Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы метода граничных элементов в прямых и обратных задачах дифракции на импедансных цилиндрических телах 18
1.1. Постановка прямой задачи рассеяния электромагнитных волн импедансной поверхностью 18
1.1.1. Дифракция Е-поляризованной волны 18
1.1.2. Дифракция Н-поляризованной волны 20
1.1.3. Вывод импедансных граничных условий 21
1.1.4. Модифицированное граничное условие 24
1.2. Переход к интегральным уравнениям 27
1.3. Постановка обратных задач рассеяния электромагнитных волн при фиксированной геометрии поверхности 32
1.3.1. Задача определения поверхностного импеданса. Е-поляризация 32
1.3.2. Случай Н-поляризации 34
1.3.3. Восстановление поверхностного импеданса в случае неизвестной фазы измеренного сигнала 37
1.3.4. Задача определения импеданса при измерении характеристик в ближнем поле 40
1.3.5. Восстановление импеданса на системе цилиндрических тел 42
1.4. Постановка обратных задач восстановления формы
импедансного рассеивателя 45
1.4.1. Локация Е-поляризованной волной 45
1.4.2. Случай Н-поляризации 47
1.4.3. Смешанная обратная задача дифракции электромагнитных волн 48
1.4.4. Обратная задача моностатической локации 51
1.4.5. Другие постановки обратных задач дифракции электромагнитных волн. Теоремы корректности [54] 53
1.5. Выводы 54
Глава 2. Численное решение обратных задач дифракции методом граничных элементов 56
2.1. Решение прямой задачи дифракции на импедансных поверхностях 56
2.1.1. Расчет рассеяния Е- и Н-поляризованных волн на цилиндрической поверхности 64
2.2. Метод граничных элементов в задачах синтеза и диагностики поверхностного импеданса. Н-поляризация 66
2.2.1. Результаты вычислительного эксперимента 73
2.3. Случай Е-поляризации в задачах синтеза и диагностики поверхностного импеданса 16
2.4. Вырождение матрицы при численном решении обратной задачи рассеяния на круговом цилиндре 80
2.5. Функциональные соотношения подобия в обратных задачах рассеяния при Е- и Я-поляризации 85
2.5.1. Результаты вычислительного эксперимента 90
2.6. Численный метод восстановления поверхностного
импеданса в случае неизвестной фазы измеренного сигнала 92
2.6.1. Нарушение единственности в обратных задачах синтеза поверхностного импеданса 96
2.7. Обратная задача восстановления формы импедансного рассеивателя 98
2.7.1. Метод искусственного «погружения» в задачах восстановления формы 98
2.7.2. Оценка скорости сходимости метода «погружения» 100
2.7.3. Проблема выбора начального приближения 102
2.7.4. Учет исходного распределения поверхностного импеданса 103
2.7.5. Восстановление формы в случае Е-поляризации 104
2.8. Результаты расчетов методом «погружения» в обратных задачах с неизвестной геометрией 105
2.8.1. Результаты расчетов при Н-поляризации 108
2.8.2. Использование данных измерений в ближнем поле 112
2.9. Обратные задачи диагностики целостности цилиндрических оболочек 114
2.10. Выводы 119
Глава 3. Метод граничных элементов (панельный метод) в аэродинамических расчетах 122
3.1. Общие положения и теоретические основы панельного мето да... 123
3.1.1. Реализация панельного метода в случае задачи о
сверхзвуковом обтекании фюзеляжеобразного тела 127
3.2. Устойчивость численного алгоритма в случае сверхзвукового обтекания фюзеляжеобразного тела 134
3.2.1. Анализ неустойчивости счета 136
3.2.2. Обусловленность матрицы аэродинамического влияния 139
3.2.3. Алгоритм регуляризации 148
3.2.4. Результаты расчетов 149
3.3. Сходимость панельного метода в случае сверхзвукового обтекания конуса 151
3.4. Сходимость двумерного панельного метода при малых скоростях обтекания 157
3.4.1. Вспомогательные свойства задачи 160
3.4.2. Аппроксимация интегрального оператора 161
3.4.3. Устойчивость 163
3.4.4. Сходимость 166
3.5. Выводы 167
Глава 4. Численное решение обратных и вариационных задач аэродинамического расчета ... 169
4.1. Оптимизация формы срединной поверхности крыла при сверхзвуковых скоростях 169
4.1.1. Решение вариационной задачи 174
4.1.2. Результаты вычислительного эксперимента 176
4.2. Определение оптимальной крутки крыла в дозвуковом диапазоне скоростей 184
4.2.1. Вспомогательная вариационная задача 185
4.2.2. Вариационная задача в классе кусочно-линейных круток 188
4.2.3. Метод решения оптимальной задачи 189
4.2.4. Оптимизация крыла в присутствии фюзеляжа 190
4.2.5. Оптимизация различных классов крыльев 191
4.2.6. Вариационная задача при заданном тт 193
4.2.7. Оптимизация на основе решения обратной задачи 194
4.2.8. Результаты вычислительных экспериментов 195
4.3. Оптимизация крутки крыла сверхлегкого самолета тандемной схемы 203
4.3.1. Учет влияния вязкости 204
4.3.2. Вычисление поляры самолета 206
4.3.3. Результаты расчетов 208
4.4. Задача об адаптивном крыле 211
4.4.1. Адаптивное крыло в компоновке с фюзеляжем 215
4.4.2. Практическая реализация вычислительного процесса 217
4.4.3. Результаты расчетов 218
4.5. Совместное решение задачи о проектировании аэродинамического профиля с заданными характеристиками электромагнитного рассеяния 224
4.5.1. Метод совместного решения задачи 226
4.5.2. Результаты вычислительного эксперимента 229
4.6. Выводы 232
Заключение 235
Приложение..
- Дифракция Е-поляризованной волны
- Расчет рассеяния Е- и Н-поляризованных волн на цилиндрической поверхности
- Устойчивость численного алгоритма в случае сверхзвукового обтекания фюзеляжеобразного тела
- Определение оптимальной крутки крыла в дозвуковом диапазоне скоростей
Введение к работе
Важной и активно развивающейся областью современной математики и механики является математическое моделирование физических процессов электро- и аэродинамики. В последнее время достигнут значительный прогресс в разработке расчетно-теоретических методов, основанных на переходе от исходных краевых задач к интегральным уравнениям, см., например, работы Васильева Е.Н., Дмитриева В.И., Захарова Б.В., Пименова Ю.В., Колтона Д., Кресса Р , Миттры Р. и др. - в электродинамике и Белоцерковского СМ., Ништа М.И., Маслова Л А., Павловца Г.А., Вудворда Ф.А., Морино Л., Мас-кью В. и др. - в аэродинамике.
При решении полученных интегральных уравнений успешно применяется метод граничных элементов, развитый в работах Бреббии К., Громадки П Т., Баттерфилда Р. Метод граничных элементов имеет ряд важных преимуществ. Он, в принципе, пригоден для тел произвольной формы и позволяет сводить задачу в бесконечной области к постановке на ограниченном многообразии, притом на единицу меньшей размерности. Автоматически удовлетворяется условие на бесконечности. Значения переменных, описывающих решение, могут быть вычислены в любой точке области в непрерывном виде Эти особенности присущи только методу граничных элементов и выделяют его среди возможных альтернатив.
Расчетные методы позволяют в рамках своей применимости получать качественные и количественные оценки важнейших параметров исследуемых явлений, что является неотъемлемой частью большинства систем автоматизированного проектирования новых образцов современной техники. Поэтому несомненной является актуальность проводимых исследований.
Цели и задачи исследования. Разработка на единой основе методов и алгоритмов решения прямых, обратных и вариационных задач электро- и аэродинамики. Математическое обоснование вычислительных алюри шов для конкретных классов задач. Проведение вычислительного эксперимента и математическое моделирование рассматриваемых физических явлений.
Научная новизна заключается в том, что : -в постановках обратных задач использовано модифицированное граничное условие, что позволило получить линейное интегрооператорное уравнение в задаче восстановления поверхностного импеданса,
-построены функциональные соотношения подобия в обратных задачах при Е- и Я-поляризациях,
-разработан, обоснован и применен метод искусственного «погружения» для решения нелинейных обратных задач восстановления формы тела, основанный на новом виде функционала невязки,
-результатами проведенных вычислительных экспериментов показана эффективность предложенных методов решения задач минимизации сопротивления несущих элементов сложных пространственных конфигураций при до- и сверхзвуковых скоростях полета, -для конкретных классов обратных и прямых задач электро- и аэродинамики
{ БИБЛИОТЕКА {
I II чг*
получено математическое обоснование вычислительных алгоритмов метода граничных элементов,
-исследована корректность краевых задач для уравнений теплового многокомпонентного плоскопараллельного и осесимметричного пограничного слоя с общей матрицей диффузии,
-дана постановка и получено численное решение совместной обратной задачи по определению геометрии аэродинамического контура, обладающего как свойством безударного обтекания, так и заданным уровнем электромагнитного рассеяния.
Достоверность научных положений обоснована: -применением дифференциальных и интегральных уравнений, описывающих изучаемые физические явления,
-использованием математического аппарата теории аэродинамического и электродинамического расчета, теории методов вычислений, -проведением многочисленных вычислительных экспериментов, сопоставлением с данными, полученными другими авторами,
-строгими математическими доказательствами по обоснованию алгоритмов, полученными для конкретных классов задач.
Практическая ценность проведенных исследований. Разработаны и исследованы методы и алгоритмы решения прикладных задач, возникающих при проектировании объектов, обладающих близкими к заданным аэродинамическими и радиоотражательными характеристиками. Созданный пакет программ позволяет определять деформацию и крутку срединной поверхности крыла летательного аппарата из условия минимизации потерь на сопротивление в различных диапазонах скоростей полета. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в научно-исследовательских институтах и конструкторских бюро при проектировании и создании новых образцов авиационной техники, систем электромагнитного зондирования, вычислительной диагностики и неразрушающего контроля. По материалам исследований получен акт о внедрении из СибНИА им. С.А. Чаплыгина. Научные положения и выводы работы используются в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов и аспирантов.
Основные научные положения, защищаемые в работе. 1 Метод численного решения обратных задач восстановления поверхностного импеданса, включающий переход к линейному интегрооператорному уравнению, допускающему эффективную дискретизацию и регуляризацию.
-
Функциональные соотношения подобия, устанавливающие связь между решениями обратных задач при Е- и W-поляризациях.
-
Метод искусственного «погружения» для решения нелинейных обратных задач восстановления формы импедансного рассеивателя и новый вид функционала невязки.
-
Методы определения оптимальной деформации и крутки несущей поверхности на до- и сверхзвуковых скоростях для сложных аэродинамических компоновок летательных аппаратов.
-
Доказательства аппроксимации, устойчивости и сходимости вычислитель-
пых алгоритмов метода граничных элементов для конкретных классов задач аэро- и электродинамического расчета.
-
Доказательство корректности краевых задач для уравнений тепловою многокомпонентного пограничного слоя с обшей матрицей диффузии в случае плоскопараллельного и осесимметричного обтекания.
-
Пакет программ, позволяющий проводить математическое моделирование в обратных и вариационных задачах электродинамики и аэродинамики, включая задачи в совместной постановке.
-
Результаты вычислительных зксперимептов по численному исследованию обратных и вариационных задач, а также результаты решения важных научно-технических задач.
Апробация результатов исследований. Основные положения диссертации докладывались на конференциях: V Всесоюзная школа-семинар по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики, Омск, 1983; IV Всесоюзная школа по методам аэрофизических исследований, Новосибирск, 1986; 11-я отраслевая научно-техническая конференция по автоматизации проектирования летательных аппаратов, Москва, ЦАГИ, 1987, VII Всесоюзная школа-семинар по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики, Барнаул, 1989; VIII Международная школа-семинар по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики, Красноярск, 1992; Всероссийская научная конференция «Алгоритмический и численный анализ некорректных задач», Екатеринбург, 1995, 1998; V Международная НТК «Математическое моделирование и САПР сие і ем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ», Москва, Сергиев Посад, 1995; X и XI Байкальская школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск, 1995, 1998 ; II, III и IV Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ), Новосибирск, 1996, 1998, 2000; Международная НТК "Математические модели и методы их исследования», Красноярск, 1997; Международная НТК «Научные основы высоких технологий», Новосибирск, 1997, Сибирская школа-семинар «Математические проблемы механики сплошных сред», Новосибирск, 1997; International Conference on Methods of Aerophysics Research , Novosibirsk, 1998; The Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology, KORUS' 99, Novosibirsk, 1999; VIII НТК «Обратные и некорректно поставленные задачи», Москва, МГУ, 2003; Международная конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании (CIT - 2004)», Алма-Ата, 2004, а также на семинарах: Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (рук. академик В.Н. Монахов, чл.-корр. П.И Плотников), «Математика в приложениях» Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН (рук. академик С.К Годунов), Института вычислительных технологий СО РАН (рук. академик Ю.И. Шокин, профессор В.М Ковеня), НИИ Механики МГУ им М В Ломоносова (рук. профессор Г А. Тирский) и других организаций.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 49 работ Основные результаты диссертации представлены в статьях, список которых приведен в
конце автореферата. Доля соавторов в совместных работах одинакова. В монографию [22] результаты диссертанта вошли как независимая часть.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы из 235 наименований. Общий объем работы 296 стр.
Дифракция Е-поляризованной волны
Рассмотрим стационарную задачу дифракции монохроматической Ё-поляризованной волны на замкнутой цилиндрической поверхности S . Направление падения волны перпендикулярно ее образующей - оси OZ (см. рис. 1.1.1).
Для ненулевой компоненты электромагнитного поля Ez (х, у) выполняется уравнение Гельмгольца [23, 115, 198]: —- +—- + kJu = 0, (1.1.1) дх2 ду2 где и = hz(х, у), к - — - — , Л - длина волны, &- круговая час с X тота, с - скорость распространения электромагнитного излучения в вакууме. Рис. 1.1 Л На идеально проводящей поверхности S (обладающей бесконечной электрической проводимостью) касательная составляющая напряженности электрического поля равна нулю: Е\ 4- Е 1 = 0 - где Ег - тангенциальная компонента падающего поля, а Е 1 - тангенциальная компонента отраженного поля. Следовательно, должно выполняться граничное условие: [п,Е ] = -[п,Е 1 MGS, (1.1.2) где [ , ] -векторное произведение; п - орт внешней нормали к поверхности S, М- точка, в которой определяется поле.
Рассмотрим прямую задачу вычисления диаграммы рассеяния электромагнитных волн телом с заданной формой и идеально проводящей поверхностью.
В случае Е- поляризации, когда Е2 ФО, a,Hz = 0, получаем выражение для компонент полного поля через скалярную функцию и(х, у) = Ez (х, у) в виде ( см. [36, 124, 200] ): Ех = Еу = 0, Ez = и(х,у), гт/ . і ди(х, у) гт . , і dufx, у) ,_ л „, Щ У) = - , Н/х,у) = - , (1.1.3) fi?,W су ш// дх где // - магнитная проницаемость отражающей поверхности. и(х,у) - полное поле, являющееся: решением уравнения Гельмгольца (1.1.1) с граничным условием: u(x,y)\s = 0 (1.1.4) и условием излучения для отраженного поля на бесконечности: lim -4R f S KdR - iku" = 0, (1.1.5) где R - расстояние от рассеивающей поверхности до достаточно удаленной точки наблюдения. Рассеянное поле в соотношении (1.1.5) определяется по формуле ii(x,y) - и(х,у) — U](x,y), где и(х,у) - полное поле, a U](x,y) - падающее поле.
Дифракция Н-поляризованнои волны В случае Н- поляризации, когда Е2 = 0, а Н2 Ф 0, получаем выражение для компонент полного поля через скалярную функцию и(х,у) = Hz(x,y) в виде: НХ = ИУ = 0, Н2 = и(х,у), / ди(х, у) і ди(х, у) Ех(х,у) = ±— - , Еу(х,у) = — , (1.1.6) &е ду & дх где є- электрическая проницаемость отражающей поверхности, а и(х,у) -поле, являющееся решением уравнения Гельмгольца (1.1.1) с граничным условием: %=0 (1.1.7) on и условием для отраженного поля на бесконечности (1.1.5).
В реальной ситуации практически любое тело (исключая сверхпроводники) не является идеально проводящим и его можно рассматривать как им 21 педансное. При строгом подходе для определения электромагнитного поля вне тела с конечной проводимостью уравнения Максвелла должны решаться как вне, так и внутри тела с условием сопряжения на поверхности. В связи с высокой степенью сложности строгого подхода для решения задач в случае тел с конечной проводимостью в исследованиях различных авторов широко используется модель импедансных граничных условий [36,80,83, 107, 118].
Вывод импедансных граничных условий. Проведем вывод известного граничного условия Леонтовича [80] с целью его последующей модернизации. Первоначально получим граничные условия для простейшего случая - падения плоской электромагнитной волны на плоскую границу раздела двух сред.
Пусть плоскость z 0 является границей раздела двух сред: среды I с параметрами єЇІ}ії,(і1 и среды II с параметрами е2, р,2 и2- причем 72 »1 ( 7 - проводимость среды). Пусть на границу раздела (поверхность тела) из области I падает плоская электромагнитная волна, злектричесішй вектор которой направлен вдоль оси ОХ (Е- поляризация). Введем приведенные электромагнитные поля:
Расчет рассеяния Е- и Н-поляризованных волн на цилиндрической поверхности
Рассмотрим решение прямой задачи рассеяния Е-поляризованной волны на идеально проводящем круговом цилиндре. Длина волны Д и радиус цилиндра R связаны соотношением 2жК / Я - 8. Контур направляющей окружности разбивался BSLN—20 панелей-отрезков с равномерным шагом. На рисунке 2.1.1 сплошной линией показана диаграмма рассеяния, полученная настоящим методом, а пунктиром - данные из работы [89] , где использовался метод разложения в ряды. Угол падения плоской волны рП —0. Основная часть рассеянного излучения сосредоточена в «лепестке», имеющем направление падающей волны. Рис. 2.1.1
Второй пример описывает рассеяние плоской ії-поляризованной волны на импедансном клине. Клин с углом раствора при вершине 25 гладко сопрягается с окружностью. На хорде поперечного сечения клина укладывается 5 длин волн. Это приводит к необходимости существенного увеличения числа панелей, на которые разбивается: контур, N= 80. Физическая постановка задачи позволяла использовать здесь для ускорения расчетов наличие симметрии относительно оси ОХ. Графики на рисунке 2.1.2 показывают зависимость нормированного прямого ( р =180 ) и обратного отражения ((р=0) от свойств импедансного покрытия поверхности.
Верхняя кривая соответствует прямому отражению, а ниясняя - обратному. Рассматривается случай однородного реактивного импеданса W — -ikZ/Wg . Результаты расчета по предлагаемому методу показаны сплошной линией, а крестиками - расчет из работы М. Д. Андреасена [1]. Имеется удовлетворительное, особенно в случае прямого рассеяния ( Рис. 2.1.2 когда приемник и передатчик: разнесены на 180) согласование. Отметим, что при увеличении реактанса отражение вначале растет, а затем приобретает «квазипериодический» характер.
Рассмотрим обратную задачу восстановления распределения поверхностного импеданса W по известным значениям рассеянного поля и5 в некотором наборе точек пространства при фиксированной (заранее заданной) форме поверхности S . Задачи такого типа другими методами исследовались в работах Чаплина А.Ф., Кондратьева А.С. [205], Еремина Ю.А., Свешникова А.Г. [54], ЮхановаЮ.В., Петрова Б.М., Климова А.В. [133-135, 210, 211], и др. Применяемые в этих работах подходы и методы основывались, как правило, либо на использовании точных решений, либо включали прямые методы минимизации невязки типа градиентного или покоординатного спуска, что в условии высокой овражности целевой функции приводит к неустойчивости решения и весьма громоздким вычислительным процедурам. Кроме того, возникает непростая проблема подбора начального приближения. В диссертации благодаря использованию модифицированного граничного условия, имеющего тот же порядок асимптотической точности, что и обычно используемое условие Леонтовича, впервые в задаче восстановления импеданса получено линейное интегрооператорное уравнение, которое решается методом граничных элементов, включающим в себя дискретизацию, регуляризацию и переход к СЛАУ. К преимуществам подхода относятся: линейность уравнения, отсутствие проблемы выбора начального приближения, получение решения за конечное число шагов и возможность построения решения в классах активных, реактивных и произвольных комплекснозначных распределений импеданса.
Устойчивость численного алгоритма в случае сверхзвукового обтекания фюзеляжеобразного тела
Задача о сверхзвуковом обтекании фюзеляжеобразного тела Б рамках линейной теории сводится к нахождению потенциала возмущенной скорости р , удовлетворяющего вне тела волновому уравнению : ? !L- 4L- l!L=o,p =M -i, (3.2.1) дхг ду1 dz2 а на границе S - условию непротекания : - = - Щ (3.2.2) дп М 1 - число Маха, S - поверхность обтекаемого тела за исключением донного среза. Возмущение потока равно нулю вне конуса Маха, содержащего тело. При решении этой задачи панельным методом, согласно 3.1, потенциал (р заменяется линейной комбинацией решений волнового уравнения :
N - число панелей, р,- - потенциал слоя сверхзвуковых источников, распределенных на j - й панели, т. - плотность слоя источников, считающаяся постоянной в пределах одной панели. Панели р- представляют собой плоские трапеции с передней и задней кромками, перпендикулярными оси X. В случае осесимметричного тела такие плоские трапециевидные панели образуются при пересечении меридиональных и поперечных плоскостей. Местный угол наклона панели д не должен превышать полураствор конуса Маха. Для первого кольцевого слоя панели имеют треугольную форму. Контрольные точки ( точки, в которых требуется выполнение условий непротекания) расположены в центрах тяжести панелей. Типичное разбиение поверхности фюзеляжа на панели показано на рис. 3.2.1.
Для получения конечномерного аналога условия (3.2.2) необходимо в явном виде вычислить V(p - скорости, индуцируемые особенностями, распределенными на панелях. При этом рассматривается вспомогательное поле скоростей, связанное с точным решением уравнения Лапласа : и )= Я vV pj щ-s ff - радиус - вектор і - й контрольной точки. К Щ применяется ком-плекснозначное преобразование Прандтля - Глауэрта - Гетерта:
с последующим отделением действительной части. Найденные таким образом скорости uj- позволяют записать условия непротекания (3.2.2) для функции (р" в N контрольных точках. В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных интен-сивностей источников (7, :
Примеры расчетов обтекания фюзеляжеобразных тел, как изолированных, так и в составе систем «крыло - корпус» приведены в работах [74, 97].
Однако, при проведении расчетных исследований сверхзвукового обтекания корпусов панельным методом в некоторых случаях, см. например, [34], обнаруживается неустойчивость счета, проявляющаяся в значительном изменении результатов расчета при малой вариации разбиения поверхности тела на панели.
Анализ неустойчивости счета
Рассмотрим сверхзвуковое обтекание цилиндра с оживальной головной частью при нулевом угле атаки. Число Маха изменяется вблизи значения М-1.47. Головная часть имеет длину 4d, ( d- диаметр цилиндра ), а цилиндрическая часть - 8d. Используется типичный способ разбиения на панели : п —18 - равномерно по длине тела и т = 8 в поперечном кольцевом слое.
Теоретическое распределение коэффициента давления С имеет отрицательный минимум в точке сопряжения головной части с цилиндрической : х = 0.333 ( проведена нормировка к величине 12d\ а далее монотонно стремится к нулю. Но анализ графиков на рис. 3.2.2 показывает, что полученное при указанном разбиении численное решение 137 имеет расходящийся характер. Будем характеризовать меру искажения решения величиной С j =С (Xj), Х1 =0.55. График зависимости Cpj(M), представленный на рис. 3.2.3, показывает, что искажение достигает максимума вблизи ,М = І.47, а при М М1 резко уменьшается. Пунктиром на этом же рисунке нанесена зависимость Ср1 (М) для решений , полученных при разбиениях на панели, не вызывающих раскачку. Причина неустойчивости решения состоит в том, что при М = Мх коноид
Определение оптимальной крутки крыла в дозвуковом диапазоне скоростей
Как уже было отмечено, на дозвуковых скоростях существует бесконечно много деформаций, обеспечивающих при фиксированной подъемной силе минимум индуктивного сопротивления. Неоднозначность решения связана с тем, что необходимое условие оптимальности, не накладывая ограничений на параметры вдоль хорды крыла, содержит лишь ограничение на закон циркуляции вихревого слоя вдоль размаха Г\г) (так, для крыла с плоской базовой поверхностью это эллиптический закон). Если же ограничить класс деформации круткой крыла, то задача становится корректной. В случае моделирования крыла по панельному методу это подтверждается совпадением числа уравнений: с числом варьируемых параметров - круток колонок панелей (р - ,j = Jpm, см. рис. 4.2.1. При фиксированном Су однозначно определяется Г(0), давая значение вертикальной полуоси эллипса, поэтому оптимальная крутка будет единственной.
Далее применяются следующие обозначения и терминология, касающиеся разбиения крыла на панели. Согласно рис. 4.2.1, т - число колонок панелей (полос, имеющих направление набегающего потока), п - число рядков (полос панелей в поперечном направлении). Индексами k,j обозначается панель, находящаяся в пересечении к -го рядка и j-й колонки. Применяется также и сквозная нумерация панелей индексом г — к + n(j — l\ г = 1,N , где N = тхп - полное число панелей, п- число панелей по хорде.
В рамках рассматриваемого панельного метода, использующего «плоские» граничные условия и распределения вихрей - кусочно-линейное по хорде и кусочно-постоянное по размаху крыла, коэффициенты индуктивного
С целью получения решения конструктивно простого при практической реализации и5 в то лее время, удовлетворяющего физическим предпосылкам линейной теории, введем в рассмотрение более узкий класс вариаций.
Пусть план крыла разбит на т0 отсеков (например, в точках излома его кромок, см. рис. 4.2.2, где т0 - 3). Независимо варьируемыми считаются ntj = m0 +1 круток р],..., рт границ отсеков AJBJ, А2В2, А3В ,...,Ат Вт , крутки лее колонок панелей q j внутри отсеков являются линейными функциями этих параметров. Так, например, согласно рис. 4.2.2, при равномерном разбиении по размаху крутка первой колонки выражается следующим образом:
На основе простых геометрических соображений записывается матрица: 189 связывающая зависимые и независимые величины: т, __ Рм = S Prs Ps r = p + n(q-l),p = Lji,q = 7Jn. (4.2.7) s=l
Подстановка соотношений (4.2.7) в (4.2.5, 4.2.6) приводит к окончательной формулировке вариационной задачи: Схі{д)1і...і(рщ) ті\\, (4.2.8) СУя{фі Рт)=СУа. (4.2.9)
Эта задача состоит в минимизации квадратичного функционала (4.2.8) при линейном ограничении в виде равенства (4.2.9). Уменьшение количества варьируемых параметров по сравнению с (4.2.5, 4.2.6) упрощает нахождение решения и в то же время делает полученную в расчете крутку технологически легко реализуемой.
При решении задачи применяется классический метод множителей Ла-гранжа. Он заключается в составлении функции Лагранжа [25,120]: li(ph..., рщ ,Мі)= Сх/( ,..., )+//ДС%к -С,я(р;,...,рИ/)) (4.2.10) с последующей ее безусловной минимизацией. Необходимым условием экстремума дифференцируемой функции многих переменных является равенство нулю ее градиента: д р; д Фъ-л,,/ )"0 Таким образом, для определения оптимальной крутки границ отсеков крыла получаем систему из т1 + 1 линейных алгебраических уравнений, которую 190 можно записать в следующем виде: yLdmli Pj dmim]+1ii1=Ot (4.2.11) j=l І=і
Найдя (ръ... рт , с помощью (4.2.7) определяем углы крутки всех колонок панелей, после чего, используя обращенную матрицу А, либо вновь решая прямую задачу, вычисляем интенсивности ущ и суммарные характеристики крыла.
Фюзеляж в компоновке с крылом в некоторых случаях существенно изменяет распределение циркуляции Г[г) в корневой части размаха крыла, что может привести к частичной потере оптимизационного эффекта, полученного на изолированном крыле. Первым шагом к учету этого фактора служит минимизация индуктивного сопротивления крыла в присутствии фюзеляжа. Основанием служит предположение о том, что при крутке крыла основная доля уменьшения Cxi реализуется на крыле.
