Введение к работе
Актуальность темы. Предметом исследования в диссертации являются вопросы математического моделирования и оптимизации тепло- и электрофизических процессов, описываемых сопряженной (взаимосвязанной) системой уравнений Максвелла и уравнения теплопроводности Фурье. Рассматривается класс многомерных (двух- и трехмерных) начально-краевых задач с учетом нелинейности заданных функций — коэффициентов уравнений, граничных условий и свободных членов (правых частей уравнений) — при неполном знании входных данных. Модели проблемно ориентированы на решение задач оптимизации электротепловых полей при подвижных пространственно-временных источниках воздействия (джоулевых источниках тепла).
Указанный класс задач является моделью многих современных технологий, где осуществляется распределенное или сосредоточенное воздействие электромагнитного поля на токопроводящие твердые поверхности (металлические, порошковые, композиционные, полупроводниковые), а также расплавы жидкого металла. Примерами могут служить процессы индукционного нагрева на средних и высоких частотах и сквозного электрического нагрева токопроводящих тел, сварки, термообработки, магнитогидродинамического воздействия на жидкие металлы, нагрев подложек в электронной полупроводниковой технологии, плазменное напыление, процессы нагрева элементов объемных интегральных схем (ОИС) СВЧ и КВЧ и др.
Системы, где имеют место взаимосвязанные электромагнитно-теплофизические процессы будем далее называть "электротепловыми системами с распределенными параметрами (СРП)".
Выделенный для исследования класс электротепловых моделей характеризуется одновременным учетом нескольких факторов сложности и, соответственно, общности:
взаимосвязанных электротепловых краевых эффектов в теле, на которое воздействует поток электромагнитной энергии;
многомерности задачи (2 пространственных измерения для осесиммет-ричных СРП и 3 для прямоугольной геометрии);
проблемной ориентации на решение многокритериальных (векторных) начально-краевых задач оптимального управления с нелинейными фазовыми ограничениями; такая ориентация порождает спецефические вычислительные проблемы, связанные с большой размерностью расчетной системы уравнений;
изменения источников воздействия (джоулевых источников тепла) как во времени, так и в пространстве при непрерывном или дискретном перемещении источников относительно тела;
всех видов нелинейностей в исходном математическом описании электротеплового процесса;
неполноты знаний входных данных, т.е. фактора неопределенности.
Исследуемую научную задачу можно условно разделить на три части:
Разработка эффективных в вычислительном отношении для целей оп
тимизации и управления методов решения нелинейных многомерных
краевых задач теплопроводности;
М Создание эффективных в вычислительном отношении в аспекте учета реального распределения джоулевых источников тепла в зоне краевых эффектов математических моделей электромагнитного поля в ферромагнитных и парамагнитных телах;
Разработка алгоритмов оптимизации взаимосвязанных электромагнит
ных и тепловых полей и решение краевых задач оптимизации.
Прямые начально-краевые задачи для параболических уравнений теплопроводности в твердых телах относятся к наиболее изученной области математической физики.
Здесь исследования шли по двум направлениями: для простейших одномерных моделей разрабатывались различные приближенные аналитические подходы, а для многомерных нелинейных задач развивались, в основном, численные методы. Заметим, что теория вычислительных методов для нелинейных многомерных краевых задач теплопроводности далека от завершения.
Вторая часть исследуемой проблемы — краевые задачи электромагнитного поля — исследована значительно меньше, особенно для нелинейных много-
мерных постановок. Объясняется это большими вычислительными трудностями, для электродинамических задач по сравнению с тепловыми (см. главу 1).
Основным стимулом для развития этого класса задач явилось развитие радиотехники, радиоэлектроники и, в частности, объемных интегральных схем (ОИС) СВЧ, а также электрофизических процессов. Из этого круга задач назовем работы Бабича В.М., Березовского B.C., Булдырева B.C., Вайнштейна Л.А., Вольдека А.И., Гринберга Г.А., Данилевича Я.Б., Демиръяна К.С., Домбровского В.В., Зоммерфельда А., Иванова-Смоленского А.В., Кацнеленбаума Б.З., Когана М.Г., Кравченко А.Н., Косачевского В.И., Леонтовича Н.А., Майергойза Н.Д., Маркувица Н., Миллера М.А., Неганова В.А., Неймана Л.Р., Нефедова Е.И., Никольского Т.И., Петрушенко Е.И., Сухорукова В.В., Свешникова А.Г., Тозони О.В., Фиалковского А.Г., Чечурина В.Л., Цейтлина Л.А., Яшина А.А., Neumann E.G., Hondo К., Yarrington R.F. и др.
Следует отметить, что расчет трехмерных магнитостатических полей уже не представляет серьезных вычислительных проблем при линейной постановке задач. Нелинейные многомерные проблемы, особенно при расчете электромагнитного поля в массивных телах, чрезвычайно сложны и малоисследованы.
Перейдем теперь к анализу третьей части рассматриваемой проблемы — оптимизации взаимосвязанных электротепловых полей или, что то же самое, оптимального управления этими полями. Данный круг задач примыкает также к теории обратных задач математической физики. Рассматриваемый в диссертации класс задач оптимизации можно отнести с позиций теории управления к классу систем управления с распределенными параметрами (СРП), основы которого заложены в работах Алексеева В.М., Алифанова О.М., Андреева Ю.Н., Арсенина В.Я., Беллмана Р., Васильева Ф.П.,Грживачевски М.,Голичева И.И., Горбаткова С.А., Гласко В.Б., Дегтярева Г.Л., Дикусара В.В., Димиченского В.Н., Дубовиц-кого А.Я., Егорова А.И., Егорова Ю.В., Кирина Н.Е., Коломейцевой М.Б., Кра-совского Н.Н., Лаврентьева М.М., Лионса Ж.-Л., Ли Э., Лурье К.А., Малого С.А., Маслова В.П., Маркуса Л., Милютина А.А., Моисеева Н.Н., Морозова В.А.,Морозкина Н.Д., Орлова Ю.В., Пшеничного Б.Н., Первозванного А.А., Пус-тыльникова Л.М., Поляка Б.Т.,Раппопорта Э.Я., Тихомирова В-.И., Тихонова
A.H., Темкина А.Г., Уткина В.И., Федоренко Р.П.. Чубарова Е.П., Ягола А.Г., Takamatsu, Root W., Woods I., Kurzhnskii A.B. и др.
Здесь следует отметить, что для СРП достаточно уже развит научный инструментарий: сделаны обобщения основных методов оптимизации динамических систем, разработанных первоначально для систем с сосредоточенными параметрами, моделями которых являются обыкновенные дифференциальные уравнения — метод моментов, принципа максимума Понтрягина, метода динамического программирования, методов Ляпунова для анализа устойчивости, методы регуляризации обратных задач. Однако основные результаты здесь апробированы для достаточно простых модельных линейных одномерных задач. Перенос результатов на нелинейные многомерные задачи требует дополнительных обоснований и исследований. Например, при подвижном воздействии даже на линейную тепловую систему проблема моментов получается нелинейной. СРП и подвижным воздействием при многомерной постановке задачи практически не исследованы.
Таким образом, уровень проработки исследуемой проблемы не соответствует ее теоретической и прикладной значимости. Учитывая изложенное, цель диссертационной работы формируется так: разработать теоретические основы и конструктивные приближенные методы математического моделирования и оптимизации взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах при неполном знании входных данных. Достижение этой цели связано с решением ряда задач:
-
Выявить специфику исследуемой проблемы СРП и на ее основе определить требования к математическим моделям, разработать принципы и методологию построения эффективных в вычислительном отношении приближенных методов.
-
Разработать и усовершенствовать итеро-аппроксимативный метод (НАМ) решения внутренних многомерных нелинейных краевых задач для параболических и эллиптических уравнений применительно к простой геометрической форме нагреваемости тела и обосновать его математически.
-
Провести цифровые эксперименты по аппробации ИАМ и его математическое обоснование на основе теории возмущения операторов.
-
Решить краевые задачи электромагнитного поля в нелинейных ферромагнитных средах.
-
Разработать декомпозиционный алгоритм оптимизации взаимосвязанного электромагнитного и теплового поля и провести его апробацию применительно к нагреву пара- и ферромагнитных тел.
Научная новизна работы в целом
Предложены принципы построения приближенных математических моделей сложных взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах, в которых на всех этапах моделирования (выбора класса модели, постановки краевых задач, выбора формы представления решения и, соответственно, метода решения, исследования устойчивости решения, постановки и решения задачи оптимизации) учитывается фактор неполноты знаний о входных данных.
На основе разработанных принципов проведено обобщение известного ранее ИАМ в рамках теории возмущения операторов, предложена новая модификация ИАМ. Идея предложенного ИАМ состоит в аппроксимации решения нелинейного операторного уравнения Аи = F собственными функциями эллиптического оператора L с учетом сглаживающих свойств оператора В'1 обращения линеаризованных краевых задач по отношению к приближаемым возмущениям Ru, где А = В + R. Проведено математическое обоснование базового ИАМ и его модификации I. Показано, как на основе ИАМ и соответствующего ему интегрального представления решения можно проводить исследование устойчивости решения при возмущении входных данных с помощью интегральных квадратичных форм (по методу Ляпунова).
Предложен и апробирован на содержательных примерах двухмерного электротеплового поля в парамагнитных и ферромагнитных средах алгоритм оптимизации: двухэтапный процесс поиска оптимальных управляющих параметров с использованием пробных точек равномерно распределенных ЛЛГ — последовательностей И.М. Соболя, Р.Б. Статникова.
Научные положения, полученные лично автором и выносимые на защиту
-
Концепция о целесообразности сглаживания локальных возмущений поля для класса задач нагрева токопроводящих твердых тел в электромагнитном поле, где несущественна информация о фазовых превращениях в зонах возмущений и где имеет место неполная информация о входных данных: тепло- и электрофизических коэффициентах, граничных и начальных условиях, источниках тепла.
-
Предложен принцип вложенных математической модели (ВММ), т.е. чередуемых итерационно "точных" (базовых моделей) и "грубых" (субмоделей) как удобный инструментарий повышения вычислительной эффективности сложных моделей. Принцип ВММ реализован в диссертации: 1) в ИАМ (декомпозиция нелинейной задачи на последовательность линейных подзадач); 2) в алгоритме расщепления взаимосвязанной электротепловой задачи на конечных временных интервалах Д/у; 3) в алгоритме численного МПН в главе 4
(декомпозиция электромагнитной задачи на внешнюю и внутреннюю); 4) в алгоритме оптимизации электротепловых полей при подвижном пространственно временном управлении (декомпозиция на подзадачи СіМ н Cylw!); 5) в поисковом алгоритме подзадачи С і,,і при оптимизации функции пространственной формы источников \ji\x,t] (декомпозиция процесса поиска на "ближний" и "дальний" (см. раздел 5.1).
Обоснование новизны этого положения состоит в том, что в данной реализации принцип ВММ для рассматриваемого класса задач предложен впервые. Достоверность обоснована цифровыми экспериментами. Теоретическая ценность положения состоит в том, что создана методологическая основа различных приближенных аналитических и численных алгоритмов.
3. На основе теории возмущения операторов предложена новая модификация
итеро-аппроксимативного метода (ИАМ) решения нелинейных многомерных
параболических и эллиптических уравнений для тел простой формы (шести
гранников Ламе) и построены соответствующие модели. Метод дает инте-
гральную форму представления решения, позволяющую проводить аналитические исследования устойчивости решения в условиях неполноты знаний, управляемости теплового процесса, чувствительности по различным мерам и др. Обоснование новизны состоит в том, что с позиций теории возмущения операторов сделано обобщение и математическое обоснование ранее известного ИАМ (С.А. Горбатков, М. Гживачевски), а также предложена новая модификация ИАМ.
Достоверность положения основана на доказательстве теорем 1 ... 5 из главы 2, а также цифровыми экспериментами и сравнением расчета с физическим экспериментом и тестовыми решениями (главы 2 ... 5). Цифровые эксперименты проводились совместно с М. Гживачевски и С.А. Горбатковым. Теоретическая ценность положения состоит в том, что указан путь построения конструктивных приближенных методов для нелинейных многомерных электротепловых моделей.
4. Решена задача анализа устойчивости решения нелинейной трехмерной задачи
теплопроводности, получаемого по ИАМ, при возмущении начальных дан
ных. Показана возможность использования для этой задачи математического
аппарата функций Ляпунова в комбинации с ИАМ.
Обоснование достоверности положения основано на теоремах 6 и 7 и цифровых экспериментах из раздела 2.7.
Теоретическая ценность положения состоит в том, что подтверждена возможность комбинации ИАМ с методом Ляпунова для анализа устойчивости.
5. Решены двухмерные задачи расчета нестационарного электромагнитного поля
в осесимметричной системе "ферромагнитный цилиндр - возбуждающий то
ковый слой" конечных размеров, а также квазистатическая задача расчета по
ля в поперечном сечении длинной ферромагнитной прямоугольной призмы.
Использованы с некоторой модификацией известные численные схемы метода
переменных направлений (МПН).
Новизна положения состоит в том, что нестационарная двумерная задача в ферромагнетике решена впервые. Ранее были известны решения одномерной задачи.
Достоверность подтверждена цифровыми экспериментами и сравнением с известными тестовыми задачами. Цифровые эксперименты проводились совместно с С.А. Горбатковым и А.В. Никитиным.
Теоретическая ценность положения заключается в том, что полученное нестационарное нелинейное решение двухмерной цилиндрической задачи электромагнитного поля может быть использовано как "эталон" для оценки более грубых моделей, например, квазистатических.
6. На основе ИАМ и принципа ВММ оптимизации функции пространственной формы источников тепла и на его основе построена эффективная в вычислительном аспекте модель оптимизации взаимосвязанных электротепловых полей для ферро- и парамагнитных тел.
Новизна положения состоит в том, что модель оптимизации при учете всех факторов сложности (взаимосвязи полей различной природы, неполноты знания входных данных, учета управляемых краевых эффектов, нелинейности нагреваемых сред, подвижного характера воздействий) получена впервые.
Достоверность положения обоснована цифровыми экспериментами в главе 5. Цифровые эксперименты проводились совместно с С.А. Горбатковым,
Теоретическая ценность положения заключается в апробации принципа ВММ и нетрадиционного способа учета неполноты знаний входных данных в достаточно сложных условиях математического моделирования. Методы исследования
Для разработки ИАМ использованы методы функционального анализа, спектральная теория самосопряженных операторов. Для построения моделей электромагнитного поля использован численный метод интегральных уравнений (вторичных источников), а также методы конечных разностей. Для построения модели многокритериальной оптимизации использован системный принцип декомпозиции и метод ЛЯт-поиска И.М. Соболя — Р.Б. Статникова. Для построения субмодели ("уравнений проектирования") в двухэтапном алгоритме поиска оптимальных параметров, формирующих пространственную форму источников тепла, использовался регрессионный анализ и нейросетевые модели.
Практическая ценность работы
Указан путь для разработки эффективных в вычислительном отношении приближенных численно-аналитических (аппроксимативных) методов решения сложных многомерных нелинейных краевых задач электротеплового поля и создания на их основе алгоритмов оптимизации. Данные методы позволяют построить информативные математические модели, из которых извлекается на стадии проектирования технических устройств информация без проведения дорогостоящих крупномасштабных натурных экспериментов. Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались автором на заседании Московского научно-технического общества радиотехники, радиоэлектроники и связи им. А.С. Попова (г. Москва), на семинарах кафедры "Математика" Радом-ского политехнического института (Польша), на семинаре профессора Голичева И.И. а Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН (г. Уфа).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приводится в конце автореферата. Структура и объем диссертации
