Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Модель стационарного релятивистского электронного пучка на основе кинетического уравнения 14
1.1. Кинетическое уравнение для электронов РЭП 14
1.2. Система уравнений для РЭП в сферическо-цилиндрической системе координат в приближении Фоккера-Планка 19
1.3. Система уравнений для моментов функции распределения электронов РЭП 24
1.4. Система уравнений для интегральных характеристик РЭП 31
1.5. Аналитическое исследования моментных уравнений. Аналогия с газовой динамикой 34
І.б.Учет собственных и внешнего магнитного полей РЭП в
параксиальном приближении 38
Глава II. Численные методы решения задачи 42
II. 1 - Схема Годунова ("распад разрыва") 43
П. 1.1. Исходная система уравнений и инварианты Римана 44
П.1.2. Разностная схема 49
П. 1.3. Вычисления "больших величин" 52
И.2.Схема Неймана-Рихтмайера ("крест") 60
П.З.Схемы Лакса-Вендрофа ("предиктор-корректор ") 67
Глава III. Пространственная эволюция пучка в однородном разреженном газе в отсутствие внешних полей 72
ІП.1. Численное исследование поведения полностью скомпенсированного РЭП при различной начальной инжекции 72
ПІ.2. Сравнительные исследования по различным расчётным схемам 81
Ш.З. Транспортировка РЭП с учётом динамики зарядовой компенсации 90
Ш.4. Пространственная и временная релаксация. РЭП в среде с переменным давлением 99
Глава IV. Пространственная релаксация РЭП во внешних магнитных полях 109
IVЛ. Система моментных уравнений РЭП в магнитном поле 109
IV.2. Релаксация РЭП в постоянном магнитном поле 112
ГУ.З. Релаксация РЭП в поле соленоида. 116
IV.4. Задача об оптимальной транспортировки РЭП в поле магнитных линз 121
Глава V. Численное решение задачи транспортировки РЭП в специальных устройствах вывода 127
V. 1 Фокусировка РЭП в устройстве вывода со встречной струёй газа 129
V.2 Фокусировка РЭП в устройствах вывода с дифференциальной откачкой газа 133
V.3. Фокусировка РЭП в устройствах вывода с дифференциальной откачкой газа и содержащих систему магнитных линз 139
V.4 Самосогласованная задача 148
V.4.I. Учет собственных полей в моментных уравнениях 148
V.4.2. Решение уравнения Пуассона методом вложенных сеток 150
Глава VI. Численное моделирования стационарного РЭП методом крупных частиц 153
VI. 1. Обобщённый метод "крупных частиц" 154
VI.2. Расчёты " холодных " пучков методом трубок тока 158
Заключение 166
Библиографический список используемых источников
- Система уравнений для РЭП в сферическо-цилиндрической системе координат в приближении Фоккера-Планка
- Вычисления "больших величин"
- Сравнительные исследования по различным расчётным схемам
- Фокусировка РЭП в устройствах вывода с дифференциальной откачкой газа
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена методам математического моделирования пространственного формирования пучков заряженных релятивистских частиц в газовых средах и внешних полях.
Сильноточные релятивистские пучки заряженных частиц нашли широкое применение в современной науке и технике. Область их приложения разнообразна и охватывает многие разделы, включая физику элементарных частиц, физику плазмы, генерацию волн СВЧ, накачку лазеров, управляемый термоядерный синтез, разработку новых типов ускорителей заряженных частиц. Их используют в медицине, в космосе, при обработке металлов, дефектоскопии, в электронных приборах и т.д.
В зависимости от области применения, параметры пучков (энергия частиц, ток, пространственное распределение плотности частиц) могут быть различны. Во многих случаях пучок имеет цилиндрическую форму (иногда с изменяющимся по длине поперечным сечением) и состоит из заряженных частиц, движущихся в направлении, примерно параллельном оси цилиндра. Другая встречающаяся форма пучка - это плоский или ленточный пучок с очень большими поперечными размерами в одном направлении и относительно малыми в другом. В исследованиях по термоядерному синтезу и в современных суперколлаидерах изучались релятивистские электронные пучки, имеющие трубчатую структуру.
В последнее время значительное внимание уделяется исследованию процессов, сопровождающих транспортировку релятивистских электронных пучков (РЭП) в газовых и особенно в газоплазменных средах. Среди указанных процессов одно из основных мест занимает проблема поперечной эволюции пучка при наличии внешних электромагнитных полей. В частности, для ослабления поперечной дисперсии пучка в линейных ускорителях может использоваться как продольное внешнее магнитное поле, так и предварительно созданный фокусирующий ионный канал [і— З]. Кроме того, при космических исследованиях могут быть использованы РЭП, распространяющиеся вдоль геомагнитного поля в режиме ионной фокусировки [З]. В известных работах Ли и Купера [l,2] был развит подход, основанный на использовании уравнений огибающей, который позволяет сравнительно просто устанавливать основные качественные и количественные особенности динамики транспортировки осесимметричных РЭП в газоплазменных средах. Однако применение указанного метода к решению конкретных задач создает необходимость в определенных предположениях о характере радиального профиля плотности пучка. Ясно, что единственным строгим и наиболее полно описывающим все проблемы, связанные с транспортировкой РЭП, является подход, основанный на решении кинетического уравнения для функции распределения электронов пучка. В общем случае эта задача является весьма сложной и может быть решена только на основе использования соответствующих численных методов. Однако, как показывают теория и эксперимент [1,2,4] в определенных условиях сравнительно просто может быть найден вид функции распределения в асимптотическом пределе по времени. В частности, в соответствии с результатами работы [і] произвольное распределение частиц в поперечном сегменте параксиального аксиально-симметричного РЭП, который распространяется в однородной рассеивающей газопламенной среде в состоянии, близком к динамическому равновесию, с течением времени асимптотически приближается к изотермическому распределению Бенета. Этот вывод, сделанный на основе теоретических выкладок, подтверждён экспериментальными данными, приведёнными в работах [4,5]. В работе [6] было показано, что соответствующее асимптотическое распределение, при выполнении определённых условий, устанавливается и в пучке, который движется в однородной рассеивающей газоплазменной среде при наличии компенсирующего ионного фона и внешнего магнитного поля, которые часто встречаются на практике. В этом случае многократное кулоновское рассеяние электронов пучка на атомах среды будет приводить к формированию автомодельного гауссова профиля плотности РЭП (в отличие от профиля Беннета, который устанавливается в самосжимающемся пучке, распространяющемся в рассеивающей среде при отсутствии внешних электромагнитных полей [1]).
Несомненный интерес в комплексе проблем, связанных с транспортировкой РЭП, представляет изучение условий стабильной проводки пучка по омическим плазменным каналам. В частности, в работах [7-12] рассмотрены некоторые ситуации, когда имеет место, стабилизирующее влияния плазменных каналов на распространение РЭП. В работе [13] в электростатическом приближении рассчитано притягивающая к каналу трекинг-сила в условиях низкой проводимости омического канала. Кроме того, в [8,9,11,12] рассмотрены каналы, в которых основная часть обратного плазменного тока находится вне пучка, что при боковых отклонениях РЭП приводит к ослаблению шланговых колебаний [14,15]. В работе [7] были представлены результаты численной имитации пучково-плазменного взаимодействия при транспортировке РЭП по омическим плазменным каналам с учетом наработки проводимости в результате ударной и лавинной ионизации канального газа. Было показано, что в головной части пучка имеет место электростатический трекинг (т.е. притяжение к омическому каналу), тогда как в основной части пучка ("теле" РЭП) наблюдается выталкивание РЭП из канала. Очевидно, что последний эффект обусловлен увеличением проводимости за счет ударной и лавиной ионизации канального газа и соответствующим ростом вблизи оси канала дестабилизирующего обратного плазменного тока. В работе [16] , была получена формула для расчета силы пучково-канального взаимодействия в условиях полной нейтрализации пространственного заряда РЭП для произвольных значений амплитуды отклонения оси канала от оси пучка.
Повышенный интерес к прикладному использованию сильноточных релятивистских электронных пучков (СРЭП), взаимодействующих с различными газовыми средами, предопределен не только их уникальными возможностями по транспортировки энергии высокой плотности, но и возможностью осуществления ряда селективных плазмохимических реакций или синтеза соединений в пучковой плазме [44-46]. Целый ряд плазмохимических технологий, используемых, например, в металлургии при утилизации отходов производств или в синтезе углеводородов, требует сохранения транспортных характеристик пучка по всей длине плазмохимического реактора. Производительность последнего существенно зависит от устойчивости РЭП [12,54-57]. Режим и характер взаимодействия СРЭП с газовой средой определяется из заданных условий работы плазмохимического реактора. В одних случаях необходимо осуществить эффективную объемную рекуперацию энергии РЭП в газ в процессе осуществления отдельных химических реакций и тогда может быть рекомендован режим с крупномасштабной резисторной неустойчивостью пучка [58]. В другом случае накладываются жесткие требования на устойчивость распространения пучка с минимально возможными потерями в процессе его транспортировки в объеме реактора при нормированных параметрах газовой среды (состав, давление, температура и т.д.). Регулирование в таких широких пределах режимов распространения СРЭП в газовых объемах реактора, не использующих сильно фокусирующих внешних магнитных полей, стало возможным в результате проведенных ранее исследований, обнаруживших достаточно эффективное стабилизирующее действие начального участка инжекции (транспортировки) СРЭП [59].
Устойчивая транспортировка РЭП через различные газовые среды может быть нарушена или даже вообще сорвана из-за развития крупномасштабных неустойчивостей, среди которых определяющей является резисторная шланговая неустойчивость (РШН). Данная неустойчивость была и по-прежнему остается предметом многочисленных теоретических и экспериментальных исследований [15,25,47,48]. При изучении механизмов развития РШН не были оставлены без внимания исследователей и процессы, касающиеся образования плазменного канала формируемого пучком в газе [49-53]. В работах [60,61] исследуется влияние различных параметров изменяющегося по плотности плазменного канала, созданного в результате ионизации нейтральной компоненты фонового газа потоком излучения вспомогательного ультрафиолетового лазера, на динамику развития и поведения шланговой неустойчивости РЭП. Во всех этих случаях требуется выявить основные определяющие закономерности устойчивой или неустойчивой транспортировки РЭП в зависимости от параметров и сорта газовой среды. Знание этих закономерностей может быть использовано при разработке методов подавления или стабилизации РШН и их последующего применения в различных технологических приложениях с участием СРЭП.
Все приведенные выше исследования, как и многие другие [17-40], напрямую связанны с решением одной из важнейших проблем релятивистских электронных пучков в плотных газо-плазменных средах - изучению поперечной эволюции пучка в рассеивающем фоновом газе. Вследствие сильной неравновесности процесса распространения РЭП в газо-плазменной среде, а также доминирующего влияния, которое оказывает на этот процесс коллективное электромагнитное поле, возбуждаемое зарядами и токами частиц пучка и плазмы, естественной методологической основой для построения моделей транспортировки РЭП в газо-плазменной среде является аппарат кинетических уравнений Власова-Больцмана с самосогласованным полем и следующих из них уравнений для моментов функции распределения частиц пучка и фазовых средних. В общем случае указанные модели наряду с самосогласованным полем должны учитывать воздействие на частицы пучка внешних электромагнитных полей, а также эффект рассеяния частиц пучка в столкновениях с частицами фонового газа.
В этой связи следует отметить теоретические работы [41-43], в которых последовательно и строго развивается кинетический подход в решении этой проблемы. В частности, в статье [42] с помощью кинетических методов были получены основные уравнения поперечной динамики параксиальных моноэнергических РЭП: уравнения вириала, условие динамического равновесия и уравнение огибающей аксиально симметричного параксиального релятивистского электронного пучка, в ситуации, когда радиальный профиль обратного плазменного тока отличается от радиальной конфигурации плотности тока самого пучка. Следует заметить, что последнее предположение существенно усложняет получение основных уравнений поперечной динамики РЭП, включая и вывод уравнения огибающей пучка с помощью кинетического уравнения. Известно, что в параксиальном приближении [1,6,37] продольное движение частиц пучка является детерминированным, в тоже время распределение частиц РЭП по поперечным импульсам и координатам носит стохастический характер и описывается соответствующим кинетическим уравнением. При выводе этих уравнений авторы ограничились рассмотрением представляющего основной практический интерес случая параксиального азимутально-симметричного пучка с осью симметрии, совпадающей с направлением распространения пучка вдоль оси z цилиндрической системы координат. Также как и в работах [1,2,22] пучок представлялся в виде совокупности тонких поперечных сегментов, каждый из которых инжектируется в момент времени t = T и содержит фиксированной число частиц. Предполагалось, что все частицы данного сегмента имеют одинаковую релятивистскую массу ту и продольную скорость Vz = /3-е так, что на выходе из инжектора пучок является моноэнергетическим. Среда, в которой распространяется пучок, считалась однородной, а все частицы сегментов одинаковым образом эволюционируют по координате z и в любой момент времени имеют одинаковую энергию e(t) и релятивистскую массу т = ту -s{t)lc , причем в процессе распространения сегменты не пересекаются [1,6,38].
При распространении сильноточного пучка заряженных частиц в плотной газовой среде происходит интенсивное выделение тепловой энергии в области, занятой пучком. Выделение энергии в ограниченном объеме газа вызывает быстрый рост температуры и давления в этой области. Расширение разогретого газа приводит к образованию расходящейся ударной волны и разреженного канала в зоне действия источника энергии. Интенсивное выделение тепловой анергии в канале пучка оказывает существенное влияние на течение газа в струе. Резкое повышение давления приводит к нарушению структуры струи и выбросу газа как во внешнюю область, так и в направлении вакуумной камеры. Возникающее при этом увеличение натекающего потока может сказаться на работе устройства вывода. Все эти явления при определенных условиях могут существенно повлиять на процесс транспортировки пучка, а их учет математически усложняет решение задачи. Когда пучок является аксиально-симметричным и его параметры вдоль оси распространения меняются плавно, то возникающие при этом движения газа, достаточно точно описываются одномерными уравнениями газовой динамики.
В настоящей работе были рассмотрены такие условия транспортировки РЭП, когда указанные явления можно было не принимать во внимание.
В ряде случаев при практическом использовании пучков заряженных частиц требуется осуществлять вывод пучка из ускорителя во внешний объем, занятый плотным газом. Для нормальной работы ускорителя необходимо, чтобы давление остаточного газа —5 —7 в области между катодом и анодом не превышало 10 -10 тор. Если плотность остаточного газа превосходит плотность электронов в пучке, то возможно возникновение сильного обратного тока, приводящего к уменьшению разности потенциалов между катодом и анодной сеткой и нарушающего работу электронной пушки. Таким образом, при выпуске пучка в атмосферу с нормальным давлением устройство вывода должно 3 —7 обеспечивать перепад давления от 10 до 10 тор. В устройстве вывода происходит процесс зарядовой нейтрализации пучка, связанный с ионизацией остаточного газа. Вторичные электроны выталкиваются из пучка, а ионы захватываются в потенциальную яму пучка. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не достигается равновесие между скоростью ухода электронов и ионов из пучка и скоростью их образования. Равновесное состояние зависит от таких факторов, как энергия частиц пучка, давление газа, сечение ионизации и энергия вторичных электронов. Степень нейтрализации пучка может меняться по его длине. Нейтрализация пространственного заряда пучка приводит к фокусировке пучка собственными мапгатными полями с последующим его выходом на равновесный радиус. Транспортировка пучка в устройстве вывода, происходящая во внешних магнитных полях, должна обеспечить минимальные потери полного тока пучка и минимальное увеличение его равновесного радиуса. Кроме того, устройство вывода не должно быть источником возникновения различного рода неустойчивости пучка заряженных частиц. Плазма, образующаяся в той части устройства вывода, где плотность газа мала, может быть сильно ионизированной, а по мере повышения давления становится слабо ионизированной. Таким образом, набор возможных неустойчивостей в системе пучок-плазма меняется.
Конкретная конструкция устройства вывода зависит от его назначения и параметров применяемых пучков. Для заряженных пучков с малой плотностью энергии выпуск можно осуществлять через тонкую мембрану, отделяющую вакуумную камеру от внешнего пространства. При увеличении тока пучка и длительности импульса тепловое воздействие пучка заряженных частиц на мембрану приводит к ее разрушению. Поэтому для интенсивных пучков применяются устройства вывода с открытым отверстием. Диаметр сквозного канала обычно находится в пределах 10-50 мм. При работе в импульсном режиме с большими паузами между импульсами может применяться система предварительно откаченных вакуумных камер и клапанов, перекрывающих канал, с последующей откачкой натекшего газа. Для длинноимпульсных пучков промежуток времени, в течение которого устройство вывода должно оставаться открытым, может быть достаточно большим и такая ресиверная система вывода становится невозможной. В этом случае для перекрытия выводного канала применяются различные типы газовых или жидкостных завес. В устройство вывода включаются специальные конфигурации внутренних диафрагм и используются мощные средства откачки.
В диссертации проведено численное моделирование процессов пространственной эволюции релятивистского электронного пучка (РЭП) в газовой среде и внешнем продольном магнитном поле. Рассмотрены вопросы, касающиеся формирования пучка, способов его фокусировки и оптимальной транспортировки в различных системах вывода.
В первой главе для квазистационарного осесимметрического пучка релятивистских электронов в параксиальном приближении и в отсутствии коллективных азимутальных движений определено кинетическое уравнение для функции распределения электронов пучка с учетом столкновительных процессов с атомами среды. В приближении Фоккера-Планка получена система уравнений для пучка в цшшндрическо-сферической системе координат. По известной технологии, из кинетического уравнения получена замкнутая нелинейная система из шести интегро-дифференциальных уравнений для моментов функции распределения до второго порядка включительно, которая положена в основу проведения всех дальнейших численных расчетов. Осуществлен переход от эйлеровой формы представления системы моментных уравнений к лагранжевой, позволивший разрешить вычислительные проблемы на границе пучка. Интегрированием моментных уравнений по координатному пространству в рамках некоторых приближений получена система обыкновенных дифференциальных уравнений для интегральных характеристик пучка, учитывающая как воздействие собственных и внешних магнитных полей, так и процессы столкновений. Эта система удобна для приближенного описании РЭП. Для упрощенного варианта системы из четырех моментных уравнений проведены аналитические исследования, выявившие общие и отличительные черты уравнений для пучка с уравнениями газовой динамики. В рамках параксиального приближения определен вид собственных и внешних магнитных полей различной конфигурации, влияющих на РЭП.
Во второй главе рассмотрены численные методы решения системы моментных уравнений. Квазилинейный гиперболический тип полученной системы моментных уравнений обусловил выбор стандартных разностных схем, используемых для ее численного решения. Это схемы Неймана-Рихтмайера (крест), Лакса-Вендроффа (предиктор-корректор) и Годунова (распад разрыва) и специальных алгоритмов итераций по нелинейностям. Наиболее сложной в плане своей конструкции и технической реализации явилась схема распада разрыва. Для этой схемы был разработан и реализован в расчетной программе подробный алгоритм численного решения системы, состоящей из четырех моментных уравнений в эйлеровых переменных. В алгоритме учтены все возможные конфигурации автомодельной картины, возникающей в плоскости (r,z) течения, содержащие ударную волну, волну разрежения и контактный разрыв. Во втором и третьем разделах главы обсуждаются вопросы, связанные с конструкцией и возможностями двух других схем. Рассмотрены условия их устойчивости и, в этой связи, целесообразности использования искусственной вязкости. Предложены различные варианты ее задания.
В третьей главе рассмотрена пространственная эволюция пучка в однородном разреженном газе в отсутствии внешнего магнитного поля. Численно исследовано поведение полностью скомпенсированного пучка при различных начальных условиях. Проведен сравнительный анализ расчетов по различным схемам. В рамках некоторой, модели, описывающей процесс нейтрализации объемного заряда электронов пучка ионами среды, рассматривается транспортировка пучка в однородном и неоднородном газе с учетом динамики компенсации. В частности, исследовано поведение РЭП в среде с переменным давлением, которое создает газовая струя, истекающая в устройство вывода навстречу пучку. Возникающий градиент давления газа обеспечивает условия необходимые для устойчивой самофокусировки РЭП. Показано, что при определенных условиях рассматриваемая задача становится автомодельной.
В четвертой главе исследовалась пространственная эволюция пучка во внешнем магнитном поле. Применительно к этим условиям, для обеспечения устойчивой работы вычислительной программы, была модифицирована система моментных уравнений, путем введения новых рассчитываемых функций. На ее основе численно исследуется релаксация РЭП к установившемуся (стационарному) режиму его транспортировки в устройстве вывода (УВ) при различных начальных условиях инжекции. Степень "неравновесности" пучка регулируется заданием различных начальных значений его эмиттанса (или среднеквадратичного радиуса), отличных от своих равновесных значений, оценка которых осуществлялась либо из самих моментных уравнений, либо из уравнения для среднеквадратичного радиуса (огибающей). Транспортировка пучка в камере дрейфа осуществлялась во внешних магнитных полях различной конфигурации: постоянное однородное магнитное поле, поле соленоида и поле системы из магнитных катушек (линз), расположенных в УВ по ходу движения пучка. Для определения оптимальной конфигурации этой системы линз (геометрия, величина напряженности, положение в УВ), которая обеспечивала бы требуемый режим транспортировки пучка, был разработан соответствующий алгоритм. Для некоторой, специальным образом сконструированной многопараметрической критериальной функции, решалась задача на экстремум, таким образом, чтобы оптимальная конфигурация отвечала минимуму этой функции. Процедура минимизации представляла собой один из вариантов метода покоординатного спуска. Сама критериальная функция зависела (помимо параметров катушек) от начальных условий задачи и некоторых важнейших интегральных характеристик пучка, которые позволяли оценить состояние пучка и его пространственную форму. Приведены некоторые варианты решений этой задачи.
В пятой главе решалась задачи о транспортировки пучка в конкретных устройствах вывода с конкретными требованиями к параметрам и характеру движения самого пучка. Сначала для УВ с натекающей встречной струей газа были определены условия, по которым пучок должен был выйти из камеры дрейфа, сфокусированным до нужных размеров в состоянии установившегося (равновесного) движения. Затем была решена задача о самофокусировке пучка при его инжекции в УВ с дифференциальной откачкой газа. В этой ситуации была использована простейшая модель среды, с кусочно-постоянным по эволюционной переменной профилем давления. Такую модель можно рассматривать как систему газовых линз определенной ширины и давления. Как и для системы магнитных линз, здесь также требовалось решать проблему оптимизации параметров, но уже газовых линз. Исследовалась релаксация неравновесного пучка для различных начальных условий инжекции. Наконец; была исследована фокусировка пучка при одновременном применении активного и пассивного способов фокусировки - пучок двигался в двойной системе линз, газовых и магнитных. Была показана эффективность такого способа формирования пучка с наперед заданными характеристиками.
В четвертом разделе этой главы были обсуждены способы решения задачи транспортировки электронного пучка в самосогласованном поле. Предложен итерационный алгоритм, по которому проводится решение системы моментных уравнений для пучка и двумерного уравнения Пуассона для собственных электрических полей.
В шестой главе предложена обобщенная модель крупных частиц, позволяющая относительно просто учесть процессы рассеяния. Пучок в ней представляется в виде суммы конечных элементов - модельных частиц, характеризующихся набором параметров. Это масса, координаты центра тяжести, среднеквадратичный радиус и геометрические размеры в координатном и фазовом пространствах. Уравнения для этих параметров получаются усреднением по координатному пространству моментных уравнений, учитывающих влияние полей и столкновительные процессы. По заданной функции распределения электронов РЭП, ядро которой зависит от параметров всех конечных элементов, рассчитываются плотности зарядов и токов и для них решаются уравнения для электромагнитных полей. В результате, рассматривается самосогласованная задача эволюции РЭП в пространстве, ограниченном поверхностями с заданным распределением потенциалов и заполненном газом. Предложенная многопотоковая модель электронного пучка представлена в основном в теоретическом аспекте. Численные же расчеты параметров " холодных " пучков, на которые ориентированы все методы крупных частиц, были проведены на основе хорошо известного метода трубок тока. Рассмотрены пучки с гауссовским и трубчатым начальными профилями плотности.
Основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту, заключаются в следующем:
1. На основе кинетического уравнения разработана теоретическая модель описания пространственной эволюции сильноточного релятивистского электронного пучка в газовой среде при воздействии на него собственных и внешних магнитных полей.
2. В рамках многомоментного приближения получена замкнутая гиперболическая система интегро-дифференциальных уравнений и определена задача Коши для расчета параметров транспортировки пучка, учитывающая воздействие внешних полей и процессов рассеянии электронов пучка на частицах фонового газа.
3. Получена система обыкновенных интегро-дйфференциальных уравнений для расчета интегральных характеристик пучка, весьма эффективная для приближенного исследования пучков, которая в предельной ситуации сводится к широко используемому в физике пучков уравнению для среднеквадратичного радиуса Ли-Купера.
4. Разработан вариант обобщенного метода крупных частиц (многопотоковая модель), позволяющий естественным образом учитывать процессы рассеянии электронов РЭП на частицах среды.
5. Разработан пакет прикладных вычислительных программ, полностью реализующих весь комплекс требуемых численных решений задачи.
6. Численно исследована модельная задача транспортировки РЭП в газовой среде с постоянной и переменной плотностью с учетом процессов компенсации объемного заряда пучка ионами газовой среды и при наличии внешних магнитных полей различной конфигурации - постоянное, соленоидальное, гофрированное системой магнитных линз.
7. Исследованы условия оптимального прохождения РЭП (с сохранением его конктретных транспортных характеристик) при различных начальных условиях его инжекции в различные устройства вывода, обеспечивающие как пассивные, так и активные способы фокусирования пучка. 8. Методом крупных частиц произведены расчеты параметров транспортировки холодных пучков (гауссовых и трубчатых) в газе при воздействии продольного внешнего магнитного поля.
Система уравнений для РЭП в сферическо-цилиндрической системе координат в приближении Фоккера-Планка
В этом разделе мы воспользуемся переходом к сферическо-цилиндрической системе координат как одним из способов, который при наличии ряда физических приближений, уменьшающих размерность задачи, позволит нам значительно упростить математическую постановку задачи [71].
Будем, по-прежнему, учитывать электрон — электронное взаимодействие через самосогласованное поле с силой F, определяемой из уравнений Максвелла. Кроме того, не будем интересоваться флуктуациями энергии частиц и запишем кинетическое уравнение, в приближении непрерывного замедления [72]. В этом приближении члены кинетического уравнения, соответствующие неупругому рассеянию, заменим членом -Fu-dfldp где Fu- сила ионизационного торможения, a / = j». Считаем также, что начальное распределение обладает цилиндрической симметрией, нет коллективных азимутальных движений и нет азимутальных сил.
Введем в пространстве координат цилиндрическую систему координат p,z, p с осью z, направленной по пучку. В импульсном пространстве введем сферическую систему координат {р, ос, р}: рх = р sin a cos Р, ру = р sin а sin Р, pz = р cos а. Перепишем кинетическое уравнение во введенной системе координат. Тогда кинетическое уравнение (1.1) примет следующий вид: (Я/ 1 л/ —cos(p-q )+——sin(p-q ) dp р&р Ш- - Of + cosa- dz +—[Fu + Fx sin a cos p + 1 Я/" 1 Я/ +Fvsinocsinp + .F-cosalH — FrcosacosP + Fvcosasinp-F_sina +——x (1.5) y z J pda1 x y z J p5p _P sinp cosp sina J sina b где как уже отмечалось, в интеграле столкновений выделен член, отвечающий взаимодействию электронов между собой, а взаимодействие электронов с остальными частицами считается упругим.
Таким образом, мы получили замкнутую систему модельных уравнений, состоящую из пяти нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Система описывает пространственные изменения среднего импульса электронов пучка /?o(p,z), угловой дисперсии 9Q(P,Z) импульсной переменной, среднего значения a(z) угловой импульсной переменной и некоторой функции cp(p,z), описывающей пространственное распределение электронов. Для полной постановки задачи систему (1.15) - (1.16), (1.18) - (1.20) с условиями (1.21) нужно дополнить уравнениями Максвелла.
Входящие в них токи легко выражаются через новые неизвестные функции (p(p,z) G0(p,z) и a(z). Например: j;=eAp„(p)Z) = eA f n(p,Z,Q)dex =--Л (± ит.д.
Полученная в этом разделе система уравнений представляет собой один из возможных вариантов той математической модели, в рамках которой можно исследовать процессы, связанные с транспортировкой РЭП. На ее основе были проделаны вычислительные эксперименты по расчету параметров транспортировки электронных пучков для ряда конкретных простейших ситуаций. Их предварительны результаты, в целом, показали согласие с исследованиями, проведенными на основе многомоментной системы уравнений для сильноточных пучков релятивистских электронов, в рамках которой нами проводились все основные серийные вычисления по исследованию поставленной задачи. В этой связи полученная система помимо несомненного теоретического и методологического интереса, вполне может быть использована, как один из вариантов, для численного решения задачи транспортировки РЭП. 1.3
Система уравнений для моментов функции распределения электронов РЭП.
Один из методов решения кинетического уравнения, позволяющих уменьшить число независимых переменных и тем самым значительно упростить математическую постановку задачи, является метод моментов. Этот метод был впервые предложен и изучен Трэдом [73] для задач газовой динамики и в дальнейшем интенсивно развивался в работах [74-77]. Применительно к пучкам заряженных частиц этот метод применялся, например, в работах [70,78-83]. При моментном подходе мы оперируем с осредненными параметрами, которые можно непосредственно сравнивать с результатами эксперимента. Этот метод накладывает априорные ограничения на вид функции распределения. Представляется, что при расчете пучков, не слишком сильно отклоняющихся от равновесного распределения, метод моментов позволяет получать достаточно точные результаты, правильно отражающие основные характеристики процесса. Традиционно в кинетической теории метод моментов используется для расчета различных транспортных коэффициентов. Положительным фактом является то, что при моментном подходе мы оперируем с такими осредненными параметрами, которые можно непосредственно сравнивать с результатами эксперимента. Этот метод хорошо оправдывает себя при описании таких электронных пучков, для которых характерен существенный разброс электронов по скоростям, однако не приспособлен к расчету «холодных» пучков, которые на начальном этапе являются, как правило, существенно неравновесными. В этом случае целесообразнее применять методы, основанные на непосредственном интегрировании кинетического уравнения. В последнее время появились новые перспективы прямого решения этого сложного интегро-дифференциалыюго уравнения, связанные с использованием вычислительной техники с параллельной обработкой информации [101-103]. Составной частью этих параллельных алгоритмов является консервативный метод расщепления [104,105], в котором интеграл столкновений вычисляется, как методом Монте-Карло, так и детерминистическим способом (с частично аналитическим интегрированием по параметрам столкновений).
Вычисления "больших величин"
Интегральные соотношения (II. 1) являются математическим выражением основных законов сохранения, более общим, чем дифференциальные соотношения (И.2) . В реальньк потоках газа встречаются поверхности, на которых физические величины меняются скачком. Это, так называемые, ударные волны и контактные разрывы. Поэтому, чтобы получить картину переноса пучка, близкую к реальной, следует обратиться к законам сохранения, выраженными соотношениями (II. I). При этом решение системы интегральных уравнений (II. 1) естественно называть [110,118] обобщённым решением системы (1.43) или (П.2).
В ходе решения поставленной задачи мы учтем все возможные конфигурации автомодельной картины, возникающей в плоскости (r,z) течения. Все они изображены на рис. 1-5. Первые четыре из них (рис.1 - рис.4) содержат контактный разрыв (КР), отмеченный штриховой линией, на котором испытывает скачок плотность р и рис.2 рис.1 азимутальная компонента давления р , а радиальная компонента давления рг и Значения слева и справа от контактного разрыва будем обозначать U и pr, а различные поперечная скорость и непрерывны. Их одинаковые постоянные значения в областях слева и справа от контактного разрыва мы будем обозначать U и pr, а различные значения плотности и азимутальной компоненты давления R$ и Р для левой и RA и BP \BAKWM Рф4 для правой областей соответственно. В свою очередь, эти области отделены от невозмущённых областей с параметрами pls щ, рг{, рф1 слева и Р2 и2 Рг2- Р(р2 справа, либо ударной волной О Рис.5 (УВ), либо волной разрежения (ВР). Последняя конфигурация представляет собой предельный случай, когда в результате "разлёта" частиц образуется область вакуума, в которой плотность падает до значения р = 0.
Перейдём к математическому рассмотрению задачи. При выводе соотношений, связьюающих "большие" величины на волнах возмущения, мы будем пользоваться тем фактом, что в случае волны разрежения радиальная компонента давления рг до фронта волны больше, чем эта компонента за фронтом волны, а в случае ударной волны, наоборот. Далее, на волне разрежения, как известно [118], выполняются условия непрерывности римановых инвариантов, а на ударной волне - соотношения Гюгонио, которые для интегральных соотношений (II. 1) имеют вид: [a]-D- Ъ =0, где D скорость распространения ударной волны (скорость движения фронта разрыва), а квадратными скобками обозначены скачки расчетных величин, стоящих в них, при переходе через разрыв. Таким образом, в случае ударной волны получаем: Г [p]D = [p.w] , Грг+р-м2 -1) = 1зы-рг+р-ы3] , (П. 11 а) или, подробнее, V г (R-p)D = RU-p-u , (RU-p-u)D = Pr + RU2-(pr+p-u2) , (Il.llb) (pr + RU2-(pr+p-u2)\D = 3UPr+RU2-(3upr+p-u3) , Из системы (Il.llb) нетрудно получить: д = /3±,, (IL12) -feu- (IL14) Для скорости распространения волн D получаем соотношение: D = ELzJL. (п.15) /г-р
Используя теперь то обстоятельство, что для правой ударной волны u U , рг Рг из (11.14) получаем: U = u + Р Рг (П.16) Jp{2P,+Pr) дня левой ударной волны, наоборот: u U, рг Рг и потому имеем U = u—. Р/ Рг . . (11.17) Л1Р(2РГ+РГ) Соотношение (11.12) в газовой динамике называется адиабатой Гюгонио. В случае волны разрежения вместо соотношений Рэнкина-Гюгонио используем непрерывность римановых инвариантов (11.4). Для левой волны: [р] = О, [рр J = 0, [Зм + с] = 0 получаем: R = P, Р9=Р9, U-u = (c-C)/3, (П. 18) где с = yj3pr I р, С = фРг/ R или т.к. R = р, то С = ЪРг1р. Таким образом имеем С/ = «-(Л/ -ЛУр )/ /Зр или, придавая этому соотношению вид аналогичный формуле, связывающей U и Рг в случае ударных волн, окончательно получим: U = u- ,— Рг Рг ,— . (П.19)
Для "больших" величин в области, занятой волной разрежения, если опять воспользоваться условием непрерывности римановых инвариантов и тем, что слабые возмущения в газе распространяются со скоростью звука, получаем соотношения: R = p, Py=Pp,U = (3u + c)/4 , C = U , Pr=Pr(C/cf . (11.20)
Наконец, для скоростей распространения левой волны разрежения, получаем для левой характеристики: D = u-c, для правой характеристики:D = U-С, где U и С -большие величины за фронтом волны разрежения. Для правой волны разрежения получаем совершенно аналогичные формулы: R = p , U = u + Pr Pr (11.21) и для области, занятой волной разрежения: R = p ,Ру=Ру , U = (3u-c)/4 ,C = U , Pr=pr(C/cf , D = u + c , D = U + C (11.22) Наконец, для скорости контактного разрьша всюду D = U, где U — "большая" величина за фронтами волн возмущения. Рассмотрим теперь отдельно каждую из конфигураций автомодельной картины, возникающей в плоскости (г ,z) течения.
Сравнительные исследования по различным расчётным схемам
В предыдущем разделе было показано, что при инжекции пучка близкой к равновесной, результаты расчетов проведенных по схеме распада разрыва, оказались вполне удовлетворительными. Однако, с увеличением неравновесности возникли нелинейные неустойчивости, которые не удалось устранить даже путем введения дополнительного сглаживания, например, введением искусственной вязкости. Это обстоятельство привело к необходимости рассмотрения других расчетных схем, которые были применены к упрощенной системе моментных уравнений (11.49), записанной в лагранжевых переменных. В частности, были построены схемы, являющиеся аналогами известных схем "крест" и "предиктор-корректор", применяющихся при расчетах газодинамических течений. В этом разделе мы проведем сравнительный анализ результатов численных расчетов, полученных по этим схемам.
Первоначально при отладке программ использовался «тест», описанный в разделе П.2. Расчеты показали, что схемы «крест» и предиктор-корректор, примененные для численного решения системы моментных уравнений, в этом тестовом варианте обеспечивали сохранение исходных параметров потока на всем счетном интервале по z. Даже на очень «грубой» сетке (15-20 расчетных узлов) систематическая ошибка при вычислении параметров р и рг не превьппала 1%. При вычислении же среднеквадратичного радиуса R(z) эта ошибка была еще меньше.
В качестве второго «теста» была использована задача с начальными условиями в виде: р = Ро, ur=0,pr=pQ(l-s) и r = r0vs, где /?0, г0 и р0 - это некоторые постоянные, задающие значения параметров на оси, as- лагранжева переменная. Фактически это вариант (Ш.З). У задачи с такими начальными условиями аналитическое решение («огибающая») имеют вид: / = /?0(z), ur = u0(z)\fs, pr = pr(z)(1-5)иг = Го[z) Js, где р0(z), и0(z), r0(z),p0(z) - функции лишь одной переменной z. Причем все эти функции оказываются периодическими с одним и тем же периодом. На рис. 17 изображены результаты расчетов при входных параметрах пучка // = 1,7 10 , Л(0) = 1, 2?(0) = 1.6- , где Е - равновесный эмиттанс и начальных условиях типа (Ш.З), с резкими границами для профиля плотности. Из рисунка (кривая 1 - учтена искусственная вязкость, 2 — без вязкости) видно, что схемы без учета вязкости обеспечивали сохранение закона изменения R(z) только для промежутка по z протяженностью в полторы-две длины периода. Законы изменения параметров р,иг,рг нарушались еще раньше. Схемы же с искусственной обеспечивали сохранение этих законов на всем счетном интервале, по крайней мере, протяженностью более 10 длин периодов. Некоторые изменения в положениях максимумов связаны с очень незначительными отличиями расчетных параметров на границе потока. В положениях минимумов заметных отличий не обнаружено. На рисунках 18 и 19 приведены зависимости R(z) для начальных условий вида (2.8) с размытыми границами для плотности и давления при тех же, что и на рисунке 10, значениях входных параметров ц, R(0) и (0). Эти рисунки соответствуют расчетам проведенным с учетом вязкости и без нее по разным схемам. Цифры 1,2, 3 и 4 на рис. 18 отвечают убывающим значениям коэффициента А в вязком добавке (П.55) равным 8, 2, 0.5 и 0 соответственно, а графикам маркированным цифрами 1, 2 и 3 на рис. 19 - значения 10, 1 и 0.1. Из рисунков видно, что качественных отличий в результатах, полученных по разным схемам, нет, а от величин вязкого добавка зависимость очевидна. С увеличением значений вязкого добавка выход R{z) на стационарное положение замедляется. С другой стороны (см. верхнюю кривую на рис.18), в случае полного отсутствия вязкости, R(z) на стационарное положение не выходит вовсе. Параметры потока р, иг,рг в этом случае сильно осциллируют.
Кстати, увеличение осцилляции параметров потока заметно и в случае малых значений вязкого добавка. Однако, при этом R(z) на стационарное положение все-таки выходит. Причину этого явления проясняет рис. 20, на котором изображены линии тока (50% от полного тока) для двух различных значений коэффициента вязкости. Из рисунка видно, что, не смотря на значительные отличия в R(z), линии тока близки. Более тщательный анализ показывает, что основное отличие в R(z) возникает за счет вклада в его расчеты именно последних узлов сетки. В этом случае вязкий добавок становится того же порядка, что и параметр рг. На рис.21 представлены сравнительные зависимости среднеквадратичного радиуса R(z) (график 1-» 100%) и линий тока (2 - 50% , 3 - 25% от полного тока пучка), соответствующих расчетам по схеме "предиктор-корректор" при наличии искусственной вязкости (с А = 10). Исходные данные, как и предыдущие (нарис. 18-20), соответствуют данным для рис.17.
В целом, расчеты показали, что сколь либо существенных различий в значениях параметров пучка, найденных с помощью двух различных видов вязкости (см. раздел П.2), обнаружено не было. Об этом говорят и графики, приведенные на рис. 22 - 30, где представлена динамика изменения радиальных профилей плотности, скорости и давления пучка, выведенных для различных значений переменной z. Следует отметить, что схема с линейной вязкостью в виде (11.56), более заметно сглаживает "паразитические" осцилляции, возникающие в ходе счета. Особенно отчетливо это наблюдается для радиальной скорости ur. На этих рисунках отражены результаты расчетов параметров
РЭП при начальных условиях вида (Ш.2) с немонотонным характером поведения плотности и давлений. Характерный вид начальных профилей был представлен на рис. 11 (кривая 1). Начальная радиальная скорость, при этом, была равна нулю. Видно, что начальные профили плотности и давления при переходе к новому z - слою изменили свой характер, более напоминая теперь гауссовский.
Фокусировка РЭП в устройствах вывода с дифференциальной откачкой газа
В предыдущем разделе была рассмотрена задача о транспортировке РЭП в специальном устройстве вывода пучка со встречной струей газа. При решении этой задачи была разработана и использована некоторая непрерывная двумерная модель газа, в который инжектируется электронный пучок. В настоящем разделе решается задача с более простой в математическом плане - одномерной кусочно-постоянной среде, которая может быть использована как некоторое приближение при решении задачи о пространственной эволюции РЭП в специальном устройстве вывода с дифференциальной откачкой газа. В каком то смысле это задача о фокусировке пучка в системе газовых линз с определенной шириной и давлением. Принципиальная схема одного из таких устройств [141] с изменяющимся числом секций дифференциальной газовой откачки и магнитных линз представлена на рис.87.
На схеме использованы следующие обозначения: 1 - диагностический модуль ускорителя, 2 - магнитная катушка, 3 - модуль дифференциальной откачки, 4 -диафрагма, 5 - аварийный клапан, 6 - газовая защита вакуумная, 7 - быстродействующий клапан, 8 - газовая защита атмосферная, 9 - сильфонный переходник, 10 - камера для исследования пучка с давлением 0,1 - 105 Па, 11- зона согласования. В зоне согласования может находиться любой газ с давлением 1-50 Па. Диафрагмы в магнитных катушках имеют диаметр 50 мм. Число секций дифференциальной откачки и магнитных катушек в зоне согласования может изменяться. Под схемой показан один из возможных профилей изменения плотности газа в устройстве вывода. Давление на входе порядка 10"4 торр, а на выходе 0.1 торр.
Как видно из рис.87 это устройство, помимо фокусировки системой газовых линз или попросту перепадов давлений в камере вывода, содержит еще и магнитные линзы (катушки с током), которые также призваны обеспечить (и даже усилить) этот процесс. Использование такого совокупного набора магнитных и газовых линз будет рассмотрено нами в следующем разделе. Здесь же будут рассмотрены процессы фокусирования пучка и нахождения оптимального режима его прохождения в устройстве вывода только за счет необходимого перепада давлений газовой среды.
Поскольку нас в основном будет интересовать неравновесная инжекция пучка, то речь идет о рассмотрении процессов релаксации пучка в среде с перепадами давления. Модель компенсации та же, что и была в разделе Ш.4 . Это значит, что уравнение для радиальной компоненты скорости пучка иг имеет вид:
Коэффициент нейтрализации a(s,z,t) объемного заряда задавался в следующем виде: a{s,z,t) = (Y-у -1)/(/ -1), где у- релятивистский фактор, а функция компенсации Y определялась модельной формулой: Y(s,z,t) = {О, / 0, v t, t є [0,1 Іv], 0, t 11v\, где v,- - частота столкновений электронов пучка с частицами среды. Она задается соотношением: v,- = пср-У у где ncp(r,z)- концентрация атомов нейтрального газа (в см-3), Fj, «/3z-c - скорость электронов пучка, о,- сечение ионизации. Для молекул воздуха, ai равно: T,(:)»4.5-10 14ln(f-3)/f, где є - кинетическая энергия электронов пучка (в эВ). При нормальных условиях nCp(r,z)i»0.35-1017-P(r,z), где P{r,z)- давление среды (в торрах). Таким образом, vz- является функцией координат г, z и зависит от энергии электронов РЭП. Среднеквадратичньш угол рассеяния Ф /, описывающий процессы столкновений электронов пучка на атомах среды, задавался приближенной формулой: &st(r,z) = \6к-ncp{r,z)-rj-Z(Z + l)-(m0-с21ЛіпГі83/Z xn -(є/т0-сг)\ где ге(см) - классический радиус электрона, Z - заряд атома (для азота z = 7). При нормальных условиях для воздуха Ф,у/ {r,z)» 3,52-Ю-5 P(r,z).
Давление среды P(r,z) моделировалось кусочно-постоянной функцией, согласно которой камера дрейфа разбивалась на участки определенной длины Ь =[а ,Ь ], границы которой можно было варьировать. В каждом из этих участков давление газа / считалось постоянным. Разумеется, что значения Р (в торах) также можно было варьировать. Для одной из таких конфигураций, моделирующих среду, а именно: / ( ) = {Ю-4, если zє (0,43]; 10"3,еслиzє(43,82]; Ю-2,еслиzє(82,121]; 10 , если z є (121,160]; І, если z є (160,198]; Ро, если z є (198,200] } были проведены численные расчеты. Здесь Ро - давление среды на выходе из камеры дрейфа. Ниже в расчетах оно полагалось равным Ро = 760 торр. Можно показать, что время установления пучка г-1.23-10 сек. Поскольку на всем счетном интервале zє[0,200] выполняется условие Ф5( 3.52 -10 , то при таких условиях столкновительные процессы можно не учитывать, полагая всюду Ф5( = 0. Все численные расчеты были проведены на основе системы моментных уравнений в форме (000). Начальные условия брались следующие: p(0,s) = р0 (\-s), ur(0,s) = u9(0,s) = 0, prr(0,s) = p(pg (0,s) = p0(l-s)H pr(p(P,s) = 0. В эйлеровых переменных для плотности р(0,г) и давлений ргг(0,г) и р (0,г)это соответствует гауссовскому профилю. Таким образом, граница пучка считалась диффузионной. Моменты времени, в которые рассчитьшались параметры пучка — они задают уровень
компенсации, брались следующими:/ = 0.0; 2.5-10 ; 5-10 ; 1.0-10 , 1.25-10 сек.
