Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы 10
1.1 Система уравнений 10
1.2 Численные методы 11
1.2.1 Организация ячейки разностной сетки 12
1.2.2 Организация элементарной сетки 13
1.2.3 Организация шага по времени 14
1.2.4 О применимости разделения системы уравнений на части 29
1.2.5 Повышение порядка аппроксимации 37
1.2.6 Адаптивные иерархические сетки 41
1.3 Особенности реализации программы 43
1.3.1 Общие принципы организации программы 44
1.3.2 Структуры данных 45
1.3.3 Итераторы 46
1.3.4 Передаваемые процедуры 47
1.4 Методика распараллеливания программы 47
1.4.1 Распараллеливание методов на однородных сетках . 47
1.4.2 Распараллеливание методов на иерархических сетках 47
1.5 Методика тестирования программы 51
1.5.1 Тесты на сходимость 51
Глава 2. Физические особенности постановки задачи 54
2.1 Модель атмосферы 54
2.1.1 Исходные данные для атмосферной модели 57
2.2 Модель начального возмущения 58
2.3 Задача о желобковой неустойчивости 58
2.3.1 Геометрия задачи 60
2.3.2 Аналитические оценки 62
Глава 3. Результаты 67
3.1 Проверка корректировки метода Годунова 67
3.2 Проверка аппроксимации 68
3.3 Тестирование на сходимость 69
3.4 Задача о сильном возмущении 70
3.5 Задача о желобковой неустойчивости 73
Заключение 89
Список использованных источников
- Организация ячейки разностной сетки
- Общие принципы организации программы
- Модель начального возмущения
- Тестирование на сходимость
Введение к работе
з
Актуальность работы
В диссертационной работе рассматривается задача моделирования последствий сильного локального возмущения ионосферы, вызванного воздействием взрывного типа или распылением высокотемпературной плазмы на высотах более 200 километров.
Задача детального исследования подобного рода возмущений интересна в связи с тем, что хотя с 60-х годов двадцатого века и проводилось довольно много натурных экспериментов с околоземной плазмой, математические модели, построенные на основании данных такого рода экспериментов, имеют тенденцию к упрощению и учету лишь параметров, относительно легко поддающихся регистрации.
Появившиеся в последнее время вычислительные возможности и развитые численные методы позволяют детально моделировать такого рода течения, основываясь на достаточно полной постановке задачи.
Первым шагом к реализации подробной математической модели ионосферы, описывающей явления подобного рода, является построение консервативного метода решения уравнений магнитной газовой динамики (МГД), применимого к задаче рассматриваемого типа.
В качестве грубой модели процесса может выступать модель, основанная на уравнениях динамики идеально проводящего газа - уравнениях идеальной МГД. Такая модель описывает далеко не все аспекты проблемы, но по крайней мере, позволяет проследить ударные волны и основные свойства течения газа. При этом не рассматривается распространение излучения и его взаимодействие с веществом, детали структуры ударных волн и
особенности химических процессов, протекающих в ионосфере, равно как и воздействие ударных волн и продуктов эксперимента на прохождение этих химических процессов.
Известные модели не позволяют достаточно точно описать поведение сильных возмущений, так как строятся зачастую на недивергентной форме уравнений.
Модели же, основанные на консервативной форме уравнений и решении задачи Римана о распаде разрыва, в их классическом виде являются неустойчивыми на нелинейном фоновом решении. Такое решение возникает при ненулевой правой части, что естественным образом следует из базисных предположений о поведении рассчитываемой функции в пределах ячейки сетки, используемых в этих подходах.
Таким образом, по крайней мере в открытых источниках ощущается недостаток качественных методов решения задач моделирования интенсивных возмущений ионосферы.
Цели и задачи диссертационной работы
Цель диссертационной работы заключается в разработке численного метода решения уравнений МГД, обладающего следующими свойствами:
Точное выполнение на сеточном уровне физических законов сохранения;
Возможность расчета продолжительных воздействий;
Высокая точность расчета параметров, связанных с магнитным полем.
5 Научная новизна работы
Для трехмерных уравнений МГД разработан новый подход к решению, позволяющий строить решение, обладающее свойством консервативности по массе, энергии, импульсу, магнитному потоку и магнитному заряду. Начальное приближение строится так, что численный магнитный заряд равен нулю во всех ячейках разностной сетки, а консервативные свойства метода обеспечивают сохранение этого свойства. От существующих методов разработанный подход отличается более точной аппроксимацией магнитного поля и устойчивостью на нелинейном фоновом решении.
При этом разработанный подход позволяет использовать различные методики решения задачи Римана о распаде разрыва и может быть относительно легко применен к другим системам уравнений.
Необходимо отметить, что программная реализация предложенного метода, выполненная автором, обладает следующими свойствами:
Гибкость и простота модификации - для того, чтобы было возможно сравнивать на одной и той же задаче различные методы решения составляющих подзадач.
Расширяемость - простота добавления в рассчитываемую задачу новых параметров и изменения ее постановки.
Возможность работы на разных типах сеток.
Возможность работы на параллельных вычислительных системах.
На защиту выносятся:
Метод построения разностной сетки с определением значений рассчитываемых величин в различных точках пространства.
Метод реконструкции газодинамических и магнитных параметров в точках ячейки по их осредненным значениям.
Методика распараллеливания программного комплекса, основывающаяся на декомпозиции верхнего уровня иерархии сетки и балланси-ровке загрузки по априорной информации о решении.
Апробация работы
Результаты работы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих конференциях: "31st EPS Conference on Plasma Physics" (London, 2004), "Международная конференция по избранным вопросам современной математики", (Калининград, 2005), 49-я и 50-я научные конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", (Москва-Долгопрудный, 2006, 2007), а так же на научных семинарах кафедры вычислительной математики МФТИ (2004-2008 гг.)
Публикации
По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе одна [1] в издании из списка, рекомендованного ВАК РФ. В работах с соавторами лично соискателем выполнено следующее: [1,2] - реализация численного алгоритма, проведение расчетов, [5,6] - реализация адаптивных иерархи-
ческих сеток, построение априорной оценки трудоемкости, [8] - решение задачи построения матрицы обменов.
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем диссертации - 96 страниц. Список использованных источников содержит 31 наименование. В работу включены 34 рисунка.
Организация ячейки разностной сетки
На каждом шаге по времени на каждой границе, разделяющей две ячейки, производится расчет потоков массы, импульса и полной энергии, для чего в каждой ячейке из дипольного приближения находятся значения поля на границе ячейки. Далее по осредненным по ячейке значениям газодинамических переменных из больцмановского распределения находятся значения газодинамических переменных в центрах границ субъячеек. Таким образом, мы можем найти потоки газодинамических переменных через границы ячейки, решив каким-либо образом задачу Римана для уравнений МГД.
Для нахождения изменения потоков магнитного поля через грани субъячеек необходимо решить задачу Римана уже на их границах.
Так как на ребрах субъячеек, находящихся внутри ячейки, задача Римана, в классическом смысле, не определена (на них граничат четыре субячейки с разными наборами переменных), необходимо построить какое-то приближение для значений недостающих величин. Обратим внимание на форму уравнений для магнитного поля. Будем считать, что рассматриваемое ребро направленно вдоль оси Z, тогда две компоненты магнитного поля, в расчете которых это ребро участвует соответственно Вх и By.
Сразу заметим, что при построении метода типа Годунова первого порядка аппроксимации, предположение о постоянстве расчитываемых функций в пределах объема ячейки не является единственно верным. Обратим внимание, что чисто газодинамическая задача с правой частью, решаемая в таком предположении, дает иефизпчное решение (см. рис. 3.1).
Действительно, из постоянства значения давления в пределах ячейки следует неравенство давлений на границе соседних ячеек. А при даже малом отличии давлений на границе соседних ячеек любой, даже приближенный метод решения задачи Римана дает отличное от нуля значение потока массы на границе, что не позволяет построить метод, поддерживающий постоянство фонового решения, соответствующего аналитріческому решению стационарной задачи газовой динамики.
Однако, если в пределах одной ячейки распределение считать больц-мановским, результаты совпадают с аналитическрш решением с очень хорошей точностью.
Есть основания полагать, что аналогичное поведение может иметь место и для магнитной газовой динамики. Для магнитного поля в ячейке описанной структуры можно ввести по крайней мере два различных приближения, описывающих поведение поля в ячейке.
Первое - предположить, что поле в ячейке может быть представлено в виде полинома, найти все возможные производные в разложении по потокам через грани субъячеек, остальные - дополнить нулями.
Второе - предположить, что поле сохраняет структуру "генерирующего" земного диполя, тогда по найденным в первом подходе величинам удается восстановить дипольный момент а по нему - все оставшиеся производные.
В обоих случаях нужно по приближенным формулам восетановріть соответствующие мультипольные моменты поля, а по ним рассчитать сами значения поля в граничных точках (суб)ячейки.
Разложение поля по Тейлору Для построения полиномиального представления поля в пределах ячейки разложим поле в ячейке по Тейлору до О (Л,3). Пусть XQ - вектор координат центра ячейки, х - вектор координат некоторой точки в ячейке, f — х — XQ - вектор координат точки относительно центра ячейки.4
4Наіюмним, что по дважды повторяющимся индексам предполагается суммирование. Д.(г) = Д(х„) + g( o)r, + 2 Wr/r + 0(И") Далее в этом параграфе для краткости будем использовать следующие обозначения: В{ = BI(XQ) - г-я компонента магнитного поля в центре ячейки. Bij — а -( о) " производная г-й компоненты магнитного поля вдоль j-й оси в центре ячейки. Bijk = эд.дд ( о) - вторая производная г-й компоненты магнитного поля сначала вдоль j-R оси, затем - вдоль к-й. соответственно, "следующая" за г і ось. По таким "индексированным" индексам нигде не предполагается суммирования, hi - размер субъячейки вдоль г-й оси. S ) = h hi2 - площадь грани субъячейки.
Сформулируем задачу реконструкции поля в ячейке следующим образом: Построить некоторое пространственное распределение поля в ячейке, обладающее свойством бездивергентности, дающее заданные значения потоков через грани субъячеек.
Обратим внимание, что решение задачи реконструкции, вообще говоря, не единственно. Соответственно, для сужения класса решений нужно наложить дополнительные требования. Мы будем искать решение в пространстве функций с тождественно нулевыми третьими производными, соответственно, сведем задачу к поиску коэффициентов В{, Вц и Вцъ - всего 3 + 9 + 27 = 39 коэффициентов. Так как рассматриваемые нами функции достаточно гладкие, не все из этих коэффициентов являются независимыми - порядок дифференцирования можно менять - Bijk = Bjkj.
Общие принципы организации программы
В качестве первого подхода к построению монотонной разностной схемы более высокого, чем первый, порядка аппроксимации по пространству для уравнений газовой динамики применим описанный в [24] метод, относящийся к широкому классу методов, получивших название "ограничителей"
Для укорочения записи индексы тип везде где возможно, опущены, вместо т+1/2 стоит индекс + а вместо m + 1 и m — 1 - +1 и -1 соответственно. [8]. Суть этого метода заключается в следующем: в пределах каждой ячейки сетки по информации о решении в соседних ячейках строится линейная реконструкция расчитываемой функции вида где UQ - осредненное значение в ячейке, х - координата интересующей нас точки, Q = minmod ( " , l j - наклон,вычисляющийся по значениям в соседних ячейках справа (U+i) и слева (U-i), h+i и /г_і - расстояния от центра расчитываемой ячейки до центров соседених ячеек. Функция minmod, выбирающая из двух разностных производных одного знака наименьшую по модулю, определяется следующим образом: minmod(a, 6) = -(sign(a) + sign(6)) min(a, 6)
После такой реконструкции для нахождения потоков на границе двух ячеек используют реконструированные на границе значения в этих ячейках.
Метод показал себя вполне приемлемым, однако на тестовой задаче о распаде разрыва обнаружил следующий недостаток:
При использовании этого метода с большими числами Куранта позади быстрой магнитозвуковой волны образуется немонотонность из колебаний скорости и магнитного поля. Пространственные размеры этой гребенки определяются, по видимому, шагом сетки, а амплитуда - числом Куранта. Для примера удобно рассматривать продольную компоненту скорости - см. рис. 1.3.
Оказывается, что если перед применением ограничителя перейти к Римановым переменным, а после получения значения на границе вернуться обратно, используя для этих операций матрицы перехода, рассчитанные в точке сетки, ближайшей к границе с рассматриваемой стороны, получаются заметно лучшие результаты - см. рис. 1.4. Vx
Результаты для ограничителя minmod по характеристическим переменным. Продольная скорость в тесте Brio-Wu. Постановка тестовой задачи описана в п. 1.5.1. N - число точек сетки, а = nih „. - число Куранта. Рис. 1.5. Простейшие иерархические сетки и необходимость дискретизации соседних ячеек.
При решении задачи в полной трехмерной постановке возникает ряд проблем. Одна из них - высокие градиенты плотности невозмущенной атмосферы в некоторых подобластях области интегрирования. При использовании равномерных сеток это приводит к необходимости измельчения сетки во всей области интегрирования. Например, на высотах порядка 100 км, плотность падает в е раз ориентировочно каждые 2) = 30 км. Если нам необходимо рассчитывать пространственные явления глобального масштаба, приходится организовывать сетку в области с характерными размерами в 2 104 км состоящую из (2 104/30)3 « 3 108 ячеек и занимающую, по меньшей мере 2 1010байт?=: 20Гб оперативной памяти. И это только на "чистую" МГД. Если необходимо учитывать ионизацию или переходить к многокомпонентной модели, объемы памяти увеличатся многократно.
В близких ситуациях в астрофизических задачах используют адаптивные иерархические сетки. Основная идея этого подхода состоит в следующем - построим во всей рассчитываемой области достаточно редкую сетку (часто - 2 2 2, нам же, ввиду особенностей выбранной дискретизации поля требуются сетки 3 3 3), каждым элементом которой может быть либо более подробная сетка, либо просто одна ячейка со значениями. Потом будем перестраивать эту систему сеток так, чтобы удовлетворялись какие-то удобные для нас критерии точности.
В нашем случае начальное распределение сеток по области интегрирования должно обладать следующими свойствами: 1. Вне области взрыва размер ячейки сетки не превышает 1) (h), при этом не превышает определенной доли (например - одной десятой или одной двадцатой) от расстояния до центра взрыва 2. В области взрыва размер ячейки имеет определенное значение, много меньшее радиуса взрыва 3. Нет граничащих между собой ячеек, размеры которых отличаются существенно (более чем в 3 раза) В дальнейшем перестроение системы сеток будем проводить через каждые несколько шагов по времени. Алгоритм перестроения устроен следующим образом:
Сначала во всех простых подсетках (содержащих только ячейки) считается некая величина, которую мы будем называть "потребность в перестроении". Эта величина расчитывается по формуле 10
Затем подсетки, в которых эта величина меньше некоторой константы ао 0.05 признаются "достаточно однородными" и значения всех переменных в них заменяются усреднениями. При этом запоминается количество освобожденных подсеток - увеличивается счетчик "свободных сеток".
После этого подсетки, в которых а ai « 0.3 и при этом размер ячейки превышает некоторый критический 5h, признаются "слишком разреженными", сортируются по убыванию а, из них выбираются и все их 10т - вектор пространственных индексов - m,l,k, U - вектор переменных, слабо зависящих от координат и отличных от нуля в фоновом решении - интеграл Бернуллн, модуль дипольного момента и температура. ячейки, а так же более крупные соседи выбранных ячеек. Затем выбранные ячейки заменяются на подсетки с уменьшением счетчика "свободных сеток", начальное значение которого было определено ранее.
Изложенный здесь выбор cx.(U) основан на следующей идее - при использовании методов 1-го порядка аппроксимации по пространственным переменным, ошибка аппроксимации уравнения Ut + Fx — b имеет, вообще говоря, вид j3Uxxh, если речь идет о достаточно гладком решении (у которого все производные определены и ограничены). Тогда прирост относительной погрешности за один шаг по времени порядка 5 т — (3Uxxhr/U. Если производная ограничена величиной UXiTnax = р, то Uxx не превышает, по крайней мере, Цр-. Тогда 5 т = 2(/3/X)AU/U. То есть, если в разных областях поддерживать OLQ AU/U а\, относительная погрешность будет расти с одинаковой скоростью. Таким образом удается достичь некоторой адаптации сетки к решению.
Модель начального возмущения
. Зависимость модуля скорости от координаты в простой модельной задаче для газовой динамики с правой частью для скорректированного и нескорректированного метода Годунова. По горизонтальной оси - номер ячейки, по вертикальной оси - модуль скорости. 1000-й шаг по времени при числе Куранта равном 0.5. Правая часть и постоянная внутренняя энергия подобраны так, что на отрезке интегрирования плотность падает в 5 раз.
Проверка аппроксимации
Для проверки аппроксимации на разрывных решениях используется тест Brio-Wu [29]. Результаты тестирования приведены на рис. 3.2 и 3.3. Рисунок 3.2 показывает, что решение соответствует решению из [29], а на рисунке 3.3 показано, как падает норма отклонения решения от условно правильного (наиболее точного из полученных - полученного на сетке из 6400 узлов). Видно, что метод обладает не более чем первым порядком аппроксимации на разрывных решениях
Тестирование на задаче о распаде разрыва по методике Brio-Wu[29]. Плотность, давление, продольная компонента скорости и поперечная компонента магнитного поля в момент времени t = 0.1. По горизонтали - номер ячейки. Для магнитного поля - номер субъячейки.
Тестирование на сходимость На рис. 3.4 приведены зависимости нормы разности между начальным условием, построенным как сумма постоянного фона и малого возмущения, представляющего собой синусоидальную волну, пропорциональную собственному вектору системы уравнений МГД, и волной-решением, сделавшим полный оборот через циклические граничные условия. Детали постановки такой задачи описаны в п. 1.5.1.
Зависимость суммарной (по 400 точкам первого эксперимента) ошибки интегрирования плотности от полного числа узлов сетки. ках норма разности решений определялась как сумма модулей отклонений в точках, деленная на число точек. Так же для сравнения приведены две линии (в логарифмическом масштабе это - прямые), соответствующие зависимостям е N x иє iV 2.
Видно, что при уменьшении числа Куранта (то есть уменьшении шага по времени при фиксированном шаге по пространству), точность метода возрастает.
На следующем графике - рис.3.5 показано, что для обеспечения второго порядка сходимости необходима схема, обладающая вторым порядком аппроксимации как по пространству, так и по времени.
Задача о сильном возмущении На задаче о сильном возмущении проверялась сеточная сходимость построенного метода. Тестирование показало удовлетворительные резуль 1є-06
Так же решалась сама по себе задача о сильном возмущении и исследовался характер развития возмущения в зависимости от начальных данных - см. рис. 3.12, 3.13.
Для демонстрации возможностей кода также решена задача о взаимодействии двух возмущений. В этой задаче рассматривались два отдельных возмущения, сдвинутых по оси у (вдоль поверхности Земли перпендикулярно магнитному полю), происходящих одновременно, центры которых находятся на расстоянии L = 4До = 40 км, скорости разлета брались равными 10 км/с, а температуры - То = 104К. Результаты соответствующих 1e-06
Сравнение сходимостей газодинамических солверов второго и первого порядка аппроксимации по времени (оба имеют 2-й аппроксимации по пространству по схеме minmod) при различных числах Куранта а. Показана норма разности численного решения и аналитического в зависимости от числа узлов. расчетов приведены на рис. 3.14,3.15,3.16.
Анализ результатов, для уединенного возмущения позволяет говорить о следующих свойствах рассматриваемых возмущений:
Возмущение существенно анизотропно и распространяется преимущественно вдоль магнитных силовых линий (распространение поперек силовых линий оказывается возможным только в случае, если фронт возмущения был возмущен - см. п. 3.5). В то же время для сильных возмущений направление и структура ударной волны, распространяющейся в сторону поверхности Земли, близка к центрально-симметричной - см. рис. 3.13.
Решение задачи о взаимодействии возмущений показывает, что по крайней мере на временах порядка десяти характерных (будем считать характерным время от начала возмущения до начала взаимодействия двух возмущений), и на характерных масштабах возмущения структура течения еще "помнит" структуру начального возмущения. Задача о желобковой неустойчивости Задача о желобковой неустройчивости фрота решалась сначала на двумерной версии кода в двумерной постановке с постоянным магнитным полем. При этом были исследованы различные режимы течения и получены достаточно любопытные результаты.
При малых начальных скоростях (V — 1 км/с) и RQ = 12 км внешнее магнитное давление несколько превышает внутреннее газодинамическое и наблюдается медленное сжатие плазмы с увеличением плотности в центре. Но при этом не происходит сглаживание желобков, а наоборот - они становятся более резкими(см. рис. 3.17).
Тестирование на сходимость
Для проверки эффективности корректировки метода Годунова решалась следующая тестовая задача: на одномерной расчетной области в качестве начальных данных для нестационарной задачи задавалось решение соответствующей стационарной задачи и исследовалась зависимость скорости от координаты в различные моменты времени. При этом д считалось постоянным, также как и начальное значение внутренней энергии е. Сравнительные результаты приведены на рисунке 3.1.
Так как при использовании оригинального метода Годунова при расчете потока между соседними ячейками решается задача Римана о распаде разрыва с различными давлениями справа и слева от разрыва, на каждом шаге по времени между двумя соседними ячейками возникает поток массы пропорциональный gh. Схема формально остается аппроксимирующей, но ошибки в ней нарастают не только в областях, в которых происходят какие-то содержательные процессы, но и во всей области интегрирования.
Если же применить описанную реконструкцию решения, в одномерном случае давления слева и справа от разрыва оказываются равны с машинной точностью и ошибки накапливаются исключительно за счет ошибок округления.
К сожалению, получить точность, близкую к машинной, в трехмерной задаче не удается, так как поток приходится осреднять по всей границе между соседними ячейками, что возможно тоже только приближенно. U.UU I
Зависимость модуля скорости от координаты в простой модельной задаче для газовой динамики с правой частью для скорректированного и нескорректированного метода Годунова. По горизонтальной оси - номер ячейки, по вертикальной оси - модуль скорости. 1000-й шаг по времени при числе Куранта равном 0.5. Правая часть и постоянная внутренняя энергия подобраны так, что на отрезке интегрирования плотность падает в 5 раз.
Проверка аппроксимации Для проверки аппроксимации на разрывных решениях используется тест Brio-Wu [29]. Результаты тестирования приведены на рис. 3.2 и 3.3. Рисунок 3.2 показывает, что решение соответствует решению из [29], а на рисунке 3.3 показано, как падает норма отклонения решения от условно правильного (наиболее точного из полученных - полученного на сетке из 6400 узлов). Видно, что метод обладает не более чем первым порядком аппроксимации на разрывных решениях. 100 200 300 400 500 600 700 800
Тестирование на задаче о распаде разрыва по методике Brio-Wu[29]. Плотность, давление, продольная компонента скорости и поперечная компонента магнитного поля в момент времени t = 0.1. По горизонтали - номер ячейки. Для магнитного поля - номер субъячейки.
Тестирование на сходимость На рис. 3.4 приведены зависимости нормы разности между начальным условием, построенным как сумма постоянного фона и малого возмущения, представляющего собой синусоидальную волну, пропорциональную собственному вектору системы уравнений МГД, и волной-решением, сделавшим полный оборот через циклические граничные условия. Детали постановки такой задачи описаны в п. 1.5.1.
Зависимость суммарной (по 400 точкам первого эксперимента) ошибки интегрирования плотности от полного числа узлов сетки. ках норма разности решений определялась как сумма модулей отклонений в точках, деленная на число точек. Так же для сравнения приведены две линии (в логарифмическом масштабе это - прямые), соответствующие зависимостям е N x иє iV 2.
Видно, что при уменьшении числа Куранта (то есть уменьшении шага по времени при фиксированном шаге по пространству), точность метода возрастает.
На следующем графике - рис.3.5 показано, что для обеспечения второго порядка сходимости необходима схема, обладающая вторым порядком аппроксимации как по пространству, так и по времени. На задаче о сильном возмущении проверялась сеточная сходимость построенного метода. Тестирование показало удовлетворительные резуль 1є-06 1e-07
Так же решалась сама по себе задача о сильном возмущении и исследовался характер развития возмущения в зависимости от начальных данных - см. рис. 3.12, 3.13.
Для демонстрации возможностей кода также решена задача о взаимодействии двух возмущений. В этой задаче рассматривались два отдельных возмущения, сдвинутых по оси у (вдоль поверхности Земли перпендикулярно магнитному полю), происходящих одновременно, центры которых находятся на расстоянии L = 4До = 40 км, скорости разлета брались равными 10 км/с, а температуры - То = 104К. Результаты соответствующих 1e-06
Сравнение сходимостей газодинамических солверов второго и первого порядка аппроксимации по времени (оба имеют 2-й аппроксимации по пространству по схеме minmod) при различных числах Куранта а. Показана норма разности численного решения и аналитического в зависимости от числа узлов. расчетов приведены на рис. 3.14,3.15,3.16.
Анализ результатов, для уединенного возмущения позволяет говорить о следующих свойствах рассматриваемых возмущений:
Возмущение существенно анизотропно и распространяется преимущественно вдоль магнитных силовых линий (распространение поперек силовых линий оказывается возможным только в случае, если фронт возмущения был возмущен - см. п. 3.5). В то же время для сильных возмущений направление и структура ударной волны, распространяющейся в сторону поверхности Земли, близка к центрально-симметричной - см. рис. 3.13.
Решение задачи о взаимодействии возмущений показывает, что по крайней мере на временах порядка десяти характерных (будем считать характерным время от начала возмущения до начала взаимодействия двух возмущений), и на характерных масштабах возмущения структура течения еще "помнит" структуру начального возмущения.
Задача о желобковой неустойчивости Задача о желобковой неустройчивости фрота решалась сначала на двумерной версии кода в двумерной постановке с постоянным магнитным полем. При этом были исследованы различные режимы течения и получены достаточно любопытные результаты. При малых начальных скоростях (V — 1 км/с) и RQ = 12 км внешнее магнитное давление несколько превышает внутреннее газодинамическое и наблюдается медленное сжатие плазмы с увеличением плотности в центре. Но при этом не происходит сглаживание желобков, а наоборот - они становятся более резкими(см. рис. 3.17).
