Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Построениие характеристик и соотношений на них для пространственного напряженное сотояния при условии пластичности Мизеса
1.1. Моделирование напряжённого состояния пластического материала 15
1.2. Гипотеза пространственного пропорционального нагружения 24
1.3.1. Характеристики уравнений пространственного напряженного состояния в общем случае 28
1.3.2. Характеристики уравнений пространственного напряженного состояния при условии полной пластичности Хаара-Кармана 36
1.3.3. Характеристики уравнений плоского напряженного состояния 47
1.4.1. Соотношения вдоль характеристических плоскостей общей пространственной задачи 50
1.4.2. Соотношения вдоль характеристических плоскостей пространственной задачи при условии полной пластичности Хаара-Кармана 51
1.4.3. Соотношения вдоль характеристических линий в плоском напряженном состоянии задачи 53
1.5. Условия совместности на поверхностях разрыва напряжений 55
Основные выводы по первой главе 60
Глава II. Конечно-разностный метод определения напряжённого состояния пространственных задач теории идеальной пластичности
2.1.1. Численный алгоритм решения начальной задачи Коши в общем случае пространственного напряженного состояния 61
2.1.2. Численный алгоритм решения Гурса задачи на характеристиках в общем случае пространственного напряженного состояния 68
2.1.3. Численный алгоритм решения смешанной задачи в общем случае пространственного напряженного состояния 72
2.2.1. Численный алгоритм решения начальной задачи Коши в случае пространственного напряженного состояния при условии полной пластичности Хаара-Кармана 74
2.2.2. Численный алгоритм решения задачи Гурса на характеристиках в общем пространственного напряженного состояния при условии полной пластичности Хаара-Кармана 77
2.2.3. Численный алгоритм решения смешанной задачи в общем случае пространственного напряженного состояния при условии полной пластичности Хаара-Кармана 78
2.3.1. Численный алгоритм решения начальной задачи Коши в случае плоского напряженного состояния 80
2.3.2. Численный алгоритм решения задачи Гурса на характеристиках в случае плоского напряженного состояния 82
2.3.3. Численный алгоритм решения смешанной задачи в общем случае плоского напряженного состояния 84
2.4. Программный комплекс расчёта пространственного напряжённого состояния задач о растяжении пластических тел с концентратами 85
2.5. Оценка погрешности линеаризированной задачи 105
Основные выводы по второй главе 108
Глава III. Характеристические поверхности и соотношения на них для пространственного деформированного состояния
3.1. Основные уравнения, определяющие пластическое-деформированное состоние 110
3.1.1. Характеристики поля скоростей перемещений в общем случае. Теоремы Генки 113
3.1.2. Характеристики плоского поля скоростей перемещений 117
3.2.1. Соотношения вдоль характеристик в общем случае 120
3.2.2. Бихарактеристики поля скоростей перемещений 122
3.2.3. Соотношения вдоль характеристик плоском случае 123
3.3. Условия совместности на поверхностях разрыва 124
Основные выводы по третьей главе 126
Глава IV. Конечно-разностные схемы решения пространственных задач в общем случае
4.1. Построение численных алгоритмов нахождения пространственного деформированного состояния 127
4.2.1. Численный алгоритм решения начальной задачи Коши пространственного деформированного состояния 128
4.2.2. Численный алгоритм решения задачи Гурса на характеристиках пространственного деформированного состояния 131
4.2.3. Численный алгоритм решения смешанной задачи пространственного деформированного состояния 134
4.3.1. Численный алгоритм решения начальной задачи Коши плоского деформированного состояния 137
4.3.2. Численный алгоритм решения задачи Гурса на характеристиках плоского деформированного состояния 139
4.3.3. Численный алгоритм решения смешанной задачи плоского деформированного состояния 141
4.4. Пример численного расчёта деформированного состояния 142
Основные выводы по четвёртой главе 144
Заключение 145
Библиографический список 146
- Гипотеза пространственного пропорционального нагружения
- Численный алгоритм решения Гурса задачи на характеристиках в общем случае пространственного напряженного состояния
- Характеристики поля скоростей перемещений в общем случае. Теоремы Генки
- Численный алгоритм решения начальной задачи Коши пространственного деформированного состояния
Введение к работе
Актуальность работы определяется тем, что в современных условиях развития науки и техники, в условиях широкого применения новых материалов с заранее заданными свойствами, встала необходимость проводить расчёты напряжённо-деформированного состояния более широкого класса пространственных задач теории идеальной пластичности, которые не обладают осевой симметрией и требуют разработки новых математических моделей. Построение таких моделей, рассмотренных в данной диссертации, связано со сложностью решения пространственных задач в случае использования условия пластичности Треска, а также с проблемой незамкнутости модельных уравнений идеальной пластичности при условии Мизеса, которая не была решена полностью до настоящего времени, несмотря на довольно длительную историю исследований в этой области.
Одними из первых работ по математическому моделированию течения пластического материала были выполнены Б. Сен-Венаном и М. Леви в 1870 году. Б. Сен-Венан получил соотношения для плоской деформации, а М. Леви, используя такую же методику, получил уравнения в трёхмерном случае. А. Хаар и Т. Карман в 1909 году предложили использовать условие полной пластичности, которое соответствует напряжённому состоянию на ребре призмы Треска. Соотношения пространственной задачи в этом случае приводят к статической определимости.
В 1944 году А.Ю. Ишлинский исследовал осесимметричную задачу при условии полной пластичности Хаара-Кармана и получил статическую определимость и гиперболичность пространственной задачи.
В исследованиях Д.Д. Ивлева было установлено фундаментальное значение условия полной пластичности, а также гиперболичность, статическая определимость математической модели пластичности при условии Треска, получены уравнения характеристик и соотношений на них. В его ис-
следованиях было показано, что полученные характеристики пространственной задачи при условии полной пластичности Хаара-Кармана образуют конус вокруг третьего главного направления с углом раствора я/4, который касается площадок максимальных касательных напряжений. Было также показано совпадение характеристических плоскостей с площадками максимальных касательных напряжений.
Г.И. Быковцевым совместно с Ю.М. Мяснянкиным были получены соотношения на поверхностях разрыва напряжений в трёхмерных идеальных жёсткопластических телах.
Значительный вклад в построение и исследование математической модели пластического материала внёс Ю.Н. Радаев. В его работах развита общая теория математической пластичности с условием пластичности Треска и обобщённым ассоциированным законом. Им был получен ряд новых результатов в случае плоского деформированного и осесимметричного состояния, дополняющих известные теоремы о геометрии поля скольжения.
Большое влияние на исследования в данной области оказали работы Б.Д. Аннина, А.А. Буренина, Г.И. Быковцева, Н.Д. Вервейко, В.Г. Зубчани-нова, А.А. Ильюшина, А.Ю. Ишлинского, Д.Д. Ивлева, Л.М. Качанова, В.А. Кукуджанова, Л.А. Максимовой, В.П. Мясникова, Ю.М. Мяснянкина, Л.В. Никитина, Ю.Н. Радаева, Т.Д. Семыкиной, В.В. Соколовского, Л.А. Толо-конникова, Е.И. Шемякина, С.А. Христиановича и др.
В основополагающих трудах А.А. Самарского в области компьютерного математического моделирования в естествознании, разработаны конечно-разностные методы и подходы, позволяющие решать многие проблемные задачи науки и техники, в том числе, по нахождению напряжённо-деформированного состояния плоских и осесимметричных задач.
Значительное влияние на развитие в России теории математического моделирования, методов нелинейной динамики оказали также научные тру-
7 ды и большая организационная работа Б.Н.Четверухина, СП. Курдюмова, С.А. Редкозубова, Г.Г. Малинецкого и др.
Заслуживают внимания и представляют определенный интерес работы С.А. Редкозубова, А.В. Крутова, А.В. Воробьева, А.И. Шашкина, связанные с кинематико-геометрическим моделированием. В частности, работы по моделированию задач нелинейной динамики на основе соотношений самоподобия, по прогнозированию поведения в сложных условиях, по геометрическому моделированию в задачах полной пластичности на основе так называемой песчаной аналогии, в которых получены оригинальные соотношения и установлен ряд новых фактов и закономерностей, в том числе, геометрического характера, представляющих общетеоретический интерес и позволяющих получать решения и интерпретировать результаты в широком круге прикладных задач.
Однако, даже при таком интенсивном и длительном исследовании методами математического моделирования процессов пластического течения и деформирования, оставался открытым вопрос построения замкнутой математической модели задачи пластического течения материала Мизеса, сформулированной для пространственного напряжённого состояния. На устранение этого и других пробелов и были направлены усилия при постановке задач и выполнении работы.
Диссертация посвящена построению математической модели пластического материала Мизеса, представленной в виде замкнутой системы уравнений в частных производных, а также разработке методов решения пространственных задач, построению численных алгоритмов с реализацией их на ЭВМ с помощью разработанного комплекса программ.
В общем пространственном случае исследуется напряжённое состояние на ребре, которое получено пересечением двух касательных к поверхности Мизеса плоскостей, зависящих от произвольного параметра tgcp напряжён-
8 ного состояния. При определённом значении данного параметра, характеризующегося отношением второго главного касательного напряжения к первому, исследуемые плоскости совпадают с гранями призмы Треска. Путем привлечения гипотезы пропорционального нагружения, когда все три главных напряжения зависят от одного параметра, в работе достигнута статическая определимость пространственной задачи.
Дели и задачи исследования. Целью проведённой работы является разработка модифицированной математической модели пластического материала Мизеса, методов, вычислительных алгоритмов и комплекса программ для расчёта пространственного пластического напряжённого и деформированного состояния. Поставленная цель достигается посредством:
-линеаризации нелинейного условия пластичности Мизеса;
-введением и обоснованием гипотезы пропорционального нагружения, являющейся модифицированным условием полной пластичности;
-получением из общей математической модели (с использованием условия полной пластичности Хаара-Кармана) уравнений для плоского и пространственного напряжённых состояний;
-нахождением характеристик, соотношений на них для различных задач (Коши, Гурса, смешанной) в случае пространственного напряжённо-деформированного состояния при условии полной пластичности Хаара-Кармана и гипотезе пропорционального нагружения в общем случае, а также для плоского напряженно-деформированного состояния;
-получением конечно-разностных схем для решения задач Коши, Гурса, смешанной и численным расчётом поля напряжений, поля скоростей перемещений для различных напряжённых состояний;
-применением данных конечно-разностных схем для расчёта полей напряжений, скоростей перемещений различных пространственных задач теории пластичности.
Методы исследования. Методами исследования в диссертационной работе являются аналитические точные и численные приближенные итерационные методы, а также численные методы конечных разностей, методы решения и анализа краевых задач для систем уравнений в частных производных, представляющих математическую модель, а также методы программирования на языках Object Pascal, C++.
Положения, выносимые на защиту:
1. Обоснование статической определимости математической модели
идеальной пластичности путём линеаризации условия пластичности Мизеса;
Гипотеза пропорционального нагружения, являющаяся модифицированным аналогом условия полной пластичности Хаара-Кармана;
Метод характеристик решения пространственных задач идеальной пластичности в напряжениях (Коши, Гурса, смешанная) для линеаризированных условий пластичности Мизеса при гипотезе пропорционального нагружения;
Разработка программ расчёта напряжённого и деформированного состояний для плоских и пространственных задач теории идеальной пластичности и, соответствующие им, конечно-разностные схемы расчёта напряжённого и деформированного состояний;
Апробация предложенных программ для численных расчётов конкретных практических задач.
Научная новизна результатов исследования состоит в том, что: -построена математическая модель пластического материала Мизеса, установлена статическая определимость и гиперболичность пространственной задачи теории пластичности в напряжениях при выполнении гипотезы пропорционального нагружения;
-найдены уравнения характеристических плоскостей и соотношения вдоль них для напряжённого и деформированного состояния в плоском и пространственном случаях при гипотезе пропорционального нагружения и
10 выполнении условия полной пластичности для линеаризированных условий пластичности Мизеса;
-для направляющих косинусов нормалей полученных характеристик построены их конкретные выражения через ориентацию главных напряжений и параметр напряжённого состояния, что позволяет записать соотношения вдоль характеристических плоскостей;
-представлены конечно-разностные схемы для плоского и пространственного напряженного и деформированного состояний при условии полной пластичности и гипотезе пропорционального нагружения для линеаризированных условий пластичности Мизеса;
-разработан численный алгоритм решения плоских и пространственных задач, а также комплекс программ на языках Object Pascal, C++, позволяющий рассчитывать напряженное и деформированное состояние для конкретных задач идеальной пластичности.
Достоверность исследований, проведенных в диссертационной работе, основывается на правильно сформулированной математической модели, правильности применения математического аппарата теории уравнений в частных производных, теории конечно-разностных схем и использовании современных языков программирования. Достоверность проведенных исследований подтверждается также тем, что полученные результаты совпадают с имеющимися в частных случаях классическими, если в использованной гипотезе пропорционального нагружения задать параметры, входящие в условия пластичности конкретным образом.
Практическая значимость исследования состоит в возможности применения метода характеристик и разработанного комплекса программ для большего спектра пространственных задач теории пластичности, в том числе задач, не обладающих осевой симметрией. Разработанный метод и программное обеспечение позволяют рассчитывать предельные напряжённое и деформированное состояния тел различной формы при заданной нагрузке.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета 2004-2007 г.г.; научных сессиях факультета ПММ Воронежского государственного университета 2004-2007 г.г.; на Воронежской школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» 2004 г., 2005 г., посвященной 75-летию профессора Д.Д. Ивлева, и 2007 г., посвященной 70-летию профессора Г.И. Быковцева; на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения -XVI» - «Современные методы теории краевых задач», посвященной 100-летию академика СМ. Никольского; в VI, VII и VIII Международных научно-технических конференциях «Авиакосмические технологии», 2005-2007 г.г.; на Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики», посвященной 70-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова ИАПУ ДВО РАН, 2006 г. Материалы по диссертации размещены также в сети Интернет на сайте Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина по адресу:
Публикации. По теме диссертации в рамках исследуемой темы опубликовано 16 научных работ, перечень которых приведён в конце диссертации, в том числе — 2 в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и библиографического списка из 161 наименования. Работа изложена на 161 странице, а также содержит 3 таблицы и 19 рисунков.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы и задачи исследования, научная новизна диссертационной работы, вы-
12 носимые на защиту научные положения и результаты. Проведено обоснование гипотезы пропорционального нагружения, которая является модифицированным обобщённым вариантом условия полной пластичности Хаара-Кармана, а также дана краткая аннотация по главам и краткий обзор работ, касающихся темы диссертации.
В первой главе исследованы на гиперболичность и статическую определимость плоская и пространственные задачи идеальной пластичности для линеаризированных условий пластичности Мизеса при гипотезе пропорционального нагружения, а также при условии полной пластичности Хаара-Кармана. В данной главе было показано, что пространственная задача теории идеальной пластичности при линеаризированных условиях Мизеса статически определима и гиперболична как при условии полной пластичности Хаа-ра-Кармана, так и для модифицированного условия пластичности при гипотезе пропорционального нагружения. Были найдены уравнения характеристик пространственной и плоской задачи идеальной пластичности, а также соотношения на них и проведён анализ разрывных решений для напряжённого состояния.
Во второй главе рассмотрены численные методы решения задач идеальной пластичности напряжённого состояния (Коши, Гурса, смешанная) для линеаризированных условий пластичности Мизеса при гипотезе пропорционального нагружения, при выполнении условия полной пластичности Хаара-Кармана, а также плоской задачи теории пластичности. Для всех перечисленных задач, соответствующих напряжённых состояний, получены конечно-разностные схемы определения напряжённого состояния. Приведены примеры расчёта напряжённого состояния для плоских и пространственных задач с помощью комплекса программ, в основу разработки которого легли конечно-разностные схемы задач Коши, Гурса и смешанной, построенные в данной главе. Полученные результаты были сопоставлены с решениями соответствующих нелинейных задач, в результате чего было выявлено, что их разли-
13 чиє определяется малыми ограниченными функциями, зависящими от погрешности линеаризации є.
В третьей главе исследуется деформированное состояние для пространственных и плоских задач теории идеальной пластичности. Для уравнений, характеризующих деформированное состояние в плоском и пространственном случаях, исследуются уравнения характеристик, бихарактеристик, а также дифференциальные соотношения, выписанные вдоль них. В данной главе были также сформулированы теоремы Генки, определяющие основные свойства характеристик, а также полученные кинематические соотношения на поверхностях разрыва скоростей перемещений для деформированного состояния.
В четвёртой главе приводятся численные методы решения пространственных и плоских задач теории идеальной пластичности (Коши, Гурса, смешанной) по определению деформированного состояния. Для всех перечисленных задач приводятся конечно-разностные схемы в скоростях перемещений. При этом направляющие косинусы, ориентирующие главные напряжения, а также функции от них, входящие в данные конечно-разностные схемы в качестве коэффициентов, считаются рассчитанными из соответствующих конечно-разностных схем для напряжённого состояния. В данной главе был также приведён пример расчёта плоского деформированного состояния полосы, ослабленной V-образным вырезом, с помощью комплекса программ, в основу разработки которого легли конечно-разностные схемы задач Коши, Гурса и смешанной, полученные в данной главе.
Заключение содержит анализ и оценку вклада автора, проведённых исследований, а также значимость и практическую ценность полученных результатов.
Личный вклад автора определяется тем, что: 1) диссертация выполнена персонально автором; 2) автор самостоятельно участвовал в формулировке задачи по построению замкнутой математической модели пространст-
14 венного течения материала; 3) под руководством научного руководителя получены характеристики дифференциальных уравнений математической модели и дифференциальные соотношения вдоль них; 4) самостоятельно построены конечно-разностные схемы 1-го порядка точности; 5) самостоятельно разработан комплекс программ для расчёта плоского и пространственного напряжённого состояния; 6) самостоятельно исследовал различные варианты условия полной пластичности.
Автор благодарен своему научному руководителю доктору технических наук, профессору Николаю Дмитриевичу Вервейко за постоянное внимание и поддержку, оказанную в данной работе.
Гипотеза пространственного пропорционального нагружения
Введение данной гипотезы необходимо для замыкания системы дифференциальных уравнений равновесия, описывающих пространственную математическую модель пластического материала с использованием условия Мизеса. Построение статически определимой системы уравнений связано с рассмотрением дополнительного условия полной пластичности Хаара-Кармана или наложением дополнительных предположений на линейно-зависимую систему (1.5). В первом случае при использовании условия полной пластичности Хаара-Кармана получается задача, аналогичная рассмотренной Д.Д. Ивлевым [46], которая является статически определимой и гиперболичной. Это обосновано тем, что при равенстве двух главных напряжений, параметр tg(p становится постоянным из любого уравнения, входящего в систему (1.5). При этом система (1.5) описывает ребро призмы Треска с увеличенным пределом пластичности к2. Таким образом, система уравнений идеальной пластичности при линеаризированных условиях Мизеса и условии полной пластичности Хаара-Кармана статически определима и гиперболична. Во втором случае замыкание системы уравнений идеальной пластичности сводится к рассмотрению гипотезы пропорционального нагружения, которая состоит в том, что все три главных напряжения являются функциями одного параметра, в качестве которого может быть использован tgcp, определяющий отношение второго главного касательного напряжения к первому. Введение данного параметра связано с зависимостью от него главных касательных напряжений на ребре (1.5), образованного пересечением аппроксимирующих поверхность Мизеса плоскостей. Из всего вышесказанного можно заключить, что гипотеза пропорционального нагружения (главные напряжения являются функциями параметра tgcp) является модифицированным наиболее общим аналогом условия полной пластичности Хаара-Кармана (два главных напряжения являются линейными функциями третьего).
Уравнения (1.7) также характеризуют напряжённое состояние в общем случае. При этом, в частности, при определённом выборе параметров А, В и параметра напряжённого состояния tg(p можно получить, как пространственный случай, соответствующий ребру призмы Треска с увеличенным пределом пластичности к2 (гипотеза полной пластичности Хаара-Кармана), так и случай плоского напряжённого состояния.
Условия пластичности, соответствующие гипотезе пропорционального нагружения (1.7) при параметре tgcp-ъю, приводят к следующим соотношениям с учётом значений пределов (1.8) для главных напряжений при условии полной пластичности Хаара-Кармана: сг, = k24l В; а2=к24ї-В\ а3 = k2Jl-(B-І). (1.9) Сравнение главных напряжений в условиях (1.9) приводит к следующему соотношению: сг, = о2 = сг3 -к2V2. (1-Ю) Условие (1.10) соответствует ребру призмы Треска с увеличенным пределом пластичности к2.
Таким образом, пространственная задача идеальной пластичности при условии полной пластичности Хаара-Кармана следует из гипотезы пропорционального нагружения как частный случай при конкретном значении параметра tg p. При этом полученные условия (1.9) будут удовлетворять и линеаризированным условиям Мизеса (1.3), и нелинейному условию Мизеса с увеличенным пределом пластичности (1.6).
Сравнение данных условий пластичности (1.12), соответствующих плоскому напряжённому состоянию, с соотношениями (1.7), соответствующими гипотезе пропорционального нагружения, приводит к выводу, что система уравнений (1.12) следует из системы (1.7), путём выбора параметров А = О и 5 = 1. При этом равенство нулю третьего главного напряжения ( т3 = 0) получается из последнего уравнения (1.7) автоматически.
Таким образом, условия пластичности в случае плоского напряжённого состояния, а также для пространственного случая при условии полной пластичности Хаара-Кармана, характеризуемые уравнениями (1.12) и (1.9) соответственно, удовлетворяют гипотезе пространственного пропорционального нагружения (1.7) при задании параметров А, В, tgcp конкретным образом. 1.3.1. Характеристики уравнений пространственного напряженного состояния в общем случае
Исследование математической модели пластического напряжённого состояния материала в пространственном случае сводится к рассмотрению уравнений равновесия совместно с условиями пластичности, соответствующими гипотезе пространственного пропорционального нагружения (1.7). Предварительно в поставленной задаче следует выразить тензор напряжений (Ту через главные напряжения сг,. и направляющие косинусы Су, ориентирующие их в пространстве, по формуле: 0 = 7/- /-0-/. (1.13).
Численный алгоритм решения Гурса задачи на характеристиках в общем случае пространственного напряженного состояния
Задача Гурса состоит в построении решения в точках, находящихся внутри области, ограниченной двумя пересекающимися характеристиками, на которых напряжённое состояние известно, то есть, зная решение на характеристических плоскостях APHD и ВРНС, требуется определить его в точке О (рис.5). Как и в предыдущем разделе, начальным этапом построения решения является введение вдоль каждой из характеристических поверхностей APHD и ВРНС своей собственной системы координат, а также представление полных дифференциалов функций, входящих в соотношения вдоль характеристик, относительно данных направлений. Полученные уравнения в частных производных, записанные на противоположных гранях пирамиды и плоскостях, параллельных им, необходимо представить в конечно-разностной форме для нахождения решения в точке О. Как видно из рисунка (рис.5), следует рассматривать дифференциальные соотношения вдоль плоскости OR, параллельной характеристики APHD, и плоскости LO, параллельной ВРНС, так как характеристики LO и OR содержат точки L, R, решение в которых известно и точку О, где необходимо его определить. Исследование соотношений (1.65), произведённое в предыдущем разделе, для направляющих косинусов нормалей, позволило получить дифференциальные соотношения для индекса р = \ в системе (2.6) вдоль характеристических поверхностей APHD и ВРНС (ADK и ВСК) в случае пространственного напряжённого состояния при гипотезе пропорционального нагружения. Аналогичным образом могут быть получены соотношения вдоль характеристик LO и OR, которые также будут соответствовать данным уравнениям при индексе р = 1 в системе (2.6).
Смешанная задача состоит в нахождении параметра напряжённого состояния П(# ) в точках плоскости, которая не является характеристической, исходя из того, что направляющие косинусы на ней известны Vy и известно решение П( ), V/j вдоль одной из характеристик.
Другими словами, зная в характеристической плоскости APHD значения функций 1\{ р), Vy и в плоскости ABCD направляющие косинусы v , требуется определить напряжённое состояние П( ) в точке О (рис.6). Для построения решения вдоль характеристической плоскости ВРНС вводится своя собственная система координат, и относительно неё расписываются полные дифференциалы функций, входящие в соотношение вдоль данной характеристики. Для получения численного решения следует рассмотреть дифференциальное соотношение вдоль линии LO, которая параллельна характеристической плоскости ВРНС. Дифференциальное уравнение вдоль характеристики LO, записанное относительно введённой системы координат в частных производных, необходимо представить в конечно-разностном виде для нахождения решения в точке О.
Выбор характеристики LO обусловлен тем, что она параллельна характеристической плоскости ВРНС и содержит точки L,0 необходимые для расчёта. Решение в точке L известно, а в точке О известны направляющие косинусы, и необходимо определить параметр напряжённого состояния. Соотношение вдоль характеристики LO (ВРНС) в конечно-разностной форме, которое было найдено в предыдущем разделе, позволяет численно решать, поставленную таким образом задачу:
Дифференциальные соотношения вдоль каждой из рассматриваемых характеристических поверхностей ADK, ВСК, DCK, АВК запишутся следующим образом, исходя из общих соотношений вдоль характеристик (2.6), в предположении выполнения условия полной пластичности, а также уравнений (2.17), (2,18), (2.19): + (lk2 А/2 )" -da3+clp-dcl3 = 0, (р = 1,2). (2.20)
В соотношениях (2.20) индекс р = 1 соответствует плоскостям ADK, ВСК, а р = 2 плоскостям DCK, АВК. Получение конечно-разностной схемы решения задачи Коши связано с представлением полных дифференциалов, входящих в уравнения (2.20), относительно своих характеристических направлений, а также сложением данных уравнений, выписанных вдоль ортогональных характеристических плоскостей.
Характеристики поля скоростей перемещений в общем случае. Теоремы Генки
Исследование характеристических свойств системы уравнений (3.8), производится аналогичным образом, как и для дифференциальных уравнений, описывающих напряжённое состояние. Необходимо ввести в рассмотрение некоторую неподвижную поверхность f{X) = 0 в декартовой системе координат [34, 125], вдоль которой заданы значения всех функций, входящих в систему (3.8). Все производные данных функций однозначно определяются этими значениями на поверхности f{X) = 0 , если она не является характеристической. Если поверхность f{X) = О всё-таки является характеристической, то производные данных функций по нормали к характеристической поверхности не определены или определены неоднозначно. Для исследования характеристических свойств системы (3.8) следует рассматривать все величины L = tgq , Я, ипСу как функции точек на поверхности f{X) = О , для которых можно записать: L4 = (dLldf)-f4, (/ = 1,2,3). (3.9)
Таким образом, из (3.12) видно, что характеристики, полученные для деформированного состояния, совпадают с характеристическими поверхностями (1.39) для напряжённого состояния, полученных при использовании линеаризированных условий Мизеса совместно с условием полной пластичности Хаара-Кармана. Данные характеристики Х\,г составляют с направлением съ угол цх=±л IА и тем самым образуют конус характеристических нормалей Sx. Нормали характеристик %3 ортогональны направлению с3 и образуют плоскость характеристических нормалей S3 (рис.2). Компоненты а{ нормали п к характеристической поверхности для семейств Х\,2 Хъ М0ГУТ быть представлены с помощью соотношений (1.42), (1.43) соответственно, которые были найдены в первой главе для характеристик (1.39) напряжённого состояния. Система (1.44), описывающая полученные характеристики (1.39) в компонентах нормали п, также будет справедлива для характеристик деформированного состояния (3.12).
Рассмотрим основные свойства ортогональных характеристик. В соотношениях (3.13) функции, стоящие в правых частях первых двух уравнений, зависят от направлений {\,щ) и ( ъ) ортогональных характеристических плоскостей Х\ и Хг- показанных на рисунке (рис.3). Функция ф характеризует отклонение характеристической плоскости / от третьего главного направления с3 и определяется из (3.13) следующим образом.
Исследование характеристических свойств системы уравнений (3.20), производится аналогичным образом, как и в пространственном случае. Необходимо ввести в рассмотрение некоторую неподвижную поверхность f(X) = 0 в системе координат X = (x,,x2) [34, 125], вдоль которой заданы значения скоростей перемещений ui и угла , входящих в систему (3.20). Все производные данных функций однозначно определяются этими значениями на поверхности f(X) = 0 , когда она не является характеристической. Если поверхность f(X) = 0 характеристическая, то производные данных функций по нормали к характеристической поверхности не определены или определены неоднозначно.
Для нахождения поля деформаций пространственных задач следует выписать дифференциальные соотношения вдоль характеристик в случае пространственного деформированного состояния. Для этого необходимо преобразовать основные уравнения (3.11) к следующему виду: (с0 -сіщ +cl3-dui)-cn -fj +(св /, +с]3 -fj)-cl3 -dut =0, (/ = 2,3). (3.25)
Для получения дифференциальных соотношений в уравнения (3.25) следует подставить уравнения характеристик Х\,г (3.12). Так как вдоль одной характеристики %\,г необходимо только одно из полученных двух соотношений (3.21), то следует взять их линейную комбинацию.
Численный алгоритм решения начальной задачи Коши пространственного деформированного состояния
Решение задачи Гурса в случае плоского деформированного состояния заключается в том чтобы, построить его в точке находящейся внутри области, ограниченной двумя ортогональными характеристиками, где оно известно. Другими словами, зная решение на характеристиках АО, ВО требуется определить его в точке К (рис.19).
Для получения решения задачи Гурса следует воспользоваться дифференциальными уравнениями в частных производных (4.12), найденными в предыдущем разделе, а также представить их в конечно-разностной форме вдоль характеристик ВК и АК, которые параллельны характеристикам ОА и ОВ, рассмотренным в предыдущем разделе. Выбор данных характеристик ВК и АК обусловлен тем, что они содержат точки А и В, где решение известно, а также точку К, где необходимо его определить.
Для получения решения задачи Гурса следует воспользоваться дифференциальными уравнениями в частных производных (4.12), найденными в предыдущем разделе, а также представить их в конечно-разностной форме вдоль характеристик ВК и АК, которые параллельны характеристикам ОА и OB, рассмотренным в предыдущем разделе. Выбор данных характеристик ВК и АК обусловлен тем, что они содержат точки А и Л, где решение известно, а также точку К, где необходимо его определить.
Таким образом, система (4.16) является конечно-разностной схемой решения задачи Гурса на характеристиках для случая плоского напряжённого состояния. Конечно-разностная схема (4.16) состоит из 2-х линейных уравнений относительно переменных - (/ = 1,2), для определения величин ul (/ = 1,2) во внутренних точках К области, ограниченной характеристиками О А и ОВ, решение на которых известно (рис. 19).
Смешанная задача состоит в нахождении компонент щ , и2 на линии, которая не является характеристической, исходя из того, что на ней известна зависимость (4.8). При этом заданы значения функций щ , и2 вдоль одной из характеристик. Предполагая, что решение известно в характеристической плоскости АО (заданы значения функций щ,и2), а также на линии АВ известна зависимость (4.8), требуется определить компонент щ , иг в точке В (рис. 18). Для построения решения вдоль характеристической линии ВО необходимо воспользоваться дифференциальным уравнением в частных производных вдоль неё, то есть вторым уравнением (4.12) и представить его в конечно-разностном виде, используя соотношения (4.13). В этом случае, привлекая дополнительное соотношение (4.8), можно получить следующую конечно-разностную схему относительно скоростей перемещений щ: (и?41 -и?)+tg(ciJ+l +КІАЩ -4)=0; а-и? +4 = 0. (4.17)
Конечно-разностная схема (4.17) является системой 2-х линейных уравнений относительно переменных uf (і = 1,2), для определения величин щ (/ = 1,2) на линии АВ, которая не является характеристической (рис.18). В качестве использования комплекса программ, указанного во второй главе, для расчёта деформированного состояния приводится два примера для плоской задачи о растяжении полосы, ослабленной идеальным вырезом и V-образным вырезом в 20 градусов. Линии скольжения, характеризующие области пластического течения и показанные на рисунках (рис. 10-11) для напряжённого состояния, будут также справедливы и в данном случае. Сравнительная оценка полученного численного решения с нелинейным приведена в таблице (таб.3).
Анализ полученных результатов на рисунках (рис. 10-11) показывает, что уравнения характеристик для плоской линеаризированной задачи, численно построенные с помощью данного пакета программ, полностью совпадают с уравнениями характеристик нелинейной задачи, рассмотренной Л.М. Качановым [79]. Вычисленное с помощью пакета программ, поле напряжений, согласно таблице результатов (таб.3), будет отличаться на малый параметр линеаризации данной задачи є = 0,001. Решение в скоростях нелинейной задачи, полученное ЛЖКачановым Решение в скоростях линеаризированной задачи, полученное с помощью пакета программ их и2 С щ и2 С -0,713 0,712 -0,705 -0,714 0,715 -0,705 -0,707 0,693 -0,707 -0,706 0,692 -0,706 -0,862 0,921 -0,5 -0,861 0,919 -0,5 0 1,4 0 0 1,399 0 -0,862 1,191 0,5 -0,861 1,193 0,5 -0,707 2,199 0,707 -0,707 2,198 0,707 -1 2 0,787 -0.999 2,001 0,787 Таб.3. Сравнение поля скоростей перемещений, полученного с помощью пакета программ, с нелинейным, полученным аналитически.
В данной главе получены конечно-разностные схемы решения задач Коши, Гурса и смешанной по расчёту поля скоростей для плоского и пространственного случая. Построенные для этих задач конечно-разностные схемы состоят из двух уравнений для определения двух компонент скоростей (третья компонента исключена путём её выражения и подстановкой в основные уравнения из условия несжимаемости). Меньшее количество уравнений по сравнению с конечно-разностными схемами для определения напряжённого состояния объясняется тем, что в деформированном состоянии не требуется находить косинусы, ориентирующие главные напряжения. Это объясняется тем, что можно использовать их массивы для определения деформированного состояния, полученные при исследовании напряженного состояния аналогичных задач Коши, Гурса и смешанной. Откуда следует, что шесть уравнений ортонормированности и ортогональности для этих направляющих косинусов не являются необходимыми для расчёта и не будут включены в конечно-разностные схемы определения деформированного состояния. В данной главе был также произведён численный расчёт поля скоростей перемещений, который показал, что решение линеаризированной задачи отличается от решения нелинейной на величину є, характеризующую погрешность линеаризации.
1. Построена замкнутая математическая модель пространственного напряжённо-деформированного состояния пластического материала Мизеса, доказана гиперболичность уравнений и статическая определимость пространственной задачи идеальной пластичности для линеаризированных условий пластичности Мизеса при гипотезе пропорционального нагружения и условии полной пластичности Хаара-Кармана;
2. Проведено обоснование гипотезы пропорционального нагружения, которая является модифицированным вариантом условия полной пластичности и приводит к статической определимости и гиперболичности в пространственном случае;
3. На основе разработанной замкнутой математической модели пластического материала Мизеса построены конечно-разностные схемы для численного решения пространственных задач в напряжениях и скоростях перемещений (Коши, Гурса, смешанная);
4. Рассмотрены конкретные примеры компьютерного моделирования пространственного напряжённого состояния на основе предложенных конечно-разностных схем;
5. Показано, что математические модели пластического материала для плоского и осесимметричного случаев следуют из общей модели, предложенной в данной работе, как частные случаи при -» 0.
