Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Существование и единственность обобщенного решения задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных. Коэрцитивность и дифференциальные свойства 19
1.1. Основные обозначения и вспомогательные утверждения 19
1.2. Определение Д„-обобщешюго решения гг-.~ 29
1.3. Существование и единственность /^-обобщенного решения задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных 31
1.4. Коэрцитивность задачи Дирихле с несогласоваршым вырождением исходных данных 34
1.5. Дифференциальные свойства /^-обобщенного решения задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных 49
Глава 2. Метод конечных элементов для задачи Дирихле с несогласован ным вырождением исходных данных 56
2.1. Постановка задачи 56
2.2. Схема метода конечных элементов 58
2.3. Оценка погрешности аппроксимации в норме множества
Глава 3. Численная реализация метода конечных элементов для задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных 68
3.1. Постановка дифференциальной задачи 68
3.2. Численный эксперимент 69
3.3. Результаты численного эксперимента и выводы об аппроксимационных свойствах предложенного метода конечных элементов 71
Литература
- Определение Д„-обобщешюго решения гг-.~
- Существование и единственность /^-обобщенного решения задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных
- Схема метода конечных элементов
- Результаты численного эксперимента и выводы об аппроксимационных свойствах предложенного метода конечных элементов
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена построению и теоретическому обоснованию схемы метода конечных элементов для численного решения задачи с сингулярностью, вызванной вырождением исходных данных задачи на конечном множестве точек границы произвольной выпуклой двумерной области. Для построения и теоретического обоснования схемы метода конечных элементов были исследованы вопросы существования и единственности, коэрцитивность и дифференциальные свойства Ду-обобщенного решения задачи Дирихле для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных.
Вырожденные эллиптические уравнения возникают в теории малых изгибов поверхностей вращения, в теории оболочек и т.д. Такие уравнения играют значительную роль в газовой динамике.
Сингулярность решения краевой задачи для эллиптических дифференциальных уравнений может быть вызвана тремя причинами:
• наличием угловых или конических точек на границе области;
• сменой типа граничных условий в точках границы;
• вырождением исходных данных краевой задачи (коэффициентов и правых частей уравнения и граничных условий).
В настоящее время в работах Агмона, Дуглиса, Ниренберга [1], Хермандера [125], Лопатинского [59] построена законченная теория краевых задач для эллиптических уравнений и систем уравнений с гладкой границей. Основным результатом этой теории является то, что, если коэффициенты уравнения и граничных операторов, их правые части, а также граница области являются достаточно гладкими, то решение задачи — соответственно гладкая функция. В работах Шаудера, Каччиопполи, Лере и пр. (см. [6, 27, 54, 56]) был развит метод, позволяющий доказывать теоремы существования решений нелинейных уравнений на основе соответствующих априорных оценок. Этот метод не требует предварительного построения фундаментального решения и позволяет использовать некоторые теоремы из функционального анализа вместо теории интегральных уравнений.
Оказалось, что разрешимость краевых задач для квазилинейных уравнений второго порядка можно вполне легко доказать, используя оценку Гельдера для первых производных решения соответствующей линейной краевой задачи. Следовательно, появилась необходимость более глубокого изучения линейных задач и получения более точных оценок. В работе [89] получена вышеупомянутая оценка для двумерного несамосопряженного уравнения, что позволило доказать теорему существования для задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка при минимальных условиях на гладкость коэффициентов уравнения. В случае многомерного уравнения такая оценка была получена в работе [46], в предположении, чтогурав-нение удовлетворяет условию, зависящему от евклидовой размерности пространства N 2. Однако, попытки получить такую же априорную оценку для эллиптических уравнений второго порядка общего вида не увенчались успехом, т.к. оказалось, что такой оценки просто не существует.
Краевые задачи в гладких областях для вырожденных квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка весьма интенсивно развиваются в последнее время (см. [2, 166, 167, 192, 205, 210, 212, 223, 227, 276] и обширную библиографию в этих источниках).
Для доказательства разрешимости краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в работах Берн-штейна и позднее Де Джорджи и Нэша [27, 56] был разработан метод, позволяющий получить необходимые оценки для нелинейных задач. Этот метод был развит Ладыженской и Уральцевой в монографии [56], в которой метод применим к различным краевым задачам. Их результаты послужили толчком для появления целого ряда работ их учеников и других математиков (см., например, [52, 228-239, 283]). Все исследования, упомянутые выше, посвящены краевым задачам в достаточно гладких областях. Следует отметить, что окончательное завершение этих исследований потребовало больших усилий многих математиков и заняло около 30 лет.
Однако многие задачи физики и техники приводят к необходимости изучения краевых задач в областях с негладкой границей. К таким областям относятся области, которые имеют на границе конечное число угловых (N — 2) или конических (N 2) точек, ребер и т.д. Состояние теории краевых задач в негладких областях двадцатилетней давности подробно изложено в работах [45, 223, 226, 248].
Работами по изучению линейных краевых задач с вырождением, обусловленным наличием угловых или конических точек на границе области, а также сменой граничных условий в точках границы, являются фундаментальные работы Кондратьева [38, 39, 41, 45], а также Бирмана и Скворцова [7], Эскина [126, 199], Лопатинского [60], Ма-зьи [61-64, 75, 77-79, 82], Назарова [85, 87], Фуфаева [124], Гривар-да [207] и Никольского [88]. В этих работах исследуется разрешимость и регулярность линейных эллиптических задач общего вида в весовых пространствах Соболева в негладких областях. Стало ясно, что методы, применяемые для исследования эллиптических краевых задач в гладких областях, не применимы для негладких областей, т.к. в этом случае невозможно распрямить границу с помощью гладкого преобразования.
Эллиптические задачи в негладких областях изучались Кондра тьевым [38, 39] в 2-соболевских пространствах; Мазья, Кроль и Пла-меневский [47-50, 66-68, 73-80, 253, 254] (см. также [70, 72, 206, 248, 249, 251, 255]) обобщили результаты Кондратьева на ІЛсоболевские и другие пространства. Существует много других работ, относящихся к эллиптическим краевым задачам в негладких областях (см. список литературы).
Краевые задачи в негладких областях для вырожденных квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка изучены в меньшей степени. Похожаевым [95] получены точные априорные оценки для модельной квазилинейной вырождающейся эллиптической задачи в ограниченной области П с RN, N 3. В работах [131, 225] получены результаты о существовании решений вырожденных квазилинейных эллиптических краевых задач. В работе [241] в липшицевых областях изучена регулярность решений и корректность задач для вырожденных квазилинейных эллиптических уравнений, возникающих в теории упругости при решении задач о биоматериалах. Работы [8, 11, 13, 14, 174, 191, 284] посвящены изучению слабых решений задачи в окрестности конической точки границы в некоторых частных случаях. В работе [176] изучена задача Дирихле для модельного уравнения вблизи ребра. В работе [207] исследованы свойства решений задачи для оператора Лапласа в плоской области, ограниченной многоугольником.
В работах [32, 51, 86, 202, 203] рассматриваются сингулярные краевые задачи для некоторых нелинейных эллиптических уравнений. Исследуются вопросы регулярности решений в негладких областях.
Далее, в работах [97-99] развивается теория краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с сильной сингулярностью решения (it W i )), вызванной вырождением исходных данных. Отличительной особенностью таких задач является то, что для них не всегда можно определить обобщенное решение или оно не обладает необходимой регулярностью. Поэтому В. А. Рукавишниковым в работах [97, 99] было предложено определять решение таких краевых задач как / -обобщенное, удовлетворяющее специальному весовому интегральному тождеству и было выделено два класса задач: с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных. Такое определение позволило изучить в весовых пространствах С. Л. Соболева существование и единственность решения краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных, ее коэрцитивные и дифференциальные свойства ([104-106, 108]) и построить специальные весовые множества, в которых изучены вопросы существования и единственности решения краевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных, ее коэрцитивные и дифференциальные свойства ([97, 98, 100, 109, ПО, 112]).
Заметим, что в большинстве практических приложений точное решение рассматриваемых краевых задач найти не удается. Более того, в ряде случаев неизвестна даже асимптотика поведения точного решения в окрестностях нерегулярных точек. По этим причинам актуальной является проблема построения эффективных численных методов, учитывающих специфику задач с сингулярностью, а также теоретическое исследование этих методов.
Существуют три классических семейства численных методов для решения дифференциальных уравнений в частных производных:
• методы конечных разностей (МКР);
• методы конечных объемов (МКО);
• методы конечных элементов (МКЭ).
Эти три семейства имеют две общие черты: они используют сетку и местную аппроксимацию многочленами. Построение сетки связано со многими трудностями, например, когда область имеет сложную геометрию (форму) или сетка должна изменяться со временем, как в задаче распространения трещины. С другой стороны, для задач, решения которых не обладают гладкостью, применение многочленов в качестве приближающих функций не эффективно. Для таких задач построены другие аппроксимирующие функции, которые назовем специальными. Это создало потребность развить методы, которые устраняют полностью или частично, потребность в сетках и используют специальные аппроксимирующие функции (немногочлены). В работах [143, 144, 151, 163] дается единообразная математическая теория сеточных методов и обобщенного МКЭ для решения линейных эллиптических уравнений.
Построение сетки при решении задач математической физики методами конечных разностей, конечных элементов или конечных объемов во многом определяет эффективность применяемых алгоритмов. Естественно, в настоящее время существует много способов построения сеток, в том числе адаптивных, т.е. использующих априорную и апостериорную информацию о свойствах решения исходной задачи. В работе [35] предложена достаточно универсальная и экономичная сеточная технология, обеспечивающая эффективное решение широкого класса уравнений математической физики с применением различных типов аппроксимации и быстрых решателей, адаптивных МКО и МКЭ, расщепления, декомпозиция областей, многосеточных подходов и т.д. Базовой является «паркетная структура», которая, однако, может состоять не только из прямоугольных подобластей с заданной в них декартовой сеткой. Допускаются подобласти различных конфигураций, в которых строятся сетки и других видов, например, полярные, треугольные или нерегулярные (хаотические). В исходных областях, в свою очередь, могут быть выделены зоны сгущения, т.е. дочерние се точные подобласти.
В последнее время МКЭ становится распространенным способом решения сложных задач. Возникновение МКЭ связано с решением задач космических исследований (1950 г.). Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже потом был осмыслен математиками, которые часто называют данный метод вариационно-разностным, подчеркивая тем самым его математическую природу.
В развитии МКЭ принимали участие исследователи в области строительной механики и прикладной математики. В период с 1850 по 1860 гг. была разработана теория кручения и изгиба балок и тем самым заложены основы науки по расчету конструкций. В течении последующих 100 лет расчет конструкций основывался на изучении систем, содержащих одномерные элементы. В середине 1950 г. в авиастроении разработан двумерный элемент. Он был создан для того, чтобы улучшить моделирование всей конструкции путем учета работы мембранных элементов.
В 1960 г. Клафф впервые ввел понятие «конечный элемент» в статье «Использование метода конечных элементов для исследования плоского напряженного состояния». Метод был распространен на решение задач механики сплошных сред.
В 1909 г. Ритц разработал эффективный метод приближенного решения задач механики сплошных сред. Он включает в себя аппроксимацию функционала энергии с помощью известных функций с неизвестными коэффициентами. Минимизация функционала в отношении каждого неизвестного приводит к системе уравнений, из которых могут быть определены неизвестные коэффициенты. Одно из основных ограничений метода Ритца состоит в том, что используемые функции должны удовлетворять граничным условиям задачи.
В 1943 г. Курант [187] значительно расширил возможности ме тода Ритца путем введения специальных линейных функций на треугольных областях и применил метод к решению задач кручения. В качестве неизвестных были выбраны значения функций в узловых точках треугольных областей. Таким образом, основное ограничение, накладываемое на функции Ритца, в отношении удовлетворения граничным условиям, было устранено. Метод Ритца с модификацией Куранта аналогичен МКЭ, который независимо предложил Клафф много лет спустя. Основная причина, по которой МКЭ получил огромное распространение в 1960 гг. заключается в том, что присущий данному методу большой объем вычислительных операций может быть выполнен только с помощью ЭВМ, тогда как в 1943 г. Курант не имел такой возможности.
Область применения МКЭ существенно расширилась, когда в 1968 г. было показано, что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной механики, распространения тепла, гидромеханики, могут быть легко получены с помощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галеркина или способ наименьших квадратов. Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, так как позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, МКЭ из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений.
В конце 60-х — начале 70-х годов прошлого века в работах Ж. Де-клу [29], Ж.-П. Обэна [90], Г. Стренга и Дж. Фикса [121], Ф. Сьярле [122], Э. Митчела и Р. Уэйта [84], Г. И. Марчука и В. И. Агошкова [83], О. Зенкевича и К. Моргана [31], статьях И. Бабушки и Э. Азиза [141], М. Зламала [286, 287], Л. А. Оганесяна, Л. А. Руховца, В. Я. Рив-кинда [91, 92] был развит математический аппарат МКЭ и получены основные теоретические результаты, связанные с оценками погрешности аппроксимации, сходимости и обусловленности схем МКЭ.
Последние три десятилетия интенсивно развиваются различные подходы к решению краевых задач с сингулярностью решения. Во многом структура численного метода и математический аппарат его исследования зависит от характера возникновения и поведения сингулярности. В одномерном случае изучению конечномерных аппроксимаций таких задач были посвящены работы [142, 145, 152, 153, 154, 157, 158, 165, 184, 211, 214, 258].
МКЭ есть процесс построения конечномерных подпространств, называемых конечноэлементными пространствами. При этом базисы построенных конечноэлементных пространств состоят из кусочно-полиномиальных функций, определенных на разбиении исходной области и имеющих локальные носители. Поэтому, в зависимости от способа увеличения размерности конечноэлементного пространства различают три версии метода конечных элементов: h—, р— и h—p версии.
В работах [128-130, 139, 147-149, 156, 159, 162, 184, 186, 267] разработаны h—, р— и h—p версии МКЭ, при этом работа [150] посвящена прямым и обратным теоремам аппроксимации р—версии МКЭ в весовых пространствах для эллиптических задач в многоугольных областях.
В [246, 247] развит МКЭ с локально периодической микроструктурой длины є 0. Показано, что для кусочно-аналитических начальных данных предложенный метод имеет экспоненциальную сходимость, не зависящую от масштаба длины є и при є — 0 численное решение сходится к решению гомогенизированной задачи с оптимальным порядком є. При этом численная реализация не зависит от е.
Работы [181, 278-282] описывают новую версию МКЭ, который хорошо подходит для решения задач в областях с большим количеством внутренних особенностей (например, лакуны, вложения, трещины и т.д.). Главная идея состоит в том, чтобы использовать известные функции, строящиеся на подобластях. Эти функции являются решениями местных краевых задач, отражающих геометрию области и граничные условия, т.е. углы, лакуны и т.д. Обобщенный МКЭ является устойчивым относительно размеров элемента и позволяет достигать высокой точности на отверстиях.
В [94] приведено описание программы для демонстрации итерационных методов решения краевых задач для двумерных дифференциальных уравнений эллиптического типа (граничные условия Дирихле и Неймана), разработанной с использованием пакета Mathcad 7.0 Professional.
Также пристальное внимание уделяется обсуждению численных решений эллиптических краевых задач с сингулярностью решения методом конечных элементов в трехмерном случае (см. [140, 182, 193, 220]).
Для краевых задач с сингулярностью решения, вызванной вырождением исходных данных, в работах [37, 114, 116, 168, 216, 268, 271] построены различные схемы МКЭ. При этом в работах [114, 116, 271] для первой и третьей краевых задач с согласованным вырождением исходных данных на конечном множестве точек границы двумерной области строилась /г-версия МКЭ и были доказаны сходимости приближенных / -обобщенных решений к точным в норме весового пространства С.Л. Соболева с первым порядком по сеточному параметру /І, а в норме весового пространства Лебега — со вторым. В работах [37, 216] для одномерной задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных и сильной сингулярностью решения построена и исследована р-версия МКЭ и в результате доказана степенная скорость сходимости приближенного ./ -обобщенного решения к точ ному в норме весового пространства С.Л. Соболева. В работах [168, 268] для одномерной и двумерной задач Дирихле с сильной сингулярностью решения, вызванной согласованным вырождением исходных данных в граничных точках, разработана и обоснована h—p версия МКЭ. В результате, благодаря использованию сеток со сгущением к точкам особенности и специальному построению степенных векторов аппроксимационных функций для каждой из рассмотренных в этих работах краевых задач установлена экспоненциальная скорость сходимости приближенного / -обобщенного решения к точному в норме весового пространства С. Л. Соболева.
В настоящей диссертации рассматривается задача Дирихле для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных и сингулярностью решения в точках границы произвольной выпуклой двумерной области. Решение поставленной задачи определяется как / -обобщенное; доказана теорема существования и единственности / -обобщенного решения поставленной задачи в весовом множестве 2 +/3/2( 5) , доказана его принадлежность весовому множеству W „ +р/2+1( ) 5 исследованы дифференциальные свойства /« -обобщенного решения: установлена его 2 +/3/2+/:( ) ) ПРИ определенных условиях на параметр is , коэффициенты и правые части дифференциального уравнения. Для нахождения / -обобщенного решения рассматриваемой краевой задачи построена схема МКЭ, причем конечноэлементпое пространство в качестве базиса имеет функции, содержащие сингулярную составляющую; исследована погрешность аппроксимации предложенного метода. В результате применения этого подхода установлено, что скорость сходимости приближенного / -обобщенного решения к точному имеет первый порядок. Дано описание численного эксперимента и проведены расчеты серии дву мерных модельных задач с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных. В результате расчетов, приведенных на рисунках 3.3.1-3.3.4 и в таблицах 1.1-4.3, сделан вывод, что предложенный МКЭ нахождения приближенного / -обобщенного решения в несколько раз точнее, чем аналогичный метод нахождения приближенного обобщенного решения.
Перейдем к более подробному описанию полученных результатов. Диссертация состоит из введения и трех глав.
Глава 1 посвящена исследованию вопросов существования и единственности Ду-обобщенного решения, коэрцитивности и изучению дифференциальных свойств / -обобщенного решения задачи Дирихле для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с сингулярностью решения, вызванной несогласованным вырождением исходных данных в конечном множестве граничных точек произвольной выпуклой двумерной области Q.
В пункте 1.1 введены основные обозначения, описаны все функциональные пространства и множества, используемые в диссертации, приведены выражения для норм и полунорм в этих пространствах и множествах.
В пункте 1.2 приведена постановка краевой задачи, дано определение ее / -обобщенного решения, принадлежащего весовому множеству W% 0/2 1 ) и удовлетворяющего специальному весовому интегральному тождеству.
Пункт 1.3 посвящен исследованию вопросов существования и единственности Лу-обобщенного решения рассматриваемой задачи. В теореме 1.3.1 доказано существование и единственность Rv-обобщенного решения в весовом множестве \,v -YBl2 - ) ПРИ 0ПРе" деленных условиях па исходные данные задачи.
В пункте 1.4 изучается коэрцитивность рассматриваемой крае вой задачи. Доказано, что если выполняются определенные условия на параметр і/ , то -обобщенное решение ии {х) принадлежит весовому множеству W$tV.+p/2+i{tt,8) и имеет место оценка сверху для нормы ии (х) в указанном множестве через норму правой части дифференциального уравнения в соответствующем множестве (теорема 1.4.1).
В пункте 1.5 исследованы дифференциальные свойства Rv-обобщенного решения поставленной задачи. В теореме 1.5.1 установлено, что при выполнении определенных условий на параметр v и на коэффициенты и правые части дифференциального уравнения Л -обобщенное решение ии (х) принадлежит весовому множеству W2 l+p/2+k№)fi) и имеет место оценка сверху для нормы ии (х) в указанном множестве через норму правой части дифференциального уравнения в соответствующем множестве.
В главе 2 рассматривается задача Дирихле для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных. Основные результаты главы касаются построения схемы МКЭ для указанной краевой задачи и исследования аппроксимационпых свойств этого метода в норме весового пространства W +/5/2+1 ( )•
В пункте 2.1 приведена постановка краевой задачи и дано определение ее / -обобщенного решения, принадлежащего весовому множе о
ству И 2,і/+/з/2( 5) и удовлетворяющего весовому интегральному тождеству.
Пункт 2.2 посвящен построению схемы МКЭ на основе определения Я -обобщенного решения краевой задачи. С этой целью в область О вписывается выпуклый многоугольник Г2/г, проводится квазиравномерная триангуляция последнего, определяются конечноэлементное множество Vh(ft) и приближенное -обобщенное решение по методу конечных элементов. При этом базис множества Vh(i) состоит из функций, содержащих сингулярную составляющую.
В пункте 2.3 исследованы аппроксимационные свойства построенной схемы МКЭ в норме весового пространства И 211/.+ /2+1(Г2, 5). В качестве вспомогательного утверждения приводится лемма 2.3.1, являющаяся аналогом леммы Сеа для весовых пространств. В теореме 2.3.1 приведен результат об аппроксимации ./ -обобщенного решения ии (х) с помощью интерполянтаг ,/ ) специального вида. Установлено, что \\uv,{x)-u j{x)\\wiut+0/2+i{sl)5) O{h).
В главе 3 проведен численный анализ предложенного МКЭ для двумерной краевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных и сингулярностью решения.
В пункте 3.1 дана постановка дифференциальной задачи. Пункт 3.2 посвящен описанию алгоритма нахождения приближенного -обобщенного решения по МКЭ в случае произвольной сетки П для двумерной задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных и сингулярностью решения. В ходе численного эксперимента создана программа «Проба II» в среде программирования Turbo Delphi, реализующая описанный в предыдущей главе алгоритм нахождения приближенного -обобщенного решения.
В пункте 3.3 проведены расчеты серии двумерных модельных задач с сингулярностью. Расчеты каждой модельной задачи проводились на равномерной сетке с фиксированным числом элементов. Для различных значений сеточного параметра h находилось приближенное обобщенное (в этом случае р(х) = 1) и іі -обобшенное решения соответствующей модельной задачи и для Л„-обобщенного решения определялась погрешность аппроксимации lw в сеточном аналоге нормы весового пространства W +p +iiQ, 8) lw2= [p2V+№+1\x)-\Dx(uv(x)-ub{x))\2 dx.
Полученные результаты представлены в виде таблиц и рисунков. На основании анализа данных численного эксперимента сделаны выводы об аппроксимационных свойствах МКЭ для краевых задач рассматриваемого типа. Установлено, что погрешность аппроксимации в сеточном аналоге нормы весового пространства +/3/2+1( 5 $) убывает со скоростью О (К).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [109-113]. Полученные результаты докладывались на Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2007 (г. Новосибирск, 2007 г.), на IX Краевой конференции молодых ученых Хабаровского края (г. Хабаровск, 2007 г.), на XXXI и XXXII Дальневосточной математической школе-семинаре им. акад. Е. В. Золотова (г. Находка, 2006 и 2007 гг.), на учебно-научном семинаре «Математическое моделирование и численный анализ» Дальневосточного государственного университета путей сообщения.
В тексте диссертации принята тройная нумерация утверждений и формул: первые две цифры указывают на номер пункта, а третья — на порядковый номер математического предложения или формулы. Нумерация постоянных ведется отдельно для каждой главы.
Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Виктору Анатольевичу Рукавишникову за постоянное внимание и неоценимую помощь в работе.
Определение Д„-обобщешюго решения гг-.~
Краевые задачи в негладких областях для вырожденных квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка изучены в меньшей степени. Похожаевым [95] получены точные априорные оценки для модельной квазилинейной вырождающейся эллиптической задачи в ограниченной области П с RN, N 3. В работах [131, 225] получены результаты о существовании решений вырожденных квазилинейных эллиптических краевых задач. В работе [241] в липшицевых областях изучена регулярность решений и корректность задач для вырожденных квазилинейных эллиптических уравнений, возникающих в теории упругости при решении задач о биоматериалах. Работы [8, 11, 13, 14, 174, 191, 284] посвящены изучению слабых решений задачи в окрестности конической точки границы в некоторых частных случаях. В работе [176] изучена задача Дирихле для модельного уравнения вблизи ребра. В работе [207] исследованы свойства решений задачи для оператора Лапласа в плоской области, ограниченной многоугольником.
В работах [32, 51, 86, 202, 203] рассматриваются сингулярные краевые задачи для некоторых нелинейных эллиптических уравнений. Исследуются вопросы регулярности решений в негладких областях.
Далее, в работах [97-99] развивается теория краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с сильной сингулярностью решения (it W i )), вызванной вырождением исходных данных. Отличительной особенностью таких задач является то, что для них не всегда можно определить обобщенное решение или оно не обладает необходимой регулярностью. Поэтому В. А. Рукавишниковым в работах [97, 99] было предложено определять решение таких краевых задач как / -обобщенное, удовлетворяющее специальному весовому интегральному тождеству и было выделено два класса задач: с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных. Такое определение позволило изучить в весовых пространствах С. Л. Соболева существование и единственность решения краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных, ее коэрцитивные и дифференциальные свойства ([104-106, 108]) и построить специальные весовые множества, в которых изучены вопросы существования и единственности решения краевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных, ее коэрцитивные и дифференциальные свойства ([97, 98, 100, 109, ПО, 112]).
Заметим, что в большинстве практических приложений точное решение рассматриваемых краевых задач найти не удается. Более того, в ряде случаев неизвестна даже асимптотика поведения точного решения в окрестностях нерегулярных точек. По этим причинам актуальной является проблема построения эффективных численных методов, учитывающих специфику задач с сингулярностью, а также теоретическое исследование этих методов.
Существуют три классических семейства численных методов для решения дифференциальных уравнений в частных производных: методы конечных разностей (МКР); методы конечных объемов (МКО); методы конечных элементов (МКЭ).
Эти три семейства имеют две общие черты: они используют сетку и местную аппроксимацию многочленами. Построение сетки связано со многими трудностями, например, когда область имеет сложную геометрию (форму) или сетка должна изменяться со временем, как в задаче распространения трещины. С другой стороны, для задач, решения которых не обладают гладкостью, применение многочленов в качестве приближающих функций не эффективно. Для таких задач построены другие аппроксимирующие функции, которые назовем специальными. Это создало потребность развить методы, которые устраняют полностью или частично, потребность в сетках и используют специальные аппроксимирующие функции (немногочлены). В работах [143, 144, 151, 163] дается единообразная математическая теория сеточных методов и обобщенного МКЭ для решения линейных эллиптических уравнений.
Существование и единственность /^-обобщенного решения задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных
Область применения МКЭ существенно расширилась, когда в 1968 г. было показано, что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной механики, распространения тепла, гидромеханики, могут быть легко получены с помощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галеркина или способ наименьших квадратов. Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, так как позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, МКЭ из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений.
В конце 60-х — начале 70-х годов прошлого века в работах Ж. Де-клу [29], Ж.-П. Обэна [90], Г. Стренга и Дж. Фикса [121], Ф. Сьярле [122], Э. Митчела и Р. Уэйта [84], Г. И. Марчука и В. И. Агошкова [83], О. Зенкевича и К. Моргана [31], статьях И. Бабушки и Э. Азиза [141], М. Зламала [286, 287], Л. А. Оганесяна, Л. А. Руховца, В. Я. Рив-кинда [91, 92] был развит математический аппарат МКЭ и получены основные теоретические результаты, связанные с оценками погрешности аппроксимации, сходимости и обусловленности схем МКЭ.
Последние три десятилетия интенсивно развиваются различные подходы к решению краевых задач с сингулярностью решения. Во многом структура численного метода и математический аппарат его исследования зависит от характера возникновения и поведения сингулярности. В одномерном случае изучению конечномерных аппроксимаций таких задач были посвящены работы [142, 145, 152, 153, 154, 157, 158, 165, 184, 211, 214, 258].
МКЭ есть процесс построения конечномерных подпространств, называемых конечноэлементными пространствами. При этом базисы построенных конечноэлементных пространств состоят из кусочно-полиномиальных функций, определенных на разбиении исходной области и имеющих локальные носители. Поэтому, в зависимости от способа увеличения размерности конечноэлементного пространства различают три версии метода конечных элементов: h—, р— и h—p версии.
В работах [128-130, 139, 147-149, 156, 159, 162, 184, 186, 267] разработаны h—, р— и h—p версии МКЭ, при этом работа [150] посвящена прямым и обратным теоремам аппроксимации р—версии МКЭ в весовых пространствах для эллиптических задач в многоугольных областях.
В [246, 247] развит МКЭ с локально периодической микроструктурой длины є 0. Показано, что для кусочно-аналитических начальных данных предложенный метод имеет экспоненциальную сходимость, не зависящую от масштаба длины є и при є — 0 численное решение сходится к решению гомогенизированной задачи с оптимальным порядком є. При этом численная реализация не зависит от е.
Работы [181, 278-282] описывают новую версию МКЭ, который хорошо подходит для решения задач в областях с большим количе ством внутренних особенностей (например, лакуны, вложения, трещины и т.д.). Главная идея состоит в том, чтобы использовать известные функции, строящиеся на подобластях. Эти функции являются решениями местных краевых задач, отражающих геометрию области и граничные условия, т.е. углы, лакуны и т.д. Обобщенный МКЭ является устойчивым относительно размеров элемента и позволяет достигать высокой точности на отверстиях.
В [94] приведено описание программы для демонстрации итерационных методов решения краевых задач для двумерных дифференциальных уравнений эллиптического типа (граничные условия Дирихле и Неймана), разработанной с использованием пакета Mathcad 7.0 Professional.
Также пристальное внимание уделяется обсуждению численных решений эллиптических краевых задач с сингулярностью решения методом конечных элементов в трехмерном случае (см. [140, 182, 193, 220]).
Схема метода конечных элементов
Теорема 1.5.1. Пусть выполняются условия теоремы 1.4.1. Кроме того, пусть имеет место неравенство (i k. (1.5.1) Тогда -обобщенное решение задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных принадлежит множеству W ХХв/2-\-к-\-\ ( ) и имеет место оценка \\u rMwlm+k+l{m сзі ll/M)w$M(n, ) (1-5-2) где сзі — положительная постоянная, не зависящая от функции /(г, 9). Доказательство. Рассмотрим преобразование М{ области О, в область Q, такое, что точка ТІ перейдет в начало координат. Обозначим й„(і,&) = uv (Mf1 !, )) Тогда где Ьй,(6,6) = -р (Wi,6) ,Ы)+а( ьЫ „&,&). Имеем Ьй,(6,6) = /(6,6), , (1-5.3) (6,6) = 0, едП . (1.5.4) Заменим в (1.5.3), (1.5.4) щ, ац, а, /, 1 на и„, сщ, а, /, Г2, a (6,6) на— (жі,Ж2)- Тогда 2 д ( ди (т)\ Г (а;) г)+а(а;) (а;):=/(;Е) жєП (1-5,5) uv(x) = 0, о; Є да (1.5.6)
Если выполняются условия теоремы 1.4.1, то -обобщенное ре шение задачи (1.5.5), (1.5.6) принадлежит множеству И/22і1/+/3/2+1(Г2, 5) и имеет место оценка (1.4.19).
Введем местные полярные координаты г и в по формулам Х\ — г cos 9,.ті — т sin#. Тогда в области Г весовая функция р[х) совпадет с полярным радиус-вектором г. Кроме того, пусть производные функции г удовлетворяют неравенству Q\k\rm дгк а rm k. Предположим, что функция uv{r,0) Є 2 + /2+ ( , ) и выполняется неравенство K(r,e)\\wzv+w+m-№) oHI/M)llw2m-2(№ m = 3,fc + 1. (1-5.7) Докажем, что функция ии(г,9), при выполнении условий теоремы, будет принадлежать множеству У 2 +р/2+к+і( ) и имеет место неравенство \\u 0)\\Wim+k+lin,5) сзз /(r, 0)\\wLwy Для этого положим Vk(r, в) = гк (ии{х))тк, к 2. Тогда функция Vk(r,9) является обобщенным решением следующей задачи Теорема 1.5.1 доказана. Глава 2. Метод конечных элементов для задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных
Эта глава посвящена построению схемы МКЭ для задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных. Особенностью предлагаемого метода является то, что, базисные функции ко-нечноэлементного пространства, в котором ищется приближенное Rv-обобщенное решение, содержат сингулярную составляющую. Исследуется скорость сходимости приближенного решения предлагаемого МКЭ к точному в весовом множестве 2 +/3/2+1 ( ) в результате чего устанавливается оценка конечноэлементной аппроксимации. Дано описание численной реализации МКЭ для двумерной задачи Дирихле с сингулярностью и несогласованным вырождением исходных данных. Проведен анализ результатов численного эксперимента.
Будем предполагать, что выполняются следующие условия: аа(х) Є Н рі сі), а(х) Є 00-/3(с2), (2.1.3) /=1 1=1 а(х) с4-рр(х) (2.1.5) почти всюду на О,, а правая часть уравнения для некоторого вещественного неотрицательного числа fi удовлетворяет условию f(x) Є Ь2 (П,5). (2.1.6) Здесь С{ (г = 1,2, 3,4) — положительные постоянные, не зависящие от х\ ъ2 — любые вещественные параметры. Как следует из пункта 1.2, краевая задача (2.1.1), (2.1.2) с условиями (2.1.3)-(2.1.6) есть задача Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных. Билинейную форму av{uv, v) и линейную форму fv(v) введем тем же способом, что и в пункте 1.2. Определение 2.1.1. Функция uv(x) из множества W +p Q, 5) называется -обобщенным решением задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных (2.1.1), (2.1.2), если почти всюду о на dQ, uv(x) = 0 и для всех v(x) из W2\v+p/2(l, справедливо тождество av(uv,v) = fv{y) при любом фиксированном значении и, удовлетворяющем неравенству
Очевидно, что для задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных (2.1.1), (2.1.2) будет справедливо утверждение теоремы 1.3.1 при ф(х) = 0, то есть при выполнении условий (2.1.3)-(2.1.7) / -обобщенное решение uv(x) краевой задачи (2.1.1), (2.1.2) о .. существует и единственно в множестве 2 +р/2(0,6) и справедлива оценка \Mx)Wwlv+p/2(n,S) С5 \\f(x)\\L2A 5) (2.1.8) с положительной постоянной С5, не зависящей от функции f(x). Если же помимо условий (2.1.3)-(2.1.7) выполняется неравенство v + (3/2 2, (2.1.9) то функция щіх) принадлежит множеству И/г/+/9/2+1( ,5) и имеет место неравенство коэрцитивности ІМж)ІЦ„+/ї/2+1(ад се \\f(x)\\L (n,6) (2.1.10) с положительной постоянной Сб, не зависящей от функции f(x).
Построим схему МКЭ, опираясь на определение -обобщенного решения задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных. С этой целью произведем квазиравномерную триангуляцию области О, и введем специальную систему базисных функций.
Впишем в область Q многоугольную область V Проведем триангуляцию lh так, чтобы выполнялись следующие свойства: N 1. Многоугольная область Г4= U КІ, где {K}={Ki, К2,..., К \ г—1 множество замкнутых треугольников, называемых конечными элементами, h — наибольшая из длин сторон треугольников КІ, г — 1, N, 5 — граница области fi/j. 2. Общими для треугольников КІ: і — 1, АГ, могут быть только стороны или вершины. 3. Все вершины треугольников КІ, г — 1,п, расположенные на границе сЮ, принадлежат также (9. Точки т;, г — 1, п, являются подмножеством множества вершин треугольников, принадлежащих сЮ , при этом один треугольник КІ, г = 1,N, содержит не более одной из точек множества U Ч. Очевидно, что в этом случае h 5. i—l 4. Минимальный из углов треугольников строго положительный и не зависит от триангуляции.
Результаты численного эксперимента и выводы об аппроксимационных свойствах предложенного метода конечных элементов
В модельных краевых задачах рассматривалось дифференциальное уравнение вида (3.1.1), для которого выбиралось точное решение так, чтобы, удовлетворялось граничное условие (3.1.2); при этом коэффициенты дифференциального уравнения ац(х), I = 1,2, а(х) выбирались так, чтобы удовлетворялись условия (2.1.3)-(2.1.5), а затем определялась правая часть дифференциального уравнения (3.1.1).
Для проведения численного эксперимента была использована программа «Проба-П» в среде программирования Turbo Delphi, реализующая описанный в главе 2 алгоритм нахождения приближенного -обобщенного решения и обобщенного решения (в этом случае р(х) = 1) краевой задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных (3.1.1), (3.1.2). Для экономичности нахождения вектора решения системы линейных алгебраических уравнений (2.2.2), возникающих при построении базисных функций конечноэлементного множества Vh(Q) и при вычислении коэффициентов а;, г — 1,-ZV/j в линейной комбинации (2.2.1) используется разложение этого вектора в 15-мерном подпространстве Крылова посредством GMRES-метода (см. [275]).
Для каждой задачи значения параметров v, и , (3 выбирались так, чтобы выполнялось неравенство (3.1.3), а функция ии{х) принад-лежала множеству 2 +/3/2+1( )- Расчеты для каждой модельной задачи проводились на равномерной сетке с фиксированным числом элементов. Для различных значений шага h находилось приближенное и%(х) Д,-обобщенное решение и приближенное обобщенное решение соответствующей модельной задачи и для / -обобщенного решения определялась погрешность аппроксимации lw в сеточном аналоге нормы весового пространства И ,+/д/2+1(Г2, $): lw2 = (P2{l/t+m+l){x) \DX {uv{x) uhu{x))f dx. A ln
В каждом из узлов сетки Pi, і = l,Nh для найденных приближенных решений определялась погрешность А(Д) = \и„{Рі) - Uhv{Pi)\ , і = ЇЖ и величина наибольшей погрешности Л = max A(Pj) А так же определялось число узлов сетки щ, в которых абсолютная величина разности между значениями точного и приближенного обобщенного или / -обобщенного решений превосходит заданную предельную погрешность Si и число узлов сетки П2, в которых абсолютная величина разности между значениями точного и приближенного обобщенного или Д -обобщенного решений превосходит заданную предельную погрешность #2 и не превосходит 5\.
Введем следующие обозначения: 7 — параметр, от которого зависит радиус окрестности точки сингулярности 5; hXl — длина отрезка разбиения вдоль оси Ох\\ N — число отрезков разбиения вдоль осей Ох\ И 0X2 , 5 = (1 + O.OI7) hXl — радиус окрестности точки сингулярности; v, Z/ , /3 — параметры для нахождения Д/-обобщенного решения; ег=10 9 — погрешность нахождения приближенного решения СЛАУ (итерационный процесс останавливается, как только модуль разности между решениями на двух последних итерациях становится меньше этой величины); пп — число узлов сетки, попадающих в -окрестность точки сингулярности; пі — число узлов сетки, в которых абсолютная величина разности между значениями точного и приближенного обобщенного или Rv-обобщенного решений превосходит предельную погрешность 5\\ П2 — число узлов сетки, в которых абсолютная величина разности между значениями точного и приближенного обобщенного или Rv обобщенного решений превосходит предельную погрешность 2 и не превосходит 5\\ lw — норма разности между точным и приближенным / -обобщенным решением в пространстве И у+ /г+і (0,5); пі — число итераций, потребовавшихся для достижения данной точности.
