Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Линейная теория гравитационных возмущений изотропного мира 13
1.1 Однородные и изотропные модели вселенной Фридмана . 13
1.2 Плосковолновые возмущения мира Фридмана 18
1.3 Нестационарные сферически-симметричные решения уравнений Эйнштейна 27
1.4 Локализованные сферические возмущения изотропного мира Фридмана 30
1.5 Усреднение локальных флуктуации метрики изотропного мира 36
Глава II. Формулировка математической модели 43
П.1 Сферически-симметричное пространство-время 43
11.2 Фоновое пространство-время 46
11.3 Линейные сферически-симметричные возмущения пространства-времени Фридмана 50
11.3.1 Уравнения для сферически-симметричных возмущений . 50
11.3.2 Выделение частицеподобных решений 51
11.3.3 Основная теорема 55
11.4 Эволюционные уравнения для возмущений при постоянном коэффициенте баротропы 56
Оглавление
II.4.1 Эволюция массы частицеподобного источника 56
П.4.2 Эволюционное уравнение для несингулярной моды возмущений 58
11.5 Уравнения модели сферических возмущений 59
11.6 Формулировка задачи Коши для локализованных сферических возмущений 60
11.7 Решение задачи Коши для локализованных возмущений методом разделения переменных 63
Глава III. Запаздывающие решения 68
III. 1 Общее решение эволюционного уравнения в виде степенного ряда и частные случаи 68
III. 1.1 Уравнения модели сферических возмущений 68
III. 1.2 Общее решение класса С в области возмущения; к ф о, 1 + к ф 0 70
Ш.1.3 Случай N=3 72
III. 1.4 Нерелятивистская материя: к = 0 73
III. 1.5 Инфляционный случай: к + 1'=0 73
III.2 Запаздывающие сферические возмущения в ультрарелятивистской вселенной 74
III.2.1 Граничные условия для запаздывающих решений . 74
Ш.2.2 Решения с нулевыми граничными условиями на нулевом звуковом горизонте 75
Ш.2.3 Исследование запаздывающего решения 79
Ш.З Итоги исследования 82
Глава IV. Автомодельные решения 83
IV.1 Автомодельные решения 84
IV. 1.1 Общее автомодельное решение 84
IV. 1.2 Автомодельное решение с частицеподобным источником (/І ф 0) 86
IV. 1.3 Решение без частицеподобного источника 90
IV.2 Исследование автомодельных решений 92
IV.2.1 Производные потенциальных функций 92
IV.2.2 Эволюция распределения плотности энергии в сфе
рическом возмущении 93
IV.2.3 Эволюция радиальной скорости жидкости в сфери
ческом возмущении 96
Заключение 97
Список литературы
- Плосковолновые возмущения мира Фридмана
- Линейные сферически-симметричные возмущения пространства-времени Фридмана
- Общее решение класса С в области возмущения; к ф о, 1 + к ф 0
- Решение без частицеподобного источника
Введение к работе
Известна и общепризнана роль линейной теории гравитационной неустойчивости однородной изотропной вселенной, развитой в работах Е.М. Лиф-шица [1], Е.М. Лифшица и И.М. Халатникова [2] (см. также [3]), в современной теории образования крупномасштабной структуры вселенной. Можно сказать, что теория гравитационных возмущений однородной изотропной вселенной является ядром теории образования структуры вселенной [4], [5], [6]. На этой теории базируется, например, широко распространенная, так называемая, "модель блинов" Я.Б. Зельдовича, А.Г. Дорошкевича, рассматривающая нелинейные стадии развития малых плосковолновых возмущений, которая удовлетворительно объясняет образование галактик и метагалактик.
Одним из основных положений линейной теории гравитационных возмущений однородной изотропной вселенной является положение о волновом представлении возмущений компонент метрики, а также и физических величин - плотности энергии, давления, скорости:
/(t,r)=F,(t)eikr, (1)
где к - волновой вектор. С формальной математической точки зрения представление (1) возмущений метрики и материи реализуется вследствие однородности и изотропии трехмерного пространства Фридмана. Линейным самосопряженным оператором второго порядка на этом пространстве является обычный оператор Лапласа, собственными функциями которого в свою очередь являются плоские волны вида егкг. Но тогда известная тео-
Введение
рема о возможности разложения любой аналитической функции по полному набору собственных функций самосопряженного линейного оператора и обеспечивает возможность представления любой аналитической функции в трехмерном метрическом пространстве в виде интеграла Фурье:
Лі) = ^з///^,к)еікгА. (2)
Однако, необходимо подчеркнуть два обстоятельства, которые часто остаются в тени при исследовании проблемы образования структуры вселенной. Во-первых, применение представлений (1) и (2) предполагает полноту набора собственных функций, что в свою очередь требует определения эволюции всех гармоник F(t, к), т.е., одновременное знание гармоник как с малыми, так и очень большими значениями волнового вектора. Это, в свою очередь, означает, что необходимо знание гармоник возмущений метрики и физических полей, в том числе, и за световым горизонтом. Во-вторых, с физической точки зрения трудно объяснить существование плоской волны с бесконечным линейным размером волнового фронта во вселенной, имеющей конечную историю. Никакие физические процессы не могут связать причинно - следственными связями разные бесконечно удаленные концы фронта такой волны. Указанное выше первое обстоятельство в конечном итоге также является связано с нарушением принципа причинности, но уже в другом направлении - направлении волнового вектора плоской волны. Следует отметить, что в современной космологии существуют модели, снимающие противоречие линейно-волновой теории возмущений принципу причинности. Все эти модели так или иначе связаны с введением так называемого инфляционного этапа расширения вселенной, когда скорость расширения экспоненциально большая, что дает возможность, в принципе, на этом этапе причинно связаться областям за световым горизонтом (см., например, [7], [8]). Однако, и инфляционные модели в настоящее время сталкиваются со значительными трудностями и претерпевают различные
модификации в связи, во-первых, с отрицательными результатами по регистрации так называемых Хиггсовых скалярных бозонов, обеспечивающих в космологических моделях инфляционную стадию, а, во-вторых, в связи с более точными измерениями параметров расширения вселенной, приведшими к необходимости введения в космологическую модель так называемой "темной материи" и "темной энергии".
С другой стороны принцип причинности применительно к космологии с конечным временем жизни вселенной удовлетворительно согласуется с представлением о первоначальных локализованных внутри светового горизонта возмущениях. При эволюции таких возмущений первоначальное отличие симметрии возмущений от сферической будет играть все меньшую роль с ростом космологического времени. Такие гравитационные возмущения, возникшие на весьма ранних, например, планковских временах, с течением времени будут все более восстанавливать сферическую симметрию. Такая модель возвращает нас к представлениям Эйнштейна о вселенной, похожей на швейцарский сыр, в котором роль пузырьков играют сферические гравитационные возмущения.
При рассмотрении проблемы динамики сферических возмущений однородной изотропной вселенной важнейшую роль играет учет сохранения полной энергии-массы изотропного мира. Действительно, представим, что полная масса-энергия сферического возмущения моментального радиуса г отлична от нуля. Тогда ньютоново поле этой избыточной массы с самого начала вселенной должно присутствовать на бесконечности и никуда исчезнуть не может. Существование этого поля как нарушает принцип однородности вселенной, так и принцип причинности. Таким образом, возникает понятие локализованного возмущения, полная энергия-масса которого должна быть равна нулю, так что вне области возмущения внешние наблюдатели не смогут получить информации о нем. Интуитивно понятно, что в изотропной однородной материи передний фронт сферических возмуще-
Введение
ний должен распространяться со скоростью звука. Такие локализованные возмущения и могут осуществить модель швейцарского сыра. Несмотря на множество исследований по точным и численным решениям уравнений Эйнштейна для сферической симметрии, задача о локализованных сферических возмущениях практически не исследовалась. Задача в такой постановке впервые рассматривалась Ю.Г.Игнатьевым [9], Ю.Г. Игнатьевым и А.А. Поповым [10], [11], [12], [13] в связи с проблемой построения модели массивных гравитирующих частиц и проблемы усреднения микроскопической метрики. Следует заметить, что отдельные оценки, связанные с локализованными сферическими возмущениями, были сделаны другими авторами в связи с теорией первичных космологических черных дыр.
Таким образом, проблема построения и исследования динамических моделей локализованных сферических возмущений актуальна как для статистической теории гравитационного взаимодействия, так и для космологии ранних стадий вселенной. Необходимо отметить, что решение проблемы динамики локализованных сферических возмущений актуальна и интересна и для самого математического моделирования, поскольку в решении этой проблемы сталкиваются как классические методы математической физики и математического моделирования, так и современные численные и компьютерные методы исследований.
Итак, целью данной диссертационной работы является построение и исследование методами математического моделирования и компьютерной математики динамических моделей локализованных сферических возмущений однородной и изотропной пространственно плоской вселенной.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:
1. Определяются основные уравнения, выявляются и находятся основные соотношения математической модели, включая начально - граничные условия;
Проводится математическое исследование модели и выявляются ее наиболее общие строгие свойства;
Формулируется задача Коши для локализованных сферических возмущений и находится ее общее решение в форме интеграла Фурье;
Находится и исследуется класс точных запаздывающих решений в степенных по радиальной переменной рядах.
Находится класс автомодельных запаздывающих решений для жидкости с произвольным показателем баротропы.
Проводится численное моделирование полученных решений, на основе которого исследуется динамика локализованных возмущений.
Проводится сравнение полученных результатов с результатами других авторов и анализ общих свойств полученной математической модели.
Диссертационная работа состоит из Введения, четырех Глав, Заключения, Списка литературы, содержащего 84 наименования, и одного Приложения. Объем диссертации составляет 128 страниц. В диссертации содержится 32 рисунка.
Первая Глава носит обзорный характер, - в ней кратко описана математическая модель однородной и изотропной вселенной и модель Лифшица линейных плоских возмущений вселенной Фридмана. Далее в этой же главе дан краткий обзор основных работ по решению уравнений Эйнштейна для сферической симметрии, приведены как статические, так и нестатические решения. В этой же главе описаны результаты работ Ю.Г.Игнатьева и А.А.Попова по построению математических моделей локализованных сферических возмущений и применению этих моделей в статистической теории гравитационного взаимодействия.
Вторая Глава диссертации посвящена формулировки основных уравнений и соотношений математической модели динамики линейных локализо-
Введение
ванных сферических возмущений однородного изотропного мира Фридмана. В отличии от работ большинства авторов исследование проводится не в синхронной с возмущениями системой отсчета, в синхронной с невозмущенным решением системе отсчета, реализуемой в изотропных координатах. В частности, проводится разложение уравнений Эйнштейна по малости сферических возмущений в изотропных координатах, их исследование и упрощение с учетом глобальных свойств модели. Показано, что всю систему уравнений Эйнштейна для малых возмущений можно свести к двум независимым линейным дифференциальным уравнениям в частных производных, при этом физические величины возмущений полностью определяются решением указанных уравнений. Далее проводится выделение частицепо-добного члена в решении, соответствующего сингулярной части плотности энергии. В разделе II.3.3. доказывается теорема об однозначности выде-, ления сингулярности. В результате основные уравнения модели сведены к двум: одному обыкновенному линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка, описывающего эволюцию массы центрального частиподобного источника, и одному замкнутому линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка в частных производных относительно потенциальной функции возмущения. Показано, что для локализованных возмущений решение второго уравнения определяются посредством начально-граничных условий через решения первого. Проводится моделирование эволюционного уравнения для массы частицепо-добного источника. Далее во Второй Главе проводится постановка задачи Коши для локализованных сферических возмущений и находится ее решение в виде интеграла Фурье.
Третья Глава диссертации посвящена исследованию запаздывающих решений уравнений модели в классе функций, представимых полиномами радиальной переменной внутри области локализации возмущения. Сформулирована задача с начально-граничными условиями для сферических
локализованных возмущений. На основе общего анализа показано, что такие решения могут быть только нечетными по радиальной переменной. В результате исследования получены общие рекуррентные отношения на коэффициенты полиномиальных функций. Точные запаздывающие решения на таком пути удается получить лишь в случае ультрарелятивистского уравнения состояния р = l/Зє. Доказано, что в этом случае запаздывающие решения могут представляться лишь полиномом третьей степени. Таким образом, доказана теорема, что математическая модель локализованных запаздывающих линейных возмущений для ультрарелятивистской среды может лишь совпадать с решением, полученным ранее, как частным, в цитированных выше работах Ю.Г.Игнатьева и А.А. Попова [9], [10], [11], [12], [13]. Таким образом, результат цитированных работ, полученный как частный, оказался универсальным. Кроме того в отличие от цитированных работ в Третьей Главе построены численные компьютерные модели, в том числе и анимационные, динамики возмущений.
Четвертая Глава диссертации посвящена поиску класса автомодельных решений системы дифференциальных уравнений модели и исследованию этих решений комплексным применением аналитических и численных компьютерных методов исследования в системе компьютерной математики, (СКМ). Доказано, что не существует локализованных запаздывающих автомодельных решений в классе функций С1 без центрального частицепо-добного источника. В случае наличия центрального частицеподобного источника построено и исследовано точное локализованное автомодельное запаздывающее решение класса С1 для произвольного коэффициента ба-ротропы, выражающееся через гипергеометрические функции. Показано, что это решение содержит как частные случаи решения, полученные ранее Ю.Г. Игнатьевым и А.А. Поповым для ультрарелятивистской и нерелятивистской среды [9], [10], [11], [12], [13]. В этих случаях, а также в случае предельно - жесткого уравнения состояния полученное решение сведено к
Введение
элементарным функциям. Вычислены и исследованы физические характеристики материальной среды - ее радиальная скорость и плотность энергии. Построены компьютерные модели динамики возмущений. Показано, что при показателе баротропы к < 1/3 найденные запаздывающие автомодельные решения имеют непрерывные вторые производные на звуковом горизонте, при к, = 1/3 вторые производные претерпевают на звуковом горизонте конечный скачок, а при к > 1/3 - бесконечный. Аналогично ведут себя и физические характеристики среды.
В Заключении кратко перечислены основные новые результаты диссертационной работы.
В Приложении А описаны программные процедуры в СКМ для компьютерного моделирования динамики локализованных сферических возмущений.
Плосковолновые возмущения мира Фридмана
В этом разделе мы дадим краткий обзор результатов теории эволюции малых плосковолновых возмущений изотропного мира. Вопрос о поведении 1.2. Плосковолновые возмущения мира Фридмана малых возмущений в изотропной модели, т.е. о ее гравитационной устойчивости впервые рассматривался Лифшицем [1], а затем Лифшицем и Ха-латниковым [2]; результаты этих исследований содержатся в книге Ландау и Лифшица [3], а результаты более поздних исследований - в [4, 6] и др. В этих работах возмущения исследуются в небольших областях пространства, размеры которых малы по сравнению с радиусом а.
В этом случае пространственная метрика может быть принята в первом приближении евклидовой, так что метрика (1.1) или (1.2) заменится метрикой dl2 = a2{rj){dx2 + dy2 + dz2), (1.34) где x, у, z - декартовы координаты, измеренные в единицах радиуса а; именно эти координаты и полагаются малыми по сравнению с 1. В качестве временной координаты используется переменная т].
Далее возмущенное гравитационное поле описывается в синхронной системе отсчета, в которой, по-определению, налагается условие на компоненты возмущений метрического тензора4: 9ІА = 5i4; = 5g00 = Sg0a = 0. (1.35)
Рассматривая условие нормировки 4-скорости жидкости: giktfu = 1 и разлагая его по малости возмущений скорости 8иг с учетом того факта, что в невозмущенном состоянии жидкость покоится в синхронной системе отсчета: и1 = 5\/а, в линейном приближении получим: 6и = 0. (1.36) 4Невозмущенные значения величин мы будем обозначать в этом параграфе без дополнительного индекса (0). Кроме того в данном разделе (и только в нем), мы будем полагать временную координату
Линейная теория гравитационных возмущений изотропного мира
Трехмерные возмущения скорости 5ua при этом отличны от нуля, поэтому система отсчета не является сопутствующей. Обозначая далее возмущения пространственного метрического тензора посредством hap = hap = -Sgap, (1-37) найдем в линейном приближении: 8-fP = -haP, (1.38) причем поднимание индексов у hap осуществляется с помощью невозмущенной МетрИКИ 7а/3-5 В линейном приближении малые возмущения гравитационного поля удовлетворяют уравнениям: «Ш? - -6{6R = 5Т\. (1.39) В синхронной системе отсчета вариации компонент тензора энергии-импульса идеальной жидкости Тк = {е + р)и1ик-р5[ (1.40) равны: 5ТІ = -б&р, 8Т% = а{р + е)8иа, 6Т0 = бе. (1.41) Вследствие малости относительных возмущений плотности энергии и давления: «1; «1 (1.42) ер в предположении справедливости уравнения состояния, т.е., соотношения вида: р = р(е) имеет место приближенное соотношение: 5р = -5е. (1.43) ае Подробности см. в [69], [70], а также [71]. 1.2. Плосковолновые возмущения мира Фридмана Таким образом, можно упростить выражение для возмущения тензора энергии-импульса идеальной жидкости: STl = - фП- (1-44)
Общие формулы для возмущений тензора Римана, Риччи и скалярной кривизны содержатся в работах SRf содержатся в упомянутых работах [69], [70], [71], но их можно получить также варьированием уравнений Эйнштейна (1.10)[З]6. В результате вычислений возмущения смешанных компонент тензора Риччи принимают вид: 5RP = —(h + hp 7 - hPn - h P) - —//" - —h? - —h 5p 2a2v «,7 7,« «,7 ,« 2a2 a a3 a 2o3 8 = - - = - a-«) 51$ = -J h" (h = /г"). Здесь как нижние, так и верхние индексы после запятой означают простые дифференцирования по координатам ха, означает дифференцирование по временной координате т\. Уравнения же для возмущений / приводятся к виду: №,? + Л?;2 - hi - //) + Af + 2 / = 0, аф/3, Возмущения плотности и скорости материи могут быть с помощью выражений (1.39),(1.41), из которых для относительного изменения плотности получается: - = А- (SRo - Ьп) = Г-, ЫЛ - h + —h1) . (1.47) Важным пунктом цитированных выше работ является выделение нефизических мод возмущений, которые могут быть исключены допустимыми преобразованиями синхронной системы отсчета.
Линейные сферически-симметричные возмущения пространства-времени Фридмана
Такие решения соответствуют запаздывающим решениям уравнений гиперболического типа. Физический смысл этих решений мы обсудим позже. Тогда согласно (11.38) должно быть (см. [13]): JA + &/= 0, = 8\ = -5v. (11.40)
В работе [13] исследованы сферически симметричные возмущения только в ультрарелятивистской вселенной (к = 1/3), но при этом получены решения линеаризованных уравнений Эйнштейна для всех типов вселенной Фридмана. В этой статье мы ограничимся случаем пространственно-плоской вселенной [k = 0), но коэффициент баротропы к будем считать произвольным. Таким образом, с учетом фоновых уравнений Эйнштейна (11.19)-(11.20), которые в случае к = 0 имеют своим следствием: 2 a a 2- = —(1-3/ ), (П.41) a ar получим замкнутую систему трех дифференциальных уравнений Эйнштейна, линеаризованных вокруг фонового решения (11.15), относительно трех неизвестных, 5v(r,rj), 6є(г,г)), v(r,7]: 5ї + 3 г - - 3«&A = 8тга25р] (11.42) a a1 Ш- + Zbv-, - - -bv = -8тга26є; (11.43) a a1 Vі or or 1 d ——аби = -8ттє0(1 + ф. (H.44) a6 or] Последнее из этой системы уравнений, (11.44), является определением радиальной скорости, v(r,rj). Одно из уравнений (11.42),(11.43) определяет возмущение плотности энергии, 5є(г,г).
Имея ввиду в дальнейшем рассмотрение и частицеподобных решений уравнений для возмущений, рассмотрим канонические уравнения движения Глава П. Формулировка математической модели классической гравитирующей точечной частицы в гравитационном поле, которой соответствует J-образное распределение плотности энергии. В результате двух конкурирующих процессов - аккреции окружающей материальной среды и обратного процесса - испарения вещества масса классической точечной частицы в материальной среде не может быть постоянной. Поэтому запишем инвариантную функцию Гамильтона классической массивной частицы в виде4: П(х, Р) = VgikPiPk - m, (=0), где m = m(s) - скалярная функция. Из (11.44) получаем соотношение нормировки: (P,P)=m2(s). (11.45) Релятивистские канонические уравнения движения частицы имеют вид: ds дРі ds дх1 [ } Из первой пары канонических уравнений найдем с учетом соотношения нормировки: dx1 Рг dul duk /тт Л„. Г = — = 9ik-r-r = І- И.47 ds m ds ds Вторая пара канонических уравнений движения дает уравнения Лагранжа классической массивной частицы переменной массы: d2xl _.. dxj dxk .. N ( ,-,. dul duk\ /TT ,o4 В сферически-симметричной метрике решением уравнений движения (11.47), не нарушающим сферической симметрии, является линия времени, которая соответствует состоянию покоя частицы в начале координат: г = 0, хА = rj, (11.49) Подробности см. в [66] при этом масса покоя может являться произвольной функцией координатного времени: m = m(r]). (11.50) Запишем в инвариантном виде плотность энергии, соответствующую сингулярной ее части: 5ет = m{r,)5{r), (11.51) где 5{г) - инвариантная (5-функция Дирака в сферических координатах, понимаемая в смысле интегрального отношения: ! d?V53(x) = a3 f d[l ! r2dr6(r) = 4тга3 f 5(r)r2dr = 1, (11.52) о о так что: / d6V5em = m{rj). (11.53) Отбрасывая временно производные по переменной г] в левой части уравнения (11.42), имеем тогда для сингулярной части, соответствующей сингулярной части плотности, уравнение: Г2 -5Р = 87га2т{7])5{г). (11.54) г1 or or Умножая обе части (11.54) на ar2dr и интегрируя, проводя затем интегрирование по частям в левой части уравнения и полагая при этом: limr2 = 0 (11.55) г-»о дг получим: аг2 = 2т(ту). (11.56) or Интегрируя еще раз это уравнение, найдем: Su = - аг Таким образом, имеет место соотношение, аналогичное известному с учетом переопределения инвариантной (5-функции (11.52):
Общее решение класса С в области возмущения; к ф о, 1 + к ф 0
Итак, как было показано в предыдущем разделе (см. также [74]), сингулярная часть потенциальной функции 5v(r,rj) однозначно выделяется представлением (III.2), в котором потенциальная функция Ф(г, vj) несингулярна в начале координат, т.е., удовлетворяет соотношениям (III.5), вследствие которых, в частности: Ф(0,77) = 0. (111.14)
Полагая далее, что в конечной окрестности г = 0;гє[0,го), в которой локализовано возмущение метрики, потенциальная функция Ф(г, 77) принадлежит классу С, представим решение эволюционного уравнения (III.6), удовлетворяющее условиям (III.5), в виде ряда по степеням радиальной переменной г: оо Ф(Г,Г7) = ФП(77)Г". (111.15) п=1
Подчеркнем, что разложение (III. 15) не содержит члена с нулевой степенью г вследствие соотношения (III.14). Подставляя функцию Ф(г, iff)) в форме (III.15) в эволюционное уравнение (III.6) и приравнивая нулю коэффициенты при каждой степени г в полученном уравнении, получим цепочку III. 1. Общее решение эволюционного уравнения в виде степенного ряда и частные случаи зацепляющихся уравнений: ,т, п ,тг , 0 2 +1 6(1 +/с) Фгта+1 /0 . own , oWr Ф2т = 0; Ф2т+і + 2 ч 5- = Ч2т + 3)(2т + 2)Ф2т+3; (111.16) т = 0,оо, (/= 0,-1).
Таким образом, при к 0 общее решение эволюционного уравнения (III.6) для потенциальной функции Ф(г, г]) представляет собой ряд по нечетным степеням радиальной переменной г, т.е., при к ф 0,-1 потенциальная функция Ф(г, rj) класса С является нечетной функцией радиальной переменной г: оо (r,V) = J2 2P+i(v)r2p+1. (ІИ.17)
Для частных точных решений, отвечающих специальным физическим условиям, этот ряд можно оборвать на любом нечетном п = N 3. В этом случае для последнего члена ряда, полагая Фп(т7) = 0; n W = 2p+l, (р = 0,1,...), (111.18) получаем из (III. 16) замкнутое уравнение:
Поскольку это уравнение ничем не отличается от эволюционного уравнения для массы частицеподобного источника, его общее решение с точностью до переобозначений будет совпадать с решением (III.8): Ф2р+і = Ср+г)Ш-« + Cp_r]-3J&, (111.20) где С\ и Ср_ - некоторые константы.
Подставляя это решение в предпоследнее уравнение цепочки (III. 16), получим уравнение для определения Ф2р-і: Ф2р_1 + 2 -1±! = «(2Р+3)(2Р+2) [С?„ + CU (111.21) Вследствие линейности этого уравнения его общее решение является суммой общего решения СООТВеТСТВуЮЩеГО ОДНОРОДНОГО уравнения, Ф р-Ь и частного решения неоднородного, &lp-i- Но общее решение однородного совпадает с уже упоминавшемся решением (Ш.8), а частное решение можно представить в виде суммы двух решений, соответствующих двум членам в правой части (II 1.19). Очевидно поэтому, что соответствующее частное решение имеет вид: 4-і = Л-і +2 + р_1»Г +2. (ПІ.22) Таким образом, найдем:
Подставляя полученные решения в предыдущие уравнения, повторим аналогичные выкладки. Тем самым мы указали алгоритм построения общего решения эволюционного уравнения (III.8), сводящийся к повторению операций дифференцирования. Это общее решение, соответствующее наивысшей степени N = (2р+1) радиальной переменной, содержит 2N произвольных констант, появляющихся всякий раз при решении соответствующих однородных дифференциальных уравнений.
Решение без частицеподобного источника
В этом случае необходимо использовать функциональное соотношение для гипергеометрической функции [79], которое применительно к (IV.35) дается формулой: F(a, p,a + 0-l,z)= 1Л 1 ,F{a - 1, /З - 1, a + {3 - 1) (IV.38) {1- z) Используя это соотношение в формуле (IV.34), перепишем общее решение в виде: G(K,Z) = (1 + Z) ( 1 3(1 +«) 1 Л +C2F (-L- 3(1 + } -і / VI+ 3« 2(1 + 3«) 2 ; (IV.39)
Вычисляя значения гипергеометрических функций в правой части (IV.39) на звуковом горизонте, получим, что и эти функции имеют особенности на звуковом горизонте. Поэтому единственным автомодельным решением, удовлетворяющим нулевым граничным условиям на звуковом горизонте, в рассматриваемом случае является лишь тривиальное решение: С\ = Сч = 0.
Подводя итоги этому подразделу, сформулируем теорему: Теорема. Не существует запаздывающих сферически-симметричных автомодельных решений уравнения (IV.1), удовлетворяющих нулевым граничным условиям (IV. 16) на звуковом горизонте без центрального ча-стицеподобного источника (ц = 0).
Доказанная теорема в некотором смысле аналогична теореме об аналитическом решении уравнения Лапласса в случае сферической симметрии.
Перейдем к анализу полученных автомодельных решений в случае наличия частицеподобного источника. Для этого воспользуемся выражениями (IV.8) для относительной плотности энергии возмущения и (IV.9) - для радиальной скорости среды в возмущении. При этом нам понадобятся выражения для первых и вторых производных потенциальных функций. Учитывая определения (IV.11), (IV.12) и соотношения (IV.20), (IV.21), (IV.27), получим выражения для первых и вторых радиальных производных потенциальной функции Ф(г, т]):
Далее из формулы (IV.46) непосредственно видно, что при к 1/3 возмущение плотности энергии на звуковом горизонте исчезает, при к, = 1/3 - имеет на звуковом горизонте конечный скачок, а при к 1/3 - бесконечный скачок - в полном соответствии с поведением вторых радиальных производных потенциальных функций.
Выясним физический смысл полученного решения. Возмущение энергии, соответствующее несингулярной части потенциальной функции, описывается формулой:
Таким образом, в диссертации получены следующие новые результаты.
1. Поставлена задача о построении математической модели малых локализованных сферических возмущений однородного изотропного мира, сформулированы основные уравнения и соотношения этой модели.
2. В изотропных координатах проведены линеаризация и упрощение этой модели к двум линейным дифференциальным уравнениям в частных производных.
3. Проведено выделение сингулярной части решения, ответственного за центральный частицеподобный источник, доказана единственность этого выделения.
4. В результате для баротропного уравнения состояния среды математическая модель сведена к двум уравнением, из которых первое - обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение определяет эволюцию массы центрального источника, а второе - дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка определяется решениями первого и описывает гравитационный потенциал возмущения.
5. Сформулирована задача Коши для указанных уравнений и найдено ее решение в виде интеграла Фурье для локализованного сферического возмущения.
