Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая модель 7
1.1 Обобщенная постановка 8
1.2. Исследование уравнения 11
1.3. Случай «вмороженных потоков» 15
Выводы по главе 1 18
Глава 2. Численная реализация 20
2.1. Численный метод... 20
2.2. Особенности реализации 22
Выводы по главе 2 39
Глава 3. Программный пакет, примеры его практического применения 40
3.1. Краткое описание пакета 40
3.2. Контрольные задачи 41
3.3. Примеры практического применения 44
Выводы по главе 3 63
Заключение 64
Приложение. Краткие сведения об использованных гильбертовых пространствах 67
Литература 72
- Случай «вмороженных потоков»
- Особенности реализации
- Контрольные задачи
- Примеры практического применения
Введение к работе
Существует обширный класс задач, в которых необходимо математическое моделирование и расчет стационарных и квазистационарных магнитных полей в присутствии идеально проводящих тел. В настоящее время устройства на основе сверхпроводящих элементов находят все более широкое применение в технике, особенно в связи со значительными успехами в проблеме получения высокотемпературных сверхпроводников. Более того, имеется значительный круг задач моделирования технических устройств, в которых некоторые элементы хотя и не являются сверхпроводниками, но, тем не менее, могут считаться таковыми в технических приближениях.
Задачи, связанные с численными расчетами магнитных полей в присутствии массивных идеальных проводников достаточно хорошо изучены. Для их численного моделирования применимы известные интегральные уравнения типа Фредгольма второго рода (исследование таких уравнений на ляпуновских поверхностях в классах Гельдера и в классах квадратично-суммируемых функций сделано в [1, 2], на кусочно-гладких липшицевых поверхностях и контурах в классах функций с энергетической метрикой - в [3]). Возможно и применение обычного метода конечных элементов (МКЭ). Хотя применение МКЭ для внешних краевых задач (к которым, как правило, сводится моделирование рассматриваемого класса устройств) и затруднено, тем не менее эти трудности являются преодолимыми.
Значительно большие трудности вызывает моделирование магнитного поля в присутствии тонкослойных идеальных проводников (пленок) с краем (случай тонких замкнутых оболочек также охватывается работой [3]). Их толщина обычно столь мала по сравнению с остальными геометрическими размерами, что естественно считать их бесконечно тонкими, то есть сверхпроводящими поверхностями. Более того, попытка учитывать при моделировании их толщину приводит к численно неустойчивым задачам. К указанной задаче сводится обширный класс технических проблем, например, моделирование устройств на основе сверхпроводящих пленок, моделирование крейсерского ре-
4 жима движения высокоскоростного наземного транспорта, проектирование экранов для защиты персонала и высокочувствительного оборудования и т.д. Имеется достаточно много работ, в которых предприняты попытки построить модель описываемой задачи, хотя бы и в частных случаях. Укажем лишь некоторые из них. Для простых цилиндрических оболочек в работе [4] предложен метод аналитического решения. В работе [5] рассмотрен вариант, когда формулировка задачи допускает плоскопараллельное приближение. Трехмерная модель для источников поля и тонкослойного проводника специальных геометрических форм получена в [6]. Более общие результаты, полученные для задачи экранирования персонала, имеются в [7], однако, применимость использованной математической модели достаточно спорна. Более того, сами авторы работы [7] отмечают значительную численную погрешность получаемого решения (порядка 40% по невязке свободного члена).
Основной трудностью численного моделирования магнитного поля в присутствии идеально-проводящих поверхностей произвольной формы с краем является то, что известные интегральные уравнения второго рода теряют смысл на разомкнутых поверхностях. Попытки же использования МКЭ для таких задач приводят к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) колоссальной размерности, являющимся к тому же плохо обусловленными.
В данной диссертационной работе предлагается математическая модель на основе векторного интегрального уравнения типа Фредгольма первого рода для поверхностных токов. Классическая теория указывает на численную неустойчивость таких уравнений [8]. Однако имеются многочисленные примеры применения интегральных уравнений первого рода к задаче расчета электростатических емкостей систем проводников [9]. Отмечено, что ожидаемая численная неустойчивость не наблюдается, что было принято истолковывать проявлением так называемой саморегуляризации. До появления работы [30], удовлетворительной теории, объясняющей обнаруженную экспериментально численную устойчивость скалярных интегральных уравнений электростатики первого рода не было. Напротив, попыток применения векторных интегральных урав-
5 нений первого рода к расчетам магнитных полей в литературе почти не имеется. В упоминавшейся работе [6] для расчета магнитного поля в присутствии идеального проводника специальной формы применяется скалярное интегральное уравнение первого рода с весьма сложным ядром. К сожалению, в статье [6] отсутствует какое-либо обоснование применимости используемой математической модели и лишь отмечается численная устойчивость уравнения, выявленная в процессе численных экспериментов. Такое отсутствие интереса в литературе связано, видимо, с тем, что от векторной постановки задачи ожидается высокая вычислительная размерность. Однако, в настоящей работе показано, что при применении базисных полей специального вида вычислительная размерность модели не возрастает по сравнению со скалярными постановками (например в виде интегро-дифференциального уравнения первого рода для функции потока), и при этом имеет по сравнению со скалярными постановками ряд преимуществ. Теоретические вопросы существования и единственности решений интегральных уравнений первого рода различных специальных типов можно найти, например, в [10-18]. Однако вопрос корректности таких уравнений ни в одной из указанных работ практически не затрагивается.
В главе первой настоящей работы рассматриваются теоретические аспекты математической модели в виде интегрального уравнения для поверхностных токов. Для указанного уравнения строится вариационное обобщение и показывается, что при подходящем выборе пары гильбертовых пространств, в которых действует оператор уравнения, интегральное уравнение первого рода разрешимо единственным образом и притом устойчиво. Здесь же отмечается, что теория остается справедливой и для замкнутых поверхностей, причем простой вид ядра уравнения первого рода делает его привлекательной альтернативой для численной реализации по сравнению с интегральными уравнениями первого рода.
Во второй главе предлагается и обосновывается численный метод решения уравнения и различные методы его эффективизации.
В третьей главе описывается созданный на основе построенной теории программный пакет, приводятся результаты многочисленных контрольных расчетов. Также в этой главе рассмотрены примеры моделирования реальных технических задач с использованием созданного программного пакета.
В приложении приводится краткое описание использовавшихся в первой главе гильбертовых пространств.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [19-30]. Она была апробирована на следующих конференциях:
Конференция студентов и аспирантов ЮРГТУ(НПИ) 2002,2003, 2004 и 2005 годов.
«48. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium», сентябрь 2003 г., г. Ильменау, Германия.
«4 European Congress of Mathematics» («4-й Европейский математический конгресс»), 27.06-2.07.2004, г. Стокгольм, Швеция.
Всероссийская научно-практическая конференция «Транспорт-2004», г. Ростов-на-Дону, 25-27 мая 2004 г.
Выездная сессия секции энергетики отделения энергетики, машиностроения и процессов управления РАН. Альтернативные естественновозобно-вяющиеся источники энергии и энергосберегающие технологии, экологическая безопасность регионов, г. Ессентуки, 12-15 апреля 2005 г.
Первая ежегодная научная конференция базовых кафедр Южного научного центра РАН, г. Ростов-на-Дону, 1-21 апреля 2005 г.
По основным результатам диссертационной работы был сделан доклад на семинаре по математической физике Вычислительного центра РАН (г. Москва), который заслужил похвальную оценку.
Случай «вмороженных потоков»
Перечисленные выше предложения позволяют заменить неприемлемую для численной реализации в случае 5, Г\Б]Ф0 формулу (2.2) эффективной вычислительной процедурой на основе формул (2.5,2.6). Отметим здесь же, что в случае, когда центральный узел обычного базисного элемента не находится на ребре, при достаточно мелком разбиении можно приближенно считать, что треугольники базисного элемента лежат в одной плоскости, что позволяет исключить также случаи, когда подынтегральные особенности сосредоточены вдоль границы треугольника или в одной из его вершин.
Полученные посредством аналитических преобразований формулы (2.5) и (2.6) решают задачу снижения вычислительных затрат. В случае, когда треугольники не лежат в одной плоскости (и их нельзя считать таковыми даже приближенно), полученные формулы использовать нельзя. Сведение общего случая формулы (2.2) к формуле (2.5) посредством подходящей замены переменных возможно, однако наталкивается на необходимость решения системы 15 нелинейных уравнений. Численное решение подобной системы, необходимое для каждой пары треугольников, входящих в триангуляцию поверхности S, сводит на нет все преимущества формулы (2.5). Однако существуют и иные пути для сокращения вычислительных затрат при формировании матрицы СЛАУ (2.1).
Вид подынтегральной функции в (2.2) позволяет ожидать, что при увеличении расстояния между центрами базисных элементов формула (2.2) будут стремится к некоторой асимптотической функции, величина которой существенно зависит от расстояния между базисными элементами, а также их взаим ной ориентации и весьма слабо зависит от геометрии базисного элемента. Понятно, что такое поведение формулы (2.2) будет наблюдаться при условии, что диаметр носителей базисных полей много меньше расстояния между центрами носителей. В таком случае, начиная с некоторого определенного расстояния элементы матрицы могут рассчитываться по упрощенным (асимптотическим) формулам. Такая методика позволяет весьма существенно ускорить процесс формирования матрицы. Рассмотрим критерий, согласно которому можно определить, необходимо ли для данной пары базисных элементов проводить вычисления по полной формуле. Очевидным вариантом является вычисление расстояния между геометрическими центрами элементов и сравнение с некоторой известной пороговой величиной, заданной априори или же вычисленной каким либо образом в программе процессе работы программы. Однако такой путь имеет существенный недостаток: он сопряжен с довольно значительным объемом вычислений с плавающей точкой. В нашем случае, когда формула (2.2) быстро приближается к своему асимптотическому представлению такие вычисления занимают значительную часть времени работы ЭВМ. Автор предлагает использовать другой подход, не требующий вычислений с плавающей точкой и базирующийся на классическом алгоритме поиска вершин графа в ширину [42]. Под графом здесь подразумевается сетка триангуляции. В качестве критерия применимости упрощенной формулы будем использовать длину пути по графу между узлами. Если кратчайший путь между двумя узлами триангуляции не превышает w звеньев, то расчет ведется по полной формуле, в противном случае - по упрощенной. Предлагаемый подход имеет еще и то преимущество, что при измельчении триангуляции можно считать, что величина w не меняется. так как она в приближенной форме задает на поверхности S расстояние в относительных единицах. На рис. 6 демонстрируется фрагмент триангуляции, на котором выделена некоторый узел (большая жирная точка) и, также, узлы, путь от которых к выделенному узлу не превышает трех звеньев.
При построении матрицы необходимо для каждого узла графа, за исключением граничных, найти вершины, лежащие от текущего узла на расстоянии не более w звеньев. Стандартный и хорошо известный алгоритм обхода вершин графа «поиск в ширину» в нашем случае не может быть применен без модификации, так как результатом работы этого алгоритма является перечисление всех вершин графа, тогда как нам необходимо лишь их подмножество.
При применении «поиска в ширину», как известно, формируется очередь номеров вершин. При этом они поступают в «хвост» очереди послойно, то есть сначала попадают вершины с длиной пути до вершины начала поиска в одно звено, потом в два и так далее. При этом в очереди могут находиться вершины лишь двух слоев: обрабатываемого и непосредственно к нему прилегающего следующего, вершины которого добавляются в процессе обработки текущего слоя. Отдельная подпрограмма последовательно извлекает вершины из «головы» очереди для обработки. В классической схеме, используется два указателя: на «голову» очереди и на пустую позицию сразу за ее «хвостом». Нужно модифицировать алгоритм так, чтобы его останов происходил после отработки заданного числа слоев. Этого можно достичь введением третьего указателя, на конец текущего слоя, и счетчика слоев. Выход из поиска произойдет, когда счетчик слоев будет равен w. Рассмотрим эту схему более детально. По окончанию обработки текущего слоя в очереди не остается его вершин. В этот момент очередь содержит все вершины следующего слоя и никаких других. Наступление такого события определяется равенствами указателя начала очереди и конца текущего слоя. В этот момент наращивается счетчик слоев и указатель конца текущего слоя приравнивается указателю конца очереди. Если счетчик равен w, то работа алгоритма прекращается. Старт алгоритма обеспечивается помещением в очередь начальной вершины и приравниванием указателей конца очереди и конца текущего слоя.
Используя аналогию между интегралом (2.2) и общей формулой для расчета взаимной индуктивности двух плоских контуров с током, а также заменяя приближенно базисное поле магнитным диполем, на основании [43,44] асимптотическая формула для (2.2) примет вид:
Особенности реализации
Поэтому нет необходимости использовать какой-либо специализированный метод решения СЛАУ, что открывает значительную свободу для маневра. Воспользуемся ею для придания численной процедуре решения СЛАУ максимальной эффективности. Использование формул (2.5,2.7) и описанной выше методики сокращает время формирования матрицы СЛАУ (2.1) в десятки раз. В этом случае имеется возможность задуматься не только о времени работы программы, но и о сокращении занимаемого матрицей объема оперативной памяти. При хранении матрицы целиком в оперативной памяти виртуальное адресное пространство современных 32-х разрядных ПЭВМ исчерпывается при размерности СЛАУ около 16000 неизвестных (данные приведены для 32-х разрядной версии ОС Windows). Так как физический объем памяти современных ПЭВМ в 2-4 раза меньше доступного адресного пространства, то еще до его исчерпания резко возрастет время численного решения СЛАУ (2.1) в силу интенсивного дискового кэширования физической оперативной памяти. Более того, практика показывает, что объем адресного пространства, занимаемого матрицей не должен превышать 70-80% доступной физической памяти (данные приводятся для ОС Windows ХР SP2). В противном случае потери времени на дисковое кэширование оперативной памяти становятся неприемлемыми. Поэтому представляется весьма желательным отказаться от хранения в оперативной памяти ПЭВМ всей матрицы СЛАУ. Использование формулы (2.7) открывает такую возможность. В силу вычислительной простоты асимтотической формулы (2.7) представляется целесообразным отказаться от хранения в оперативной памяти элементов матрицы СЛАУ, вычисляемых по упрощенной формуле, а в процессе численного решения СЛАУ получать их «на лету». Такая схема несколько увеличивает вычислительные затраты на решение СЛАУ, однако уменьшение используемого объема оперативной памяти и вызванное этим уменьшением сокращение дискового кэширования с лихвой компенсируют отмеченный недостаток. Для хранения элементов, вычисляемых по полной формуле применимы стандартные методы хранения в оперативной памяти разреженных матриц. Более того, элементы матрицы быстро стремятся к нулю при увеличении расстояния между центрами носителей базисных полей. Значительная часть матрицы (2.1) может быть приравнена к нулю без потери точности численного решения. Для этого необходимо определить слой «окончательного» останова вычисления элементов матрицы в алгоритме обхода вершин триангуляции, описанном выше. На основе численных экспериментов была получена простая эмпирическая зависимость: где wstop — слой обхода, начиная с которого погрешность, вызванная обнулением оставшихся элементов матрицы, не увеличивает общую погрешность численного решения СЛАУ; п — число базисных полей.
В силу описанной специфики хранения основной матрицы СЛАУ (2.1), численные методы, модифицирующие в процессе решения матрицу системы — малоприменимы. Однако существует целый спектр итерационных численных методов, не модифицирующих основную матрицу СЛАУ. Также важным преимуществом таких методов является их самокорректируемость, т.е. в процессе численного решение отсутствует накопление вычислительной ошибки, что выгодно отличает такие методы от неитерационных, например метода Гаусса. Указанное преимущество столь существенно, что применение итерационных методов, вообще говоря, предпочтительнее в тех случаях, когда это возможно.
Для численного решения СЛАУ (2.1) был выбран итерационный метод Гаусса-Зейделя. Указанный метод совмещает в себе простоту реализации, эффективность и высокую точность. Напомним, что оператор Т в уравнении (1.10) является положительным. Согласно [45], этого достаточно, чтобы основная матрица системы (2.1) являлась положительно-определенной. Для таких матриц численный метод Гаусса-Зейделя решения СЛАУ всегда сходится [46].
Весьма важным с практической точки зрения свойством матрицы СЛАУ (2.1) является доминирование главной диагонали. Это свойство определяется наличием у подынтегральной функции в формуле (2.2) особенностей, возникающих при условии SinSJ 0: пересечении носителей базисных полей.
Наиболее существенно наличие особенностей сказывается при вычислении именно элементов главной диагонали, т.е. в случае i — j. Площадь множества Sl nSj 0 при условии /Ф j существенно меньше, при этом вектор-константы в формуле (2.2) являются неколлинеарными, что приводит к появлению дополнительного множителя, меньшего единицы. Благодаря этому метод Гаусса-Зейделя весьма быстро сходится (на практике для достижения относительной точности є = Ю-6 требуется не более 30 итераций).
Численная реализация метода Гаусса-Зейделя отличается от традиционной, в силу отказа от хранения матрицы СЛАУ целиком в оперативной памяти. Модифицированная вычислительная схема состоит из трех этапов. Во время каждой итераций, для каждой строки матрицы, на первом этапе вычисляются и затем суммируются произведения элементов тех элементов матрицы на текущее приближение, которые хранятся непосредственно в оперативной памяти ПЭВМ. Затем, на втором этапе, выполняется обход вершин графа триангуляции, по алгоритму, аналогичному тому, который был использован при формировании хранимой части основной матрицы системы (2.1). При этом первые w слоев проходятся «в холостую», так как соответствующие им элементы матрицы уже отработаны на первом этапе. Вычислительные затраты на подобный «холостой» проход весьма малы, так как алгоритм обхода вершин оперирует только с целочисленными величинами. Третий этап начинается со слоя w + l, при обходе вершин триангуляции значение соответствующего элемента матрицы вычисляется по формуле (2.7). Этап заканчивается по достижении слоя wslop.
Реализация описанной схемы заметно более сложна, по сравнению с классическим методом Гаусса-Зейделя. Однако при практических расчетах она зарекомендовала себя как эффективный численный инструмент, успешно использующий особенности структуры и свойства матрицы системы (2.1) для сокращения времени численного решения СЛАУ без потери точности. Отметим здесь же, что время численного решения системы (2.1) значительно меньше времени, затрачиваемого на формирование хранимой части матрицы СЛАУ и составляет менее 10% процентов всех временных затрат при отсутствии интенсивного дискового кэширования. При наличии же такового процесс численного решения СЛАУ может занимать время, в разы превышающее то, которое необходимо для формирования матрицы системы. Однако использование описанных выше методик уменьшения объема потребной оперативной памяти позволяет избежать в большинстве случаев негативных эффектов, связанных с виртуализацией современными ОС оперативной памяти посредством дискового кэширования.
Контрольные задачи
При численном расчете использовалась длинная полоса, а контрольные значения 7Х брались посередине длины полосы. Данные контроля приведены на рис. 20 (стр. 56), где кривая 1 — аналитический расчет, кривая 2 — результат работы программы. Здесь Ъ = 0,386м; h = 0,509м; / = 0,5м; / = 1А. Как видно из рис., решения близки даже локально. Дополнительным контролем программного пакета явилось сравнение силы левитации прямоугольной рамки над длинной проводящей полосой, с таковыми полученными в работе [47] с использованием принципиально отличной математической модели. Конфигурация расчетной области (вид сверху) показана на рис. Сечение области совпадает с рис. Сила взаимодействия рамки с током и сверхпроводящей полосы вычислялась по формуле Отметим, что для достижения приемлемой относительной погрешности (4%) при расчете силы достаточно весьма грубого разбиения, с количеством уз лов, в десятки раз меньшим, чем потребовалось для получения рис. Пример расчета плотности токов на плоской односвязной поверхности S приведен на рис. 21 (стр. 57). Пример расчета на плоской многосвязной поверхности приведен на рис. 22 (стр. 58). В обоих случаях магнитное поле взято однородным, направленным по нормали к S. Пример расчета для пластины, помещенной в магнитное поле сложной конфигурации приведен на рис. 23 (стр. 59). Потенциал невозмущенного поля имеет вид: Наконец, пример расчета «вмороженных» потоков приведен на рис. 24 (стр. 60). Поток магнитного поля через отверстие - единичный. Для сравнения на рис. 25 (стр. 61) приведен расчет плотности токов для пластины той же конфигурации, помещенной в однородное магнитное поле, нормальное S, при условии нулевого потока через отверстие. Пример расчета плотности токов на криволинейной многосвязной поверхности S сложной формы приведен на рис. 26 (стр. 62). Невозмущенное магнитное поле однородно и направлено вдоль оси OZ.
Рассмотрим силовое взаимодействие движущейся бесконечно длинной проводящей полосы (рельса) и стационарного магнитного поля. В частности к этой задаче сводится моделирование системы электродинамического подвеса высокоскоростного наземного транспорта (ЭДП ВСНТ). Общее решение для однородной полосы и конечной скорости приведено в [47]. Однако, для основного скоростного режима ЭДП ВСНТ оправдано высокоскоростное приближение уут —» оо, где v - скорость ЭДП ВСНТ, у - проводимость материала, т - толщина полосы, так как достаточная подъемная сила развивается только при больших скоростях движения экипажа. В указанной ситуации вихревые токи в рельсе индуцируются лишь в тонком поверхностном слое и его толщина уже не играет роли. Подъемная сила перестает зависеть от скорости и является лишь функцией геометрии системы. Согласно [48], для алюминиевого полотна такой высокоскоростной предел наступает при скорости ХЪОЩ/. Подобная картина наблюдается и при неподвижном экипаже, в случае, если полотно обладает сверхпроводимостью. Поэтому к моделированию описанной задачи применима теория и численный метод, разработанные в настоящей работе. Существенно, что при их использовании не предполагается однородность рельса, т.е. существует возможность анализа поведения ЭДП ВСНТ при наличии тех или иных нерегулярностей в проводящей полосе, что невозможно при применении методов из [47]. Одной из таких задач является моделирование поведения силы левитации FL при наличии разрыва рельса. Попытки анализа такой ситуации уже предпринимались ранее в работе [49], где рассматривался разрыв бесконечно широкого рельса при уединенном проводе (бесконечно широкая и бесконечно длинная рамка). В двумерной модели из [49] индуцированные токи параллельны границам разрыва, что существенно отличается от распределения токов в рельсе конечной ширины. Наш расчет силы левитации рамки приведен в относительных единицах на стр. 63 рис. 27 (кривая 1 -разрыв с шириной 0,6м, кривая 2 - разрыв с шириной 0,3 м, кривая 3-0,01 м). Геометрические параметры расчетной области: а = 1,5 м; Ъ = 0,25 м; h = 0,3 м; / = 0,5 м. Нулевая точка оси абсцисс на рис. 27 соответствует положению, когда середина рамки находится над центром щели, d - смещение середины рамки относительно центра щели. Пунктирной линией на рис. 27 изображена нормированная зависимость из [49], полученная для геометрических параметров, соответствующих кривой 1. Как видно, воздействие щели даже малой ширины существенно. Отметим, что по причине периодичности скачков силы левитации, связанных с наличием разрывов в полотне, могут возникать вибрации, спектр и амплитуда которых нуждается в подробном анализе при создании реальных транспортных средств на основе ЭДП. Еще одним применением созданного математического и программного обеспечения является анализ поведения силы сталкивания Fs, действующей на вертикально расположенную рамку Рис. 11 с током при приближении к краю рельса (рис. 11). Анализ этой задачи в случае проводящей полуплоскости сделан в [50]. При ко нечной ширине рельса наблюдаемая картина существенно изменяется. Данные расчетов для сравнения приведены на стр. 64 рис. 28 (кривая 1 соответствует параметрам а = 0,45м, Ь = 0,15м, й = 0,3м, / = 0,25 м, / = 10кА; кривая 2 -то же для полубесконечного рельса). На рис. 28 нулевая точка оси абсцисс соответствует положению, когда проекция рамки на рельс находится на расстоянии 0,25 м от края рельса, d — смещение рамки в сторону края рельса относительно начального положения. Сила сталкивания, в отличие от [50], меняет знак. Как видим, при небольших смещениях рамки в случае конечной ширины рельса сила сталкивания отрицательна, в этом смысле положение рамки над рельсом устойчиво.
Примеры практического применения
Создан эффективный программный пакет для численного решения интегрального уравнения на плоских и криволинейных поверхностях с отверстиями и без них. Правильность работы программного продукта проконтролирована на нескольких различных тестовых задачах. В процессе аналитического решения одной из контрольных задач проанализирована асимптотика плотности поверхностных токов при приближении к прямолинейной границе.
При помощи созданного пакета исследована техническая задача расчета силовых параметров электродинамического подвеса ВСНТ при прохождении над разрывом рельса в крейсерском режиме движения.
Также проанализирован вопрос боковой устойчивости вертикально расположенной над рельсом движущейся токовой рамки. Выявлено, что в случае рельса конечной ширины положение вертикальной рамки устойчиво при не слишком больших боковых отклонениях.На основе выполненных в диссертационной работе исследований векторного интегрального уравнения первого рода для плотности поверхностных токов в идеальном проводнике можно сделать следующие выводы:
Интегральное уравнение с условиями является корректным в естественной для задач энергетики и электротехники паре векторных функциональных пространств (здесь А(М) - потенциал невозмущенного магнитного поля внешних (заданных) источников; ju - магнитная проницаемость; т - плотность поверхностных токов; гш - расстояние между точками N, М; С - некоторое поле, такое что rotnC = 0; оператор Р5 обнуляет компоненту поля, определенного на S, ортогональную поверхности S; / - край поверхности S, v - единичный вектор внешней нормали к /, лежащий в касательной к S плоскости; Ф,- - заданный магнитный поток через отверстие і в поверхности S; Ц - граница отверстия /; т - число отверстий). Все полученные результаты остаются в силе и для замкнутых поверхностей. Однако и в этом случае, в силу простой формы ядра интегрального уравнения первого рода оно является привлекательной для численной реализации альтернативой известным интегральным уравнениям второго рода. 2. На основе ортогональных разложений Вейля [37] векторного простран ства L2 для части плоскости, разложений Фридрихса [38] для римановых по верхностей с краем и триангуляции поверхности-носителя построен базис из кусочно-постоянных соленоидальных векторных полей. Согласно теории ап- проксимации пространств Соболева W\ полученный базис является полным в пространстве г в смысле сходимости аппроксимативной последовательности Ритца (пространство г введено в главе 1). Использование указанного базиса обеспечивает размерность СЛАУ, совпадающую с таковой для скалярной постановки задачи, т.е. использование векторного уравнения не приводит к увеличению вычислительной сложности. 3. Четырехкратные интегралы с особенностями, вычисление которых необходимо при нахождении элементов основной матрицы СЛАУ, приводятся к однократным с помощью аналитического интегрирования. При этом получаемая подынтегральная функция особенностей не имеет. На основе полученной формулы и шеститочечной квадратуры Гаусса построена численно-эффективная высокоточная процедура вычисления элементов матрицы СЛАУ. Для скалярного произведения базисных полей, диаметр носителя которых много меньше расстояния между их геометрическими центрами получена приближенная асимптотическая формула. Опираясь на метод поиска в графе в ширину, построен эффективный критерий применимости асимптотической формулы, применение которого не требует выполнения вычислений с плавающей точкой. Скалярное произведение базисных полей быстро стремится к нулю при росте расстояния между геометрическими центрами носителей, поэтому на основании описанного выше критерия получена эмпирическая зависимость, указывающая, когда можно положить значение скалярного произведения равным нулю без потери точности численного решения. Предложенный в работе итерационный алгоритм численного решения СЛАУ на основе метода Гаусса-Зейделя сходится. 4. Создан эффективный программный пакет для численного решения ин » тегрального уравнения на плоских и криволинейных поверхностях с отвер стиями и без них. Правильность работы программного продукта проконтроли рована на нескольких различных тестовых задачах. В процессе аналитического решения одной из контрольных задач проанализирована асимптотика плотно сти поверхностных токов при приближении к прямолинейной границе. 5. Созданный программный пакет пригоден для анализа реальных техни ческих задач. С его помощью исследована техническая задача расчета силовых параметров электродинамического подвеса высокоскоростного наземного транспорта (ВСНТ) при прохождении над разрывом рельса в крейсерском ре жиме движения. Также проанализирован вопрос боковой устойчивости верти кально расположенной над рельсом движущейся токовой рамки. Выявлено, что в случае рельса конечной ширины положение вертикальной рамки устойчиво при небольших боковых отклонениях. Круг применения практических результатов диссертационной работы не ограничивается моделированием электродинамического подвеса ВСНТ. На основе созданного программного пакета можно моделировать широкий класс устройств, содержащих в себе идеально-проводящие элементы (идеальная проводимость может быть и некоторым допустимым инженерным приближением, как это, например, имеет место в расчетах экранов для защиты персонала и чувствительного оборудования от переменного магнитного поля).
