Численно-аналитические методы стандартных элементов для моделирования стационарных физических полей в линейных кусочно-однородных и нелинейных средах; Пашковский Александр Владимирович

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Пашковский Александр Владимирович. Численно-аналитические методы стандартных элементов для моделирования стационарных физических полей в линейных кусочно-однородных и нелинейных средах;: диссертация ... доктора технических наук: 05.13.18 / Пашковский Александр Владимирович;[Место защиты: ФГБОУ ВПО "Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) им. М.И.Платова"].- Новочеркасск, 2014.- 364 с.

Содержание к диссертации

Введение

1 Численные методы моделирования физических полей 23

1.1 Анализ численных методов решения полевых задач 25

1.2 Общая характеристика метода стандартных элементов (МСЭ) .34

1.3 Общая характеристика численно-аналитических методов на основе МСЭ. Библиотека введенных стандартных элементов . 37

1.4 Выводы к главе 1 47

1.5 Постановка основных задач 49

2 Численно-аналитические методы стандартных элементов для моделирования физических полей в линейных кусочно-однородных средах 54

2.1 Постановка задач 54

2.2 Метод стандартных элементов с использованием рядов Фурье (МСЭФ) для моделирования физических полей в линейных средах 56

2.2.1 МСЭФ, обеспечивающий “склейку” СЭ с использованием узловых значений решения на границе 56

2.2.2 Реализация МСЭФ в случае двухмерной области для СЭ в виде прямоугольника с использованием “основного” функционала 58

2.2.3 Реализация МСЭФ в случае трехмерной области для СЭ в виде параллелепипеда с использованием “основного” функционала 71

2.2.4 СЭ в виде треугольника и соответствующий ему “основной” функционал 82

2.2.5 СЭ в виде круга, сектора, сектора кольца, сектора двойного кольца и их “основные” функционалы 91

2.2.6 МСЭФ, основанный на “склейке” СЭ с использованием коэффициентов Фурье разложения решения на границе 99

2.2.7 Пример реализации МСЭФ при решении задачи Дирихле в двухмерной области для уравнения Лапласа и Пуассона 102

2.3 Метод стандартных элементов, основанный на использовании вспомогательных функций 111

2.3.1 Реализации МВФ для решения задачи Дирихле в двухмерной расчетной области для уравнений Лапласа и Пуассона 113

2.3.2 Методика формирования системы уравнений МВФ относительно коэффициентов Фурье разложений следов решения на границах СЭ 122

2.3.3 Уравнения “связи” на границах трехмерного СЭ для краевой задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона .127

2.3.4 Уравнения “связи” на границах бесконечного прямоугольного стандартного элемента 135

2.3.5 Особенности применения МВФ для расчета поля магнитной системы, создаваемого постоянными магнитами .150

2.3.6 Особенности применения МВФ для расчета поля магнитной системы, создаваемого катушками с постоянным током. 153

2.4 Выводы к главе 2 .157

3 Численно-аналитические методы стандартных элементов для моделирования физических полей в нелинейных средах .159

3.1 Постановка задач 159

3.2 МСЭФ и МВФ в моделировании физических полей в нелинейных средах 162

3.3 Комбинированный метод стандартных и конечных элементов на основе рядов Фурье (КМСФиКЭ) .167 3.3.1 Построение КМСФиКЭ путем “склейки” СЭ и учета

граничных узловых значений решения .167

3.3.2 Реализация методики КМСФиКЭ с использованием узловых значений 170

3.3.3 Построение КМСФиКЭ в результате “склейки” СЭ

с использованием коэффициентов Фурье .177

3.3.4 Особенности применения КМСФиКЭ для расчета магнитного поля, создаваемого постоянными магнитами 183

3.3.5 Формирование системы уравнений КМСФиКЭ относительно коэффициентов Фурье и узловых значений решения .190

3.4 Комбинированный метод стандартных и конечных элементов, построенный с использованием вспомогательных функций (КМВФиКЭ) 194

3.4.1 Принципы построения КМВФиКЭ .194

3.4.2 Иллюстрация реализации КМВФиКЭ на задаче Дирихле для двухмерной области .197 3.5 Выводы к главе 3 199

4 Теоретическое и экспериментальное исследование точности и эффективности численно-аналитических методов стандартных элементов 201

4.1 Применение МВФ для решения полевых задач при наличии особенности решения в окрестности угловых точек области 204

4.1.1 Применение МВФ при расчете поля с особенностью решения в окрестностях угловых точек 206

4.1.2 Применение МВФ для решения задачи расчета электрического поля в бесконечной угловой области, ограниченной проводящими контурами 209

4.1.3 МВФ в задаче расчета магнитного поля проводника с током в угловом элементе 214

4.2 МВФ в расчете физических полей кусочно-однородных сред (КОС) с узкими включениями, осцилляцией решений и угловыми зонами 218

4.2.1 Примеры, имеющие аналитическое описание распределения потенциального поля в двух и трехмерной КОС 218

4.2.2 Оценка точности МВФ и КМВФиКЭ с использованием аналитического решения задачи расчета поля в кусочно-однородной среде 227

4.2.3 Оценка точности МВФ с использованием аналитического решения полевой задачи в в трехмерной КОС 231

4.3 Оценка точности МВФ при решении задачи расчета поля в кусочно-однородных средах при изменении материальных характеристик .233

4.3.1 Численное моделирование поля при варьировании магнитных проницаемостей материалов и наличии источников поля .236

4.4 Оценка точности МВФ в двухмерной однородной среде при варьировании граничных условий .243

4.5 Теоретическая оценка точности аппроксимации следов решений отрезками ряда Фурье .244

4.6 Выводы к главе 4 249

5 Оценка точности и эффективности численно-аналитических методов стандартных элементов при решении прикладных задач расчета физических полей. 251

5.1 Задача расчета магнитного поля линейного двигателя с постоянными магнитами при линейных характеристиках магнитных систем 251

5.1.1 Применение МКЭ для расчета магнитного поля линейного двигателя при различных разбиениях расчетной области 252

5.1.2 Применение МВФ в расчете магнитного поля линейного двигателя 256

5.2 Задача расчета температурного поля якоря тягового двигателя при термообработке 259

5.2.1 Экспериментальное исследование температурного поля якоря тягового двигателя при термообработке 263

5.2.2 Применение КМСФиКЭ для расчета температурного поля якоря тягового двигателя 263

5.3 Задача расчета электростатического поля в системе “катализатор- -среда-электрод” .269

5.3.1 Применение МВФ для расчета поля каталитической системы.274

5.3.2 Применение МКЭ для расчета поля каталитической системы при изменении разбиения расчетной области .276

5.4 Решение задачи расчета магнитного поля и силовых взаимодействий в магнитных системах с постоянными магнитами .277

5.4.1 Применение МВФ для расчета трехмерного магнитного поля и силовых взаимодействий магнитной системы с постоянными магнитами 282

5.4.2 Применение МВФ для расчета двухмерного магнитного поля магнитной системы, содержащей постоянные магниты...287

5.4.3 Решение задачи расчета магнитного поля и силовых характеристик подъемного модуля при нелинейных характеристиках В(Н) частей магнитной системы 289

5.5 Анализ точности МВФ при расчете поля в областях с “сильно” вытянутыми включениями 299

5.6 Выводы к главе 5... 304

Заключение 306 Список сокращений и условных обозначений .310 Список литературы

Общая характеристика численно-аналитических методов на основе МСЭ. Библиотека введенных стандартных элементов .
Метод стандартных элементов с использованием рядов Фурье (МСЭФ) для моделирования физических полей в линейных средах
МСЭФ и МВФ в моделировании физических полей в нелинейных средах
Применение МВФ для решения задачи расчета электрического поля в бесконечной угловой области, ограниченной проводящими контурами

Введение к работе

Актуальность темы исследований. Решение современных задач проектирования новой техники, получения новых материалов, разработка новых технологий требуют проведения точных и быстрых расчетов физических полей различной природы. Такие расчеты во многих случаях могут быть выполнены существующими численными методами. Используются метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ), а также модифицированные и комбинированные методы, основанные на них. Однако, при усложнении и уточнении формулировок задач, при сложных геометрии и материальных свойствах расчетных областей, в условиях больших градиентов решения и его особенностей, при наличии разнородных включений в кусочно-неоднородных средах, их нелинейных характеристиках наблюдается рост погрешности расчетов физических полей с использованием указанных методов. Для достижения требуемой точности в условиях перечисленных факторов при расчетах, выполняемых с помощью данных численных методов, приходится увеличивать время, необходимое для подготовки исходных данных, выполнять более мелкое разбиение расчетных областей. Это приводит к увеличению размерности решаемых систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и, как следствие, к значительному росту вычислительных затрат, времени расчетов, особенно в тех случаях, когда эти расчеты являются многовариантными.

Подобные особенности делают проблематичным использование вышеперечисленных методов для решения следующих часто возникающих на практике задач:

– комплексных, когда необходимо выполнить одновременный расчет нескольких физических полей;

– непрямого контроля параметров полей и параметрического управления;

– расчета физических полей, выполняемого в условиях многовариантности, например, связанной с изменением геометрии (характерных размеров устройств и взаимного положения их элементов);

– оптимизации, связанной с выбором оптимальных параметров устройств;

– обратных задач, например, при:

а) непрямом измерении характеристик материалов;

б) большом числе угловых точек, в которых решение имеет особенности;

в) возникновении осцилляции решения;

г) наличии мили- и микровключений, вносящих большие погрешности и приво
дящих к неустойчивости численного решения;

д) расчете трехмерных физических полей в нелинейных кусочно-однородных
средах.

Это обосновывает актуальность разработки новых эффективных методов, обеспечивающих снижение необходимых вычислительных ресурсов, сокращение времени расчетов и их устойчивость, повышение точности расчетов физических полей в кусочно-однородных линейных и нелинейных средах, в том числе, когда решение в угловых точках области имеет особенность, при наличии тонких включений, возникновении осцилляции решения. В диссертационной работе построены новые численно-аналитические методы стандартных элементов для расчета физи-

4 ческих полей, в основе которых лежит представление расчетной области в виде объединения стандартных элементов (СЭ), а также нахождение приближенного решения с использованием аналитических решений краевых задач в СЭ, принадлежащих пространству Соболева W₂² и задание операторов «связи» следов решения с нормальными производными на границах СЭ. Разработанные методы являются эффективными, обеспечивают снижение необходимых вычислительных ресурсов, сокращение времени расчетов, устойчивость и высокую точность. Это достигается с помощью:

– снижения объема необходимых вычислений, которое осуществляется в результате увеличения размеров элементов разбиения расчетной области при введении СЭ и блоков из них без потери точности;

– повышения гладкости приближенного решения, достигаемого при одновременном уменьшении числа СЭ в расчетной области, например, по сравнению с числом конечных элементов в МКЭ;

– использования точных (аналитических) решений краевых задач в СЭ;

– предварительной оценки точности приближенного решения, выполненной с использованием функционала краевой задачи, разработанной математической модели и тестовых примеров, построенных для рассмотренных методов;

– повышения точности нахождения нормальных производных и точности выполнения условий их склейки на границах СЭ;

– использования коэффициентов рядов Фурье для следов решения на границах СЭ при «склейке» граничных условий в отличие от общепринятой «склейки» с использованием узловых значений;

– снижения размерности матриц решаемых СЛАУ и их блочно-ленточной структуры;

– учета особенности решения в окрестности угловых точек;

– возможности использования при реализации математических моделей параллельного программирования и многоядерных ПК.

Целью диссертационной работы является создание новых численно-аналитических методов стандартных элементов, разработка основанных на них комбинированных методов, а также пакетов программ, обеспечивающих повышение точности расчета физических полей в задачах, решение которых должно находиться в режимах реального времени, многовариантных задачах для областей со сложной геометрией, при наличии особенностей решения в угловых точках, тонких включений, осцилляций решения, при учете нелинейных свойств материалов. Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:

Разработаны теоретические основы новых численно-аналитических методов, в том числе метода стандартных элементов с использованием рядов Фурье (МСЭФ), предполагающих построение операторов «связи» следов нормальных производных и следов решений на границах СЭ, а также метода вспомогательных функций (МВФ) для расчета физических полей в кусочно-однородных линейных и нелинейных средах.
Разработаны теоретические основы новых численно-аналитических комбинированных методов: метода СЭ с использованием рядов Фурье и конечных элементов (КМСФиКЭ), метода вспомогательных функций и конечных элементов (КМВФиКЭ) для расчета поля в нелинейных средах, а также методики их числен-

5 ной реализации.

Разработаны методики «склейки» двух и трехмерных СЭ с использованием граничных узловых значений решения и коэффициентов Фурье, которые реализованы в комбинированном МСЭФ с МКЭ.
Разработана новая методика «склейки» СЭ при использовании вспомогательных функций, обеспечивающая возможность построения блоков СЭ, а также комбинирование МВФ и МКЭ, обеспечивающую повышение точности расчетов.
Создана расчетная библиотека двух и трехмерных СЭ (19 типов: прямоугольники, бесконечный прямоугольник, треугольник, сектора, круг, параллелепипеды и т.д.), которые кроме геометрии определяются:

– дифференциальным оператором, соответствующим решаемой в СЭ задаче;

– граничными условиями и оператором, задающим в аналитическом виде связь между решением на границе СЭ и его нормальной производной для рассматриваемой краевой задачи.

В результате проведенных численных экспериментов выполнены сравнительные оценки точности МКЭ, МГЭ, МТИ, МСЭФ, МВФ, КМГиКЭ, КМСФиКЭ, КМВФиКЭ.
Разработан алгоритм линеаризации нелинейных характеристик среды, заполняющей СЭ при использовании МСЭФ и МВФ для моделирования физических полей в нелинейных средах.
Выполнены сравнительные оценки точности МВФ путем сопоставления с аналитическими решениями полевых задач, в том числе при наличии особенностей в окрестностях угловых точек расчетной области.
Получены и проанализированы результаты решений двух и трехмерных модельных краевых задач при условии варьирования свойств расчетных областей (однородная, кусочно-однородная, с источниками и без них).

Определена и проанализирована структура блочно-ленточной СЛАУ, возникающей при решении исходных краевых задач разработанными методами.
Проведены численные эксперименты с целью сравнения разработанного МВФ и МКЭ при различных размерах конечных элементов и варьировании свойств расчетных областей.
Оценена точность МВФ и КМВФиКЭ при наличии осцилляции решения в расчетной области, а также значительной диспропорции размеров СЭ в различных направлениях.
Выполнена теоретическая оценка точности представлений следов решения краевой задачи на границах СЭ при использовании МВФ и МСЭФ.
Выполнена оценка точности МВФ, КМСФиКЭ, КМВФиКЭ при использовании экспериментальных данных, результатов расчетов, выполненных МКЭ, МГЭ, МТИ, КМГиКЭ с помощью пакетов прикладных программ применительно к расчетам:

а) магнитного поля линейного двигателя с постоянными магнитами;

б) температурного поля якоря тягового электродвигателя;

в) электростатического поля каталитической системы;

г) магнитного поля трех- и двухмерного подъемного модуля и создаваемой им
подъемной силы.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач использованы численные методы решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, численные методы решения СЛАУ, методы математической физики, теории вариационного исчисления, интегрального и дифференциального исчислений, методы математического моделирования, методы вычислительной математики, специализированные программные среды, выполнены численные и физические эксперименты.

Достоверность и обоснованность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации и других полученных результатов обеспечивается обоснованностью принятых допущений, строгостью формальных и математических преобразований, использованием фундаментальных уравнений теории физических полей, оценкой точности решения краевых задач в условиях наличия угловых точек с особенностями решения, осцилляции решения, разнородных включений, использованием точных аналитических решений, а также применением для оценки достоверности результатов современных пакетов прикладных программ, данных физических экспериментов.

Научная новизна результатов исследования состоит в следующем:

- в МСЭФ и КМСФиКЭ предложена вариационная постановка решаемых крае
вых задач, отличающаяся использованием новых “основных” функционалов,
найденных в результате преобразования интеграла Дирихле, минимизация которых
в области, полученной в результате объединения СЭ G_i, осуществляется в классе

функций, принадлежащих пространству Соболева W^G,). Это обеспечивает существование нормальных производных решения на границах СЭ, а также существование разложений следов решений на границах СЭ в ряды Фурье;

- получены новые соотношения, задающие связь между следами решений на
границе СЭ и следами нормальных производных, которые используются в вариа
ционной постановке для нахождения интегралов по границам СЭ. Разработаны две
методики «склейки» СЭ, в том числе:

а) с использованием узловых значений решения;

б) с использованием коэффициентов Фурье следов решения на границах СЭ.

предложены новые подходы к решению краевых задач (МВФ и КМВФиКЭ), отличающиеся тем, что они не предполагают использование вариационного принципа для решения краевых задач, а построение блочно-ленточных СЛАУ при их реализации осуществляют с помощью вспомогательных функций, которые определяются с учетом решаемых в СЭ краевых задач;

разработан новый алгоритм построения блочно-ленточных СЛАУ, к решению которой сводится решение краевой задачи, отличающийся от МКЭ тем, что он не требует минимизации функционала по узловым значениям решения, а в качестве неизвестных в СЛАУ служат коэффициенты Фурье следов решений на границах СЭ или узловые значения решений и коэффициенты Фурье одновременно;

предложена методика оценки погрешности математической модели, построенной с использованием СЭ, отличающаяся тем, что позволяет обосновать выбор СЭ для дискретизации расчетной области с учетом требуемой точности решения и необходимых вычислительных ресурсов;

– проведен комплексный анализ точности разработанных методов путем решения набора полевых задач в кусочно-однородных линейных и нелинейных средах, имеющих характерные особенности, оказывающие влияние на точность расчетов (угловые зоны, точки с особенностями решения, осцилляция решения, тонкие включения, значительные колебания характеристик материалов, заполняющих расчетную область).

Научная значимость работы состоит в том, что для расчета физических полей предложены научно-обоснованные и экспериментально подтвержденные новые численно-аналитические методы стандартных элементов, а также методики «склейки» стандартных элементов, которые могут быть использованы для решения широкого класса прикладных задач и обеспечивают повышение точности расчетов при снижении затрат вычислительных ресурсов.

Практическая значимость: разработанные в диссертационной работе численно-аналитические МСЭФ, МВФ и КМСФиКЭ, КМВФиКЭ предназначены для расчета физических полей различной природы в кусочно-однородных линейных и нелинейных средах. Их использование по сравнению с существующими численными методами позволяет:

– снизить степень дискретизации (размеры элементов разбиения) расчетных областей, уменьшить размерность решаемой СЛАУ, повысить скорость выполнения многовариантных расчетов поля за счет введения СЭ;

– уменьшить погрешность выполненных расчетов за счет более точного (с использованием аналитических решений) представления приближенного решения в СЭ;

– получать непрерывно дифференцируемые решения внутри СЭ, что обеспечивает снижение погрешности вычисления векторов физических полей по их потенциалам и высокую точность нахождения их интегральных характеристик;

– обеспечить высокую точность расчетов поля при наличии особенностей решения, его осцилляции и наличии тонких включений в расчетной области;

– учитывать асимптотику решения и наличие особенности в окрестности угловых точек, решать внешние краевые задачи с использованием аналитических решений в рассмотренных неограниченных СЭ;

– использовать разработанные методы для решения комплексных задач нераз-рушающего и непрямого контроля, параметрического управления, задач оптимизации и других многовариантных задач;

– решать задачи расчета поля в расчетных областях, заполненных неоднородными средами, в том числе с нелинейными характеристиками, при диспропорции размеров СЭ, при наличии мили- и микровключений;

– служить в качестве быстродействующих эффективных решателей в комплексах программ расчта физических полей.

Основные положения, выносимые на защиту:

Численно-аналитические методы МСЭФ, МВФ и алгоритмы их реализации, позволяющие с повышенной точностью решать полевые задачи в двухмерных и трехмерных расчетных областях, в том числе при наличии нелинейных включений.
Комбинированные методы, предполагающие одновременное применение МСЭФ, МВФ и МКЭ, а также реализующие их алгоритмы, позволяющие повысить точность решения полевых задач в двухмерных и трехмерных расчетных неодно-

8 родных областях, в том числе содержащих нелинейные включения.

Вариационные постановки краевых задач в МСЭФ и КМСФиКЭ и новые «основные» функционалы, позволяющие повысить гладкость решения, точность нахождения нормальных производных потенциалов, обеспечивающие существование разложений следов решений на границах СЭ в ряды Фурье.
Новые методики построения уравнения «связи» между следами нормальной производной и решения на границах СЭ, согласно которым вместо функционала в виде интеграла Дирихле используются «основные» функционалы, содержащие интегралы по границам СЭ.
Численные реализации МСЭФ, КМСФиКЭ на основе двух разработанных методик «склейки» СЭ, обеспечивающие возможность комбинирования МСЭФ с МКЭ с использованием:

– узловых значений решения на границах СЭ;

– коэффициентов Фурье следов решения на границах СЭ.

Новый, отличающийся от стандартного, не вариационный подход к решению краевых задач, основанный на МВФ, применение которого не требует минимизации функционала при решении краевой задачи.
Новые методики построения уравнений «связи» между следами нормальной производной и решения на границах СЭ на базе МВФ и КМВФиКЭ, позволяющие формировать блоки СЭ, которым соответствуют блочные СЛАУ, что обеспечивает повышение точности расчетов.
Новые способы формирования блочно-ленточных СЛАУ согласно КМС-ФиКЭ и КМВФиКЭ, с использованием коэффициентов Фурье следов решения на границах СЭ и узловых значений решения в нестандартных подобластях.
Методики построения «основных» функционалов для краевых задач в случаях двух и трехмерных типовых СЭ, отличающихся от интеграла Дирихле, которые образуют библиотеку «основных» функционалов.
Алгоритмы приближенного учета нелинейных материальных характеристик среды в СЭ на каждом шаге итерации, построенные на базе МСЭФ и МВФ, позволяющие выполнять расчет двух и трехмерных физических полей путем сведения нелинейной среды к кусочно-однородной линейной.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных конференциях:

– Международная научно-техническая конференция «Молодая наука новому тысячелетию». – Набережные Челны: КамПИ, 1996;

– Международная научно-техническая конференция «Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах». – Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2000;

– Международная научно-практическая конференция «Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики». – Новочеркасск: ЮРГТУ(НПИ), 2000;

– XIV Международная научная конференция “Математические методы в технике и технологиях». –Смоленск, 2001;

– III Международная научно-техническая конференция «Компьютерное моделирование 2002». – Санкт-Петербург, 2002;

– XVII Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях». – Кострома: КГТУ, 2004;

– XXVI Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях». – Саратов: СГТУ, 2013;

Российских конференциях:

– I Российская национальная конференция по теплообмену. – Москва, 1994;

– II Российская национальная конференция по теплообмену. – Москва, 1998;

– IV Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии». – Кисловодск, 2000;

– 13 Школа-семинар молодых ученых и специалистов «Физические основы экспериментального и математического моделирования процессов газодинамики и тепломассобмена в энергетических установках». – Санкт-Петербург, 2001;

– II Общероссийская научно-техническая конференция «Новые технологии в азотной промышленности». – Невинномысск: НТИ, 2007;

– Общероссийская научно-практическая конференция «Математическое моделирование, компьютерные и информационные технологии в технике, экономике и образовании». – Невинномысск: СевКавГТУ, 2009;

– XII Всероссийский симпозиум «Прикладная и промышленная математика». – Сочи-Адлер: СГУ, 2011.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 48 научных публикациях, среди которых 17 статей в научных журналах, рекомендованных ВАК, 1 авторское свидетельство на изобретение, 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Реализация и внедрение результатов работы. Тема диссертационной работы соответствует «Основным направлениям НИР ЮРГПУ (НПИ)» теме «Интеллектуальные электромагнитные устройства, системы и комплексы», разделу 9 «Математическое моделирование физических полей и процессов в технических устройствах и системах». Результаты диссертационной работы использовались при выполнении НИР в соответствии с тематическим планом НИР Невинномысского технологического института (филиал) ФГАОУ ВПО «СКФУ» «Математическое моделирование и информационные технологии в решении задач машиностроения» (ГР 01200614265), а также НИР в рамках программы «Участник молодежного научно-инновационного конкурса» («У.М.Н.И.К») (государственный контракт №:6642р/9109 от 02.03.09). Разработанные в работе численные методы, а также алгоритмы, методики, пакеты программ внедрены на следующих предприятиях: ОАО «Всероссийский научно-исследовательский и проектно-конструкторский институт электровозостроения» (ОАО «ВЭлНИИ», г. Новочеркасск), ООО «ХимПро-ект» (г. Невинномысск), ООО «Экоцентр» (г. Невинномысск), в учебном процессе НТИ (филиал) ФГАОУ ВПО «СКФУ» (г. Невинномысск). Программы для ЭВМ зарегистрированы в Объединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» (№ 15811 от 03 июня 2010 г.) и реестре программ Федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам (№ 2010615042 от 05 августа 2010 г.). Внедрение результатов работы подтверждено соответствующими актами.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы из 156 наименований и приложений. Работа изложена на 364 страницах, включая 38 страниц приложений и 137 иллюстраций.

Общая характеристика численно-аналитических методов на основе МСЭ. Библиотека введенных стандартных элементов .

Научная новизна проводимых исследований определена, прежде всего, следующими положениями:

1. Предложены разработанные численно-аналитические методы решения краевых задач: МСЭФ и КМСФиКЭ, отличающиеся новой вариационной постановкой решаемых краевых задач, основанной на представлении решения в СЭ в виде рядов Фурье и использовании “основных” функционалов, отличных от интеграла Дирихле, минимизация которых происходит в классе функций, принадлежащих пространству Соболева W22 в СЭ. Оригинальными результатами являются: существование нормальной производной функций вплоть до границ СЭ и существование разложений решений на границах СЭ в ряды Фурье.

2. Получены операторы “связи” следов решения на границе СЭ и следов нормальной производной решения, используемые в вариационной постановке с использованием коэффициентов Фурье для нахождения интегралов по границам СЭ. На их основе разработаны две методики “склейки” СЭ между собой: – посредством узловых значений решения; – посредством коэффициентов Фурье следов решения на границах СЭ.

3. Предложен новый численно-аналитический МВФ, отличающийся тем, что не использует вариационный подход для решения краевых задач, а построение блочно-ленточных СЛАУ осуществляет на основе интегро-дифференциальных операторов “связи” следов решения на границе СЭ и следов нормальной производной решения, введенных с использованием вспомогательных функций, соответствующих решаемым в СЭ краевым задачам.

4. Предложен новый численно-аналитический КМВФиКЭ, отличающийся тем, что не использует вариационный подход по отношению к неизвестным коэффициентам Фурье следов решения на границах СЭ, расположенных внутри линейной области, а построение уравнений СЛАУ относительно коэффициентов Фурье осуществляет с использованием алгоритмов МВФ.

5. Разработана методика предварительной оценки погрешности математической модели СЭ, отличающаяся возможностью оптимизации набора СЭ для разбиения расчетной области, с учетом требуемых точности решения и вычислительных затрат.

6. Проведен комплексный анализ точности разработанных методов на типовых полевых задачах в кусочно-однородных линейных и нелинейных средах с характерными особенностями, влияющими на точность расчетов (угловые зоны, точки с особенностями, осцилляция решения, тонкие включения, значительные колебания амплитуд характеристик граничащих материалов). Научная значимость работы состоит в том, что для расчета физических полей предложена, научно обоснована и экспериментально подтверждена совокупность новых численно-аналитических методов стандартных элементов и методик “склейки” СЭ, применимая для решения широкого класса прикладных задач, обеспечивающая высокие требования по скорости, точности расчетов и вычислительным затратам.

Практическая значимость:

Разработанные в диссертационной работе численно-аналитические МСЭФ, МВФ и КМСФиКЭ, КМВФиКЭ предназначены для расчета различных физических полей в кусочно-однородных линейных и нелинейных средах. Их использование по сравнению с существующими численными методами позволяет: 1. Снизить степень разбиения расчетных областей и размерность решаемой СЛАУ, повысить скорость расчетов за счет введения СЭ. 2. Повысить точность расчетов за счет аналитического представления искомых потенциалов в СЭ. 3. Получать непрерывно дифференцируемые решения внутри СЭ, что приводит к повышению точности вычисления векторов поля и выражающихся через них его интегральных характеристик. 4. Обеспечить высокую точность расчетов поля при наличии точек с особенностями решения, тонких включений, осцилляции и неудовлетворительных свойств решения на ее границах. 5. Асимптотически учитывать особенности поведения решения в окрестности угловых точек среды, решать внешние краевые задачи с использованием аналитических решений в выделенных СЭ. 6. Использовать разработанные методы при решении задач неразрушающего и непрямого контроля, параметрического управления, задач оптимизации, многовариантных задач. 7. Расширить круг решаемых задач на расчетные области с нелинейными включениями, с высокой диспропорцией размеров СЭ без потери точности, а также при наличии мили и микро включений. 8. Разработать быстродействующие комплексы и пакеты программ расчёта физических полей.

Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, а также других полученных результатов обеспечивается обоснованностью принятых допущений, строгостью формальных и математических преобразований, использованием фундаментальных уравнений физических полей, выполнением оценок точности расчетов при наличии угловых точек с особенностями решения, осцилляции решения, разнородных включений, с использованием точных аналитических решений, применением для проверки результатов современных программных средств и систем, согласованностью результатов расчетов с данными численных и физических экспериментов.

Метод стандартных элементов с использованием рядов Фурье (МСЭФ) для моделирования физических полей в линейных средах

Решением полученной СЛАУ являются коэффициенты си(і2)о, си12(к), соответствующие стороне sl2 “склейки” СЭ. Заметим, что решение краевой задачи (2.11)-(2.13) в каждом из “склеенных” СЭ может быть найдено с учетом полученных коэффициентов сщ12уо, си12(к) и известных коэффициентов функций срто, соответствующих границам СЭ.

Обобщая полученный результат и учитывая, что в расчетной области G (рисунок 2.3) выделена совокупность СЭ, решение краевой задачи (2.1)-(2.2) может быть найдено согласно следующему алгоритму:

1. Для каждой стороны stj СЭ, выделенного в расчетной области, в соответствии с его геометрией, решаемым в нем уравнением и условиями на границах выводятся уравнения “связи” между коэффициентами разложения решения в ряд Фурье на сторонах Sy СЭ и коэффициентами разложения решения в ряд Фурье на остальных сторонах СЭ.

2. Из уравнения “связи” формируется общая блочно-ленточная СЛАУ, соответствующая решаемой краевой задаче, в результате решения которой находятся коэффициенты Фурье разложения следов решений на сторонах СЭ.

3. В каждом СЭ решение определяется с учетом полученных коэффициентов разложения следов решения в ряд Фурье на его границе.

Методика формирования системы уравнений МВФ относительно коэффициентов Фурье разложений следов решения на границах СЭ

При формировании в соответствии с МВФ блочно-ленточной системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье разложений следов решений на границах СЭ методика разбиения расчетной области, нумерации выделенных в ней СЭ и их сторон, должна обеспечивать выполнение следующих требований:

1. Геометрия расчетной области и условия на ее границе должны позволять проводить разбиение области стандартными элементами до полного ее заполнения.

2. Прилегающие стороны смежных СЭ должны совпадать по размерам.

3. Нумерация СЭ (для формирования блочно-ленточной СЛАУ) осуществляется от любого из угловых СЭ к смежному с ним, последовательным движением по области.

4. Нумерация сторон СЭ (для формирования блочно-ленточной СЛАУ) начинается со сторон первого СЭ и продолжается путем перемещения на стороны СЭ, смежные с ним.

5. Стороны СЭ, принадлежащие внешней границе области нумеруются в последнюю очередь.

Проиллюстрируем дискретизацию расчетной области, нумерацию СЭ и их сторон, с учетом введенных требований на примере области, имеющей (для простоты) прямоугольную форму (рисунок 2.28).

Покажем, что при выполнении введенных требований структура СЛАУ является блочно-ленточной и обеспечивает определенность системы. Первоначально, рассмотрим пару СЭ из расчетной области под номерами 1 и 2, с сохранением нумерации их сторон (рисунок 2.29). C учетом полученного ранее представления (2.59) уравнения СЛАУ для стороны “склейки” СЭ, для стороны s1 можно записать:

Отметим, что при решении задачи Дирихле коэффициенты рядов Фурье функций, определенных граничными условиями на части границ некоторых СЭ, принадлежащих внешней границе расчетной области, известны. Разнесем в уравнении (2.60) в разные части известные слагаемые и слагаемые, соответствующие неизвестным коэффициентам Фурье решений на сторонах, лежащих внутри области (рисунок 2.28).

Таким образом, при каждом фиксированном значении п получаем уравнение (2.62) относительно коэффициентов ряда Фурье следов решения на сторонах sx, s2, s4, s5 СЭ (рисунок 2.29), являющихся внутренними по отношению к расчетной области (рисунок 2.28).

Возвращаясь к расчетной области и аналогично осуществляя “склейку” нормальных производных решений по остальным внутренним сторонам st (/=2-e-7V) ”склейки” СЭ получаем следующую структуру СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов Фурье решения на сторонах СЭ, лежащих в расчетной области.

Отметим, что основная матрица полученной СЛАУ является разреженной. Действительно, в каждой строке матрицы могут находиться коэффициенты Фурье решения, соответствующие не более, чем семи сторонам (для смежных внутренних СЭ), в то время как общее количество внутренних сторон обычно значительно больше.

Исследуем вопросы определенности системы и выбора методов ее решения. Рассмотрим первое уравнение системы

Подставим выражение (2.64) для коэффициентов Фурье решения на стороне s2 через коэффициенты Фурье решения на смежных сторонах СЭ в остальные уравнения системы, исключая их наличие в этих уравнениях. Тогда, например, третье уравнение системы

Таким образом, метод подстановки позволил привести основную матрицу сформированной СЛАУ к верхней треугольной форме. При этом последнее уравнение системы содержит лишь коэффициенты Фурье решения на последней, расположенной в области внутренней стороне sn СЭ. Отсюда следует определенность исходной системы, а для ее решения можно использовать любую модификацию метода Гаусса или специальные методы решения систем с блочно-ленточными матрицами.

МСЭФ и МВФ в моделировании физических полей в нелинейных средах

Второе множество-образуют узлы, которые вводятся при дискретизации подобластей к на конечные элементы по стандартной методике МКЭ. Соответствующий функционал задачи для нелинейных частей i , 2 расчетной области G выражается через введенные в них узловые значения искомого потенциала. Общий вид части функционала (3.10), соответствующей нелинейной среде, имеет вид:

МКЭ часть расчетной области с нелинейными характеристиками покроем сеткой треугольных элементов. Согласно МКЭ, аппроксимация потенциала внутри каждого треугольного элемента (конечного элемента) осуществляется так, чтобы обеспечить его непрерывность во всей области определения. При этом, с учетом [47]-[49] внутри треугольного элемента потенциал аппроксимируется линейной функцией вида:

Коэффициенты а, Ъ, с в уравнении (3.12) могут быть найдены из системы уравнений, которые получаются из условий, что потенциалы в вершинах треугольника равны узловым значениям. Подставляя поочередно значения этих потенциалов и координат соответствующих им вершин треугольника в уравнение (3.12), получим систему относительно коэффициентов а, Ъ, с. Комбинируя х, у и вводя новые функции положения, приведем уравнение (3.12) к следующему виду: линейная функция, зависящая только от положения вершин треугольника, площадь которого равна S. Функции а2(х,у) и а3(х,у) получаются из (3.13) циклической перестановкой индексов. С учетом введенных обозначений, искомый функционал может быть представлен в виде:

Таким образом, в результате реализации предлагаемой методики комбинирования в КМСФиКЭ функционал J(u) оказывается выраженным через узловые значения решения на границах СЭ и в подобластях к. Минимизация функционала (3.15) по полученной совокупности неизвестных узловых значений позволяет сформировать СЛАУ, соответствующую исходной краевой задаче. Решением полученной СЛАУ являются узловые значения решения на границах СЭ и в подобластях к.. После решения СЛАУ и нахождения узловых значений решение исходной краевой задачи в каждом из СЭ может быть найдено с использованием аналитических формул с учетом полученных узловых значений umni и известных узловых значений

Таким образом, при использовании КМСФиКЭ согласно описанному подходу решение в G может быть найдено в соответствии с алгоритмом: 1. Для каждого СЭ в соответствии с его геометрией, решаемым в нем уравнением и условиями на границах, формируется “основной” функционал. 2. Для получения функционала (3.9) “основные” функционалы краевых задач в СЭ, покрывающих расчетную область, определенные через неизвестные узловые значения решения на границах СЭ, суммируются. 3. Полученный функционал (3.15) краевой задачи в расчетной области минимизируется по неизвестным узловым значениям решения, в результате чего формируется СЛАУ для нахождения неизвестных узловых значений на границах СЭ и в нелинейных областях. 4. Решается полученная блочно-ленточная СЛАУ. 5. Решения в каждом СЭ определяются с учетом полученных узловых значений на его границе.

Отметим, что полученные ранее “основные” функционалы МСЭФ, соответствующие типовым краевым задачам в СЭ с различными граничными условиями и геометрией, образуют библиотеку “основных” функционалов, которая может быть использована при реализации описанного подхода в КМСФиКЭ. При этом, формирование “основного” функционала (3.9), соответствующего решаемой краевой задаче, сводится к простому суммированию “основных” функционалов СЭ, выделенных в областях.

Как отмечалось выше, замена аналитических решений на их аппроксимации с использованием узловых значений может приводить к росту погрешности, даже при высокой степени дискретизации. Рассмотрим методику, предполагающую полное исключение использования узловых значений потенциала на границах СЭ для их “склейки”, а также для задания краевых условий на соответствующих частях границ расчетной области. Построим алгоритм МСЭФ (рисунок 3.7) на основе вариационного метода, а также КМСФиКЭ на основе “склейки” СЭ с использованием коэффициентов разложения следов решения на границах СЭ в ряд Фурье.

Пусть рассматривается краевая задача расчета физического поля в области G, геометрия которой, ее внутренняя структура или условия задачи таковы, что для полного разбиения области необходимо использовать как СЭ, так и конечные элементы (рисунок 3.5). Алгоритм КМСФиКЭ (рисунок 3.7) на основе вариационного метода, предполагает выполнение следующих шагов: 1. Для краевой задачи, как это принято в вариационном исчислении [90, 91], строится соответствующий функционал J, на множестве L функций, определенных в G, удовлетворяющих краевым условиям и необходимым условиям гладкости. 2. Область G заполняется СЭ Gi, в которых известны аналитические решения краевых задач для заданного уравнения и подобласти k, дополняющие СЭ до всей области G. 3. Область определения L функционала J сужается на множество E функций, имеющих в СЭ Gi производные до порядка решаемого уравнения, 2

Применение МВФ для решения задачи расчета электрического поля в бесконечной угловой области, ограниченной проводящими контурами

Для решения МКЭ полевой задачи (5.2) был использован пакет pde программной среды Matlab [144] со следующими показателями, характеризующими разбиение расчетной области (6208 конечных элемента; 3249 узлов). В виду отсутствия аналитического решения задачи Дирихле (5.2) при кусочно-однородной структуре области в качестве эталонного решения были использованы значения потенциала, полученные МКЭ при очень мелком (рисунок 5.21), обычно не используемом, разбиении расчетной области (397 312 КЭ). Результаты сравнения решения краевой задачи (5.2) МВФ и МКЭ с “эталонным” решением МКЭ приводятся в

Конечно-элементная сетка в приложении pdetool (397 312 КЭ) Решение задачи расчета магнитного поля и силовых взаимодействий в магнитных системах с постоянными магнитами Как отмечалось выше существующие комплексы программ, основанные на использовании МКЭ (например, FEMM, Maxwell и др.) имеют ограниченное применение при расчетах трехмерных магнитных полей и силовых взаимодействий в случаях наличия областей с тонкими включениями, угловых точек с особенностями решения, осцилляции решения. Трудности при их использовании также возникают в условиях применения для решения задач, которые требуют высокой скорости выполнения программ, часто в реальном времени. В FEMM, Maxwell и других аналогичных программах основные затраты времени определены необходимостью решать СЛАУ большой размерности, к которой приводит решаемая задача. Размерность СЛАУ и ее структура в основном определяют время ее счета. В условиях необходимости обеспечения высокой скорости и точности расчета использовать их, например, для прямого контроля или управления, как правило не удается. Сокращение размерности СЛАУ и как результат времени счета при более высокой точности расчетов обеспечивают МСЭФ, МВФ, КМСФиКЭ и КМВФиКЭ.

В предыдущих главах этот факт был подтвержден многочисленными аналитическими, тестовыми и некоторыми прикладными расчетами. Проанализируем возможности и преимущества МВФ и КМВФиКЭ при решении задач расчета трех и двухмерных физических полей, а также силовых взаимодействий некоторой магнитной системы (МС), с точки зрения сокращения вычислительных затрат, времени счета и повышения его точности. С этой целью в разделе выполнены:

1. Расчет трехмерного магнитного поля (индукции В) МС и силы взаимного притяжения между магнитом и ферромагнетиком с помощью программной среды ANSOFT MAXWELL 12, реализующей МКЭ, результаты которого рассматриваются как эталонные. Расчетная область при этом покрывается 415 000 конечных элементов, что приводит к 209173 уравнениям в СЛАУ.

2. Расчет трехмерного магнитного поля (индукции В) МС с постоянными магнитами и силы взаимного притяжения между магнитом и ферромагнетиком с помощью разработанного пакета программ SEMF-3D, реализующего МВФ. При этом выполнялось разбиение расчетной области на 72 стандартных элемента, что привело к 12540 уравнений в СЛАУ.

3. Сравнение результатов расчета индукции В, найденных с помощью программной среды ANSOFT MAXWELL 12 и программного пакета SEMF-3D.

4. Сопоставление значений силы взаимного притяжения между магнитом и ферромагнетиком, найденных с использованием программной среды ANSOFT MAXWELL 12, метода точечных источников и программного пакета SEMF-3D .

5. Расчет двухмерного магнитного поля (индукции В) в условиях линейных и нелинейных характеристик частей магнитной системы с помощью программных сред ANSOFT MAXWELL 12 и FEMM, реализующих МКЭ, а также с помощью разработанного пакета программ SEMF-2D, реализующего МВФ.

6. Сопоставление значений силы взаимного притяжения между магнитом и ферромагнетиком, найденных с использованием программного пакета SEMF, реализующего КМВФиКЭ, с экспериментальными значениями и полученными КМГиКЭ.

Рассмотрим МС с постоянными магнитами, являющихся частями магнитопровода П-образной конструкции (рисунок 2.38). Под магнитопроводом располагается ферромагнитный элемент, геометрически совпадающий с верхней частью конструкции. Зависимость В(Н) материала магнитопровода и ферромагнетика предполагается линейной. Выполним постановку задачи.

Обозначим через j -ферромагнитные части области, через 2 - части области, заполненных постоянными магнитами, через o -внешнюю часть области (рисунок 5.22). Уравнения поля, создаваемого постоянными магнитами в расчетной МС, имеют вид (2.87), а на границах раздела сред выполняются условия (2.88).