Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 15
1. Постановка задачи. 15
1.1.1. Математическая формулировка задачи дифракции скалярной волны. Условия излучения Зоммерфельда . 16
1.1.2. Ограничение области. Постановка граничных условий на фиктивной границе. 16
1.1.3. Использование на фиктивной границе условий излучения Зоммерфельда. 17
1.1.4. Использование на фиктивной границе радиационных граничных условий первого порядка. 18
1.1.5. Использование на фиктивной границе парциальных условий излучения. 18
1.1.6. Достоинства и недостатки описанных способов постановки граничных условий на фиктивной границе 22
2. Метод конечных элементов. 23
1.2.1. Общая схема использования метода конечных элементов в случае задачи дифракции. 26
1.2.2. Этапы построения численного решения задачи дифракции при помощи метода конечных элементов 28
Глава 2. 30
1. Построение треугольных и тетраэдрических сеток 30
2.1.1. Методы построения треугольных и тетраэдрических сеток . з
2.1.2. Основные способы оптимизации треугольных и тетраэдрических сеток. 33
2.1.3. Реализация используемого метода граничной коррекции. 35
2.1.4. Процедура оптимизации сетки в трёхмерном случае. 43
2.1.5. Процедура определения границ элементов принадлежащих границам областей задачи 44
2. Сборка матриц. 45
2.2.1. Выбор порядка конечных элементов. 47
2.2.2. Выбор способа хранения матриц. Разреженный строчный формат. 48
3. Сборка матриц в двумерном случае. 50
2.3.1. Сборка матрицы жёсткости (K). 51
2.3.2. Сборка матрицы массы. 52
2.3.3. Сборка матрицы соответствующей коэффициенту уравнения Гельмгольца 53
2.3.4. Сборка матрицы граничных условий соответствующей коэффициенту при неизвестной функции 54
2.3.5. Сборка матрицы граничных условий соответствующей правой части граничных условий. 55
2.3.6. Сборка матриц соответствующих парциальным условиям излучения. 56
4. Сборка матриц в трёхмерном случае. 59
2.4.1. Сборка матрицы жёсткости. 60
2.4.2. Сборка матрицы массы. 61
2.4.3. Сборка матрицы соответствующей коэффициенту уравнения Гельмгольца 63
2.4.4. Сборка матрицы граничных условий соответствующей коэффициенту при неизвестной функции 65
2.4.5. Сборка матрицы граничных условий соответствующей правой части граничных условий . 67
2.4.6. Сборка матриц соответствующих парциальным условиям излучения. 68
5. Решение Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ). 71
2.5.1. Прямые методы. Метод Гаусса. 72
2.5.2. Итерационные методы. 73
2.5.3. Проекционные методы. Подпространства Крылова. Обобщённый метод минимальных невязок (GMRES). 74
2.5.4. Предобусловливание СЛАУ. Неполное LU разложение. 79
2.5.5. Алгоритм построения неполного LU разложения для матрицы СЛАУ, хранимой в разреженном строчном формате без необходимости поиска, используемый в программе. 82
2.5.6. Описание реализации метода минимальных невязок (GMRES), используемого в программе. 85
6. Представление результатов. 87
2.6.1. Диаграмма рассеяния. 89
2.6.2. Структура данных, используемая для хранения решения. 91
Глава 3. Тестирование программы. 94
1. Двумерный случай. 94
3.1.1. Радиационные граничные условия первого порядка . 96
3.1.2. Парциальные условия излучения. 98
2. Трёхмерный случай. Парциальные условия излучения. 104
Глава 4. Результаты работы программы. 112
1. Двумерный случай. 112
2. Трёхмерный случай. 122
Заключение. 134
- Математическая формулировка задачи дифракции скалярной волны. Условия излучения Зоммерфельда
- Методы построения треугольных и тетраэдрических сеток
- Сборка матрицы граничных условий соответствующей правой части граничных условий
- Радиационные граничные условия первого порядка
Математическая формулировка задачи дифракции скалярной волны. Условия излучения Зоммерфельда
Методы, основанные на сведении исходной задачи к интегральному уравнению. Методы этой группы снискали весьма большую популярность среди исследователей [20 – 24]. Общим признаком этих методов является замена исходной краевой задачи эквивалентным интегральным уравнением. [25 – 45]. Дальнейшую классификацию этой группы методов можно провести, основываясь на типе интегрального уравнения, к которому сводится задача дифракции. Часто встречаются интегральные уравнения первого и второго рода на некоторой границе [22,31,32,35,36,45,46], в частности границе рассеивателя [22,32,33,35,45]. Здесь необходимо отметить, что для сведения задачи к интегральному уравнению часто используется вспомогательная задача, через решение которой решение исходной задачи выражается в виде квадратуры. С развитием вычислительной техники весьма популярными также стали интегральные уравнения, интегрирование в которых производится по внутренней области тела рассеивателя [26,29,30,34,35,37 – 40]. Здесь уже интегральное уравнение, как правило, содержит искомое поле в качестве неизвестной функции.
Основным достоинством этой группы методов является возможность решения поставленной задачи только во внутренней области рассеивателя, или на некоторой границе, за счёт чего достигается экономия вычислительных ресурсов [47 – 50]. Однако, при наличии нескольких рассеивателей, применение этих методов значительно усложняется, особенно если структура рассеивателей разнообразна. Например, совокупность проницаемых и непроницаемых рассеивателей.
Методы, основанные на решении исходной краевой задачи. [51 – 60]. Среди методов этой группы весьма популярным является метод дискретных источников [61 – 66]. Вкратце суть этого метода можно описать следующим образом. При решении задачи во внешней, по отношению к рассеивателю области, внутри области задаётся компактный носитель, на котором задаётся множество точек, в котором располагают фиктивные источники, при этом поле этих источников автоматически удовлетворяет уравнению Гельмгольца (в случае акустической волны) и условиям излучения на бесконечности. Далее за счёт выбора амплитуд излучения фиктивных источников строится поле, являющееся суперпозицией этих полей, сколь угодно точно приближающее граничные условия на границе рассеивателя. Подробное обоснование этого метода представлено [64]. При поиске решения внутри рассеивателя носитель, содержащий фиктивные источники выбирается во внешней по отношению к рассеивателю области. Этот метод также позволяет сэкономить вычислительные затраты при решении задачи дифракции, однако опять же возникают трудности при его применении к задачам со сложной структурой рассеивателей.
При решении краевых задач в сложных областях наиболее универсальным является метод конечных элементов [67 – 71]. Однако, в связи с тем, что задача дифракции ставится в неограниченной области, применение этого метода требует серьёзных затрат вычислительных ресурсов [29]. Задача ограничения области и постановки оптимальных граничных условий на фиктивной границе, позволяющих достичь максимальной точности результатов при минимальных вычислительных затратах сама по себе является весьма сложной [3,72]. В работе [3], рассматривается вопрос постановки неотражающих условий на границах расчётной области, обеспечивающих поглощение падающих на них волн. Основным недостатком этих условий является отсутствие универсальности их построения.
Для решения многомерных краевых задач используются также и комбинированные методы. В работе [73] представлена вычислительная схема решения краевых задач шредингеровского типа методом Канторовича [74]. А именно приведение задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по одной из независимых переменных и решение полученных краевых задач для систем самосопряжённых обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка методом конечных элементов [75,76].
Парциальные условия излучения [4,8] в каком-то смысле можно считать выполняющими ту же роль, что и неотражающие. Дело в том, что парциальные условия в точной постановке (в виде ряда) позволяют выделить необходимое решение, то есть являются точными. При этом фиктивную границу можно расположить достаточно близко к рассеивателям. Стоит отметить, что парциальные условия излучения представляет собой интегро-дифференциальный оператор, поэтому их использование требует адаптации к методу конечных элементов. Цели и задачи.
Целью данной работы является разработка алгоритма и программного комплекса, позволяющего применять метод конечных элементов в задаче дифракции акустических и электромагнитных полей в сложных средах с использованием парциальных условий излучения.
При реализации численных методов для решения каких-либо практических задач исследователь может столкнуться с выбором между эффективностью и универсальностью при выборе конкретного алгоритма. В частности в рассматриваемой задаче дифракции. Если при рассмотрении задачи дифракции типы рассматриваемых рассеивателей заведомо сильно ограничены, то исследователь может создать программный комплекс, позволяющий эффективно с минимальными затратами решать задачи для рассматриваемого класса рассеивателей, например если рассматривать только непроницаемые рассеиватели, или рассеиватели состоящие из одного тела, или же рассеиватели расстояние между которыми велико [4,8]. В противном случае, если класс рассматриваемых рассеивателей достаточно широк и сложен, возникает потребность в применении более универсальных методов, которые уже могут не обладать столь высокой степенью эффективности. На сегодняшний день наиболее универсальным методом решения краевых задач в сложных областях является метод конечных элементов [67]. Применение этого метода к задаче дифракции длительное время считалось излишне ресурсоёмким [30]. Действительно, исходная краевая задача ставится в неограниченной области, поэтому возникает необходимость ограничения расчётной области при применении метода конечных элементов. Вследствие чего, при использовании простых с точки зрения практического применения граничных условий возникает необходимость рассмотрения расчётной области внушительных размеров. В данной работе использовались парциальные условия излучения на фиктивной границе [4,8], которые позволяют максимально уменьшить расчётную область. Однако эти условия представляют собой сложный интегро-дифференциальный оператор, который в свою очередь представляется в виде медленно сходящегося ряда. В данной работе ряд заменялся его частичной суммой с небольшим числом членов. При этом результаты численного эксперимента показали неплохое согласие с известными аналитическими решениями задачи дифракции, что подтвердило возможность такого эвристического подхода к использованию парциальных условий излучения при численном решении задачи дифракции.
Методы построения треугольных и тетраэдрических сеток
Точка 3 обрабатываемая точка исходной сетки с индексами (i, j) а точки 1, 2, 4, 5 берутся как точки исходной сетки с индексами (i, j+1), (i+1, j), (i, j-1), (i-1, j) соответственно. Точки 1, 2, 4, 5, могут не принадлежать исходной сетке, необходимо только вычислять их координаты, по тем же формулам, по которым находятся координаты узлов исходной сетки. В принципе, если рассматривается триангуляция заданной области без вырезов и вставок, то можно заранее не инициализировать координаты точки 3, но при наличии таковых, предшествующая инициализация поможет унифицировать процесс триангуляции, позволив использовать одну и ту же процедуру для каждой заданной границы. Действительно, рассматриваемая точка может быть сдвинута в результате обработки предыдущей границы, поэтому при обработке следующей границы необходимо учитывать её текущее местоположение. Координаты точек 1,2,4 и 5 необходимо определить по индексам, что позволяет не учитывать их предыдущие сдвиги. Теперь необходимо определить лежит ли точка 3 на границе, вне области, или внутри области, а также, существует ли возможность сдвинуть её на границу. Следует отметить, что удобно в данном случае для отслеживания точек, которые будут принадлежать результирующей сетке, использовать массив флагов с такой же индексацией, как и у массива точек исходной сетки. Если точка 3 попадает внутрь области, или на границу, то присваиваем флагу соответствующему точке 3 значение «True», в противном случае «False». Далее, сравнивая знаки значения функции (, ) в точках 1, 2, 4, 5 с соответствующим знаком в точке 3 определяем, пересекают ли соответствующие отрезки границу. Теперь для всех отрезков, пересекающих границу области, проверяем, можно ли сдвинуть точку 3 на эту границу. Сдвиг можно осуществлять только вдоль координатных осей декартовой системы координат, при этом величина сдвига не должна превышать половину длины шага исходной сетки по этой координатной оси [84,85]. Заметим, что одинаковые шаги исходной сетки по всем координатным осям, дают элементы более высокого качества, чем не одинаковые, но использование разных шагов по координатным осям позволяет триангулировать сильно вытянутые области с меньшими затратами при триангуляции и при дальнейших вычислениях на сетке. Для вычисления координат возможного сдвига в программе используется метод деления отрезка пополам. Далее, если множество возможных сдвигов не пусто, находим, сдвиг, величина которого минимальна, и перемещаем точку 3 на границу, используя найденный сдвиг. То есть записываем её новые координаты в структуру данных исходной сетки, а соответствующий ей флаг устанавливаем в положение «True». Схематично эти действия представлены на рисунке 9.
Иллюстрация обработки точек исходной сетки. Сплошные стрелочки показывают направление производимого сдвига, а пунктирные – направление возможного сдвига. Выколотая точка обозначает установку флага присутствия этой точки в результирующей треугольной сетки в положение «false». В результате, после обработки всех точек, оказывается, что некоторые из них далее не будут использоваться, а остальные лежат либо внутри области, либо на её границе.
Теперь обратим внимание, что если сменить знак неравенства задающего область, то останутся только внешние по отношению к границе точки. Поэтому очевидно, что для вырезаемой подобласти можно проделать все вышеописанные действия, полагая, что знак неравенства, задающий вырезаемую подобласть, обратен знаку неравенства, задающего область. При этом, как отмечалось выше, координаты точки 3 уже нельзя вычислять по индексам исходной сетки, так как они могли быть сдвинуты, при обработке предыдущей границы, которой может быть как граница области, так и граница предыдущей вырезаемой области. Необходимость предварительной инициализации точек исходной сетки теперь очевидна. Действительно, это позволяет избежать лишних условных переходов при использовании одной и той же процедуры для различных границ задающих область. Таким образом, проделывая однотипную процедуру, можно обработать сколько угодно вырезаемых подобластей. Подобласть, заполненная согласованной сеткой, отличается от вырезаемой лишь тем, что внутри неё нужно построить согласованную сетку. Для этого необходимо к массиву флагов добавить ещё одно измерение, которое будет соответствовать номеру обрабатываемой границы, и использовать всё ту же процедуру, как и для границы основной области, но используя появившиеся дополнительные флаги. При этом точки, оказавшиеся на границах подобластей, необходимо также пометить ещё и как принадлежащие основной области, установив флаг соответствующий этой точке в основной подобласти в положение «True». Таким образом, новый массив флагов хранит информацию о принадлежности каждой точки каждой из подобластей.
Теперь исходная сетка разбилась на подсетки – множества точек, объединённых в элементы по связям исходной сетки со сдвинутыми узлами, аналогичные по свойствам тому множеству точек, которое было получено при наличии только внешней границы. Далее для наглядности будем предполагать, что подобласти отсутствуют, в противном случае далее описанную процедуру нужно выполнить для всех подсеток и запомнить элементы, с которых начинаются подобласти в конечной треугольной сетке.
Теперь необходимо ввести глобальную нумерацию точек генерируемой треугольной сетки. Для этого сохраним теперь все узлы, которые будут участвовать в генерируемой треугольной сетке в отдельный массив, индексы которого увеличенные на единицу (единица добавляется, чтобы нумерация точек начиналась с единицы, а не с нуля) будем использовать как глобальные номера узлов результирующей сетки. Таким образом, можно сэкономить память вычислительной машины, поскольку каждый узел будет храниться только один раз, причём нет необходимости выделять отдельную ячейку памяти для хранения глобального номера узла. Надо отметить, что сама структура «точка» («TRichPoint») кроме собственно координат точки для удобства содержит поле хранящее номер границы, которой принадлежит узел. Параметр «-1» при этом сообщает, что узел не лежит ни на одной из границ. Этот параметр легко задать при выполнении вышеописанной обработки точек исходной сетки.
Теперь по связям исходной сетки необходимо объединить узлы исходной сетки, помеченные флагом «True» в треугольники и тетраэдры для соответственно двумерного и трёхмерного случаев [84,85]. Это действие необходимо проделать как для основной области, так и для всех подобластей заполняемых согласованной сеткой. При этом некоторые шаблоны исходной сетки перестали быть прямоугольниками и параллелепипедами соответственно. Если при этом все точки шаблона принадлежат треугольной сетке, то эта деформация не мешает построению элементов, однако может сильно влиять на качество элементов, а в трёхмерном случае в связи с этим могут образоваться элементы с объёмом приблизительно равным нулю. Последняя проблема будет рассмотрена позже. Если же какая-либо из точек шаблона не будет более участвовать в треугольной сетке, то шаблон необходимо перестроить согласованно с соседними шаблонами (на самом деле согласованность принципиальна только для трёхмерного случая, чтобы не получить пересекающиеся диагонали на какой либо грани). На рисунках 10 и 11 представлены примеры построения шаблонов, отличающихся от исходных количеством узлов.
Сборка матрицы граничных условий соответствующей правой части граничных условий
Существуют и другие методы построения базиса в подпространствах Крылова, например в [92] также рассмотрен метод биортогонализации Ланцоша.
Рассмотрим теперь конкретный проекционный метод Крыловского типа для решения СЛАУ, а именно Обобщённый Метод Минимальных Невязок, в англоязычной литературе называемый General Minimal RESiduals (GMRES) [92].
В качестве вектора v рассмотрим нормированный вектор невязок для начального приближения. Пусть С0 - начальное приближение, тогда
Так как рассматриваемые задачи дифракции порождают невырожденную матрицу, то рассмотренная вспомогательную задачу, являющуюся задачей проектирования на любое подпространство "К ортогонально подпространству Т = А"К, можно заменить задачей минимизации функционала r2 = ((F — ЛС0), (F — ЛС0)). Поэтому рассмотрим эквивалентную данной задачу поиска минимума функционала г2:
Очевидно, что при Ну = Ьеь функционал принимает минимальное значение, однако, данная система является переопределённой, так как размерность матрицы Н т + 1 Хт. Поэтому, следуя [92], будем решать эту систему в смысле наименьших квадратов.
Как было замечено ранее, матрица Я представляет собой верхнюю хессенбергову форму. Поэтому, следуя [92], сначала, воспользовавшись ортогональными преобразованиями, приведём её к верхне-треугольному виду. Как предлагается в [92] воспользуемся вращениями Гивенса. Для этого построим т матриц поворота: Giv i, Giv2,--, Givm таким образом, чтобы последовательное применение этих поворотов обнулило все под диагональные элементы матрицы Я. Рассмотрим вид к-ой матрицы поворота.
При этом нет необходимости находить конкретное значение рк. Очевидно, что построенная матрица Givk позволяет обнулить элемент hk+lk матрицы Я. Последовательно применяя все повороты Givk, получим верхне-треугольную матрицу с дополнительной последней нулевой строкой. Назовём полученную матрицу Я. При этом, к вектор-столбцу правой части Ье1 тоже необходимо применить построенные преобразования. Полученный вектор-столбец обозначим за g. Система Ну = Ье1 перейдёт в систему Ну = g. (232) Введём обозначения: Я - квадратная матрица, являющаяся матрицей Я без последней строки, g - вектор столбец, являющийся вектор-столбцом g без последнего элемента. В [92] для случая действительных чисел доказана теорема о том, что вектор-столбец у = Я-1 доставляет минимум рассматриваемому функционалу.
Повторим процесс до тех пор, пока невязка не достигнет заданного значения. Таким образом, получим искомое приближённое решение СЛАУ. В программе на данный момент используется именно GMRES для решения получаемых СЛАУ.
Хорошо известно, что обусловленность матрицы СЛАУ при применении метода конечных элементов зависит от принципа нумерации узлов треугольной сетки (подразумевается тетраэдрическая сетка в трёхмерном случае). В случае наличия сложных границ областей введение наиболее выгодной нумерации является само по себе сложной задачей, не рассматриваемой в рамках данной работы.
Итак, матрица получаемой СЛАУ может быть весьма плохо обусловленной, поэтому обратимся к методу предобусловливания СЛАУ.
Для начала вспомним определение предобусловливания и матрицы предобусловливателя. Согласно [92] невырожденная матрица Р называется матрицей предобусловливателя, если при переходе от системы АС = F к эквивалентной системе Р_1АС = P XF характеристики матрицы полученной системы улучшаются, в смысле применения к ней численных методов. То есть повышается обусловленность системы. Сам процесс перехода называют предобусловливанием (данный вид предобусловливания иногда называют левым, также существует правое предобусловливание) [92].
Нетрудно заметить, что с алгебраической точки зрения, в силу невырожденности матрицы Р полученная СЛАУ эквивалентна исходной [92]. Однако, спектральные характеристики матрицы полученной системы отличаются от спектральных характеристик матрицы исходной системы. Поэтому скорости сходимости итерационных методов решения этих систем также будут отличаться. В случае предобусловливания скорость сходимости итерационного процесса в случае применения его ко второй системе будет выше [92].
Впрочем, однозначно диагональные элементы, при этом разложении, определяются только для одной из матриц, при выборе диагональных элементов второй матрицы. Как правило, диагональные элементы матрицы LA задают равными единицам, поэтому необходимость их хранения отсутствует. Поэтому в «общую» матрицу хранения LA и UA, для определённости назовём её (LU)A и запишем в качестве диагональных элементов диагональные элементы матрицы UA. Зададим теперь дополнительное условие на портрет получаемой матрицы хранения, а именно потребуем совпадения портрета матрицы хранения и портрета матрицы А [92]. Обозначим полученную матрицу как LU. Это приближённое представление матрицы А и называют неполным LU разложением.
Перейдём к нахождению матриц L и U. Как уже было сказано выше будем считать, что диагональные элементы матрицы L равны единице. Разложение будем искать построчно. Очевидно, что элементы первых строки и столбце матрицы LU совпадают с соответствующими значениями первых строки и столбца элементов матрицы А. Предположим, что (у — 1)-ая строка уже найдена, найдём элементы у -ой строки. Для удобства, следуя [92], введём обозначение А — LU = R. Тогда
Радиационные граничные условия первого порядка
В пункте 3.1.2. исходя из результатов тестирования программы, было получено рекомендуемое значение константы М = 50, определяющей количество слагаемых в конечной сумме, используемой в приближённых парциальных условиях излучения. Далее во всех рассматриваемых примерах используется именно это значение этой константы. Для удобства введём величину h, которую назовём шагом исходной сетки, поскольку во всех рассматриваемых примерах hx = hy = h. В связи с отсутствием внешних источников в рассматриваемой области выберем /(М) = 0. На границах непроницаемых рассеивателях поставим однородные граничные условия второго рода (условия Неймана). На границах проницаемых рассеивателях поставим условие непрерывности искомой функции и её производной. В качестве падающей волны во всех примерах будем использовать плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси OX декартовой системы координат в направлении от +оо к —оо. Эту волну можно записать в виде следующего равенства.
Итак, перейдём к рассмотрению примеров работы программы в двумерном случае. 1. В качестве первого примера рассмотрим рассеиватель, состоящий из одного тела, а именно непроницаемого эллипса с полуосями а = 2 и Ъ = 1 и центром в начале декартовой системы координат. Возьмём к0 = 1, R = 2,1 и h = 0,02. Полученные треугольная сетка, численное решение задачи дифракции и диаграмма рассеяния представлены на рисунке 26. Так как рассеиватель симметричен относительно оси OX декартовой системы координат, то диаграмма рассеяния также должна быть симметричной относительно этой координатных оси. Указанную симметрию нетрудно заметить на рисунках.
В качестве второго примера рассмотрим тот же самый непроницаемый эллипс, что и в первом примере: а = 2 и Ъ = 1. Возьмём к0 = 3, а остальные параметры оставим такими же, как и в первом примере: R = 2,1 и h = 0,02. Полученные численное решение задачи дифракции и диаграмма рассеяния представлены на рисунке 27. [79] В этом примере диаграмма рассеяния также должна быть симметричной относительно оси OX декартовой системы координат. Указанная симметрия наблюдается на рисунках.
Возьмём k0 = 3, R = 2,2 и /i = 0,02. Полученные треугольная сетка, численное решение задачи дифракции и диаграмма рассеяния представлены на рисунке 28. [79] В этом примере рассеиватель опять симметричен относительно оси OX декартовой системы координат, поэтому диаграмма рассеяния также должна быть симметричной относительно этой координатной оси. Указанную симметрию нетрудно заметить на рисунках.
Возьмём k0 = 3, R = 4,7 и h = 0,05. Полученные треугольная сетка, численное решение задачи дифракции и диаграмма рассеяния представлены на рисунке 29. [79] В этом примере рассеиватель не обладает симметрией относительно оси OX декартовой системы координат, поэтому диаграмма рассеяния также не должна быть симметричной относительно этой координатной оси, что наблюдается на рисунках.
В качестве пятого примера рассмотрим рассеиватель, состоящий из двух тел, а именно непроницаемого эллипса с полуосями а = 1 и Ъ = 2 и центром в точке (2;0) и непроницаемой фигуры заданной неравенством (312) с центром в точке (-2;0). Возьмём /с0 = 3, R = 4 и /і = 0,05. Полученные треугольная сетка, численное решение задачи дифракции и диаграмма рассеяния представлены на рисунке 30. [79] Так как рассеиватель симметричен относительно оси OX декартовой системы координат, то диаграмма рассеяния также должна быть симметричной относительно этой координатных оси. Указанную симметрию нетрудно заметить на рисунках.
Возьмём /с0 = 1, R = 2 и h = 0,016. Полученные треугольная сетка, численное решение задачи дифракции и диаграмма рассеяния представлены на рисунке 31. [79] В этом примере рассеиватель опять симметричен относительно оси OX декартовой системы координат, поэтому диаграмма рассеяния также должна быть симметричной относительно этой координатной оси. Указанную симметрию нетрудно заметить на рисунках.
В качестве седьмого примера рассмотрим тот же рассеиватель, что и в примере №6, состоящий из девяти непроницаемых кругов с центрами в точках (Xj;yj) и радиусами Tj, значения которых представлены в таблице. Возьмём к0 = 3, R = 1,8 и h = 0,019. Полученные треугольная сетка, численное решение задачи дифракции и диаграмма рассеяния представлены на рисунке 32. [79] В этом примере диаграмма рассеяния также должна быть симметричной относительно оси OX декартовой системы координат. Указанная симметрия наблюдается на рисунках.
В 2 главы 3, исходя из результатов тестирования программы, было получено рекомендуемое значение константы N = 15, определяющей количество слагаемых в конечной сумме, используемой в приближённых парциальных условиях излучения. Далее во всех рассматриваемых примерах используется именно это значение этой константы. Для удобства введём величину h, которую назовём шагом исходной сетки, поскольку во всех рассматриваемых примерах hx = hy = hz = h. В связи с отсутствием внешних источников в рассматриваемой области выберем /(М) = 0. На границах непроницаемых рассеивателях поставим однородные граничные условия второго рода (условия Неймана). На границах проницаемых рассеивателях поставим условие непрерывности искомой функции и её производной. В качестве падающей волны во всех примерах будем использовать плоскую волну, распространяющуюся вдоль одной из осей декартовой системы координат в направлении от +оо к — оо. Эти волны можно записать в виде следующих равенств.
