Введение к работе
Диссертационная работа посвящена систематическому исследованию двух актуальных направлений в теории неоднородных сред:
I) Построение решений полевых задач для конкретных модельных
гетерогенных структур.
II) Определение и анализ эффективных - осредненных параметров
(эффективных сопротивлений/проводимостей и диссипации), характе
ризующих изучаемые среды как в среднем однородные.
Классическая в теории плоских гетерогенных сред математическая модель состоит в построении плоскопараллельного стационарного силового поля v{x,y) = (их,г/у) = Vp(,2/)> (я,у) Є Sp, р — l,m, потенциального и солекоидального в каждой изотропной фазе йр изучаемой ш-фазной среды:
divvp(x,y) =0, rotvp(x,y) =0, (1)
по краевому условию
(vp(«.l/)]n=[v9(x,7/)]n, [ppVp(x,y)]T = [pgVq(x,y)]r, (х,у)єр,, (2)
заданному во всех точках гладкости кусочно-гладкой границы контакта и = dSpCidSg разнородных фаз Sp и Sq (n-нормаль, а г - касатель-ная к Сп в точке (х, у)). Кусочно-постоянный коэффициент р(х, у) = рр при (і, у) Є Sp, в общем случае предполагается тензорным:
1 Рр ,м
Pv=Pv _0v х' . (-0
где рр > О и /Зр Є R - параметры, физический смысл которых зависит от природы исследуемого поля, например, под ними соответственно понимаются коэффициент сопротивления (величина обратная проводимости Op) и параметр Холла материала фазы 5,„ если иметь в виду электродинамическую интерпретацию.
Актуальность темы. Исторические сведения. Расчет полей в неоднородных средах начиная с конца прошлого века1 и особенно в
1Lord Rayleifih On the influence of obstacles arrauged in rectangular іжіа upon the properties of medium. Phil. MaS. 1802. 34. P.481-502, Maxwell./. С A Treaties on Electricity and Magnetism. 3rd edit. Oxford University Press. 191)4. 1. 441) p.
последние десятилетия привлекал пристальное внимание ученых и инженеров. Это объясняется широким внедрением композиционных материалов в технике и взаимно дополняющими процедурами апскейлинга-даунскейлинга в химической технологии, теории фильтрации, теории теплопроводности и др., когда свойства естественно-неоднородных материалов исследуются с различной степенью точности в зависимости от масштаба объекта. Модели, опиравшиеся на линейные уравнения и предположение об однородности среды, в которой отыскивалось поле, оказываются зачастую довольно „грубыми", поэтому в последние годы исследования осуществляются по двум основным направлениям: во-первых, это переход к нелинейным уравнениям2 и, во-вторых, учет структурной неоднородности среды (случайно-неоднородные среды3 и среды с периодической структурой4). Именно последнее направление развивается в нашей работе. Точнее, нас будут интересовать гетерогенные, кусочно-однородные среды, состоящие из различных изотропных и однородных по своим физическим свойствам компонентов.
В теории гетерогенных сред в целом и при изучении задачи (1)-(3) в частности четко прослеживаются две основные тенденции. Первая и основная обусловлена тем, что в общем случае не существует общих аналитических методов, дающих решение проблемы (1)-(3), что с необходимостью порождает развитие различных численных, асимптотических и вариационных подходов. Это позволяет не только рассчитать искомые поля с приемлемой степенью точности, но и найти приближенные значения эффективных параметров изучаемых композиционных материалов. Подробная библиография, посвященная этому направлению, приведена, например, в монографиях Н.С.Бахвалова и Г.П.Панасенко, В.В.Жикова, С.М.Козлова и О.А.Олейник, М.И.Швидлера, Беара (J.Bear), Санчес-Паленсии (E.Sanchez-Palencia) и работах Хашина и Штрикмана (Z.Hashin, S.Shtrikman), К.А.Лурье и А.В.Черкаева и др.
гАхромеева Т.С, Курдюмов СП., Малинецхий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука. 1992. 541 с.
Зф(жия А.Г. Проводимость случайно-неоднородной среды // ЖЭТФ 1993. 104. вып.3(9). С.3170-3192.
4 Бахвалов Н. С, Паиасеяко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука. 1984. 352 с.
Безусловно, приближенные методы в решении прикладных задач играли и будут играть основную роль. Вместе с тем, в ряде ситуаций нужна картина „тонкой" структуры поля, особенно в области контакта разнородных компонентов, которая может быть получена только на основе строгих аналитических решений. В работах второго направления и в настоящей диссертации рассматривается ряд конкретных гетерогенных структур, для которых решение задачи (1)-(3) удается получить в замкнутой форме с помощью некоторой цепочки строго обоснованных аналитических построений. Затем найденные таким образом решения (в последующем именно их мы будем называть точными) используются для получения в явной форме значений соответствующих эффективных параметров. Впрочем, иногда удается найти точные значения эффективных параметров, минуя этап построения решения полевой задачи. Так, Келлером5 в скалярном случае (уЗр = 0 в (3)) эыло доказано, что для двоякопериодическои системы симметричных включений, оси симметрии которых параллельны образующим прямоугольной решетки периодов, имеет место равенство
где axei{p\,a-2) (ofy(c2,tfi)) ~ эффективная проводимость среды в натравлений оси х (у) при условии, что оси координат параллельны осям :имметрии среды. Здесь ст\ = 1//>і (а^ = 1/рг) _ проводимость матри-ды, а <т2 (сі) - проводимость материала включений. Мендельсон6 обоб-дил результат Келлера на случай произвольных плоских двухфазных ;истем с ортогональными главными осями.
А.М.Дыхне,7 изучая проблему распределения электрических полей і двухфазных пленках, установил, что для скалярного коэффициента 3) эффективная проводимость
ъКе11ег J.D. A theorem он the conductivity of a composite medium // Journal. Math. >hys. 1964 5. P.548-549.
6Meudc]sou K.S. A theorem on the effective conductivity of a two-dimensional Leterogeneons medium // Journal. Appl.Phys. 1975. 46. P.4740-4741.
7Дыхне A.M. Проводимость двумерных двухфачных систем // ЖЭТФ. 1970. 59. L110-115.
сг\, его компонентов ее составляющих. Под ое/ Дыхне понимал отношение осредненных по площади элементарной ячейки (по прямоугольнику периодов) значений векторов плотности тока и напряженности лиектрического поля. Вообще говоря, в цитируемой работе получено гораздо более общее равенство:
где с - концентрация первой фазы S\.
Две последние формулы и, как частный случай (с = 1/2) последней, формула о геометрическом среднем являлись до недавнего времени по сути единственными точными аналитическими формулами для эффективной проводимости регулярных двухфазных сред.
Дыхне для вывода своих соотношений применил метод перехода к ..взаимной" системе, т.е. к системе отличающейся от исходной лишь заменой <т\ 2 <72- Этот метод получил свое дальнейшее развитие в работах Б.Я.Балагурова и Шульгассера (K.Schulgasser). Ю.П.Емец пришел к формуле геометрического среднего, исследуя с помощью метода симметрии квадратное шахматное поле.
Строгие, точные решения полевых задач для кусочно-однородных по проницаемости структур, к сожалению, немногочисленны и каждое новое решение не только представляет самостоятельный теоретический интерес, но и может служить тестовым для существующего стандартного программного продукта и для вновь разрабатываемых приближенных методов.
К точным методам, конечно, следует отнести метод Фурье, последовательно использованный Г.А.Гринбергом8 при решении задач магните- и электродинамики для некоторых простейших составных сред. Метод задачи Римана-Гильберта наиболее полно отражен в монографии В.П.Шестопалова,9 в которой получены строгие решения ряда задач теории дифракции и приведена подробная библиография работ, посвященных этому подходу. В работах В.В.Сильвестрова задачи
&Гі»іи6(:}>г ГА. Игранные вопросы математический теории электрических и магнитных явлмшй.М.-Л.: Изд-во АН СССР. 1948. 728 с.
0Шггтсіиалов В.П. Метод задачи Римана-Гилъборта в теории дифракции и распространения -электромагнитных волн Харьков: Цч-во Харьк. ун-та. 1971. 400 е..
теории упругости для многолистных поверхностей с разрезами решены путем приведения к задаче Римана.
Аппарат теории функций комплексного переменного в целом и в частности теория краевых задач для аналитических функций интенсивно использовались при изучении фильтрации в неоднородных пористых средах П.Я.Полубарйновой-Кочиной,10 ее учениками и последователями. Рассматривая задачи формирования электрических полей в полупроводниковых пластинах и плазменных каналах, Ю.П.Емец,11 предложил метод сведения задачи (1), (2) к эквивалентной задаче Мар-кушевича (ее еще называют обобщенной задачей Римана, а также задачей М-линейного сопряжения). Используя хорошо развитую теорию краевых задач (Ф.Д.Гахов, Н.И.Мусхелишвили, Л.И.Чибрикова), Ю.П.Емец получил решение некоторых полевых задач, а затем вычислил эффективные характеристики соответствующих регулярных гетерогенных структур. Наши исследования наиболее тесно примыкают к только что указанным. Более того, как хорошо видно из приведенной в конце автореферата библиографии, первые работы по теории гетерогенных сред были выполнены автором совместно с Ю.П.Емецом, которому помимо постановки задачи в этих работах принадлежит и вся их физическая часть.
Цель работы. Получить для новых классов гетерогенных структур решение соответствующих полевых задач (1)-(3) в явной форме. В тех случаях, когда решение выписывается в виде бесконечных рядов, построить удобный для практического использования аппарат приближенного вычисления, позволяющий восстановить искомое векторное поле с любой наперед заданной точностью. Определить эффективные параметры рассматриваемых в работе двоякопериодических двухфазных структур, установив и проанализировав их явную зависимость от физических и геометрических характеристик самой среды и от величины и направления внешнего поля, в которое она помещена.
Научная новизна. В диссертации построена теория двухфазных
10Полубирпнова.-Кочяиа П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука. 1S77. G64 с.
11Емец Ю.П. Краевые задачи электродинамики анизотропно проводящих сред. Киев: Наук.думка. 1087. 254 с.
задач с линией раздела разнородных компонентов - кривой второго порядка. Новым методом рассмотрен ряд известных, а также новых трехфазных структур. Даны решения полевых задач для трех модельных двухфазных, двоякопериодических сред. Для исследуемых регулярных структур найдены формулы их эффективных характеристик, обобщающие формулы Дыхне.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XI Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах. Челябинск, 1986 г., Всесоюзной научной конференции по классическим и неклассическим краевым задачам для дифференциальных уравнений с частными производными. Куйбышев, 1987 г., Всесоюзной школе по краевым задачам. Сухуми, 1987 г., Северо-Кавказской региональной школе-конференции „Линейные операторы в функциональных пространствах". Грозный, 1989 г., XXII летней математической школе по современным вопросам теории функций и топологии. Кацивели, 1990 г., Расширенном заседании семинара Института прикладной математики им. И.Н.Векуа при Тбилисском государственном университете. Тбилиси, 1990 г., Международной научной конференции „Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева. Казань, 1994 г., Первой Российской национальной конференции по теплообмену. Москва, 1994 г., XIX, XX, XXII General EGS Assembly. Viena, 1994, 1995, 1997., Всероссийской школе-конференции „Теория функций и ее приложения". Казань, 1995 г., Международной научно-технической конференции "Механика машиностроения -95". Набережные Челны, 1995.. International Conference "Analytic-based Modeling of Groundwater Flow". Netherlands, Nunspeet, 1997, International Conference "Regionalization in Hydrology". FRG, Braunschweig, 1997, International Symposium "Advances in Computational Heat Transfer". Turkey, Cesme, 1997, Saint-Venant Symposium. France, Paris, 1997, Международной научной конференции „Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Б.М.Гагаева. Казань, 1997 г., Международной конференции „Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", посвященной 75-летию Л.Д.Кудрявцева. Москва, 1998.
С сообщениями о результатах диссертации автор также выступал на семинарах акад. Н.С.Бахвалова (Москва, МГУ), проф. Э.И.Зверовича (Минск, БГУ), проф. Ю.П.^меца (Киев, ИЭД АН Украины), проф. Ю.А.Казьмина (Москва, МГУ), проф. И.Б.Петрова (Москва, МФТИ) доктора физ.-мат. наук, доцента Н.Б.Плещинского (Казань, КГУ), проф. Б.В.Шабата (Москва, МГУ).
Результаты по мере их получения регулярно докладывались на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета и НИИММ им.Н.Г.Чеботарева, а также на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета (руководители проф.Л.И.Чибрикова и проф.В.И.Жегалов).
Структура и объем работы. Диссертационная работа содержит 262 страницы и состоит из введения, пяти глав, разделенных на 26 параграфов, и списка литературы, состоящего из 151 наименования.
