Введение к работе
Актуальность темы. Многие научные, технические,
экономические и другие задачи приводят к необходимости
решения дифференциальных уравнений, в том числе и
нелинейных, большинство из которых аналитического решения
не имеет. Поэтому приходится использовать численные подходы
с применением вычислительных устройств (компьютеров). По
сравнению с численным, явное решение предоставляет больше
информации о задаче, позволяет увидеть решение в целом с его
качественными особенностями, асимптотиками и т.д., что важно,
например, для физического описания явлений. Также
существенно, что аналитические решения, даже частные, могут
являться тестами, играющими большую роль при разработке
различных численных методов (численный и аналитические
подходы дополняют друг друга). В классических численных
методах используется вычислительное устройство,
определяющее представление решения фактически в виде чисел. При этом теряется общность, присущая явному представлению решения в аналитической форме. Отметим также вопросы выбора подходящей численной схемы, исследования ее на устойчивость, трудности, связанные с программированием. Поэтому поиск новых методов, которые приводили бы к получению явных аналитических решений является несомненно актуальной задачей.
Для построения решений в явном виде существуют различные методы, однако они не обладают достаточной общностью. Среди численных методов решения задач особое место принадлежит методу конечных разностей ввиду его универсальной применимости. Однако, конечно-разностные методы, представляющие собой рекуррентные формулы, требуют использования компьютеров для вычисления значения искомой функции на каждом слое.
В диссертационной работе предлагается новый метод решения дифференциальных уравнений (основной интерес представляют нелинейные, но он применим и к линейным уравнениям), основанный на математической модели компьютера, в которой формализуются и обобщаются
фундаментальные свойства компьютера при работе с числами. Заметим, что метод нацелен на получение именно аналитического представления решения, которое, в принципе, не требует применения вычислительной машины, то есть идеологически метод «направлен от компьютера к аналитике». Заметим, что, например, в современном направлении компьютерной алгебры развиваются новые алгоритмы и аналитические методы с применением в вычислительных устройствах.
На основе предложенной модели разрабатывается метод для решения нелинейных дифференциальных уравнений и систем, в котором исключаются вычисления на промежуточных слоях в разностной схеме и тем самым получается явное представление решения, где выражение на последнем слое выражается через начальные условия (в задаче Коши). Для построения решения используется произвольная сходящаяся к решению исходного уравнения разностная схема, которую мы называем «руководящей». Решение ищется в виде отрезков ряда по степеням шага независимой переменной. При построении решения проводится математическая формализация основных операций над числами в компьютере, а именно, ограничения количества разрядов при задании числа и переноса значений из разряда в разряд. Поэтому данный метод может быть назван «методом компьютерной аналогии». В процедуре переноса разрядов также используются операции выделения остатка от деления чисел, старшие разряды фактически являются генераторами псевдослучайных чисел. С использованием вероятностных методов проводится осреднение и исключение промежуточных действий.
Цель работы состоит в создании новой математической модели компьютера и формализации представления чисел в классической вычислительной машине и разработке алгоритма, который в принципе может привести к получению явного вида решения нелинейных дифференциальных уравнений.
Методика исследования основана на общих методах вычислительной математики, математического моделирования, теории вероятностей, математической статистики и анализа. Для сравнения результатов и проверки гипотез производилось
численное моделирование на компьютере, использовались язык программирования C++ и программа Gnuplot.
Научная новизна. Предлагаемый подход является принципиально новым. Строится математическая модель работы компьютера с числами, что при использовании разностных схем позволяет получить явное представление решения для нелинейных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.
Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение при решении дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений. Разработанный метод может применяться в итерационных задачах приближения. Практическая значимость работы заключается в получении аналитических приближений для задач, не разрешимых в квадратурах. Метод может позволить получать тестовые решения, необходимые для отладки новых численных алгоритмов и решения сложных нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений. Представление численного решения в виде отрезка ряда по степеням шага независимой переменной допускает параллельное вычисление коэффициентов, может привести к ускорению вычислений даже в тех случаях, когда явный вид приближения выписать не удается. Явное представление решения также может быть вычислено быстрее и эффективнее по сравнению с традиционными методами.
Апробация работы. Результаты диссертации
докладывались на международной конференции «Тихонов и
современная математика» в 2006 г.; на 14-й, 16-й, 17-й
международной конференции «Математика, компьютер,
образование» в Пущино и Дубне в 2007, 2009, 2010 г.; международной конференции «Infinite and Infinitesimal in Mathematics, Computing and Natural Sciences» (Четраро, Италия, 2010); ежегодных научно-технических конференциях МИРЭА; на семинаре кафедры вычислительных методов ВМК МГУ под руководством профессора, д.ф.-м.н. А.В. Гулина; семинаре сектора информатики и биофизики сложных систем биологического факультета МГУ под руководством профессора, д.ф.-м.н, Г.Ю. Ризниченко; семинаре кафедры прикладной математики МИРЭА под руководством профессора, д.ф.-м.н. А.Б.
Самохина. Методологические аспекты метода обсуждались на конференциях «Философия математики. Актуальные проблемы» в МГУ им. М.В.Ломоносова в 2007 и 2009 годах; конференции «Искусственный интеллект. Философия, методология, инновации», МИРЭА в 2010 году.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12] (из списка ВАК [1-4]), вклад соавторов в работу равный.
Структура и объем диссертации. Диссертация содержит 106 страниц и состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. В заключении сформулированы положения, выносимые на защиту.
