Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор литературы. 8
1. Метод последовательных приближений. 8
2. Метод ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида x~Ax + f 15
3. Метод однопараметрического итеративного агрегирования решения линейных операторных уравнений вида х = Ax + f, где оператор А- матрица п- го порядка 21
4. Метод однопараметрического итеративного агрегирования решения нелинейных операторных уравнений вида х = F(x) + f, где F(x) - нелинейный оператор 27
ГЛАВА 2. Построение приближений, сходящихся к спектральному радиусу и собственному вектору линейного оператора 32
5. Построение приближений, сходящихся к спектральному радиусу линейного оператора. 32
6. Построение приближений, сходящихся к собственному вектору линейного оператора . 41
ГЛАВА 3. Развитие методов построения приближений, сходящихся к точному решению операторного уравнения вида х~ Ax + f 56
7. Об одном итерационном методе решения системы линейных алгебраических уравнений вида л: = Ах + / с квадратной матрицей А, в случае, когда спектральный радиус матрицы А, больше чем единица 56
8. Получение двусторонних оценок точного решения операторного уравнения вида х - Ах + f, в случае, когда спектральный радиус оператора Л не обязательно меньше единицы . 65
9. О некоторых подходах к уточнению, границ решения операторных уравнений вида х - Ах + f в случае, когда спектральный радиус операто- 73 ра А не обязательно меньше единицы.
10. "Гибрид" методов ускорения сходимости монотонных приближений к решению х уравнения вида х - Ах + / и однопараметрического итеративного агрегирования 86
11. Об одном варианте метода ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида х = Ах + f 93
12. Об одном варианте метода Зейделя 100
Заключение 112
Литература 114
Приложение 121
- Метод ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида x~Ax + f
- Метод однопараметрического итеративного агрегирования решения нелинейных операторных уравнений вида х = F(x) + f, где F(x) - нелинейный оператор
- Построение приближений, сходящихся к собственному вектору линейного оператора
- Получение двусторонних оценок точного решения операторного уравнения вида х - Ах + f, в случае, когда спектральный радиус оператора Л не обязательно меньше единицы
Введение к работе
При решении широкого класса задач математического анализа, алгебры, экономики требуется находить решение операторных уравнений..В тех случаях, когда процесс отыскания точного решения является затруднительным, на помощь приходят итерационные методы, позволяющие найти приближенное решение с определенной степенью точности. Соответствующий' класс задач можно представить с помощью операторного уравнения вида
x-Ax+f (1)
с линейным или нелинейным оператором Л, действующим в банаховом пространстве Е, и свободным членом / из этого пространства.
Большое практическое значение приобретает возможность строить приближения ип и, соответственно, v„ к решению дг* операторного уравнения вида (1), такие что
и„ х* v„
п п
При этом, оказывается, параллельно решаются две важные задачи теории приближенных методов решения операторных уравнений — задача об оценке погрешности приближенного решения, а также задача об априорной оценке относительной погрешности приближенного решения.
Использование современных ЭВМ открывает широкие возможности для решения таких задач. Математическое моделирование стало активно внедряться в практику научных и прикладных разработок при исследовании сложных явлений и процессов, происходящих в экономике. Лишь с помощью современных ЭВМ удается проводить численное моделирование достаточно сложных экономических процессов.
Существенные прикладные преимущества, проведенные исследования практической скорости сходимости итерационных процессов к точному решению X* операторного уравнения вида (1), возможность контроля результатов в процессе решения и наличие математических обоснований, дают повод обратить серьезное внимание на итерационные методы не только как на объект интересных тео-
5 ретических исследований, но и как на новые подходы к организации и проведению реальных расчетов плановых задач большой размерности и сложной структуры.
Актуальность проблемы. Балансовая модель производства является одной из наиболее простых математических моделей. Она записывается в виде системы уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребности в этом продукте. Отсюда происходит название модели.
Впервые балансовые модели начали использоваться в СССР в 20-х годах. В более или менее законченном виде теория балансовых моделей была разработана американским ученым В.В. Леонтьевым в середине 30-х годов. Однако в те годы ни уровень развития математической науки, ни качество вычислительной техники не позволили широко распространить балансовый метод.
За разработку и внедрение в практику метода межотраслевого баланса группа советских экономистов под руководством академика А.Н. Ефимова в 1968 году была удостоена Государственной премии СССР. В настоящее время большое количество работ посвящается этой модели и ее применению для решения различных задач. Такой интерес к балансовой модели определяется тем, что, как оказалось, эта модель хорошо отображает многие существенные особенности современного производства ив то же время легко поддается расчету. Во многих странах мира балансовый метод используется для: экономического анализа, планирования и прогнозирования.
В связи с внедрением ЭВМ в научные разработки, значительно повысился интерес к различным численным методам и алгоритмам, реализация которых граничит с проведением вычислительного эксперимента. Потребность в таком подходе к решению задач математической экономики диктуется все усложняющимися запросами практики, а также связана с попыткой создания более рациональных и более общих теоретических моделей для изучения сложных экономических явлений.
Активное использование методов численного моделирования позволяет резко сократить сроки научных и конструкторских разработок.
Цели работы - приближенное решение операторных уравнений вида (1) в случаях, когда спектральный радиус р{л) оператора Л не обязательно меньше единицы; построение итерационных последовательностей сходящихся к решению уравнения (1), к собственным значениям и собственным векторам оператора Л; разработка новых методов, повышающих скорость сходимости итераций к решению уравнения (1); разработка соответствующего программного обеспечения, позволяющего реализовать предложенные методы.
Научная новизна результатов работы. Развитие теории линейных и нелинейных операторов, действующих в полуупорядоченных банаховых пространствах. Так, например, предложены развития методов решения операторных уравнений вида (1) в случаях, когда у оператора А спектральный радиус г(л) не обязательно меньше единицы. Предложен метод построения двусторонних оценок точного решения /операторного уравнения вида (1) в случае, когда спектральный радиус оператора Л не обязательно меньше единицы. Предложены варианты методов, позволяющие строить приближения к решению уравнений вида (1), обладающие высокой скоростью сходимости. Разработано программное обеспечение на языке программирования TURBO PASCAL, реализующее предложенные итерационные методы.
Достоверность результатов работы вытекает из математической строгости постановки и решения исследуемых задач, а также из совпадения ряда полученных результатов в частных случаях с известными в литературе.
Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных методов решения уравнения (1) при решении конкретных задач математики и экономики. Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов и подготовке учебных пособий.
На защиту выносятся следующие положения:
итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений вида (1) с квадратной матрицей А, в случае, когда наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, больше чем единица;
методы получения двусторонних оценок точного решения х* операторного уравнения вида (1), в случае, когда спектральный радиус оператора А не обязательно меньше единицы, а также подходы к уточнению полученных оценок;
синтез методов ускорения сходимости монотонных приближений к решению л:* уравнения вида (1) и однопараметрического итеративного агрегирования;
метод ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида (1), в случае выбора в качестве начальных приближений векторов, которые ограничивают точное решение V уравнения вида (1) «сверху« и «снизу»;
вариант метода Зейделя, позволяющий строить приближения, сходящиеся к точному решению ** уравнения (1) с помощью метода ускорения сходимости.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, заключения, списка литературы и приложения. В ней принята сквозная нумерация параграфов, для утверждений и формул введена двойная нумерация, включающая номер параграфа и порядковый номер утверждения или формулы в нем. Диссертация изложена на 167 страницах, список использованной литературы содержит 82 наименования.
Метод ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида x~Ax + f
Именно такую интерпретацию допускает классический метод Зейделя решения линейных систем алгебраических уравнений. Для того, чтобы этот метод был реализуем, достаточно, чтобы число Я-Г не являлось точкой спектра оператора А і, а для этого, в частности, достаточно, чтобы спектральный радиус г (А і) оператора А і удовлетворял неравенству.
При этом для определенных классов операторов А такое преобразование уравнения (12.1) (а именно, переход от уравнения (12.1) к вспомогательному и эквивалентному уравнению (12.2)) обладает следующей полезной особенностью: спектральный радиус оператора (/ -АХ) 1А2, как было установлено в [41], не больше, и, как правило, меньше спектрального радиуса г (А) оператора А в исходном уравнении (12.1). А это, в частности, обеспечивает, вообще говоря, более быструю сходимость последовательности {ут} к единственному решению х уравнения (12.1) метода Зейделя (12.3) по сравнению с обычным методом последовательных приближений
Более того, в этом случае удается получить явные оценки для эффекта ускорения сходимости метода Зейделя по сравнению с обычным методом последовательных приближений и указать другие алгоритмы построения еще более быстро сходящихся приближений к неизвестному решению X ...
Рассмотрим уравнение (12.1) с матричным оператором А: В [41] было установлено, что для уравнения (12.1) при условии (12.5), метод Зейделя монотонно зависит от выбора матрицы А і , а именно, с возрастанием количества ненулевых элементов матрицы А) скорость сходимости метода (12.3) возрастает, точнее говоря не уменьшается. Это можно интерпретировать следующим образом: чем большую часть А) матрицы А мы оставляем в обращаемой части (I-Al)"i уравнения, тем быстрее приближения, полученные по методу Зейделя (12.3), сходятся к решению х . Уместно, однако, сразу заметить при этом, что с «возрастанием» «доли» А) , вообще говоря, усложняется процедура определения приближений по методу Зейделя, эта процедура будет самой простой, если в качестве А і брать «нижнюю» треугольную часть матрицы А\ т.е. полагать что как раз соответствует классической схеме метода Зейделя;. Если же «присоединить» к матрице А) еще и главную диагональ, то в этом случае метод Зейделя примет несколько нетрадиционный вид: т.е. примет вид неявной схемы, при которой для определения (т+1) — го приближения по компоненте с номером / , т.е. при определении у\т Х) нам придется решать для каждого / одно скалярное уравнение с неизвестным у(т \) Этот метод назовем методом Зейделя первого порядка.
Аналогичным образом определяются методы Зейделя второго и более высоких порядков. Тем самым, чем «большая» часть матрицы А будет включаться в Л/, тем сложнее будет фактически реализация метода Зейделя, т.к. с «ростом» матрицы А і возрастает порядок системы уравнений, которую приходится решать для определения каждого следующего приближения, и соответственно, усложняется схема реализации метода Зейделя.
В классической схеме метода Зейделя порядок соответствующей системы фактически равен нулю. Понятно, что применение неявных схем требует решения вспомогательных систем линейных уравнений. Количество неизвестных в этих системах прямо зависит от «порядка» метода Зейделя; Оно тем больше,, чем выше «порядок». В любом случае при применении метода Зейделя «невысокого порядка», «порядок» соответствующей системы, вообще говоря, меньше числа k - порядка исходной системы линейных алгебраических уравнений, и потому применение соответствующей схемы является более простым,, нежели решение исходной системы п — уравнений с и — неизвестными. Итак, метод Зейделя осложняется в реализации с «ростом» матрицы А і , и потому, естественно, на эту более сложную схему метода Зейделя- имеет смысл идти лишь в том случае, если при этом улучшается: скорость сходимости. Оказывается, что именно так и обстоит дело, что следует из теоремы, доказанной в [41] и приведенной в монографии [36]. Теорема 12.1 . Пусть Az6, г(А) 1, и оператор А) переводит каждый внутренний элемент конуса R" неотрицательных векторов пространства R" во внутренний элемент. Тогда имеет место неравенство г[(1-АхУА2] г(А). На основании теоремы имеет место Следствие .В условиях теоремы 12.1метод Зейделя сходится быстрее, чем метод последовательных приближений, а метод (12.7) сходится, вообще говоря, быстрее, чем метод (12.6). Суть излагаемого в данном параграфе варианта метода Зейделя, для построения приближений, сходящихся к точному решению операторного уравнения, состоит в том, что к полученному уравнению (12.4) предлагается применить метод ускорения сходимости приближений, описанный в [36]. Изложим суть применяемого метода.
Метод однопараметрического итеративного агрегирования решения нелинейных операторных уравнений вида х = F(x) + f, где F(x) - нелинейный оператор
Точное решение данной системы уравнений: х=3.649003 и у=2.719212. Как видно из таблицы на 30-м шаге наблюдается сходимость к решению до 4-го знака.
Интересно отметить, что в процессе реализации предложенного метода итеративного агрегирования возможна такая ситуация, когда на первый взгляд метод сходится, однако наблюдается сходимость к вектору, не являющемуся решением системы.
После соответствующей проверки замечаем что вектор, к которому сходятся значения приближений по методу однопараметрического итеративного агрегирования не является решением данной системы уравнений. Из этого следует, что сам факт сходимости еще не гарантирует, что значения приближений сходятся именно к решению данной системы уравнений.
Рассмотренные выше примеры были реализованы при помощи разработанной автором программы на языке программирования TURBO PASCAL.
Знание нормы оператора, а точнее говоря информации о том, что норма оператора меньше единицы, позволяет строить приближение к решению уравнения с этим оператором. Однако, величина нормы оператора существенно зависит от того, каким образом введена норма в соответствующим пространстве. Один и тот же оператор может иметь разные нормы, в зависимости от способа введения нормы в пространстве, при этом не исключено, что одна норма будет меньше единицы, а другая больше единицы. Поэтому возникает принципиальный вопрос о том, в каких случаях можно гарантировать существование эквивалентной нормы [36] в пространстве, в которой норма оператора будет меньше единицы.
В силу неоднозначности введения нормы в пространстве, возникает необходимость иметь какую-нибудь общую характеристику, знание которой будет давать информацию о сходимости итерационного процесса к точному решению операторного уравнения. Одной из таких характеристик является спектральный радиус оператора Л, который тесно связан с понятием спектра оператора Л [36]. Часть предыдущего материала, а также и дальнейшее изложение материала тесно связано с понятием спектрального радиуса оператора Л [36].
Пусть А - линейный оператор в я-мерном пространстве Е". Число А называется собственным значением оператора А, если уравнение Ах » Ах имеет ненулевое решение. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора Л, а все остальные значения Л называются регулярными значениями оператора А. Иначе говоря, А есть регулярное значениє, если оператор (А-А/) имеет ограниченный обратный оператор. В конечномерном пространстве возможны два случая: 1) уравнение Ах = Ах имеет ненулевое решение, т.е. А есть собственное значение для А, оператора (А - А/)"1 при этом не существует; 2) существует ограниченный оператор (А-А/)"1, т.е. А есть регулярная точка. Определение 5.1. Пусть ЛА - собственное значение оператора А. Положим величина Г(А) - называется спектральным радиусом оператора А. Сразу отметим следующий очевидный результат [36]: если у оператора А есть собственное значение А, такое что А 1, ТО при любой эквивалентной нормировке пространства норма оператора больше единицы. Выше уже отмечалось, что для существования у системы уравнений (2.1) неотрицательного решения х x (f) для заданного неотрицательного вектора достаточно, чтобы выполнялось неравенство: г(А) \, где г(А) - спектральный радиус матрицы А. В этой связи отметим следующую теорему [4]. Теорема 5.1. Пусть А - линейный оператор, действующий в банаховом пространстве Е, г (А) - спектральный радиус оператора А, є 0 - произвольно заданное число. Тогда в пространстве Е можно ввести новую норму \\х\\е, эквивалентную заданной норме пространства Е и такую, что будет выполняться неравенство: Следствие. Для существования в пространстве Е по отношению к заданному оператору А - эквивалентной нормы, такой, что выполняется неравенство: достаточно, чтобы выполнялось неравенство г(А) 1. Это следствие позволяет ответить на вопрос, в каких случаях можно рассчитывать на то, чтобы оператор А был оператором сжатия. Тем самым вопрос о том, существует ли такая эквивалентная норма, в которой будет оператор А - оператором сжатия сводится к вопросу об оценке сверху спектрального радиуса г(А) - этого оператора. Отметим, что проблеме оценок спектрального радиуса оператора г(А) как сверху, так и снизу, посвящены многочисленные результаты [34], [36], [38], [39],[66].
Построение приближений, сходящихся к собственному вектору линейного оператора
Большое количество работ Крейна М.Г., Красносельского М.А., Стеценко В.Я. и др. посвящено проблеме отыскания собственных векторов как линейных, так и нелинейных операторов. В случае нелинейных операторных уравнений, проблема отыскания собственных векторов и собственных значений нелинейных операторов является существенно более сложной. В этом параграфе рассматривается задача на построение приближений к собственным значениям, собственным векторам, т.е. построение приближений к таким Л,хЄЕ, что где F(x) - линейный или нелинейный оператор, действующий в банаховом пространстве Е. По аналогии с предыдущим материалом будем считать, что пространство Е полуупорядоченно с помощью конуса Крейна К [36]. Предположим, что оператор F(x) положительный, т.е для Vx є К следует, что Е(х)ЄК. При дополнительных предположениях относительно оператора F(x), уравнение (6.1) имеет для некоторого значения A = Aj решение принадлежащее К. Соответствующий вектор х0 естественно назвать собственным вектором оператора F(x), отвечающим собственному значению Яд. Точное значение собственного вектора может быть найдено лишь в весьма частных случаях, поэтому возникает задача о построении приближений к собственному вектору, с заданной степенью точности. При этом особый интерес представляют методы позволяющие строить такие приближения w„,v„ к собственному вектору /, которые удовлетворяют условию
В этом случае, естественно, называть элементы и„ и v„ как приближения к собственному вектору х по недостатку и соответственно по избытку. Предложим соответствующие способы построения собственных векторов и собственных значений для некоторых классов линейных операторов. Рассмотрим вначале случай линейного положительного оператора. Его, в отличие от случая нелинейного оператора, привычнее обозначать не буквой F, а буквой А. Уравнение (6.1) в этом случае перепишется в виде Элементы х,уЄК называются эквивалентными, если tx y и ty x при некотором t О. Конус К распадается на классы попарно эквивалентных элементов - компоненты эквивалентности. Для эквивалентных элементов х,у Є К определена величина swp\t:tx z у] Оператор А будем предполагать не Если в полуупорядоченном банаховом пространстве с конусом К ввести следующую метрику: для двух элементов х,у Є К таких, что для которых выполняются неравенства (6.13), то, во-первых, d(x, у) удовлетворяет всем аксиомам метрики и во-вторых, для нормального конуса К всякая компонента связности Ск конуса К становится полным метрическим пространством в метрике d(x,y), а оператор F(x) является оператором сжатия соответствующей компоненты связности. При этом собственные векторы оператора F(x) из конуса К являются неподвижными точками оператораа каждая фундаментальная по метрике d(x, у) последовательность элементов {х„} является фундаментальной и по норме пространства и наоборот. При этом пределы последовательностей {хп} по норме пространства и по метрике d(x,y) совпадают.
Из этого в силу принципа Банаха сжатых отображений следует справедливость следующей теоремы. Теорема 6.4. Пусть конус К нормален и пусть для некоторых щ>в элементы щ и F(u0) принадлежат одной составляющей конуса К. Тогда для всех Я, (Л > О) оператор F(x) имеет на составляющей Ск(и0) собственный вектор х*(Л), отвечающий собственному значению Я,". Этот вектор может быть построен методом последовательных приближений при любом начальном приближении х0ЄСк(и0). При этом справедлива оценка близости Замечание. Неравенство (6.14) позволяет также получить оценку относительной погрешности для приближений хт+1(Л), т.е. оценку величины и позволяет утверждать, что в методе последовательных приближений наряду с абсолютной погрешностью, так же и относительная погрешность приближенного решения стремится к нулю. Последнее крайне важно, так как в линейных задачах на собственные векторы определяющим в оценке точности полученного приближения является именно оценка относительной погрешности полученного приближенияположительным, но и фокусирующим. Напомним определение фокусирующего оператора [36]. Определение 6.1. Оператор А называется фокусирующим на конусе К, если он щ-положительный и если для всех х в,у в существует постоянная к2, такая что в(Ах,Ау) к2. При этом число к назовем постоянной фокусирования [38]. Приведем критерий фокусирования.
Получение двусторонних оценок точного решения операторного уравнения вида х - Ах + f, в случае, когда спектральный радиус оператора Л не обязательно меньше единицы
Балансовая модель производства является одной из наиболее простых математических моделей. Она записывается в виде системы уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребностью в этом продукте. Балансовые модели основываются на понятии межотраслевого баланса, который представляет собой таблицу, характеризующую связи между отраслями (экономическими объектами) экономической системы. В настоящее время большое число работ посвящается этой модели и ее применению для решения различных задач. Такой интерес к балансовой модели определяется тем, что, оказалось, эта модель хорошо отражает многие существенные особенности современного производства и в то же время легко поддается расчету. Во многих странах мира балансовый метод используется для экономического анализа, планирования и прогнозирования.
Система балансовых уравнений может быть записана в матричной форме в виде следующего уравнения Здесь используется терминология теории положительных операторов [36]. Для того чтобы изложить суть предлагаемого варианта численного метода предварительно опишем метод Зейделя и метод ускорения сходимости приближений. Одна из возможных интерпретаций метода Зейделя, изложенная в [ 16], решения линейных алгебраических систем и более общих операторных уравнений заключается в следующем. Если требуется решить уравнение вида где х - неизвестный элемент некоторого банахова пространства Е, f — заданный элемент из Е, А- линейный оператор, действующий в Е, то при условии, что A=Ai+A2 ив предположении, что существует оператор обратный к оператору (1-А і), уравнение (12.1), можно переписать в эквивалентном виде после чего к полученному уравнению применить метод последовательных приближений который можно также записать в виде Т.е. по сути, применять метод последовательных приближений для решения операторного уравнения вида Именно такую интерпретацию допускает классический метод Зейделя решения линейных систем алгебраических уравнений. Для того, чтобы этот метод был реализуем, достаточно, чтобы число Я-Г не являлось точкой спектра оператора А і, а для этого, в частности, достаточно, чтобы спектральный радиус г (А і) оператора А і удовлетворял неравенству г(Ад 1. (12.5) При этом для определенных классов операторов А такое преобразование уравнения (12.1) (а именно, переход от уравнения (12.1) к вспомогательному и эквивалентному уравнению (12.2)) обладает следующей полезной особенностью: спектральный радиус оператора (/ -АХ) 1А2, как было установлено в [41], не больше, и, как правило, меньше спектрального радиуса г (А) оператора А в исходном уравнении (12.1). А это, в частности, обеспечивает, вообще говоря, более быструю сходимость последовательности {ут} к единственному решению х уравнения (12.1) метода Зейделя (12.3) по сравнению с обычным методом последовательных приближений Более того, в этом случае удается получить явные оценки для эффекта ускорения сходимости метода Зейделя по сравнению с обычным методом последовательных приближений и указать другие алгоритмы построения еще более быстро сходящихся приближений к неизвестному решению X ... Рассмотрим уравнение (12.1) с матричным оператором А: В [41] было установлено, что для уравнения (12.1) при условии (12.5), метод Зейделя монотонно зависит от выбора матрицы А і , а именно, с возрастанием количества ненулевых элементов матрицы А) скорость сходимости метода (12.3) возрастает, точнее говоря не уменьшается. Это можно интерпретировать следующим образом: чем большую часть А) матрицы А мы оставляем в обращаемой части (I-Al)"i уравнения, тем быстрее приближения, полученные по методу Зейделя (12.3), сходятся к решению х . Уместно, однако, сразу заметить при этом, что с «возрастанием» «доли» А) , вообще говоря, усложняется процедура определения приближений по методу Зейделя, эта процедура будет самой простой, если в качестве А і брать «нижнюю» треугольную часть матрицы А\ т.е. полагать что как раз соответствует классической схеме метода Зейделя;. Если же «присоединить» к матрице А) еще и главную диагональ, то в этом случае метод Зейделя примет несколько нетрадиционный вид: т.е. примет вид неявной схемы, при которой для определения (т+1) — го приближения по компоненте с номером / , т.е. при определении у\т Х) нам придется решать для каждого / одно скалярное уравнение с неизвестным у(т \) Этот метод назовем методом Зейделя первого порядка. Аналогичным образом определяются методы Зейделя второго и более высоких порядков. Тем самым, чем «большая» часть матрицы А будет включаться в Л/, тем сложнее будет фактически реализация метода Зейделя, т.к. с «ростом» матрицы А і возрастает порядок системы уравнений, которую приходится решать для определения каждого следующего приближения, и соответственно, усложняется схема реализации метода Зейделя. В классической схеме метода Зейделя порядок соответствующей системы фактически равен нулю. Понятно, что применение неявных схем требует решения вспомогательных систем линейных уравнений. Количество неизвестных в этих системах прямо зависит от «порядка» метода Зейделя; Оно тем больше,, чем выше «порядок». В любом случае при применении метода Зейделя «невысокого порядка», «порядок» соответствующей системы, вообще говоря, меньше числа k - порядка исходной системы линейных алгебраических уравнений, и потому применение соответствующей схемы является более простым,, нежели решение исходной системы п — уравнений с и — неизвестными.
Итак, метод Зейделя осложняется в реализации с «ростом» матрицы А і , и потому, естественно, на эту более сложную схему метода Зейделя- имеет смысл идти лишь в том случае, если при этом улучшается: скорость сходимости. Оказывается, что именно так и обстоит дело, что следует из теоремы, доказанной в [41] и приведенной в монографии [36].
