Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка задачи. Алгоритмы расчета 26
1.1 Постановка задачи 26
1.2 Эйлерово-лагранжев подход к расчету двумерных нестационарных течений 28
1.3 Тестирование конечно-разностных алгоритмов 33
2 Внутренние волны, генерируемые локальным возмущением поля плотности в жидкости с нелинейным распределением плотности по глубине 41
2.1 Локальное возмущение поля плотности в пикноклине 41
2.2 Влияние вязкости на динамику локального возмущения ноля плотности в пикноклине 51
2.3 Произвольная устойчивая стратификация 58
3 Динамика локального возмущения поля плотности в присутствии фоновых возмущений стратифицированной среды 65
3.1 Наличие «волнового фона» 65
3.2 Локальное возмущение ноля плотности в сдвиговом потоке линейно стратифицированной среды 67
4 Линейные и нелинейные численные модели динамики локального возмущения поля плотности в стратифицированной среде
4.1 Линейная численная модель внутренних волн 78
4.2 Линеаризованные уравнения для задачи о динамике локального возмущения ноля плотности в сдвиговом потоке 83
4.3 Полные уравнения Эйлера 87
Заключение 100
Литература
- Тестирование конечно-разностных алгоритмов
- Влияние вязкости на динамику локального возмущения ноля плотности в пикноклине
- Локальное возмущение ноля плотности в сдвиговом потоке линейно стратифицированной среды
- Линеаризованные уравнения для задачи о динамике локального возмущения ноля плотности в сдвиговом потоке
Тестирование конечно-разностных алгоритмов
Исследование внутренних волн, генерируемых коллапсом однородной жидкости в стратифицированнной среде, выполнено в работах Шули и Хьюза [29] и Коха [30]. Изучение волн проводится на основе линеаризованных уравнений гидродинамики идеальной несжимаемой стратифицированной по плотности жидкости. Проведено исследование фазовой картины внутренних волн, соответствующих точечному источнику возмущений [30]. Получено асимптотическое представление волновой картины для больших удалений от источника возмущений.
Внутренние волны, возникающие в результате деформации области неоднородной жидкости со стратификацией, отличной от стратификации окружающей жидкости, исследовали Хартман и Льис [31]. В частном случае из решения, найденного в [31], можно определить характеристики внутренних волн и в случае «пятна» полностью перемешанной жидкости.
Дальнейшее развитие линейная теория генерируемых коллапсом внутренних волн в линейно-стратифицированной среде получила в работах В.И.Никишова и А.Г. Стеценко [32], И.В. Стуровой [33, 34, 67], В.А. Го-родцова и Э.В. Теодоровича [35],В.А. Городцова [36].
Характеризуя работы [28]-[Зб], отметим следующее. В результате линеаризации уравнений гидродинамики авторы указанных работ получают настолько простые математические модели исследуемого явления, что становится возможным получение точного решения в интегральной форме. На основе интегрального представления решения удаётся получить асимптотику течения на больших расстояниях от области смешения и, в частности, фазовую картину внутренних волн. Однако деформация области смешения (за исключением малых значений времени) в данной поставке не может быть исследована, что вызвано линеаризацией уравнения неразрывности.
В работе Е.В. Егорова, А.С. Тибштова, В.А. Яковлева [37] рассматривается вопрос о влиянии компактных плотностных неоднородностей в пикноклине на устойчивость распространяющихся внутренних волн. В линейной постановке исследуется сдвиговая устойчивость волновых течений. С этой целью проводится интегрирование выраженного в квадратурах решения задачи рассеяния внутренних волн на неоднородностях плотности, причём используются различные модели структуры последних. Получено, что в результате рассеяния фоновых волн на компактных неоднородностях локальные значения чисел Ричардсона Ri волновых течений могут уменьшаться на один — три порядка. В большинстве случаев наибольшее снижение локальных значений Ri имеет место в области, непосредственно прилегающей к пятну неоднородности, на расстоянии от последнего не более толщины пикноклина.
В ряде работ [38]-[40] делается попытка получить асимптотические зависимости геометрических характеристик областей перемешанной жидкости в стратифицированной среде. Статьи [8, 28] уже обсуждались, поэтому остановимся на других работах. Беллом и Дуганом [38] получено асимптотическое решение, позволяющее определить горизонтальный размер области перемешанной жидкости на начальной стадии коллапса: L9{f) = LQ [1 + iV/4 - 0(7V4T4)] , где N = 2тг/Т — частота Вяйсяля-Брента. При получении асимптотического решения используется энергетический метод; при этом предполагается, что на начальной стадии коллапса суммарная энергия пятна сохраняется и первоначально круглая область смешения деформируется в эллипс с горизонтальной полуосью Lx(t); приведённая выше асимпто Введение тика Lx(t) хорошо согласуется с решением задачи Коши при Nt 2. При анализе коллапса областей частично перемешанной жидкости авторы делают выводы об осцилляционном характере поведения Lx{t) (при величине Si 1/2). Сделанные выводы нашли подтверждение в работе [15], где осуществлялось численное моделирование течения на основе полных уравнений Навье-Стокса.
Асимптотическая зависимость от времени горизонтального размера области жидкости с постоянной плотностью в линейно-стратифииирован-ной среде для значений времени Nt 40 получена Као [39]. Отмечается хорошее соответствие с результатами расчётов [15].
Зависимость от времени горизонтального размера однородного «пят-на»на заключительной, вязкой, стадии получена Г.И. Баренблаттом [40]. Так же, как ив [8], горизонтальный размер на этой стадии изменяется по закону Lx(t) tl \ Г.И. Баренблаттом [40] рассмотрена также заключительная стадия эволюции области жидкости прмежуточной плотности вдоль Гранины слоев двухслойной жидкости. При этом получена зависимость Lx(t) /1//8.
Экспериментальная проверка асимптотических зависимостей работы [40] осуществлена Т.О. Абрамян [41]. Оценки времени коллапсирования и характерных геометрических размеров пятен неполностью перемешанной жидкости выполнены А.Г. Зацепиным, К.Н. Фёдоровым [42].
Анализируя работы [38, 39, 40, 42] следует отметить, что они являются в определённом смысле противоположностью работ [29]-[36], в которых получено асимптотическое представление характеристик внутренних волн на больших расстояниях от источника возмущений. В [38]-[40] характеристики волн не изучались.
В цитированных выше работах но изучению коллапса плоских областей перемешанной жидкости речь шла о течениях в линейно-стратифицированной среде. Интерес исследователей привлекают также подобные течения в жидкости с нелинейной стратификацией.
Влияние вязкости на динамику локального возмущения ноля плотности в пикноклине
Здесь / означает номер итерации по нелинейности. Итерации проводились вплоть до выполнения условия сходимости где Q = const 0, 2 — любая из величин у, и, ф. Расчёты выполнялись в первом квадранте плоскости ху; предварительно в рассмотрение вводилась полярная система координат г, в (г2 = х2 + у2, в = зісіав.(у/х)).
Эйлерово-лагранжева система координат при решении задачи (1.33) — (1.34) вводилась следующим образом:
При проведении расчетов решение задачи (1.34) отыскивалось с помощью стандартного метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности; при этом обыкновенное уравнение второго порядка проводилось к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Оценка близости получаемых сеточных решений к точному осуществлялась на основе анализа поведения (в зависимости от параметров алгоритма At, hrj, h$ ) величин
В выражениях (1.42), (1.43) величины у, ф — точное решение задачи о вытягивании плоской иглы [59]; суммирование осуществляется по всем внутренним узлам сетки. Значения у" определялись как положительное решение системы алгебраических уравнений №)V(«n)2 + Wj)-(«n)2 = (rX02. Величины hv, he в (1.42) — (1-43) — шаги разностной сетки в направлении осей 7], в . Расчеты проводились на равномерных сетках с числом ячеек 10 X 10, 20 х 20, 40 х 40. Область интегрирования указана в 1.41). Величина шага сетки At изменялась в пределах: 2 х Ю-2 v5х 10 3. Величина Q в условии сходимости итерапий по нелинейности полагалась равной значению ei, при котором останавливались итерации при численном интегрировании уравнения (1-16) на каждом слое по времени. Длина
Временного интервала О t Т0, на котором отыскивалось сеточное ре шение, связывалась с величиной a(t) (расчеты проводились до значений a(t) и 2). В результате расчетов получено, в частности, что на сетке с числом узлов 20 X 20 и At = Ю- , 0 = 2х 10 величины 6У, 6ф в алго ритме с итерациями по нелинейности ири a(t) = 1.53 равны 2,13 х 10 ; 6,65 X Ю-3 соответственно; в алгоритме без итераций по нелинейности — 2,11 X Ю-3; 6,47 X 10 3; на сетке с числом узлов 40 х 40, At = 5 х 10 , о = 2 X Ю-4 при a(t) = 1,53 эти величины равны 6,18 х 10"4; 1,77 х Ю-3; б, 18x Ю-4; l, 77 x Ю- т т.е. совпадают. Следующая серия результатов чи сленных экспериментов соответствует большим значениям времени. Так, на сетке 10 х 10 ячеек At = 2 х Ю , є0 = 4 х Ю-4 при a(t) = 2,12 для итерационного и безытерационного алгоритмов получены значения 5„, 6ф, равные соответственно 3,23 х Ю-2; 12,9 х 10" ; 3,24 х 10 2; 12,9 х Ю-2. На сетке 20 х 20 ячеек At = 2 х Ю , 4 х Ю- итерационный алго ритм дает ири a(t) = 2,13 значения 6У = 9,5 х Ю-3, 6 = 2,98 х Ю-2; этот же алгоритм при аналогичном значении EQ и At = 10 дает значения 6у, 6ф, совпадающие с предыдущими с точностью до трех знаков; при этом число итераций уменьшается в сравнении с At = 2 х Ю-2 примерно в полтора раза. Безытерационный алгоритм дает аналогичные значения 6у = 9, 5 X Ю-3; 5ф = 2, 99 8 10 2. На сетке 40 х 40 узлов при иt = = 5 10 3; є0 = 2 X Ю ; а(г) = 2,12 по алгоритму с итерациями по нелинейности получились величины 6У = 2,89 х Ю , = =,16 6 х0 3" пп оезытерационному — 2,89 X 10 3; 7,93 х 10 3.
Таким образом, данные численных экспериментов иллюстрируют (применительно к рассмотренному тесту) сходимость как итерационного, так и безытерационного алгоритмов. Результаты расчетов получились близкими друг другу. Вместе с тем, следует отметить, что алгоритм с итерациями по нелинейности является существенно более сложным в реализации и требует большого объема памяти ЭВМ. Результаты сравнения итерационного и безытерационного алгоритмов на примере расчета стратифицированного течения будут приведены ниже. Отметим также, что рассмотренная реализация итераций по нелинейности ни в коей мере не претендует на оптимальность. Автор ставил своей целью лишь демонстрацию факта близости решений, получаемых по итерационному и безытерационному алгоритмам.
Основные результаты Главы 1 сводятся к следующему. Рассмотрена задача о динамике локального возмущения поля плотности в устойчиво стратифицированной среде. Для описания течения привлекается система уравнений Эйлера в приближении Буссинеска. Построена численная модель течения, основанная на применении эйлерово-лагранжевои системы координат; осуществлено её тестирование.
Локальное возмущение ноля плотности в сдвиговом потоке линейно стратифицированной среды
В её столбцах 1-ІЙ приведены обезразмеренные максимальные значения амплитуд внутренних волн для значений Re-1 = 0; Re = 104; Re = 10 . Можно видеть, что в идеальной жидкости для t/T 4 максимальная амплитуда внутренних волн практически постоянна. Небольшое уменьшение при t/T = 14 обусловлено влиянием размеров расчётной области (расчёты проводились в прямоугольнике 15R х 2.5І?; число узлов сетки - 150 X 17, подробности построения сетки изложены в [47]). Так же, как и рис. 2.9 2.10 данные из таблицы демонстрируют влияние вязкости на генерируемые внутренние волны.
Изменение во времени абсциссы максимума модуля функции тока в зависимости от числа Рейнольдса приведено на рис. 2.11; графики изменения горизонтального размера зоны смешения приведены на рис. 2.12. Можно видеть, что при небольших значениях времени графики функций, изображённых на рис. 2.11, 2.12, близки; при t/T 6 заметно отставание горизонтального размера зоны смешения, связанное с неполным перемешиванием жидкости в ней в начальный момент времени. При больших значениях времени рост горизонтального размера прекращается совсем.
Остановимся на контроле точности проведения расчетов при Re = 104. Наряду с расчетом, результаты которого приведены выше, проводился расчет в той же сеточной области с числом ячеек 200 X 50, At = Т/800. В сравнении с обычным вариантом (расчетная область 10R х 5Й; сетка 100 X 34 ячеек, At = Т/400) в два раза уменьшался шаг сетки в направле Глава 2. Внутренние волны, генерируемые локальным.
Изменение во времени горизонтального размера области смешения в случае идеальной (сплошная линия) и вязкой жидкости: Re = 10 (пунктирная), Re = 10 (штрихпунктирная). нии оси х; сетка в направлении оси у измельчалась в два раза в области О 1у\ О, 72; х = 10. Получено, в частности, что при t/T = 4 максимальное значение функции тока фт на сетке 100 х 34 ячеек равно 0,417 х Ю-1; на сетке с числом ячеек 200 х 50 равно О, 450 х Ю-1\
Отметим, что в случае идеальной жидкости скорость перемещения первого (основного) гребня внутренних волн в направлении оси х для t/T 4 равна « 0.150-R/T . Эта скорость вычислялась как скорость изменения абсциссы максимума модуля функции тока (рис. 2.11). Если воспользоваться асимптотическим соотношением (5.36) - (5.37) работы [62] то для максимальной амплитуды волн А = A/R G [0.32; 0.33] скорость перемещения волны W = с /Я [0.144; 0.145]. В еличина сс ычисляется для первого (основного) гребня волны, аналогичной изображённой сплошной кривой на рис. 2.9. Сравнение расчётных данных с результатами [62] позволяет говорить об удоволетворительном их согласии. В случае вязкой жидкости по аналогии с работой [72] (где рассматривались уе Глава 2. Внутренние волны, генерируемые локальным... 57
динённые внутренние волны на границе раздела двух жидкостей разной плотности) скорость распространения внутренних волн при найденной в расчётах максимальной амплитуде А = A{t) определялась как непосредственно из обработки расчётных данных, так и из соотношения (2.5). Получено, в частности, что при Re = 10 ; 10 и t/T = 10 непосредственная обработка расчётных данных даёт значения с \ равные е.138; ;.0953; соотношение (2.5) приводит к значениям с = 0.136; 0.102. При других значениях t/T результаты аналогичны,
Наряду с «узким» пикноклином (2.3), /3 = 0.1 рассматривался «широкий» пикноклин (2.3), /3 = 0.5. Расчётные данные в виде изолиний р — 5(0.475) приведены для момента времени t/T = 8 на рис. 2.13. Сплошная кривая соответствует Re-1 = О, пунктирная — Re = 10 . Основное воздействие вязкости проявляется в «поглощении» коротковолновой части линии р = const. Расчёты выполнялись в первом квадранте плоскости ху в прямоугольнике размером ЗОЕ х5Лс числом ячеек 300 х 50. На рис. 2.13 приведена лишь часть расчётной области.
Рис. 2.13. «Широкий» пикноклин (2.3), Ь = 0.5. Изолинии р = ,5S(0.475) приведены для момента времени t/T = 8. Сплошная кривая соответствует Re-1 = О, пунктирная — Re=10 .
Для случая идеальной жидкости, распределения р(у) типа (2.3), /3 = 0.1 проводился расчет с использованием приведенного в разделе 1.2 Главы 1 алгоритма с итерациями по нелинейности. При величине є0 = 5 х Ю- значения фт, Р, К для t/T = 10 с использованием итерационного алгоритма равны соответственно 0,494 х 10"1, 0,926 х 10 2; 0,781 х 10 2; с
Линеаризованные уравнения для задачи о динамике локального возмущения ноля плотности в сдвиговом потоке
Выполнен численный анализ течения, генерируемого локальным возмущением поля плотности в сдвиговом потоке линейно-стратифицированноЁ по плотности жидкости, в связи с тем, что симметрия (антисимметрия) течения при рассматриваемых ниже вариантах параметров сдвигового течения нарушается, peшение отыскивалось в прямоугольнике —X х X, -Y у У (в настоящих расчётах полагалось X = 14, Y = 7). При этом на боковых границах прямоугольника ставились «мягкие» краевые условия, в качестве которых выбирались условия Неймана для искомых величин я/), W, р. Начальное распределение плотности задавалось в соответствии с (1.21). Шаг сетки h в направлении оси полагался равным 0,2. Координатные линии п = const строились ьледующим образомм При х = X выбирались значения y0,...,yj = yj-i + hj, j = 1,...,35; h0 = 0.117Д, hj = h0qi, j = 1,..., 35; q = 1, 025. Линии n = щ при и = 0 отождествлялись с линиями р — Psijjj)- В нижней полуплоскости сетка строилась аналогичным образом.
На верхней границе и нижней границе ставились условия невозмущённого потока. Рис. 3.6 получен для течения, генерируемого локальным возмущением поля плотности в горизонтально однородном сдвиговом потоке с распределением скорости в начальный момент времени: F = О, U(у) = ау, а = const. (3-3) На рис. З.ба представлены линии уровня дефекта функциитока фх = ф-ау2 = фТ/В2 - a(y/R)2/2, полученные для t/2-кТ = 3 и а = 0,14 (Ri = l/T2(dU/dyf = 49). На рис. 3.66 приведены линии фх = const, соответствующие тому же значению t и а = 0. Видно, что сдвиговому Динамика локального возмущения поля плотности в присутствии... 68 случаю соответствует значительно меньшее число конвективных вихрей в плоскости течения.
На рис. 3.7 приведены линии р = const = ps(3, 84) для моментов времени t/T = 1; 3; 5. Сплошные кривые на этих рисунках соответствуют сдвиговому течению; штриховые — U = V — 0. Можно видеть, что при небольших значениях времени число гребней и впадин в случаях а = Ои а = 0.14 (t/T = 1, рис. 3.7а) совпадает; имеется лишь небольшое искажение волновой картины. При t/T = 5 (рис. 3.7б) -сдвиговое течение характеризуется наличием 4 гребней и 4 внадин; в случае коллапса локального возмущения в покоящейся жидкости имеется 7 гребней и 8 впадин. В связи с этим можно говорить о «поглощении» коротковолновой составляющей внутренних волн сдвиговым течением.
Эволюция зоны смешения иллюстрируется рис. 3.8, 3.9. Рис. 3.9 соответствует коллапсу в покоящейся жидкости; рис. 3.8 — сдвиговому течению (а = 0,14; Ri = 49). Динамика зоны смешения прослеживалась путём введения в неё в начальный момент маркеров. Надо отметить, что при использовании эйлерово-лагранжевых переменных метод маркеров существенно упрощается, так маркеры могут перемещаться лишь вдоль координатных линий г) = const. Видно, что ззна смешения ппетерпевает значительное искажение.
С целью проверки влияния размеров сеточной области на полученный эффект «поглощения» проводились расчёты в прямоугольнике меньшего размера -X і X, -Y у У, X = 7, У = 3,5. Качественное поведение линий р = const было аналогичным приведённому выше. Проводились расчёты с другим значением параметра а = О, 07 (Ri = 196). В этих случаях также наблюдался эффект «поглощения».
Рассматривалось также кусочно-линейное распределение ЇЇ (у) вида Вычисления выполнялись в области -7 х 7, -3,5 у 3,5. Максимальное значение числа Ричардсона Ri в варианте (3.4) равно 4. Качественное поведение линий р = const для у 1 оказалось также аналогичным рассмотренному выше варианту линейного сдвигового течения.
В ходе расчётов варьировались краевые условия на границах прямоугольника —X х X, —У у Y. В качестве краевого условия для дефекта функции тока ф\ использовались как нулевые условия на всей границе прямоугольника, так и «мягкие» условия, в качестве которых выбиралось условие Неймана дфг/д = О на боковых гранииах прямоугольника X = X.
Основные результаты Главы 3 сводятся к следующему. Выполнено численное моделирование течения, генерируемого локальным возмущением поля плотности в стратифицированной жидкости ири наличии фоновых течений. Рассмотрены варианты линейного сдвигового течения и волнового фона. Показано, что фоновое течение может приводить существенному искажению основного течения.
