Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современное состояние исследований 11
1.1. Классы задач и математические модели 11
1.2. Методы решения 21
Глава 2. Постановка задачи и вариационные формулировки 34
2.1. Уравнения Максвелла 34
2.1.1. Уравнения Максвелла в частотной области 37
2.1.2. Переход к ДУЧП второго порядка 40
2.1.3. Уравнения Максвелла в терминах дифференциальных форм 43
2.2. Функциональные пространства и
вариационные формулировки 46
2.2.1. Вариационные формулировки, ориентированные наВМКЭ 48
2.2.2. Задачи с ограничениями и смешанные вариационные формулировки, ориентированные наВМКЭ 50
2.2.3. Потенциальные А0-постановки и соответствующие вариационные формулировки 55
Глава 3. Векторный метод конечных элементов. построение дискретных аналогов вариационных формулировок 59
3.1. Векторные конечные элементы 61
3.1.1. Векторные конечные элементы на тетраэдрах . 62
3.1.2. Векторные конечные элементы на параллелепипедах 63
3.1.3. Векторные конечные элементы на призмах . 64
3.1.4. Интерполяционные свойства векторных конечных элементов 65
3.1.5. Векторные конечные элементы с точки зрения теории дифференциальных форм 68
3.2. Построение базисов конечномерных пространств 71
3.2.1. Скалярный и векторный базисы на тетраэдрах . 72
3.2.2. Скалярный и векторный базисы на параллелепипедах 74
3.2.3. Скалярный и векторный базисы на призмах . 76
3.2.4. Скалярные и векторные базисы в двумерном случае 78
3.3. Дискретные аналоги вариационных задач 80
Глава 4. Особенности реализации вмкэ. результаты вычислительных экспериментов 85
4.1. Особенности реализации ВМКЭ 85
4.1.1. Конечно-элементное разбиение и сеточные структуры данных 85
4.1.2. Размерность дискретных аналогов 87
4.1.3. Структура глобальных матриц и решение СЛАУ 90
4.1.4. Описание комплекса программ 93
4.2. Исследование интерполяционных свойств векторных ко нечных элементов 101
4.2.1. Двумерный тест 101
4.2.2. Трехмерный тест 103
4.3. Моделирование электромагнитных полей в неоднородных по физическим свойствам областях 106
4.3.1. Случай разрывного є в непроводящей области . 106
4.3.2. Случай разрывного а 112
4.3.3. Проверка выполнения принципа взаимности . 117
4.4. Моделирование работы высокочастотного каротажного зон да в однородной среде 119
Заключение 123
Литература 125
- Уравнения Максвелла в терминах дифференциальных форм
- Векторные конечные элементы с точки зрения теории дифференциальных форм
- Исследование интерполяционных свойств векторных ко нечных элементов
- Моделирование работы высокочастотного каротажного зон да в однородной среде
Введение к работе
Развитие вычислительной техники в последние десятилетия привело к возможности построения эффективных вычислительных алгоритмов моделирования векторных полей в неоднородных областях. Результаты моделирования электромагнитных полей широко используются при интерпретации данных физических экспериментов и разработке приборов. В связи с этим, выбор адекватных математических моделей и разработка алгоритмов численного моделирования гармонических по времени электромагнитных полей является актуальной задачей математической физики и вычислительной математики.
В физических приложениях часто возникают задачи, которые характеризуются наличием геометрических и физических неоднородно-стей по трем координатным направлениям. Промышленные устройства могут иметь сложные конфигурации, которые невозможно свести к одномерным или двумерным моделям. Широкий спектр трехмерных моделей используется в геофизических приложениях. Моделирование трехмерных векторных полей в неоднородных областях -сложная задача, требующая поиска новых подходов к ее решению.
В 80-е годы 20-го века предложен новый подход к численному моделированию трехмерных векторных полей - векторный метод конечных элементов (ВМКЭ) [122, 123]. Этот метод основан на использовании специально организованных векторных базисов, использование которых позволяет строить аппроксимации математических моделей в терминах естественных векторных переменных. Основным преимуществом ВМКЭ по сравнению с сеточными методами, работающими в терминах скалярных переменных, является возможность корректного моделирования поведения векторных полей на границах областей с различными физическими свойствами. При этом, в большинстве случаев не требуется введение дополнительных процедур, необходимых
при использовании классических сеточных методов при решении задач в неоднородных областях. Кроме того, использование ВМКЭ исключает возможность возникновения ложных мод при решении задачи на собственные значения (при поиске резонансных частот), позволяет корректно аппроксимировать поля вблизи острых углов и ребер конструкций, а также естественным образом учитывать краевые условия, накладываемые на компоненты векторных полей.
Несмотря на интерес, проявляемый к ВМКЭ в последние годы, для него еще не создано единой вычислительной технологии, и исследование аспектов, связанных с применением метода для решения различных классов задач остается актуальной задачей.
Цель работы. Разработка и реализация алгоритмов на базе ВМКЭ для моделирования гармонических по времени векторных электромагнитных полей в трехмерных неоднородных областях. Теоретическое и численное исследование свойств векторных конечных элементов различных типов и постановок, ориентированных на ВМКЭ.
Методы исследования. Методы вычислительной математики. Сравнительный анализ результатов моделирования и имеющегося аналитического решения. Расчеты на последовательности сгущающихся сеток с последующим анализом сходимости к аналитическим решениям.
Защищаемые положения и научная новизна:
Разработана технология реализации ВМКЭ для геометрических элементов различных типов.
Даны теоретические оценки интерполяционных свойств призматических векторных элементов Неделека 1-го типа fc-того порядка. В результате вычислительных экспериментов подтверждены
теоретические оценки интерполяционных свойств векторных конечных элементов Неделека 1-го типа 1-го порядка для различных типов геометрических элементов.
Построены дискретные аналоги постановок в форме Галеркина, ориентированных на ВМКЭ, для моделирования гармонических по времени полей в неоднородных областях. Разработаны и программно реализованы алгоритмы моделирования гармонических по времени полей в неоднородных областях с использованием векторного и скалярного МКЭ.
Численно показано, что необходимость введения смешанных и потенциальных постановок при моделировании гармонических по времени полей с использованием ВМКЭ зависит от частоты гармонического воздействия, а также от структуры области моделирования.
Значимость работы. В работе исследован новый подход к моделированию векторных гармонических по времени полей в неоднородных областях. Разработана технология реализации ВМКЭ для геометрических элементов различных типов. Теоретически и численно исследованы интерполяционные свойства векторного метода конечных элементов. Предложенные в диссертационной работе подходы могут служить основой алгоритмов решения реальных задач электромагнетизма в различных физических приложениях. Эти аппроксимации могут быть применены при разработке вычислительных схем для решения задач с использованием методов пространственной декомпозиции, которые обеспечивают построение эффективных параллельных алгоритмов.
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены и докладывались на:
XXXVIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2001),
Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» (Новосибирск, 2001),
региональной научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых «НАУКА. ТЕХНИКА. ИННОВАЦИИ» (Новосибирск, 2001),
Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2002 (Новосибирск, 2002),
III Международной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2002),
региональной научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых «НАУКА. ТЕХНИКА. ИННОВАЦИИ» (Новосибирск, 2002),
Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке технике и образовании» (Усть-Каменогорск, 2003),
Международной конференции «Математические методы в геофизике» (Новосибирск, 2003),
объединенном семинаре Института вычислительных технологий СО РАН, кафедры математического моделирования Новосибирского государственного университета и кафедры вычислительных технологий Новосибирского государственного технического университета (Новосибирск, 2004),
семинаре им. К.И.Бабенко Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН (Москва, 2004),
семинаре кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета (Новосибирск, 2004),
объединенном семинаре Института вычислительной математики и математической геофизики и кафедры вычислительной математики Новосибирского государственного университета. (Новосибирск, 2004).
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 13 работ [2] -[6], [17], [29], [30], [32], [33], [35], [79], [146].
Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы (168 наименований). Работа изложена на 145 страницах, включая 28 иллюстраций.
В главе 1 представлен обзор современных подходов к моделированию гармонических по времени полей. В п. 1.1 рассматриваются классы задач, в которых возникает необходимость моделирования гармонических по времени полей, и соответствующие математические модели. В п. 1.2 проведен анализ существующих методов решения уравнений Максвелла при гармонической зависимости моделируемых полей от времени.
В главе 2 даны основные постановки задач для моделирования гармонических по времени полей в неоднородных областях. В п. 2.1 сформулированы уравнения Максвелла в общем виде. Показан переход от уравнений Максвелла в классической форме к постановкам в частотной области и к дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка. В п. 2.2 введены функциональные пространст-
ва, используемые в постановках задач в форме Галеркина. Для корректного учета дивергентных условий на границах сред предложено использовать задачи с ограничениями и потенциальные постановки. Для каждой из моделей введены постановки в форме Галеркина.
Уравнения Максвелла в терминах дифференциальных форм
В 2.1 уравнения Максвелла сформулированы в виде ДУЧП первого порядка. Альтернативой служит использование аппарата дифференциальных форм. Теория дифференциальных форм является обобщением традиционного векторного исчисления и широко используется в математической физике. В вычислительной математике аппарат дифференциальных форм применяется в теории ВМКЭ и при исследовании свойств ряда функциональных пространств [88, 156]. Определение 1. Дифференциальная форма степени 1,1 є NQ класса Ст, т Є No на гладком п-многообразии М. это траз непрерывно дифференцируемое отображение, сопоставляющее каждому элементу х 6 М. элемент пространства Д/(Гм(х)) знакопеременных 1-полилинейных форм на касательном пространстве Тм (х). Это отображение формирует векторное пространство VTl,m{M). В данной работе будут рассматриваться дифференциальные формы на М — Л(М3) (Л(Е3) - трехмерное афинное пространство). В этом случае дифференциальные формы могут интерпретироваться с использованием процедуры интегрирования: р-форма есть выражение, которое является подынтегральным в интеграле по р-мерной области. Так, 1-формам соответствуют интегралы по контурам, в общем виде дифференциальную форму первого порядка вектора (а, Ь, с) можно представить как где (a, b, с) - дуальный вектор для 1-формы.
Базисом для 2-форм является {dy Л dz, dx Л dz, dx Л dy}. Символ Л обозначает операцию внешнего умножения, обладающую следующими свойствами Символ Л часто опускается для компактности записи. Пространство 3-форм имеет единственный элемент базиса - форму объема dx Л dy Л dz. Отметим, что базис пространства О-форм также состоит из единственного элемента - {1}. Напряженности магнитного и электрического полей Е и Н - суть 1-формы, величины В, D и J - 2-формы, плотность электрического заряда р - 3-форма. Обычные электромагнитные величины являются дуальными для этих форм [156]. Введем оператор внешнего дифференцирования d, который может быть определен в виде [156] Отметим, что термин «внешнее»используется в связи с тем, что результат внешнего дифференцирования р-формы является (р + 1)-формой, то есть не принадлежит пространству р-форм, лежит вне (следовательно, внешнее). По аналогии введен термин «внешнее произведение», так как результат внешнего произведения р-формы и п-формы является (р + п)-формой. В трехмерном случае оператор d обобщает и заменяет стандартные дифференциальные операторы: В терминах дифференциальных форм уравнения Максвелла (2.1)-(2.4) формулируются следующим образом: Введем оператор Ходжа , который определен как множество изоморфизмов между р- и (п —р)-формами, где п - размерность и основного пространства (в Ж3 те=3). Для К3 с введенной евклидовой метрикой [156] и 1 = dxdydz. Также = 1. С учетом введенных обозначений материальные соотношения (2.6)-(2.8) могут быть сформулированы в виде
Векторные конечные элементы с точки зрения теории дифференциальных форм
Впервые идея векторных конечных элементов предложена Уитни [161] как семейство дискретных дифференциальных форм. Аналогично непрерывному случаю, в Е3 можно определить 4 дис кретных р-формы (р = 1, 4). Дискретные р-формы имеют структуру: для р = 0, 1, 2, с полиномиальными коэффициентами (Л - барицентрические координаты геометрического элемента, соответствующие вершине Vi). Поля, соответствующие дискретным дифференциальным формам получили название Уитни-элементов. На основе базиса Уитни-элементов формируются конечномерные подпространства W- (0,) (р = 0, 1, 2, 3) пространств #(grad; 2), H(rot; О,) (так называемые edge-элементы), #(div; Q) (face-элементы) и L2(Q) (bubble-элементы) соответственно. Отметим основные свойства Уитни-элементов, так как большинство из них (за исключением 4) сохраняется для всех типов конечных элементов, конформных в соответствующих непрерывных пространствах. 1. Уитни-элементы являются скалярными прир = 0, 3 и векторными прир = 1, 2. 2. Уитни-элементы являются базисом конечномерного пространства, и, следовательно, могут быть использованы в МКЭ. Они удовлетворяют следующим свойствам значение Wi равно 1 в вершине vi и О в остальных вершинах, циркуляция вектора Wj равна 1 по ребру е и 0 по остальным ребрам, Wj Є W}j; поток вектора w равен 1 через грань fa и 0 через остальные грани, Wi є W%; интеграл от Wi равен 1 на элементе К{ и 0 на остальных элементах. 3.
Для Уитни-элементов выполняются следующие свойства непре рывности функция wi непрерывна на грани, W{ є W#; тангенциальная компонента вектора w непрерывна на грани, нормальная компонента вектора Wj непрерывна на грани, Wj Є W%. Как уже отмечалось, это свойство особенно важно при моделировании электромагнитных полей, так как при использовании таких элементов в большинстве случаев не требуется введение дополнительных условий на границах сред. 4. Для пространств дискретных дифференциальных форм сохраняется свойство комплекса Де Рама [52]: Последнее свойство особенно важно в ВМКЭ, так как на его использовании основывается доказательство существования и единственности решения дискретной задачи, а также сходимость [51, 52, 88]. В [51] показано, что это свойство сохраняется для элементов Неделека 1-го и П-го типов на тетраэдрах и 1-го типа на параллелепипедах. Связь между дифференциальными формами, областью интегрирования, электромагнитными величинами, внешними производными, гильбертовыми пространствами, конечными элементами и непрерывностью, необходимой для конформности этих элементов в соответствующих пространствах, представлена в таб. 3.1. [140].
В данной работе для аппроксимации векторных величин Е, Н и А использованы векторные Я (rot)-конформные конечные элементы Неде лека низшего порядка (к = 1). В соответствии с дискретным аналогом условия Ладыженской-Бабушки-Бреззи (3.2) [61, 64, 72], для аппроксимации скалярных функций риф использованы скалярные конечные элементы первого порядка. Необходимо отметить, что широко используемый для обозначения векторных конечных элементов термин edge-элементы (от английского edge - ребро) относится, прежде всего, к векторным Я (rot)-конформным конечным элементам 1-го порядка, степени которых связаны с ребрами геометрических конечных элементов. При к 1 (см. 3.1.1-3.1.3) степени свободы оказываются связанными с гранями и объемами элементов. Среди свойств базисов edge-элементных пространств, рассматриваемых в данной работе, можно отметить, что div w; = 0, где Wj - базисные функции. Интерполяционные функции для скалярных величин имеют вид где oti - соответствующие степени свободы, Q - множество индексов вершин конечного элемента, W{ - скалярные базисные функции.
Для векторных величин и определим векторные интерполяционные функции uh на элементе К в виде где di - соответствующие степени свободы, - множество индексов ребер конечного элемента. Обозначим ХІ (г = 1, 4) — координаты вершины щ произвольного тетраэдра К (рис. 3.2). Пусть Лг(х) - трехмерные барицентрические координаты точки х є К относительно вершины Пії Тогда локальная скалярная базисная функция 1-го порядка, соответствующая вершине щ определяется в виде Степени свободы ац(и) в (3.8) являются значениями интерполируемых функций в вершинах элемента: множество Q = 1, 4. Локальное представление для конечномерного пространства WJot элементов Неделека 1-го порядка на тетраэдральном мастер-элементе К определяется в соответствии с Для произвольного тетраэдра К локальные векторная базисная функция, соответствующая ребру е , ориентированному от п, к nm, имеет и пространство 91і порождается базисом, заданным в (3.10). Нумерация ребер тетраэдра К и ее связь с нумерацией вершин показана на рис. 3.2. Тогда можно определить векторную интерполяцию (3.9) со следующими степенями свободы (см. 3.1.1) где \ЄІ\ - длина ребра ег, U - единичный тангенциальный вектор на этом ребре, x.f - координаты его центральной точки: В этом случае S = 1, б в (3.9). Конечные элементы, определенные таким образом, принадлежат Уитни-комплексу [88, 161]. В [88] приведен вывод аналогичного базиса для дискретных дифференциальных 1-форм.
Исследование интерполяционных свойств векторных ко нечных элементов
Разработка технологии реализации ВМКЭ, а именно, исследование особенностей построения дискретных аналогов, генерации портретов матриц СЛАУ, учета краевых условий, решения СЛАУ и визуализации проводилась на двумерных моделях.
Выполнено исследование интерполяционных свойств ВМКЭ-ап-проксимации на прямоугольных и треугольных элементах Неделека 1-го порядка (см. 3.2.4) для известного аналитического решения. Рассматривалась вариационная задача 2 в двумерном случае (оператор rot заменяется скалярным аналогом rot) при єг = 1, цг = 1 и различных значениях параметра к2 . Точное решение имеет вид:
Расчетная область - единичный квадрат Q = [О, І]2. В О, построено регулярное конечно-элементное разбиение 7 . Краевые условия и правая часть заданы в соответствии с аналитическим решением. Проведенные численные исследования подтвердили теоретические оценки точности 0(h) для ВМКЭ в двумерном случае.
Далее в таблицах использованы следующие обозначения: h - характерный размер разбиения, N - общее количество степеней свободы, подлежащих определению (размерность СЛАУ), NN - число нену левых элементов в матрице СЛАУ, HCG количество итераций BiCG, ГЕ = Ео — Ел/Ео, использована евклидовая норма. Точность BiCG зафиксирована -10"10.
Результаты расчета для треугольных векторных конечных элементов представлены в таб. 4.1, для прямоугольных - в таб. 4.2 [30].
Исследование интерполяционных свойств параллелепипеидаль-ных, тетраэдральных и призматических векторных конечных элементов проведено на модельной вариационной задаче 2 (при /j,r = 1, єr = 1) для известного аналитического решения и различных значений параметра к2. Расчетная область - единичный куб О, = [О, І]3, в котором задано регулярное конечно-элементное разбиение 7ft. Вид краевых условий и правой части определяется в соответствии с аналитическим решением. Для сравнения представлены результаты решения аналогичной задачи с использованием скалярного МКЭ на параллелепипеидальных и тетраэдральных элементах (таб. 4.3-4.7).
Проведенные численные исследования подтвердили теоретические оценки аппроксимации 0(h) для ВМКЭ в трехмерном случае. Скалярный МКЭ при решении аналогичной задачи показал сравнимые по точности результаты, значительно превосходя ВМКЭ по затратам, что связано с большей заполненностью матриц СЛАУ дискретных аналогов при использовании скалярных элементов.
В результате исследования интерполяционных свойств векторных конечных элементов Неделека 1-го порядка сделан вывод о высокой эффективности ВМКЭ-аппроксимаций по сравнению со скалярным МКЭ с точки зрения компьютерных времени и памяти для тетраэдральных и параллелепипеидальных элементов. Проведена верификация технологии реализации ВМКЭ.
В связи с тем, что данная работа посвящена разработке инструментария для математического моделирования электромагнитных полей, в областях, для которых характерно наличие подобластей с различными физическими свойствами, важное значение имеет корректный учет поведения полей на границах материалов. В этом разделе исследованы свойства разработанных вычислительных схем при решении модельных задач в областях с различными типами неоднородностей. задан виток с амплитудой тока Іо=4 А. В области построено конечно-элементное параллелепипеидальное разбиение. Для последовательности частот (/ =1 кГц ... 14 МГц) проведено сравнение решений дискретных задач 2, 6 и 8, а также решения дискретного аналога вариационной задачи 2, полученного с использованием вычислительной схемы на основе скалярного МКЭ [31]. Схематическое изображение расчетной области представлено на рис. 4.5.
СЛАУ решены методом бисопряженных градиентов, точность зафиксирована - 10 8. В таблице 4.8 представлено сравнение числа итераций BiCG при использовании различных вычислительных схем. В таблице 4.8 пев число итераций BiCG, / - частота, в скобках указаны размерности СЛАУ, полученные на данном конечно-элементном разбиении для соответствующих схем.
На рис. 4.6-4.7 приведено распределение компонент Exim, Vpxjm решения задачи 6 и компонент Ах\т, V jm решения задачи 8 в плоскости витка (z = 0) для / = 1 кГц. На рис. 4.8-4.12 представлены распределения компонент решения Exim, Еу\т в сечении z = 0, у = 0.03 м для разных частот, рассчитанные по решениям задач 2, 6 и 8, а также решения дискретного аналога вариационной задачи 2, полученного с использованием вычислительной схемы на основе скалярного МКЭ.
Сравнение решений, полученных при использовании различных вычислительных схем позволяет сделать вывод о том, что использование постановок с ограничениями (дискретная задача 6) и потенциальных постановок (дискретная задача 8) для векторного МКЭ необходимо в случае низких частот (до 100 кГц). При более высоких частотах разница решений задачи 2 и задач б, 8 не превышает 1% на достаточно грубой сетке, то есть введение более затратных постановок с ограничениями и потенциальных постановок не оправдано. Отметим, что скалярный МКЭ без введения дополнительных процедур не позволяет корректно учитывать скачкообразное поведение компонент поля, нормальных к границе материалов даже при высоких частотах, несмотря на большие, по сравнению с ВМКЭ затраты, что на практике подтверждает преимущества ВМКЭ.
Моделирование работы высокочастотного каротажного зон да в однородной среде
В высокочастотных методах электромагнитного каротажа при измерении относительных характеристик используются трехкатушеч-ные зонды [27]. Такой зонд состоит из одной генераторной (Г) и двух измерительных катушек (Иі, И2). Все катушки соосны. Измерительные катушки располагаются по одну сторону от генераторной. Расстояние между центром генераторной и дальней измерительной Их катушками называется длиной зонда Ь\. Исследования проведены для зонда длиной L\ =0.5 м, расстояние между измерительными катушками AL =0.1 м. Этому зонду соответствует частота / =14 МГц. Рассматривается амплитуда стороннего тока 1 А.
В ji-той измерительной катушке наводится э.д.с. ej, которую можно определить в соответствии с где р = а х - удельное электрическое сопротивление, S - площадь поперечного сечения проводника, / - длина проводника, JH - плотность наведенного тока, вычисляемая в измерительных катушках по рассчитанной напряженности электрического поля: JH = а Е. Фаза магнитного поля или э.д.с. в измерительной катушке описывается выражением
Диаметр катушек зонда - 0.073 м. Материал катушек - медь (// = до» а = 5.71 107 См/м, є = 0). Материал корпуса рассматриваемого в данной работе зонда - непроводящий, с высокой диэлектрической проницаемостью (/х = //о, о = 0, є = 80 єо) Радиус нефтегазовых скважин полагается равным 0.108 м.
Рассмотрим однородную среду (/л = /х0, о- = 1/р, є — єо)» в которую помещен зонд. Схема расчетной области приведена на рис. 4.22. Целью исследования является построение калибровочной кривой разности фаз между э.д.с. в измерительных контурах зонда, помещенного в однородную проводящую среду. Проведен ряд расчетов для различных значений удельного электрического сопротивления вмещающей среды: максимальное значение ртах = 1000 См/м.
Аналитические данные, с которыми проведено сравнение, получены в Институте геофизики СО РАН [27]. Теоретическое значение разности фаз между э.д.с. в измерительных контурах
Общая размерность дискретной задачи 780300, СЛАУ решены ме тодом BiCG, точность зафиксирована - Ю-8. Максимальное число итераций составило 3478.
Сравнение результатов моделирования с калибровочной кривой, полученной по известному аналитическому решению показало хорошее согласование, погрешность не превысила 10% на достаточно грубой сетке (см. рис. 4.23).
Выводы. Построена и исследована технология реализации ВМКЭ. На базе предложенных аппроксимаций реализован комплекс программ на языке С.
Проведена верификация реализованных вычислительных схем на ряде модельных задач. В результате экспериментального исследования интерполяционных свойств параллелепипеидальных, тетраэдральных и призматических векторных конечных элементов Неделе-ка 1-го порядка подтверждены теоретические оценки интерполяционных свойств.
Серия расчетов электромагнитных полей в областях с различными типами неоднородностей подтвердила высокую эффективность ВМКЭ для решения таких задач. Показано, что введение более затратных потенциальных и смешанных постановок необходимо в случае низких частот (до 100 кГц). Для более высоких частот введение таких постановок не оправдано. Сравнение ВМКЭ со скалярным МКЭ подтвердило экономичность векторных аппроксимаций.
Проведенные исследования подтвердили высокую эффективность предложенных в данной работе вычислительных схем и их программных реализаций для моделирования гармонических по времени электромагнитных полей в неоднородных по физическим свойствам средах.
Данная работа посвящена разработке вычислительной технологии, базирующейся на ВМКЭ, предназначенной для для аппроксимации трехмерных гармонических по времени электромагнитных полей в неоднородных областях.
В диссертационной работе сформулированы постановки задач для моделирования гармонических по времени электромагнитных полей в неоднородных областях. Для корректного учета дивергентных условий на границах материалов предложены задачи с ограничениями и потенциальные постановки. Построены специальные постановки в форме Галеркина, ориентированные на ВМКЭ.
Даны теоретические оценки интерполяционных свойств призматических Я (rot)-конформных конечных элементов Неделека 1-го типа fc-того порядка. Введены базисы конечномерных подпространств Wlot С Я (rot; Q) и Wl С HQ(Q) для векторных элементов Неделека 1-го порядка и скалярных Лагранжевых элементов первого порядка на тетраэдральных, параллелепипеидальных, призматических, треугольных и прямоугольных конечных элементах. Построены дискретные аналоги постановок в форме Галеркина.
Предложена технология реализации ВМКЭ. Проведено исследование особенностей построения конечно-элементного разбиения и сеточной структуры данных, выполнено сравнение размерности и заполненности матриц дискретных аналогов для ВМКЭ и скалярного МКЭ. На базе предложенных аппроксимаций реализован комплекс программ на языке С.
Разработанные вычислительные схемы реализованы и проведена их верификация на ряде модельных задач. В результате численного исследования интерполяционных свойств параллелепипеидальных, тетраэдральных и призматических векторных конечных элементов
Неделека 1-го типа 1-го порядка подтверждены теоретические оценки порядка интерполяции.
Проведена серия вычислительных экспериментов по расчету гармонических по времени электромагнитных полей в областях с различными типами неоднородностей. Подтверждена высокая эффективность ВМКЭ для решения таких задач. Показано, что введение потенциальных и смешанных постановок в случае низких частот гармонического сигнала (до 100 кГц) позволяет учитывать дивергентные условия на границах сред. Введение таких постановок при более высоких частотах не оправдано. Сравнение ВМКЭ со скалярным МКЭ подтвердило экономичность векторных аппроксимаций.
Таким образом, проведенные исследования подтвердили высокую эффективность предложенных в данной работе вычислительных схем и их программных реализаций для моделирования гармонических по времени электромагнитных полей в неоднородных по физическим свойствам средах.
