Введение к работе
Актуальность темы.
Настоящая диссертация посвящена моделированию деформаций, их теоретическому описанию, построению алгоритмов различного рода приближенных вычислений, связанных с деформациями. Упомянутые алгоритмы легли в основу созданного нового программного комплекса "Моделирование деформированных дискретных процессов". Программный комплекс имеет исследовательский характер. В частности, в него можно внедрять различные новые математические модели, получать и обрабатывать результаты.
Под деформацией нами понимается последовательность вероятностных мер (Q )п^(ь каждая из которых задана на сг-алгебре событий Тп информационного потока (или, что то же самое, фильтрации) (Г2, (jFn)^L0). При определенных условиях связи между Q(n> и Q(n+l> такая деформация порождается некоторым неотрицательным адаптированным процессом. Этот процесс называется процессом плотностей. Тема диссертации связана с моделированием процессов плотностей на дискретной фильтрации (то есть в случае, когда каждая сг-алгебра Тп порождена разбиением пространства исходов Q на не более чем счетное число атомов), а также с расчетами (при хеджировании финансовых обязательств, в области управления передачей данных по виртуальным каналам связи) в рамках информационных потоков с построенными таким образом деформациями. Отметим, что если информационный поток снабжен одной вероятностной мерой, то это соответствует случаю, когда процесс плотностей тождественно равен единице. Именно при таких предположениях в последние десятилетия происходило развитие стохастического анализа с дискретным и непрерывным временем (в России — А.И. Ширяев и его многочисленные ученики, за рубежом — П.-А. Мейер и его семинар в Страсбурге, Х.Фельмер и его группа в Гумбольтовском университете, В. Шахермайер, Ф. Делбаен и многие другие), а также его применение в различных областях.
Актуальность темы настоящей диссертации определяется следующим обстоятельством. Часто в устойчивую работу финансовой, информационной или какой-либо другой системы вмешивается некоторый плохо предсказуемый фактор (экономический кризис, перегрузка сети в информационной системе и т.д.). В этот период прогнозы (основанные, как правило, на расчетах, связанных с одной вероятностной мерой) перестают быть состоятельными. Для новых расчетов нужен более тонкий анализ. В настоящей диссертации предлагается моделировать процессы функционирования системы в указанный период при условии, что на каждом участке времени действует своя вероятность возникновения различных событий. Введенные в диссертации вероятностные меры (Q^n')^Lo математически реализуют данную идеологию.
Все вышесказанное свидетельствует о том, что направление исследований, которым посвящена диссертационная работа, является актуальным.
Объектами исследования настоящей диссертации являются общие математические модели систем (финансовых, информационных и т.д.) в периоды их неустойчивой работы (кризисные явления, перегрузка сети).
Целью диссертационной работы является построение моделей деформаций, заданных на информационном потоке; всестороннее теоретическое их изучение (включая развитие теории деформированных мартингалов); разработка алгоритмов вычисления процессов плотностей, порождающих деформации; выполнение расчетов для различных случайных процессов, развивающихся в рамках указанных математических моделей, с помощью построенного программного комплекса; применение созданного аппарата, а также известной техники хааровских интерполяций к проблематике моделирования финансовых рынков и процесса передачи данных по виртуальным каналам связи.
Для реализации этой цели потребовалось решить следующие задачи:
создать и всесторонне исследовать общую модель стохастического базиса, снабженную деформацией 1-го или 2-го рода; изучить аналог классического условного математического ожидания по одной мере, а именно, суперпозицию условных математических ожиданий по разным вероятностным мерам;
развить теорию деформированных мартингалов — процессов, ведущих себя как обычные риск-нейтральные процессы на каждом единичном временном промежутке;
исследовать общую дискретную модель деформированного стохастического базиса; получить необходимые и достаточные, а также конструктивные достаточные условия того, что заданный процесс является процессом плотностей некоторой деформации 1-го рода;
сконструировать процессы плотностей для слабых деформаций на стохастическом базисе, снабженном специальной хааровской фильтрацией, получить соответствующие рекуррентные формулы и реализовать их в виде вычислительных алгоритмов;
построить и исследовать слабые деформации на бинарном стохастическом базисе, разработать алгоритмы их вычислений; применить данные результаты к исправлению ситуации, когда система удовлетворяет условию тривиализации (дает сбой);
создать программный комплекс "Моделирование деформированных дискретных процессов", позволяющий производить вычисление (при наличии деформаций) различных характеристик процесса, определяющего поведение исследуемой модели;
внедрить в программный комплекс ранее разработанные другими авторами интерполяционные процедуры и с помощью полученного инструментария реализовать алгоритмы вычисления хеджирующих портфелей различных платежных обязательств и минимальных стратегий управления передачей данных.
Методика исследований. При решении перечисленных задач применялись методы и результаты теории функций и теории вероятностей, стохастиче-
ского анализа и теории мартингалов, методы решения оптимизационных задач, теория алгоритмов и структур данных, имитационное моделирование.
Научная новизна. Впервые введено определение деформаций 1-го и 2-го рода и их процессов плотностей (/in,jFn)^L0 и {h\n\ J-n)=Q соответственно; изучены важные свойства этих деформаций (в частности, доказана теорема о представлении суперпозиции условных математических ожиданий, имеющей смысл наилучшего прогноза, как условного математического ожидания по специально подобранной вероятностной мере). Впервые введено понятие деформированных мартингалов; на них обобщены классические теоремы теории мартингалов (разложение Дуба и Крикеберга, теорема Дуба о преобразовании свободного выбора). Для модели с дискретным стохастическим базисом получены необходимые и достаточные условия, а также конструктивные достаточные условия того, что процесс (hn,J-n)'^)=0 является процессом плотностей деформации 1-го рода. Эти результаты конкретизированы для случая специальной хааровской фильтрации и фильтрации, порожденной бинарным деревом. Построены алгоритмы, реализующие полученные вычислительные схемы. Создан новый исследовательский программный комплекс, позволяющий как строить процессы плотностей, так и производить вычисления различных характеристик процессов, определяющих поведение рассматриваемых математических моделей. В программном комплексе соединены воедино разработанные методы деформированных стохастических базисов и интерполяционные методы. На этой основе разработаны новые идеи в области моделирования финансовых рынков и управления передачей данных по виртуальным каналам связи.
Выносимые на защиту результаты.
Общая динамическая модель деформации, заданной на потоке событий, связанных с эволюцией процесса, выражающего собой состояние технической или информационной системы.
Свойства деформаций, теорема о представлении суперпозиции условных математических ожиданий (имеющей смысл наилучшего прогноза) как условного математического ожидания по специально подобранной вероятностной мере.
Теоремы о деформированных мартингалах (разложение Дуба и Крикеберга, теорема Дуба о преобразовании свободного выбора).
Дискретная модель деформированного стохастического базиса] условия того, что априорно заданный процесс является процессом плотностей деформации 1-го рода; критерий мартингальности построенной деформации.
Численные методы вычисления деформаций по процессам, плотностей в рамках модели относительно специальной хааровской фильтрации; рекуррентные формулы и алгоритмы вычисления деформаций.
6. Модели деформаций относительно бинарной фильтрации, де
формации на модели Кокса-Росса-Рубинштейна, алгоритмы вычисления плот
ностей, случаи тривилизации (сбоев) процесса, выражающего состояние финан-
совой или информационной системы.
Программный комплекс "Моделирование деформированных дискретных процессов", позволяющий строить процессы плотностей и производить вычисления различных характеристик процессов с использованием новых численных методов.
Новые модели финансовых рынков и информационно-вычислительных систем,, позволяющие рассчитывать хеджирующие портфели финансовых обязательств и минимальные стратегии управления при передаче данных.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут быть применены специалистами (финансовых учреждений; информационно-вычислительных центров), исследующими и моделирующими конкретные экономические и информационные системы, описываемые различными случайными процессами. Полученные в диссертации теоретические результаты, связанные с развитием теории деформированных стохастических базисов и деформированных мартингалов, значимы как вклад в прикладной стохастический анализ.
Достоверность результатов работы подтверждается
математическими доказательствами, результатами моделирования и обработки данных;
апробацией этих результатов на всероссийских и международных конференциях и научных семинарах;
актами внедрения диссертационных разработок.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных, всероссийских и региональных научных конференциях и семинарах:
Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (пос. Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2006г.);
VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике и на 13-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (г. Йошкар-Ола, 16 -22 декабря 2006г.);
региональных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава при РГЭУ (РИНХ) (г. Ростов-на-Дону, 2006-2009 гг.);
IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, весенняя сессия (г. Кисловодск, 1-8 мая 2008г.);
Международном симпозиуме по финансовой математике (г. Гданьск, Польша, 15-19 сентября 2008 г.);
IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике и на 15-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам, осенняя сессия (г. Волжский, 5-11 октября 2008г.);
X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) и на 16-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохасти-
ческим методам (г. Санкт-Петербург, 19-24 мая 2009г.);
X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, осенняя сессия (г. Дагомыс, 1-8 октября 2009г.);
XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике и на 17-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (г. Кисловодск, 1-8 мая 2010г.);
научных семинарах по финансовой математике и стохастическому моделированию кафедры высшей математики РГСУ;
научном семинаре кафедры высшей математики и исследования операций Южного федерального университета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, в том числе 12 без соавторов. Из них 10 публикаций в российских реферируемых журналах, входящих в список ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (103 наименований), приложения. Главы разбиты на параграфы. Нумерация параграфов двойная: первая цифра указывает номер главы, в которой расположен параграф, а вторая цифра-номер самого параграфа. Аналогична нумерация определений, теорем и т.п. Нумерация формул, рисунков и таблиц сплошная. Работа проиллюстрирована 56 рисунками, снабжена 10 таблицами и изложена на 154 страницах (не включая приложений).
