьные вычисления имеют ограниченный диапазон применения.

При вычислении ранга матрицы комбинаторный взрыв может быть следствием не только увеличения размерности матрицы, но и сложности выражений, составляющих элементы матрицы. Огромным преимуществом условий идентифицируемости, разрабатываемых в настоящей диссертационной работе, является то, что вид матриц, над которыми надо производить вычисления, максимально простой. Например, элементы матрицы ТХ в условии ранга (2.26) являются линейными функциями символьных переменных, составляющих вектор р. Это в значительной степени увеличивает размерность моделей, допускающих анализ идентифицируемости в символьном виде.

Однако всегда наступает предел, после которого символьный анализ не применим. В этом случае нет другого выхода, как использовать вычисления в численном виде. Для этого произвольным образом выбирается точка в параметрическом пространстве, и условие ранга проверяется для этой точки. Если условие выполняется для произвольной точки параметрического пространства, то с вероятностью 1 можно сделать вывод о структурной локальной идентифицируемости модельной структуры. В случае, если условие ранга не выполняется,

so численный анализ (в отличие от символьного) не дает дополнительной качественной информации, которая может помочь в преобразовании модельной структуры с тем, чтобы сделать ее идентифицируемой.

Если условие ранга для СЛИ выполняется, то следующий этап - анализ глобальной идентифицируемости. Для этого можно использовать достаточное условие (2.32). Важно отметить, что для проверки условия (2.32) мы не можем использовать встроенные процедуры вычисления ранга матрицы в символьном виде, так как элементы матрицы ГХ есть функции как р, так и р . Наша цель - определить соотношения между компонентами р и р , при которых ранг матрицы ГХ меньше числа ее столбцов. Встроенные же процедуры вычисляют ранг матрицы при условии, что символьные переменные независимы между собой. Следующее утверждение, являющееся следствием теоремы 2.2, дает конструктивный (но не слишком эффективный) метод проверки глобальной идентифицируемости с использованием условия (2.32).

Условия СГИ, представленные в этой главе, не являются необходимыми. Следовательно, если они не выполняются, то модель может оказаться СГИ. Позже, в главе 4, мы представим более эффективные алгоритмы проверки условий СГИ, а также основанные на достаточных условиях методы анализа глобальной идентифицируемости, гарантирующие выполнение и необходимого, и достаточного условия. 2.3.3. Пример анализа идентифицируемости с использованием условий ранга и порядка

Применим условия идентифицируемости, разработанные в предыдущем разделе, для анализа модельной структуры М], представленной в примере.

Построение и решение системы детерминирующих уравнений для поиска пфдло

В данном разделе мы подробно исследуем ситуацию, когда условие локальной идентифицируемости не выполняется. Для четырех классов модельных структур, выделенных в предыдущей главе, мы получим вид системы детерминирующих уравнений для поиска ПФДЛО.

Формула (3.4) задает непрерывное v— параметрическое семейство преобразований системных параметров, переводящих вектор параметров исходной модели в векторы системных параметров эквивалентных моделей [155]. Задавая различные значения вектора q параметров преобразования, мы получаем множество эквивалентных моделей. Параметрические функции, допускающие локальное оценивание (ПФДЛО), могут быть найдены, как инварианты преобразования (3.4). Таким образом, встает задача поиска функций системных параметров p(s), для которых выполняется условие инвариантности.

В силу того, что г компонент вектора системных параметров 5 могут быть представлены как функции независимых компонент, составляющих вектор р, т.е. s = s(p), функции р могут быть представлены как функции этих.

Итак, мы получили общий вид системы детерминирующих уравнений для поиска ПФДЛО. Базисные (функционально независимые) ПФДЛО, таким образом, могут быть получены с помощью решения системы однородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка вида (ЗЛО).

Система детерминирующих уравнений полностью определяется матрицей А(р). Так как для локально идентифицируемой модельной структуры данная

матрица вырождается и не содержит ни одного столбца, назовем эту матрицу матрицей локальной неидентифицируемости (СЛНИ-магрицейУ Заметим, что число столбцов этой матрицы, являющейся матрицей полного столбцового ранга, равно v и, следовательно, определяет дефект модели неполного ранга. В следующем разделе мы получим формулы для вычисления СЛНИ-матриц на основе вычисляемых при проверке условия ранга СЛИ-матриц для четырех классов модельных структур, рассмотренных в предыдущей главе. В заключение данного раздела обратим внимание на одно важное следствие, вытекающее из вида системы детерминирующих уравнений (3.10).

Предположим, что какая-либо строка матрицы Ар(р), соответствующая элементу pi вектора независимых системных параметров, состоит целиком из нулей. Отсюда и из (ЗЛО) следует, что соответствующая частная производная др/др/ не входит в систему (ЗЛО), т.е. система уравнений удовлетворяется для любых значений dp/dpj, в частности для

Наиболее простым независимым решением последнего уравнения является р = Pi, откуда следует условие инвариантности Рі =Pi свидетельствующее о локальной идентифицируемости параметра р{. Отсюда следует простой способ определения идентифицируемости отдельных параметров модели неполного ранга: если матрица Л Лр) содержит нулевые строки, то соответствующие этим строкам элементы вектора независимых параметров являются СЛИ.

И, наконец, сделаем последнее замечание, касающееся числа СЛИ и СЛНИ параметров в модели неполного ранга с дефектом v. Так как матрица р(р) должна содержать невырожденную квадратную подматрицу порядка у (для того, чтобы выполнялось условие rg А (р) = v), строки которой, естественно, соответствуют СЛНИ параметрам, то число независимых СЛНИ параметров не может быть меньше v. Соответственно число независимых СЛИ параметров модели неполного ранга не превышает N-r — v.

Утверждение 3.1. Предположим, что модельная структура (3.1) с ограничениями (3.2) на вектор системных параметров, является моделью неполного ранга с дефектом v. Тогда число v является нижней границей для числа независимых СЛНИ параметров) а число N — r — v является верхней границей числа независимых СЛИ параметров.

Вычисление СЛНИ-матриц для основных классов модельных структурВ данном разделе мы получим формулы для вычисления СЛНИ-матрицы для четырех рассмотренных в главе 2 классов модельных структур. Сначала рассмотрим модельную структуру (3.1) с естественной параметризацией и с ограничениями (3.2) на вектор системных параметров.

Умножая первое равенство системы (3.12) слева на матрицу Г и учитывая при этом второе равенство этой системы, получаем

ГХ(рЩр) + ГА(р) = ГХ(р)Цр) = О. Заметим, что ГХ(р) - это матрица локальной идентифицируемости, участвующая в формулировке условия СЛИ для модельной структуры рассматриваемого вида. Матрица L(p) таким образом, состоит из столбцов, составляющих базис нуль-пространства (ядра) линейного преобразования, задаваемого матрицей ГХ(р). Если матрица ГХ(р) имеет полный столбцовый ранг (модель является С ЛИ), то матрица L(p) состоит из одного нулевого элемента. Отметим, что функция вычисления базиса нуль-пространства матрицы присутствует в качестве встроенной функции в программных системах символьных вычислений и может быть использована для вычисления матрицы L(p) (например, в системе Maple V такая функция называется nuiispaee или, эквивалентно, kernel).

Необходимые и достаточные условия глобальной идентифицируемости

Во второй главе мы получили условия локальной и глобальной идентифицируемости моделей в пространстве состояний, проверка которых дает простой тест для этих свойств модельной структуры. Однако если условие для проверки локальной идентифицируемости является как необходимым, так и достаточным, то условие глобальной идентифицируемости является лишь достаточным. Это означает, что если условие не выполняется, то мы не можем стопроцентно утверждать, что модель не является СГИ. Хотя вероятность последнего утверждения достаточно высока (что подтверждается исследованием большого множества модельных структур), тем не менее, встречаются случаи, когда условие ранга для СГИ не выполняется, а модель, в конечном счете, все-таки оказывается СГИ. Исследование этих случаев представляет несомненный интерес.

Кроме того, проверка условий СЛИ и СГИ связана с вычислением ранга соответствующей СЛИ или СГИ - матрицы. Однако если ранг СЛИ-матрицы может быть вычислен с использованием стандартных алгебраических процедур, встроенных в системы символьных вычислений, то для вычисления ранга СГИ-матрицы такие процедуры не годятся, так как символьные переменные, от которых зависят элементы матрицы, не являются независимыми друг от друга. Суть анализа глобальной идентифицируемости заключается в поиске равенств, связывающих символьные элементы (координаты двух точек в параметрическом пространстве), для которых СГИ-матрица имеет неполный ранг, и последующем анализе этих равенств. Утверждение 2.1 дает конструктивный способ поиска таких равенств. Однако он не является эффективным, и зачастую непосредственное решение системы уравнений подобия может быть осуществлено быстрее, чем использование этого способа.

Данная глава посвящена нахождению эффективных способов нахождения множеств ненулевой меры, для которых СГИ-матрица имеет неполный ранг, и выяснению их роли в существовании дополнительных решений задачи идентификации. Вводится понятие сепараторов — гиперповерхностей, разделяющих параметрическое пространство на области, в каждой из которых существует только одно решение задачи параметрической идентификации. Знание сепараторов позволяет элиминировать глобальную неидентифицируемость путем наложения ограничений на параметры в виде неравенств, выделяющих область с единственным решением задачи параметрической идентификации. Такой способ элиминирования глобальной неидентифицируемости удобно использовать при построении численных процедур оценивания параметров.

С проблемой идентифицируемости модельной структуры тесно связана проблема различимости модельных структур. Эта проблема может быть актуальной в том случае, когда для описания процесса можно предложить две или более конкурирующих модельных структур.

Проблема различимости (дискриминируемое) модельных структур является менее проработанной, чем проблема структурной идентифицируемости. Ее разрешение требует ответа на вопрос о совместности или несовместности системы нелинейных алгебраических уравнений. Проблема громоздких аналитических вычислений стоит здесь еще более остро, чем при анализе структурной идентифицируемости. Подход, предлагаемый в данной главе, позволяет сгенерировать систему уравнений, являющуюся линейной по части переменных. Это дает возможность применить условие совместности линейных систем для исключения переменных, входящих в систему линейно, и тем самым сократить размерность задачи. Эта идея легла в основу разработки эффективного метода анализа дискриминируемости конкурирующих модельных структур.

В предыдущих разделах был предложен метод анализа глобальной идентифицируемости, позволяющий заменить решение системы уравнений подобия (4.3) последовательностью проверок на совместность некоторых промежуточных систем уравнений вида (4.7). Каждая из таких систем в случае совместности дает независимое подмножество решений системы (4.3). Все множество решений исходной системы (4.3) является объединением непересекающихся множеств решений совместных систем вида (4.7) плюс тождественное решение

в =0. Если получение решения промежуточных систем в символьном виде не представляется возможным, то можно определить минимальное число решений задачи параметрической идентификации, равное числу совместных систем плюс один.

Предлагаемый в данном разделе подход к анализу глобальной идентьи-фицируемости использует идею сепараторов параметрического пространства. Понятие сепаратора параметрического пространства было впервые введено в публикации [129]. В этой публикации дается определение так называемых "сильные сепараторы" как подпространств параметрического пространства (размерности на единицу меньшей, чем число неизвестных параметров), на которых матрица состояний Л не может быть диагонализирована (метод рассматривается для случая, когда неизвестные параметры содержатся лишь в матрице

На основе теоремы о коэрцитивйости по норме [165] в [129] доказано, что сильные сепараторы делят параметрическое пространство на различные связные области таким образом, что каждая такая область содержит одно и только одно решение задачи параметрической идентификации. Таким образом, число решений задачи идентификации можно определить, как число связных подобластей, на которые делится параметрическое пространство.

Применение условий идентифицируемости для анализа базовых модельных структур камерного типа

По структуре внутренних связей между камерами различают звездные, цепные, циклические модели и модели произвольной структуры.

Звездными (mammillarv ) называются модели систем, в которых имеется одна центральная камера, которой присваивается номер 1, и остальные периферические камеры. Вещество обычно вводится в центральную камеру и из нее же выводится в окружающее пространство. Центральная камера обменивается массой с периферическими, однако последние между собой не связаны. На скорости потоков изначально накладываются ограничения .

Цепными (catenary) именуются модели систем, в которых камеры связаны между собой последовательно. В этом случае их можно занумеровать так, что только потоки fij+\ и fi+] І (1 і п 1) могут быть не равными нулю. На потоки во внешнее пространство ограничений не накладывается.

Модели произвольной структуры - это модели, которые могут быть составлены из подмоделей указанных выше типов. В следующих подразделах будет произведен анализ идентифицируемости параметров полностью замкнутых модельных структур цепного и звездного с использованием условий идентифицируемости, разработанных в предыдущих главах. На элементы матрицы А помимо (я-1)(м-2) исключающих ограничений, соответствующих нулям в матрице А, накладывается п балансовых ограничений и что соответствует отсутствию потоков из камер в окружающую среду. Таким образом, мы рассматриваем полностью замкнутую цепную модель.

По условию порядка, для того, чтобы цепная модель была локально идентифицируемой, необходимо, чтобы на матрицу А было наложено не менее чем {п-к\п-т) линейно независимых ограничений. Поскольку в нашем случае.

Остальные столбцы блока-столбца матрицы y/2d$(J ,J ) линейно независимы между собой. Все блоки-столбцы матрицы \j/2di{J ,J ) также линейно независимы между собой. Таким образом, матрица i//2&i(J ,J ) имеет ранг (и-1)2 -(л-1)=(и-1Хи-2).

Чтобы найти ранг матрицы yfc4(Jl,J2), надо к рангу матрицы i//2 Jl(J ,J ) прибавить ранг матрицы, получаемой из столбцов матрицы ц/\ Л{3 ,J ), стоящих над нулевыми столбцами матрицы y/j iJ , J ) Можно показать, что это будет матрица AT(Jl). Она имеет полный столбцовый ранг, равный (о-і). Следовательно, матрица \$ A(J ,J ) имеет полный столбцовый ранг, равный.

Таким образом, условие ранга, сформулированное в утверждении 2.8 и являющееся необходимым и достаточным условием локальной идентифицируемости, выполняется. Таким образом, цепная модель является структурно локально идентифицируемой.

Следовательно, условие (2.70) - достаточное условие глобальной идентифицируемости - выполняется, т.е. цепная модель с полным набором балансовых ограничений является глобально идентифицируемой.

Однако, как показывают экспериментальные исследования, все сепараторы ам a\j = 0 оказываются истинными, генерируя всего (и -1)! неразличимых точек в параметрическом пространстве. Таким образом, модель звездного типа представляет собой пример локально идентифицируемой камерной модели, не являющейся глобально идентифицируемой даже при наложении максимального количества балансовых ограничений (мы рассматривали полностью замкнутую модельную структуру).

В соответствии с таким видом матриц управления и наблюдения все компоненты вектора состояния можно разбить на четыре группы: первые q непосредственно управляемых и наблюдаемых компонент (У-//)> следующие к — q непосредственно управляемых ненаблюдаемых компонент (У-НН), следующие m~q непосредственно неуправляемых наблюдаемых компонент (НУ-Н), и, наконец, последние п-k-m+q непосредственно неуправляемых ненаблюдаемых компонент (НУ-НН). Отметим, однако, что вектор состояния необязатель- но содержит все четыре группы компонент. Множества J и J , необходимые для формирования матрицы идентифицируемости из условия (2.68), состоят из индексов неуправляемых (НУ-Н и НУ-НН) и ненаблюдаемых (У-НН и НУ-НН) компонент вектора состояния соответственно.